第2章 第5节 函数的对称性-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用课件（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的对称性”专题，依据课标要求梳理了轴对称、中心对称及两函数图象对称三大核心考点，通过分析高考命题规律明确对称公式推导、性质应用等高频考查维度，归纳出对称性质判断、解析式求解等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题演练+规律总结+思维建模”的复习策略，如以2026年云南玉溪统考真题为例，运用“对称公式法”破解函数不等式，培养学生数学思维与逻辑推理素养。特设“规律方法”模块提炼对称问题通解，配合课时跟踪训练强化答题技巧，助力学生高效突破考点，教师可据此精准开展专题复习。

第5节　函数的对称性 课标要求 1. 能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论. 2. 会利用对称公式解决问题. 目录/ CONTENTS 考点一 轴对称 01 考点二 中心对称 02 提能点 两个函数图象间的对称 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 轴对称 目 录 轴对称 1. 偶函数的图象关于 对称. 2. 若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直 线 对称. 3. 若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝f（a＋x），则函数y＝f（x）的 图象关于直线 对称. y轴　 x＝a　 x＝a　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 题组练透 1. 若函数f（x）满足f（x＋1）＝f（3－x）对任意x∈R成立，则f （x）的图象（　　） A. 关于直线x＝1对称 B. 关于直线x＝2对称 C. 关于直线x＝3对称 D. 关于直线x＝－1对称 √ 解析： 　∵对于∀x∈R满足f（x＋1）＝f（3－x）成立，则f（x）的 图象是轴对称图形，设f（x）的对称轴为x＝a，则（x＋1）＋（3－x） ＝2a，∴a＝2，故f（x）的图象关于x＝2对称，选B. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 已知函数f（x）＝3｜x－a｜＋2，且满足f（5＋x）＝f（3－x），则f （6）＝（　　） A. 29 B. 11 C. 3 D. 5 √ 解析： 　因为f（5＋x）＝f（3－x），所以f（x）的图象关于直线x＝ 4对称，而f（x）＝3｜x－a｜＋2的图象关于直线x＝a对称，所以a＝4，f （6）＝3｜6－4｜＋2＝11. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. 已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（4－x），若y＝（x－2）2 与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）， （x4，y4），则x1＋x2＋x3＋x4＝（　　） A. －4 B. 0 C. 4 D. 8 √ 解析： 　由f（x）＝f（4－x）可知y＝f（x）的图象关于直线x＝2对 称，y＝（x－2）2的图象关于直线x＝2对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2 ＝8. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 4. （2026·云南玉溪统考）已知函数f（x）的定义域为R，y＝f（x＋3） 是偶函数，当x≥3时，f（x）＝log2x，则不等式f（2x＋2）＞f（x－ 1）的解集为 ⁠. 解析：∵y＝f（x＋3）是偶函数，∴f（x）的图象关于直线x＝3对称. ∵当x≥3时，f（x）＝log2x，∴f（x）在[3，＋∞）上单调递增，∴｜ 2x＋2－3｜＞｜x－1－3｜，即｜2x－1｜＞｜x－4｜，∴（2x－1）2＞ （x－4）2，即3x2＋4x－15＞0，解得x＜－3或x＞ . {x｜x＜－3或x＞ } 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练后悟通 1. 函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称⇔f（x）＝f（2a－x）⇔f （a－x）＝f（a＋x）. 2. 若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）的图象 关于直线x＝ 对称. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 02 PART 考点二 中心对称 目 录 中心对称 1. 奇函数的图象关于 对称. 2. 若f（x＋a）是奇函数，则函数y＝f（x）图象的对称中心为 ⁠ ⁠. 3. 若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝－f（a＋x），则函数y＝f（x） 的图象关于点 对称. 原点　 （a， 0）　 （a，0）　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 〔多选〕（2026·江苏苏州模拟）下列说法中，正确的是（　　） A. 函数f（x）＝ 的图象关于点（－2，2）中心对称 B. 函数f（x）满足f（2x－1）为奇函数，则函数f（x）的图象关于点 （－1，0）中心对称 C. 