第2章 第2节 函数的单调性-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用课件（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的单调性”核心考点，依据课标要求覆盖单调性的判断、单调区间的求解及含参函数单调性讨论三大考查维度。通过梳理定义法、图象法等四类方法，结合高考评价体系分析高频考点权重，归纳选择、填空及解答题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题驱动与应试技巧融合，如2024新高考Ⅰ卷分段函数单调性题，运用“定义法四步”和导数法突破，培养数学思维与逻辑推理素养。设“规律方法库”和易错警示，助力学生掌握分类讨论等得分技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第2节　函数的单调性 课标要求 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它 们的作用和实际意义. 目录/ CONTENTS 考点一 函数单调性的判断 01 考点二 求函数的单调区间 02 提能点 含参函数的单调性 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 函数单调性的判断 目 录 定 义 x1，x2 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如 果 x1，x2∈I，当x1＜x2时 f（x1） 与 f（x2） 都有 ⁠ 都有 ⁠ 结论 函数f（x）在区间I上 ⁠ ⁠ 函数f（x）在区间I上 ⁠ ⁠ ∀　 f（x1）＜f（x2）　 f（x1）＞f（x2）　 单调 递增　 单 调递减　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 图象描述 自左向右看图象是 ⁠ 自左向右看图象是 ⁠ ⁠ 上升的　 下降的 　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 结论：若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有 以下性质： （1）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减 函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数； （2）若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与 f（x）单调性相反； （3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y ＝ 的单调性相反. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （1）〔多选〕下列函数中满足“对任意x1，x2∈（0，＋∞），都有 ＞0（x1≠x2）”的是（　　） A. f（x）＝－ B. f（x）＝－3x＋1 C. f（x）＝x2＋4x＋3 D. f（x）＝x－1 √ √ √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　因为对任意x1，x2∈（0，＋∞），都有 ＞0 （x1≠x2），所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增.对于A，根据反比例 函数性质可知，f（x）＝－ 在（0，＋∞）上单调递增，符合题意；对 于B，根据一次函数性质可知f（x）＝－3x＋1在（0，＋∞）上单调递 减，不符合题意；对于C，根据二次函数性质可知f（x）＝x2＋4x＋3在 （0，＋∞）上单调递增，符合题意；对于D，根据一次函数性质可知f （x）＝x－1在（0，＋∞）上单调递增，符合题意.故选A、C、D. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）已知函数f（x）＝ ，判断f（x）在[0，＋∞）上的单调性，并 证明. 解：f（x）在[0，＋∞）上单调递增. 证明如下：任取0≤x1＜x2， 则f（x1）－f（x2）＝ － ＝ . 因为0≤x1＜x2，所以x1－x2＜0，（x1＋1）（x2＋1）＞0， 故f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[0，＋∞） 上单调递增. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 1. 函数单调性的判断方法 （1）定义法；（2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；（4）导 数法. 2. 利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练1 （1）已知函数y＝f（x）的定义域为R，“f（2）＞f（8）”是“函 数y＝f（x）在区间[2，8]上单调递减”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 若函数y＝f（x）在区间[2，8]上单调递减，则对于∀x1， x2∈[2，8]，且x1＜x2，均有f（x1）＞f（x2），∴f（2）＞f（8），故 后者为前者的必要条件，然而，由f（2）＞f（8），无法推出函数y＝f （x）在区间[2，8]上单调递减，因此，“f（2）＞f（8）”并非充分条 件.综上，“f（2）＞f（8）”是“函数y＝f（x）在区间[2，8]上单调 递减”的必要不充分条件. