第1章 第4节 基本不等式-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用课件（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦基本不等式专题，依据课标要求梳理了理解证明过程、解决最值问题、实际应用三大核心考点，通过分析近五年高考真题明确求最值（占比55%）和综合应用（占比30%）为高频考点，归纳出判断命题真假、配凑法求最值等常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于高考真题深度解析与应试技巧指导，如以2026年安徽A10联盟质检题为例，通过常数代换法突破“已知1/m + n=4求m+9/n最小值”题型，培养学生数学思维和应用意识。总结配凑、消元等方法，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第4节　基本不等式 课标要求 1. 了解基本不等式的证明过程. 2. 能用基本不等式解决简单的最值问题. 3. 掌握基本不等式在实际生活中的应用. 目录/ CONTENTS 考点一 基本不等式的理解 01 考点二 利用基本不等式求最值 02 提能点 基本不等式的综合应用 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 基本不等式的理解 目 录 基本不等式 ≤ ，则 （1）基本不等式成立的条件： ⁠； （2）等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立； （3）其中 　 　叫做正数a，b的算术平均数， 　 　叫做正数a， b的几何平均数. a＞0，b＞0　 a＝b　 　 　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 结论：（1） ＋ ≥2（a，b同号）； （2）ab≤（ ）2≤ （a，b∈R）； （3）若a＞0，b＞0，则 ≤ ≤ ≤ ，其中 和 分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数. 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （1）已知a＞0，b＞0，则（　C　） A. a2＋b2＞2ab B. ＋ ≥ C. a＋b＞ D. ＋ ≤ 解析： 当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；取a＝b＝ ，则 ＋ ＝ 6， ＝9， ＋ ＜ ，故B错误；∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥2 ＞ ，故C正确；∵a＞0，b＞0，∴ ＞0， ＞0，∴ ＋ ≥2 ＝ ，故D错误.故选C. C 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）（2026·湖南湘潭质量检测）下列结论正确的是（　B　） A. 当x＞0且x≠1时，ln x＋ ≥2 B. 当x＞0时，x＋ ≥2 C. 当x∈ 时， sin x＋ 的最小值为4 D. 当ab≠0时， ＋ ≥2 B 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：对于A，当x＝ 时，ln x＋ ＝－2，故A错误；对于B，当x＞0 时，x＋ ≥2 ＝2，当且仅当x＝ ，即x＝1时取等号，故B正确； 对于C，当 sin x＞0时， sin x＋ ≥2 ＝4，当且仅当 sin x＝ ，即 sin x＝2时取等号，但当x∈ 时，0＜ sin x≤1，故C错误； 对于D，当a＝1，b＝－1时， ＋ ＝－2，故D错误.故选B. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 利用基本不等式判断命题真假的步骤 第一步：检查是否满足基本不等式成立的条件； 第二步：应用基本不等式； 第三步：检验等号是否成立. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练1 （1）（2025·山东潍坊一模）给出下面三个推导过程：①∵a∈R， a≠0，∴a＋ ≥2 ＝4； ②∵x，y∈R，xy＜0，∴ ＋ ＝－［（ － ）＋（－ ）］≤－ 2 ＝－2； ③∵a＞b＞0，则a2＋b2＞2ab，∴2（a2＋b2）＞a2＋b2＋2ab，∴2（a2 ＋b2）＞（a＋b）2，∴ ＞（ ）2.其中正确的推导为（　A　） A A. ②③ B. ①③ C. ①② D. ①②③ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴a＋ ≥2 ＝4 是错误的，故①错误；由xy＜0，得 ， 均为负数，但在推导过程中将整 体 ＋ 提出负号后，（－ ），（－ ）均变为正数，符合均值不等式的 条件，故②正确；易知③正确.故选A. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）若0＜a＜b，则下列不等式一定成立的是（　C　） A. b＞ ＞a＞ B. b＞ ＞ ＞a C. b＞ ＞ ＞a D. b＞a＞ ＞ 解析：∵0＜a＜b，∴2b＞a＋b，∴b＞ ＞ .∵b＞a＞0， ∴ab＞a2，∴ ＞a.故b＞ ＞ ＞a. C 高中总复习·数学（创新版） 目 录 02 PART 考点二 利用基本不等式求最值 目 录 已知x＞0，y＞0，则 （1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最 ⁠值 是 （简记：积定和最 ⁠）； （2）如果x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最 ⁠值 是 （简记：和定积最 ）. 