若函数y＝f（x）的图象关于（0，1）对称，则函数y＝f（x－1）＋1 的图象关于（1，2）对称 D. 函数y＝ 的图象关于点（3，c）中心对称，则b＋c＝2 √ √ √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　对于A，f（x）＝ ＝ ＝2－ ，其图象可以 由y＝－ 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 且y＝－ 的图象关于原点对称，故f（x）＝ 的图象关于点（－2， 2）中心对称，A正确；对于B，因为f（2x－1）为奇函数，所以f（2x－ 1）＝－f（－2x－1），所以f（x）＝－f（－x－2），所以函数f（x） 关于点（－1，0）中心对称，B正确； 高中总复习·数学（创新版） 目 录 对于C，函数y＝f（x）的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单 位长度得到函数y＝f（x－1）＋1的图象，由于y＝f（x）的图象关于（0， 1）对称，故函数y＝f（x－1）＋1的图象关于（1，2）对称，C正确；对 于D，函数y＝ ＝ ＝1＋ 的图象关于点（3，c）中心 对称，所以 解得 所以b＋c＝4，D不正确. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 1. 函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）对称⇔f（a＋x）＋f（a－ x）＝2b⇔2b－f（x）＝f（2a－x）. 2. 若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则y＝f（x）的 图象关于点（ ， ）成中心对称. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练1 （1）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点（1，0）对称， 则b＝（　C　） A. －3 B. －1 C. 1 D. 3 C 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 因为函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点（1，0）对称， 所以f（x）＋f（2－x）＝0.又f（2－x）＝（2－x）3＋a（2－x）2＋ （2－x）＋b＝－x3＋（a＋6）x2－（4a＋13）x＋10＋4a＋b，所以f （x）＋f（2－x）＝（2a＋6）x2－（4a＋12）x＋10＋4a＋2b＝0.所 以 解得 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）（2026·福建泉州模拟）已知y＝f（x＋1）＋1为奇函数，则f（－ 1）＋f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝（　D　） A. 6 B. 5 C. －6 D. －5 解析：由题y＝f（x＋1）＋1为奇函数，则f（x）的图象关于（1，－1） 对称，所以f（－1）＋f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝[f（－1）＋f （3）]＋f（1）＋[f（0）＋f（2）]＝－2－1－2＝－5.故选D. D 高中总复习·数学（创新版） 目 录 03 PART 提能点 两个函数图象间的对称 目 录 两个函数图象间的对称 1. 函数y＝f（x）与y＝f（－x）的图象关于 对称. 2. 函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于 对称. 3. 函数y＝f（x）与y＝－f（－x）的图象关于 对称. y轴　 x轴　 原点　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （1）下列函数中，其图象与函数y＝x2＋2x的图象关于点（1，0）对 称的是（　D　） A. y＝－x2－2x B. y＝－x2－2x＋2 C. y＝x2－6x＋8 D. y＝－x2＋6x－8 解析： 设P（x，y）为所求函数图象上的任意一点，则P关于点（1， 0）对称的点为Q（2－x，－y），由点Q在y＝x2＋2x的图象上，可得－ y＝（2－x）2＋2（2－x），整理得y＝－x2＋6x－8，即所求函数解析式 为y＝－x2＋6x－8.故选D. D 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）设函数y＝f（x）的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f （3）＋f（9）＝1，则实数m＝ ⁠. 解析：∵函数y＝f（x）的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称， ∴x＝log3y－m，∴f（x）＝log3x－m，∴f（3）＋f（9）＝1－m＋2 －m＝1，∴m＝1. 1 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 破解两个函数图象间的对称的方法 （1）利用函数y＝f（a＋x）与函数y＝f（b－x）的图象关于直线x＝ 对称，即可求出对称轴； （2）利用图象的变换进行判断，注意口诀“左加右减”在解题中的应用. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练2 已知函数y＝f（x）是定义域为R的函数，则函数y＝f（x＋2）与y ＝f（4－x）的图象（　　） A. 关于直线x＝1对称 B. 关于直线x＝3对称 C. 关于直线y＝3对称 D. 