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）已知定义域为（－1，1）的函数f（x）＝ ，判断函数f（x）的 单调性，并证明. 解：函数f（x）＝ 在（－1，1）上为增函数. 证明如下：任取－1＜x1＜x2＜1， 则f（x1）－f（x2）＝ － ＝ . 因为－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1x2－1＜0， 则有f（x1）－f（x2）＜0，故f（x）在（－1，1）上为增函数. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 02 PART 考点二 求函数的单调区间 目 录 单调区间的定义 如果函数y＝f（x）在区间I上 或 ，那么就说 函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性， 叫做y＝f （x）的单调区间. 提醒：（1）单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示；（2）当函 数有多个单调区间时应分开写，不能用“∪”连接，也不能用“或”连 接，只能用“，”或“和”连接. 单调递增　 单调递减　 区间I　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （1）定义在区间[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则 下列关于函数f（x）的说法错误的是（　C　） C A. 函数在区间[－5，－3]上单调递增 B. 函数在区间[1，4]上单调递增 C. 函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D. 函数在区间[－5，5]上没有单调性 解析： 同一函数的两个单调区间一般不能用“∪”连接，故C表示错误. 其余选项很明显都是正确的. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）函数f（x）＝（x－4）·｜x｜的单调递增区间是（　C　） A. （－∞，0） B. （－∞，0）∪（2，＋∞） C. （－∞，0）和（2，＋∞） D. （2，＋∞） 解析：f（x）＝（x－4）·｜x｜＝ 函数图象如图所示，由图可知函数的单调递增区间为 （－∞，0）和（2，＋∞），故选C. C 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 求函数单调区间的方法 　　求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，常用方 法：①定义法；②图象法；③性质法；④导数法. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练2 （1）下列说法正确的是（　D　） A. 若定义在（a，b）上的函数f（x）有无穷多对x1，x2∈（a，b）， 使得x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则f（x）在（a，b）上单调递 增 B. 若定义在R上的函数f（x）在区间（－∞，0]上单调递增，在区间 （0，＋∞）上也单调递增，则函数f（x）在R上是增函数 C. 若函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数的单调递增区间是 [1，＋∞） D. 若函数f（x）在区间I上单调递增且f ＜f ，则x1 ＜x2 D 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 无穷多对x1，x2不等价于对任意x1，x2，A错误；设函数f（x）＝ 则f（x）在（－∞，0]上单调递增，在（0，＋∞）上也 单调递增，但f（0）＞f（1），不符合增函数的定义，B错误；若f（x） ＝x，则f（x）在[1，＋∞）上单调递增，但f（x）的单调递增区间是 R，C错误；由函数单调性的定义，知D正确. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）〔多选〕下列四个选项中，能使函数f（x）＝ －x单调递减的区 间是（　CD　） A. （ 0， ） B. （0，1） C. （ ，＋∞） D. （1，＋∞） CD 解析：令t＝ ，显然t＝ 在[0，＋∞）上为增函数.又y＝t－t2＝－ （ t－ ）2＋ （t≥0）在 上单调递减，由 ≥ 得x≥ ，所 以f（x）的单调递减区间是［ ，＋∞），即四个选项中能使f（x）单调 递减的区间为C、D. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 03 PART 提能点 含参函数的单调性 目 录 （1）（2026·湖南长沙模拟）若函数f（x）＝4｜x－a｜＋3在区间 [1，＋∞）上不单调，则a的取值范围是（　B　） A. [1，＋∞） B. （1，＋∞） C. （－∞，1） D. （－∞，1] 解析： 因为函数f（x）＝4｜x－a｜＋3在（－∞，a）上单调递 减，在（a，＋∞）上单调递增，又函数f（x）在区间[1，＋∞）上不单 调，所以a＞1.故选B. B 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）（2024·新高考Ⅰ卷6题）已知函数f（x）＝ 在R上单调递增，则a的取值范围是（　B　） A. （－∞，0] B. [－1，0] C. [－1，1] D. [0，＋∞） 解析： 因为f（x）在R上单调递增，且x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x ＋1）单调递增，则需满足 解得－1≤a≤0，即a的取 值范围是[－1，0].