小　 2 　 小　 大　 　 大　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 角度1　配凑法 （1）函数f（x）＝4x＋ ，x∈（－1，＋∞）的最小值为 （　B　） A. 6 B. 8 B 解析： 因为x∈（－1，＋∞），则x＋1＞0，则f（x）＝4x＋ ＝4 （x＋1）＋ －4≥2 －4＝12－4＝8，当且仅当 即x＝ 时，等号成立，故函数f（x）＝4x＋ ， x∈（－1，＋∞）的最小值为8. C. 10 D. 12 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）已知0＜x＜ ，则x 的最大值为（　D　） A. B. C. D. D 解析：因为0＜x＜ ，则1－2x2＞0，x ＝ ＝ ≤ × ＝ ，当且仅当2x2＝1－2x2，即x ＝ 时取等号. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 配凑法求最值的关键点 　　配凑法是指对所给或所求代数式进行适当的变形，通过拆（裂项、拆 项），并（分组、并项），配（配式、配系数等），使得“和”是定值或 “积”是定值，从而运用基本不等式求得最值. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 角度2　常数代换法 （2026·安徽A10联盟质检）已知m，n∈（0，＋∞）， ＋n＝4， 则m＋ 的最小值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 √ 解析： 　∀m，n∈（0，＋∞），m＋ ＝ （m＋ ）·（ ＋n）＝ （10＋mn＋ ）≥ （10＋2 ）＝4，当且仅当mn＝ ，且 ＋n＝4，即m＝1，n＝3时等号成立，则m＋ 的最小值为4. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 常数代换法求最值的基本步骤 高中总复习·数学（创新版） 目 录 角度3　消元法（或换元法） 〔一题多解〕若a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围. 解：法一（代入消元）　由题意得a＝ 且b－1＞0， ∴ab＝ ＝ ＝b－1＋ ＋5≥9，当且仅当 b－1＝ 时取等号. 故ab的取值范围为[9，＋∞）. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 法二（换元消元）　∵a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，由a＋b≥2 ， 得ab＝a＋b＋3≥2 ＋3，当且仅当a＝b时取等号， 即ab－2 －3≥0，设 ＝t（t＞0），则t2－2t－3≥0， 解得t≥3，故ab≥9. 故ab的取值范围为[9，＋∞）. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 利用消元法或换元法求最值的方法 （1）消元法：即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式 转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用 基本不等式求解； （2）换元法：求较复杂的式子的最值时，通常利用换元法将式子恰当变 形，简化式子，再利用基本不等式求解. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练2 （1）已知实数a，b满足lg a＋lg b＝lg（a＋2b），则2a＋b的最小 值为（　B　） A. 5 B. 9 C. 13 D. 18 解析： 由lg a＋lg b＝lg（a＋2b），得lg（ab）＝lg（a＋2b），所以 ab＝a＋2b，即 ＋ ＝1，且a＞0，b＞0，则2a＋b＝（2a＋b）（ ＋ ）＝5＋ ＋ ≥5＋4＝9，当且仅当 即a＝b＝3时等号 成立，所以2a＋b的最小值为9. B 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）〔一题多解〕已知正实数a，b满足ab＋2a＋3b＝9，则a＋3b的最 小值是 ⁠. 解析：法一　由ab＋2a＋3b＝9得b＝ ＝－2＋ （0＜a＜ ），则 a＋3b＝a－6＋ ＝a＋3＋ －9≥2 －9＝6 －9，当且仅当a ＋3＝ ，即a＝3 －3时等号成立，故a＋3b的最小值为6 －9. 6 －9 高中总复习·数学（创新版） 目 录 法二　由ab＋2a＋3b＝9得（a＋3）（b＋2）＝15.令m＝a＋3，n＝b ＋2，则mn＝15.a＋3b＝m－3＋3（n－2）＝m＋3n－9≥2 －9＝ 6 －9，当且仅当m＝3n且mn＝15，即m＝3 ，a＝3 －3时取等 号，故a＋3b的最小值为6 －9. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 03 PART 提能点 基本不等式的综合应用 目 录 角度1　实际应用 （2026·河南郑州模拟）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为 AD，AB上的点，当△AEF的周长为4时，△AEF面积的最大值为 ⁠ ⁠. 解析：设AE＝x，AF＝y，0≤x≤2，0≤y≤2，则EF＝ ，因为△AEF的周长为4，所以x＋y＋ ＝4，因为x＋y＋ ＝4≥2 ＋ ，当且仅 当x＝y时取等号，故 ≤ ＝4－2 ，则xy≤24－16 ，则△AEF的面积满足 xy≤12－8 .故△AEF面积的最大值为12－8 . 12－ 8 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 利用基本不等式解决实际问题的策略 （1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的 最值； （2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； （3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单 调性求解. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 角度2　与基本不等式有关的恒（能）成立问题 已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝xy，若不等式x＋2y≥m2－2m恒成 立，则实数m的取值范围是（　　） A. [－2，4] B. （－2，4） C. （－∞，－2]∪[4，＋∞） D. （－∞，－2）∪（4，＋∞） √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　x＋2y＝xy可化为 ＋ ＝1，则x＋2y＝（x＋2y）（ ＋ ） ＝4＋ ＋ ≥4＋2 ＝8， 当且仅当x＝2y＝4时，等号成立，即x＋ 2y的最小值为8，因为x＋2y≥m2－2m恒成立，所以m2－2m≤8，解得 －2≤m≤4，则实数m的取值范围是[－2，4]. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 含参数不等式的求解策略 （1）利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定 是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最 后通过解不等式（组）得到参数的值或范围； （2）∀x∈M，使得f（x）≥a，等价于f（x）min≥a；∀x∈M，使得f （x）≤a，等价于f（x）max≤a； （3）∃x∈M，使得f（x）≥a，等价于f（x）max≥a；∃x∈M，使得f （x）≤a，等价于f（x）min≤a. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练3 （1）（2026·广西南宁调研）某单位为提升服务质量，花费3万元购进 了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x年的维修总 费用为 万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（　C　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 C 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 该设备年平均费用y＝ ＝ ＋ ＋ （x∈N*）， ∵x＞0，则y＝ ＋ ＋ ≥2 ＋ ＝ ，当且仅当 ＝ ，即 x＝9时，等号成立，∴该设备年平均费用最少时的年限为9.故选C. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：由x＋y＝1，得（x＋1）＋y＝2，所以 ＋ ＝ [（x＋1）＋ y]·（ ＋ ）＝ （5＋ ＋ ）≥ （5＋2 ）＝ .当且仅 当 即 时，等号成立，所以 ＋ 的最小值为 ， 因为不等式 ＋ ＜m2＋ m有解，则m2＋ m＞ ，即2m2＋3m－9＞ 0，整理得（2m－3）（m＋3）＞0，解得m＜－3或m＞ . （2）若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式 ＋ ＜m2＋ m有解，则 实数m的取值范围是 ⁠. （－∞，－3）∪（ ，＋∞） 高中总复习·数学（创新版） 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 不等式（x－2y）＋ ≥2成立的前提条件为（　　） A. x≥2y B. x＞2y C. x≤2y D. x＜2y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　因为不等式成立的前提条件是x－2y和 均为正数，所以x－ 2y＞0，即x＞2y.故选B. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. x2＋ ＋ 的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 √ 解析： 　由题意知x≠0，所以x2＞0， ＞0，所以x2＋ ＋ ≥2 ＋ ＝3 .当且仅当x2＝ ，即x2＝ 时，等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. （2026·湖北武汉调研）已知正数a，b满足a＋2b＝1，则（　　） A. ab≥ B. ab＞ C. 0＜ab≤ D. 0＜ab＜ √ 解析： 　因为a＞0，b＞0，a＋2b＝1≥2 ，当且仅当a＝2b时， 等号成立，所以 ≤ ，0＜ab≤ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 4. 〔一题多解〕若2a＋2b＝1，则（2a＋1）（2b＋1）的最大值为 （　　） A. B. C. D. √ 解析： 　法一　因为2a＋2b＝1，所以（2a＋1）（2b＋1）＝2a·2b＋2a ＋2b＋1＝2a·2b＋2≤（ ）2＋2＝ ，当且仅当 即a ＝b＝－1时取等号.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 法二　因为2a＋2b＝1，所以（2a＋1）＋（2b＋1）＝3，从而 ≤ ＝ ，则（2a＋1）（2b＋1） ≤ ，当且仅当 即a＝b＝－1时取等号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 5. 已知不等式（x＋y）（ ＋ ）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实 数a的最小值为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 √ 解析： 　由不等式（x＋y）（ ＋ ）≥9对任意正实数x，y恒成立， 只需（x＋y）（ ＋ ）的最小值大于或等于9，∵1＋a＋ ＋ ≥a＋ 2 ＋1，当且仅当y＝ x时等号成立，∴a＋2 ＋1≥9，∴ ≥2或 ≤－4（舍去），∴a≥4，即正实数a的最小值为4.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 6. 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面 造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价 是（　　） A. 80元 B. 120元 C. 160元 D. 240元 √ 解析： 　由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设 底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，设总造价是y元，则y＝ 20×4＋10×（ 2x＋ ）≥80＋20 ＝160，当且仅当2x＝ ，即x＝2 时取等号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 7. 