关于点（3，0）对称 √ 解析： 　设P（x0，y0）为y＝f（x＋2）图象上任意一点，则y0＝f（x0 ＋2）＝f（4－（2－x0）），所以点Q（2－x0，y0）在函数y＝f（4－ x）的图象上，而点P（x0，y0）与点Q（2－x0，y0）关于直线x＝1对 称，所以函数y＝f（x＋2）与y＝f（4－x）的图象关于直线x＝1对称. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1. 下列函数的图象中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. y＝tan x B. y＝x－1 C. y＝x3 D. y＝ln｜x｜ √ 解析： 　由正切函数的图象性质：y＝tan x关于原点对称，但没有对称 轴，不符合；由幂函数的图象性质：y＝x－1关于原点和y＝±x对称，符 合；由幂函数的图象性质：y＝x3关于原点对称，但没有对称轴，不符 合；由ln｜－x｜＝ln｜x｜，即y＝ln｜x｜关于y轴对称，但没有对称中 心，不符合.故选B. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. （2026·山东聊城检测）函数y＝ 与y＝－2x的图象（　　） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y＝x轴对称 √ 解析： 　令f（x）＝2x，则－f（－x）＝－ ，∵y＝f（x）与y＝ －f（－x）的图象关于原点对称，∴y＝ 与y＝－2x的图象关于原点 对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. 已知函数f（x）＝ ，则函数f（x）的图象的对称中心的坐标为 （　　） A. （－1，－3） B. （－1，3） C. （－1，－2） D. （－1，2） √ 解析： 　因为f（－1＋x）＋f（－1－x）＝ ＋ ＝ － ＝－4，所以函数f（x）的图象关于点（－1，－2） 对称.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 4. （2026·广东湛江模拟）已知函数y＝f（1－x）的图象与函数y＝f（2 ＋x）的图象关于直线x＝m对称，则m＝（　　） A. 3 B. √ 解析： 　设点P（x，y）在函数y＝f（1－x）的图象上，点P关于直 线x＝m的对称点Q（x'，y'），则 则 即y'＝f （1－2m＋x'），即y＝f（1－2m＋x）与y＝f（1－x）关于直线x＝m 对称，则1－2m＝2，得m＝－ . C. －1 D. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 5. 已知函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）＝f（2－x）成立，且当 x≥1时，f（x）＝2x－1，则（　　） A. f（ ）＜f（ ）＜f（ ） B. f（ ）＜f（ ）＜f（ ） C. f（ ）＜f（ ）＜f（ ） D. f（ ）＜f（ ）＜f（ ） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　由题意知，函数f（x）的图象的对称轴方程是x＝1，∴f（ ） ＝f（ ），又当x≥1时，f（x）＝2x－1，则函数f（x）在[1，＋∞） 上单调递增，由f（x）的对称性知f（x）在（－∞，1）上单调递减.∵ ＜ ＜ ，∴f（ ）＜f（ ）＜f（ ），故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 6. 〔多选〕设函数f（x）的定义域为R，f（x）为奇函数，f（1＋x）＝ f（1－x），f（3）＝1，则（　　） A. f（－1）＝1 B. f（x）＝f（4＋x） C. f（x）＝f（4－x） D. f（k）＝－1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　由f（x）为奇函数，知函数f（x）的图象关于点（0，0） 对称，又f（1＋x）＝f（1－x），则f（x）的图象关于直线x＝1对称， 故f（x＋2）＝f（－x）＝－f（x），则f（4＋x）＝－f（x＋2）＝f （x），所以f（x）为周期函数且周期为4，故B正确；f（3）＝f（－1） ＝1，故A正确；f（4－x）＝f（－x）＝－f（x），故C错误；由上可知 f（2）＝－f（0）＝0，f（4）＝f（0）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f （3）＋f（4）＝－f（－1）＋0＋1＋0＝0，则 f（k）＝f（1）＋f （2）＝－1，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 7. 若函数f（x＋1）是奇函数，则函数y＝f（x）＋1的图象的对称中心 是 ⁠. 解析：因为函数f（x＋1）是奇函数，所以f（x＋1）的图象关于点（0， 0）对称.将函数y＝f（x＋1）的图象向右平移1个单位长度，得函数y＝f （x）的图象，所以函数y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称.所以函数 y＝f（x）＋1的图象关于点（1，1）对称. （1，1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 8. （2025·江苏南通一模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f （－x）＝4x2＋2，设g（x）＝f（x）－2x2，若g（x）的最大值和最小 值分别为M和m，则M＋m＝ ⁠. 