故选B. B 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 利用单调性求参数范围（或值）的策略 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练3 试讨论函数f（x）＝ （a≠0）在（－1，1）上的单调性. 解：设－1＜x1＜x2＜1，f（x）＝a（ ）＝a（1＋ ）， 则f（x1）－f（x2）＝a（1＋ ）－a（1＋ ）＝ ， 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f（x1）－f（x2）＞0， 即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递减； 当a＜0时，f（x1）－f（x2）＜0， 即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递增. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：87分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1. 下列函数在R上为增函数的是（　　） A. y＝x2 B. y＝x C. y＝－ D. y＝ √ 解析： y＝x2在（－∞，0]上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增， 故A错误；y＝x在R上为增函数，故B正确；y＝－ 在[0，＋∞）上单 调递减，故C错误；y＝ 在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单 调递减，故D错误. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为 （　　） A. [－1，2]∪[4，5] B. [－1，2]和[4，5] C. [－3，－1]∪[2，4] D. [－3，－1]和[2，4] √ 解析： 　由图象知，该函数的单调递增区间为[－1，2]和[4，5]， 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. 若函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，则f（m）与f（1） 的大小关系是（　　） A. f（m）＜f（1） B. f（m）＞f（1） C. f（m）≤f（1） D. f（m）＝f（1） √ 解析： 　因为函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，所以m－1 ＜0，得m＜1，所以f（m）＞f（1）.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 4. （2026·广东茂名模拟）已知函数f ＝ 在区间 上单调递增，则a的取值范围为（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　由x2－6x＋5≥0，可得x≤1或x≥5，即函数f 的定义域为 （－∞，1]∪[5，＋∞），又因为t＝x2－6x＋5在[5，＋∞）上单调递 增，在（－∞，1]上单调递减，y＝ 在[0，＋∞）上单调递增，由复合 函数的单调性可知f ＝ 在区间[5，＋∞）上单调递增， a≥5.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 5. 已知函数f ＝ ，下列结论正确的是（　　） A. 函数f 的减区间是 ∪ B. 函数f 在 上单调递减 C. 函数f 在 上单调递增 D. 函数f 的增区间是 √ 解析： 　由y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，作出 函数y＝－x2＋2x＋3的图象，利用图象的变换可得 f ＝ 的图象，如图所示，所以函数 f（x）在（－∞，－1）和（1，3）上单调递减，在 （－1，1）和（3，＋∞）上单调递增.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 6. 〔多选〕已知函数f（x）在R上是增函数，g（x）在R上是减函数，则 下列说法正确的是（　　） A. y＝－f（x）在R上是减函数 B. y＝f（x）－g（x）在R上是增函数 C. y＝ 在R上是增函数 D. y＝[f（x）]2在R上是增函数 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： A中，函数f（x）在R上是增函数，则y＝－f（x）在R上是 减函数，故A正确；B中，g（x）在R上是减函数，则－g（x）在R上是 增函数，又f（x）在R上是增函数，故f（x）－g（x）在R上是增函数， 故B正确；C中，函数g（x）在R上是减函数，但y＝ 在R上不一定 是增函数，如g（x）＝－x在R上是减函数，但y＝ ＝－ 在R上不 是增函数，故C错误；D中，函数f（x）在R上是增函数，但y＝[f（x）]2 在R上不一定是增函数，如f（x）＝x在R上是增函数，但y＝[f（x）]2 ＝x2在R上不是增函数，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 7. 设函数f（x）＝ g（x）＝x2f（x－1），则函数g （x）的单调递增区间是 ⁠. 解析：由题意知g（x）＝ 该函数图象如图 所示，由图象知，函数g（x）的单调递增区间是（－∞， 0），（1，＋∞）. （－∞，0），（1，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 8. 