〔多选〕已知x，y是正数，且x＋y＝2，则（　　） A. x（x＋2y）的最大值为4 B. 2x＋2y的最小值为4 C. ＋ 的最小值为 ＋ D. ＋ 的最大值为2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　由x，y是正数，且x＋y＝2，可得0＜x＜2，0＜y＜2，x （x＋2y）＝（x＋y－y）（x＋y＋y）＝（x＋y）2－y2＝4－y2，由0 ＜y2＜4，可得0＜4－y2＜4，所以x（x＋2y）无最大值，故A错误；由基 本不等式可得2x＋2y≥2 ＝2 ＝4，当且仅当 即 x＝y＝1时取等号，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 ＋ ＝ （ ＋ ）（x＋y）＝ （3＋ ＋ ）≥ （3＋2 ）＝ ＋ ，当且仅当 即x＝2 －2，y＝4－2 时取等号，故C 正确；（ ＋ ）2＝x＋y＋2 ＝2＋2 ≤2＋x＋y＝4，当且仅 当 即x＝y＝1时等号成立，故 ＋ ≤2，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 8. 〔一题多解〕若0＜x＜ ，则 的最大值为 　​ 　. 解析：法一　由于0＜x＜ ，则 ＝ ≤ · ＝ ，当2x＝1－2x，即x＝ 时原式的最大值为 . ​ 法二　由于0＜x＜ ，则 ＝ ≤ ＝ ，当x＝ 时原式的最大值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 9. 函数f（x）＝ 的最小值为 　2 　. 解析：函数f（x）＝ 的定义域为（－1，＋∞），f（x）＝ ＝ ＋ ≥2 ＝2 ，当且仅当 ＝ ，即x＝1时取等号.故当x＝1时，f（x）取得最小值2 . 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 10. （13分）已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： （1）xy的最小值； 解： 由x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0，得 ＋ ＝1. 则1＝ ＋ ≥2 ＝ ，得xy≥64， 当且仅当 即x＝16且y＝4时，等号成立， 所以xy的最小值为64. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）x＋y的最小值. 解： 由x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0，得 ＋ ＝1， 则x＋y＝ （x＋y） ＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝18. 当且仅当 即x＝12且y＝6时，等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 11. 已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a 的最大值为（　　） A. B. C. 2 D. 2 √ 解析： 　因为4a2＋b2＝7，则a ＝ ×2a× ＝ ≤ × ＝2，当且仅当 即a＝ 1，b＝ 时，等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 12. 〔多选〕若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的 是（　　） A. a＋b＋c≤ B. （a＋b＋c）2≥3 C. ＋ ＋ ≥2 D. a2＋b2＋c2≥1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋ a2≥2ca，∴2（a2＋b2＋c2）≥2（ab＋bc＋ca）＝2，∴a2＋b2＋ c2≥1，当且仅当a＝b＝c＝± 时，等号成立.∴（a＋b＋c）2＝a2＋ b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3，∴a＋b＋c≤－ 或a＋b＋c≥ . 若a＝b＝c＝－ ，则 ＋ ＋ ＝－3 ＜2 .因此A、C错误，B、D 正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 13. 函数f（x）＝ 在（1，＋∞）上的最大值为 　​ 　. 解析：因为f（x）＝ ，x∈（1，＋∞），令x－1＝t，则t＞0， 则g（t）＝ ＝ ＝ ≤ ＝ ，当且 仅当2t＝ ，t＝1，即x＝2时，等号成立.故f（x）在（1，＋∞）上的最 大值为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 14. （15分）已知a＞1，b＞2. （1）若（a－1）（b－2）＝4，求 ＋ 的最小值及此时a，b的值； 解： 因为a＞1，b＞2，所以a－1＞0，b－2＞0，所以 ＋ ≥2 ＝1，当且仅当 即a＝3，b＝4 时等号成立，所以 ＋ 的最小值为1，此时a＝3，b＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）若2a＋b＝6，求 ＋ 的最小值及此时a，b的值； 解： 由2a＋b＝6，得2（a－1）＋（b－2）＝2，所以a－1＋ ＝1，所以 ＋ ＝（ ＋ ）· ＝ ＋ ＋ ≥ ，当且仅当 即a＝3－ ，b＝2 时等号成立，所以 ＋ 的最小值为 ，此时a＝3－ ，b＝ 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （3）若 ＋ ＝1，求 ＋ 的最小值及此时a，b的值. 解： 因为b＞2，由 ＋ ＝1，可得a＝ ，所以a－1＝ ，所以 ＋ ＝b－2＋ ＋1≥3，当且仅当 即a＝ ，b＝3 时等号成立，所以 ＋ 的最小值为3，此时a＝ ，b＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 $