解析：由g（x）＝f（x）－2x2，那么g（－x）＝f（－x）－2x2，两式 相加，可得g（－x）＋g（x）＝2，故g（x）的图象关于点（0，1）对 称，其最大值和最小值也关于点（0，1）对称，所以M＋m＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 9. 已知函数f（x）在［ ，＋∞）上单调递增，满足对任意x∈R，都有f （ －x）＝f（x＋ ），若f（x）在区间（a，2a－1）上单调递减，则 实数a的取值范围为 ⁠. 解析：由f（ －x）＝f（x＋ ），得函数f（x）图象的对称轴是直线x ＝ ，因为函数f（x）在［ ，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）在 （－∞， ］上单调递减，因为f（x）在区间（a，2a－1）上单调递 减，则 解得1＜a≤ .所以实数a的取值范围为（1， ］. （1， ］ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 10. （13分）（2026·河北沧州模拟）已知函数f（x）＝log2｜x－2｜＋x2 －4x. （1）判断并证明函数f（x）的对称性； 解： f（x）的图象关于直线x＝2对称. 证明：由｜x－2｜＞0，得x≠2，所以f（x）的定义域为（－∞，2） ∪（2，＋∞）. 因为f（2－x）＝log2｜x｜＋（2－x）2－4（2－x）＝log2｜x｜＋x2－4， f（2＋x）＝log2｜x｜＋（2＋x）2－4（2＋x）＝log2｜x｜＋x2－4， 所以f（2＋x）＝f（2－x）， 所以f（x）的图象关于直线x＝2对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）求f（x）的单调区间. 解： 设y1＝log2｜x－2｜，y2＝x2－4x， 当x＞2时，y1＝log2｜x－2｜＝log2（x－2）单调递增，y2＝x2－4x也单 调递增， 故f（x）＝log2｜x－2｜＋x2－4x在（2，＋∞）上单调递增. 又f（x）的图象关于直线x＝2对称， 故f（x）的单调递增区间为（2，＋∞），单调递减区间为（－∞，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 11. （2025·江西九江模拟）设函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋2，且f（1＋ x）＋f（1－x）＝2，则ab＝（　　） A. －1 B. 2 √ C. －3 D. 4 解析： 　因为f（1＋x）＋f（1－x）＝2，所以函数f（x）＝x3＋ax2＋ bx＋2的图象关于点（1，1）对称，因为函数y＝x3，y＝x为奇函数，即 关于点（0，0）对称，函数f（x）＝（x－1）3＋k（x－1）＋1＝x3－ 3x2＋（3＋k）x－k，所以a＝－3，b＝3＋k，－k＝2，解得a＝－3， b＝1，所以ab＝－3.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 12. 〔多选〕定义在R上的函数f（x），f（x＋1）的图象关于点（－1， 0）对称，恒有f（x－1）＝f（3－x），且f（x）在[1，2]上单调递减， 则下列结论正确的是（　　） A. 直线x＝1是f（x）的图象的对称轴 B. 周期T＝2 C. 函数f（x）在[4，5]上单调递增 D. f（5）＝0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　因为f（x－1）＝f（3－x），所以直线x＝1是f（x）的图象 的对称轴，故选项A正确；因为f（x＋1）的图象关于点（－1，0）对 称，所以函数f（x）的图象关于点（0，0）对称，又因为f（x）的对称 轴为x＝1，且函数f（x）在[1，2]上单调递减，所以f（x）的周期T＝ 4，故选项B错误；直线x＝1是f（x）的对称轴，且函数f（x）在[1，2] 上单调递减，所以函数f（x）在[0，1]上单调递增，又f（x）的周期T＝ 4，所以函数f（x）在[4，5]上单调递增，故选项C正确；因为f（x）的 周期T＝4，f（4）＝f（0）＝0，则f（5）＞f（4）＝0，故选项D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 13. 设函数f（x）＝ 若存在x∈R，使得f（1＋x）＝f （1－x）成立，则实数a的取值范围是 ⁠. 解析：在同一直角坐标系中画出函数y＝x和y＝－x2＋ 2x的图象，如图所示.若存在x∈R，使得f（1＋x）＝f （1－x），则f（x）的图象上存在两个关于直线x＝1对 称的点（两点均不在直线x＝1上），则a＞1. （1，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 14. （15分）已知函数f（x）＝ 是奇函数. （1）求a的值，并解关于x的不等式f（x）＞ ； 解： 对任意的x∈R，2x＋ ＞0，故函数f（x）的定义域为R， 又因为函数f（x）＝ 为奇函数，则f（0）＝ ＝0，解得a＝1， 所以f（x）＝ ， 下面验证函数f（x）＝ 为奇函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 f（－x）＝ ＝－f（x），故函数f（x）＝ 为奇函数， 由f（x）＝ ＝ ＝ ＞ ，得2·4x＞4，即 ＞22， 所以2x＋1＞2，解得x＞ ，因此不等式f（x）＞ 的解集为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）求函数g（x）＝ 图象的对称中心. 解： g（x）＝ ＝ ，则g（－x）＝ ，所以g （x）＋g（－x）＝ ＝2， 因此函数g（x）＝ 图象的对称中心为（0，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 $