函数f（x）＝ln （x2－2x－8）的单调递减区间是 ⁠. 解析：由x2－2x－8＞0，得f（x）的定义域为{x｜x＞4或x＜－2}.设t ＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数.要求函数f（x）的单调递减区间，即求 函数t＝x2－2x－8的单调递减区间（定义域内）.因为函数t＝x2－2x－8 在（4，＋∞）上单调递增，在（－∞，－2）上单调递减，所以函数f （x）的单调递减区间为（－∞，－2）. （－∞，－2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 9. 已知f（x）＝ 满足对任意x1≠x2，都有 ＜0恒成立，则实数a的取值范围是 　［ ， ）　. 解析：由函数单调性定义可得函数f（x）在R上单调递减，则根据分段函 数单调性的判断方法可知 解得 ≤a＜ . ［ ， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 10. （13分）已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（ ）＝ f（x1）－f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0. （1）求f（1）的值； 解： 令x1＝x2＞0，代入得f（1）＝f（x1）－f（x1）＝0，故f（1） ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）证明：f（x）为减函数. 解： 证明：任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＞x2，则 ＞1， 由于当x＞1时，f（x）＜0，∴f（ ）＜0， 即f（x1）－f（x2）＜0，因此f（x1）＜f（x2）， ∴函数f（x）在区间（0，＋∞）上是减函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 11. 已知函数y＝f（x）的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有 ＞－1，则下列说法正确的是（　　） A. y＝f（x）＋x是增函数 B. y＝f（x）＋x是减函数 C. y＝f（x）是增函数 D. y＝f（x）是减函数 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　不妨令x1＜x2，∴x1－x2＜0，∵ ＞－1⇔f （x1）－f（x2）＜－（x1－x2）⇔f（x1）＋x1＜f（x2）＋x2，令g（x） ＝f（x）＋x，∴g（x1）＜g（x2），又x1＜x2，∴g（x）＝f（x）＋ x是增函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 12. 已知函数f（x）＝ 在区间[－10，－3]上单调递增，则实数a的 取值范围是（　　） A. （－∞，－2）∪（0，3） B. （－∞，－2）∪（0，3] C. （－∞，－2）∪（0，10） D. （－∞，－2）∪（0，10] √ 解析： 　因为函数f（x）＝ 在[－10，－3]上单调递增，所以a （2＋a）＞0，且30＋ax≥0在[－10，－3]上恒成立，所以 解得a＜－2或0＜a≤3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 13. 〔开放创新题〕能使“函数f（x）＝x｜x－1｜在区间I上不是单调 函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间I 为 ⁠. 解析：当x≥1时，f（x）＝x（x－1）＝x2－x；当x＜1时，f（x）＝x （1－x）＝－x2＋x，∴f（x）在 ，（1，＋∞）上单调递增， 在 上单调递减.令f（x）＝0，解得x＝1或x＝0；令f（x）＝2， 解得x＝2，∴只需I＝[a，2]，0≤a＜1或I＝（b，2]，0≤b＜1时，f （x）在I上不单调且函数值的集合为[0，2]. ［ ，2］（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 14. （13分）〔一题多解〕已知a＞0，函数f（x）＝x＋ （x＞0），求 证：函数f（x）在（0， ]上单调递减，在[，＋∞）上单调递增. 证明：法一（定义法）　设x1＞x2＞0， 则f（x1）－f（x2）＝x1＋ －x2－ ＝x1－x2＋ ＝ .∵x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0， 当x1，x2∈（0， ]时，0＜x1x2＜a，∴x1x2－a＜0，∴f（x1）－f （x2）＜0，f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0， ]上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 当x1，x2∈[，＋∞）时，x1x2＞a，∴x1x2－a＞0，∴f（x1）－f （x2）＞0，f（x1）＞f（x2），∴f（x）在[，＋∞）上单调递增. 故函数f（x）在（0， ]上单调递减，在[，＋∞）上单调递增. 法二（导数法）　f'（x）＝1－ ＝ （x＞0），令f'（x）＞0⇒x2－a ＞0⇒x＞ ，令f'（x）＜0⇒x2－a＜0⇒0＜x＜ ，∴f（x）在（0， ]上单调递减，在[，＋∞）上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 $