第1章 第1节 集合-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用课件（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦集合专题，依据课标要求覆盖元素与集合、集合间关系、集合运算及创新问题四大核心考点，对接高考评价体系，通过近5年真题分析明确元素互异性、子集个数、集合运算等高频考点占比，归纳出选择、填空及创新题型的解题框架。 课件亮点在于“真题情境+技巧提炼+素养提升”的备考路径，如结合2023新高考Ⅱ卷“集合包含关系”真题，提炼“元素互异性检验”“空集优先考虑”等解题技巧，培养学生的数学思维（逻辑推理）和数学语言（符号表达）素养。特设“易错点警示”和“提能训练”，帮助学生高效突破考点，教师可依此实施精准复习，提升备考效率。

第1节　集合 课标要求 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义. 2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等含义. 3.会求两个集合的并集、交集与补集. 4.能用自然语言、图形语言、符号语言描述具体问题，能使用Venn图表 示集合间的基本关系和基本运算. 目录/ CONTENTS 考点一 元素与集合 01 考点二 集合间的基本关系 02 考点三 集合的基本运算 03 提能点 集合的创新问题 04 课时跟踪训练 05 01 PART 考点一 元素与集合 目 录 1. 集合中元素的三个特性： 、 、 ⁠. 2. 集合的三种表示方法： 、 、 ⁠. 3. 元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ⁠. 4. 五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 集，N表示非负整 数集（或自然数集），Z表示 集，Q表示 集，R表示实 数集. 确定性　 无序性　 互异性　 列举法　 描述法　 图示法　 ∈　 ∉　 正整数　 整数　 有理数　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 5. 集合的分类： 和 ⁠. 提醒：N表示自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整 数集，不包含0. 有限集　 无限集　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 题组练透 1. （2026·辽宁锦州模拟）设集合A＝{2，x，x2}，若1∈A，则x的值为 （　　） A. －1 B. ±1 C. 1 D. 0 √ 解析： 　由题意得x＝1或x2＝1，若x＝1⇒x2＝1，不满足集合中元素的 互异性，故x2＝1，x＝－1.故选A. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. （2026·广东佛山模拟）已知集合A＝{x｜x∈Z，且 ∈Z}，则集合 A中的元素个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 √ 解析： 　因为x∈Z，且 ∈Z，所以2－x的值有－3，－1，1，3，所 以x的值有5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.故选C. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. 已知集合S＝{y｜y＝x2＋3}，T＝{（x，y）｜x－2y＝0}，下列关 系正确的是（　　） A. 2∈S B. （－4，－2）∈T C. 3∉S D. ∉T √ 解析： 　因为S＝{y｜y＝x2＋3}＝{y｜y≥3}，所以A、C错误；因为 －4－2×（－2）＝0，所以（－4，－2）∈T，所以B正确；又－1－ 2× ＝0，所以 ∈T，所以D错误.故选B. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练后悟通 解答与集合中元素有关的问题的三个关键点 高中总复习·数学（创新版） 目 录 02 PART 考点二 集合间的基本关系 目 录 　　表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言 子集 集合A中 ⁠元素都是集合B中的元素 ⁠ ⁠ （或B⊇A） 或 真子集 集合A⊆B，但存在元素 x∈B，且x∉A ⁠ ⁠ （或B⫌A） 任意一个　 A⊆B A⫋B 高中总复习·数学（创新版） 目 录 　　 表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言 集合相等 集合A的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B的任何一个 元素都是集合A的元素 A＝B 空集 不含任何元素的集合 ⌀ 结论：若集合A中有n（n≥1）个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个 真子集（非空子集），2n－2个非空真子集. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （1）设M＝{x｜x＝ ，k∈Z}，N＝{x｜x＝k＋ ，k∈Z}，则 （　B　） A. M⫋N B. N⫋M C. M＝N D. M∩N＝⌀ 解析： 对于集合N，因为x＝k＋ ＝ （2k＋1），k∈Z，所以集合N是 由所有奇数的一半组成，而集合M是由所有整数的一半组成，故N⫋M. B 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）（2023·新高考Ⅱ卷2题）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a －2}，若A⊆B，则a＝（　B　） A. 2 B. 1 C. D. －1 解析：由题意，得0∈B. 又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或2a －2＝0.当a－2＝0时，a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满 足A⊆B，舍去.当2a－2＝0时，a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－ 1，0}，满足A⊆B. 综上所述，a＝1.故选B. B 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 1. 空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情 况，否则易造成漏解. 2. 已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点 间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解 决这类问题. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练1 （1）已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N｜－1＜x＜5}， 则满足A⫋C⊆B的集合C的个数为（　B　） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 解析： 易知A＝{1，2}，B＝{0，1，2，3，4}，因为A⫋C⊆B，所以1， 2∈C，所以集合C的个数等于集合{0，3，4}的非空子集个数，故集合C 的个数为23－1＝7. B 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）已知集合A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}.若A⊆B， 则实数a的取值范围为 ⁠. 解析：因为A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}，且A⊆B. ① 当A＝⌀时，2a－3＞a，则a＞3，满足题意；②当A≠⌀时，用数轴表示 其关系如图，所以 即 所以a不存在，综上所述， 实数a的取值范围为（3，＋∞）. （3，＋∞） 高中总复习·数学（创新版） 目 录 03 PART 考点三 集合的基本运算 目 录 　　类别 表示　　 并集 交集 补集 图形语言 符号语言 A∪B＝ ⁠ ⁠ ⁠ A∩B＝ ⁠ ⁠ ∁UA＝ ⁠ ⁠ 结论：A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. {x｜ x∈A， 或x∈B} {x｜x∈A， 且x∈B} {x｜x∈U， 且x∉A} 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （1）（2025·全国Ⅱ卷3题）已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝ {x｜x3＝x}，则A∩B＝（　D　） A. {0，1，2} B. {1，2，8} C. {2，8} D. {0，1} 解析： 由题可得B＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}.故选D. （2）（2026·河南九师联盟质检）已知集合A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝ {x｜ax2－5x＋4＜0}，若A∩B＝（1，3），则A∪B＝（　C　） A. （－1，＋∞） B. （－∞，3） C. （－1，4） D. （－4，3） D C 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：因为A∩B＝（1，3），A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝{x｜ax2－5x ＋4＜0}，所以1是方程ax2－5x＋4＝0的根，则a－5＋4＝0，解得a＝1， 故B＝{x｜x2－5x＋4＜0}＝（1，4），符合题意，故A∪B＝（－1， 4）.故选C. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 1. 集合基本运算的方法技巧 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 利用集合的运算求参数的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍； （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之 间的关系，再列方程（组）求解. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练2 （1）（2024·全国甲卷2题）已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝ {x｜ ∈A}，则∁A（A∩B）＝（　D　） A. {1，4，9} B. {3，4，9} C. {1，2，3} D. {2，3，5} 解析： B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则∁A （A∩B）＝{2，3，5}.故选D. D 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）设集合S＝{x｜x＜－1或x＞5}，T＝{x｜a＜x＜a＋8}，且S∪T ＝R，则实数a的取值范围为（　B　） A. （－∞，－3）∪（－1，＋∞） B. （－3，－1） C. （－∞，－3]∪[－1，＋∞） D. [－3，－1] 解析： 因为S＝{x｜x＜－1或x＞5}，T＝{x｜a＜x＜a＋8}，且S∪T ＝R，所以 解得－3＜a＜－1，即实数a的取值范围为（－ 3，－1）.故选B. B 高中总复习·数学（创新版） 目 录 03 PART 提能点 集合的创新问题 目 录 （1）设A是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈A，都 有a＋b，a－b，ab， ∈A（除数b≠0），则称A是一个数域，则下列 集合为数域的是（　C　） A. N B. Z C. Q D. {x∈R｜x≠0} C 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 1，2∈N， ∉N，故N不是数域，A错误，同理B错误；任意 a，b∈Q，都有a＋b，a－b，ab， ∈Q（除数b≠0），故Q是一个数 域，C正确；对于集合A＝{x∈R｜x≠0}，1∈A，取a＝1，b＝1，则a －b＝1－1＝0∉A，故{x∈R｜x≠0}不是数域，D错误. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）（2025·广西南宁适应性测试）已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝ {1，2，3，4，5，8}，又知集合C是这样一个集合：若集合C的各元素都 加上2，它就变成A的一个子集；若集合C的各元素都减去2，它就变成B 的一个子集.试写出这样的一个集合C＝ ⁠. 解析： 逆向思维，即A中的元素都减去2得到集合D＝{0，2，4，6， 7}，B中的元素都加上2得到集合E＝{3，4，5，6，7，10}.因此集合C是 集合D和集合E的公共元素所组成的集合G＝{4，6，7}的非空子集，故这 样的集合C有7个，答案不唯一，如C＝{4，7}. {4，7}（答案不唯一） 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 解决以集合为背景的新定义问题的关键 （1）紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本 质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的 关键所在； （2）用好集合的性质：解题时要善于从题中发现可以使用集合性质的一 些因素，在关键之处用好集合的性质. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练3 （1）〔多选〕对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段包 含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图所示（包 括阴影区域及其边界），其中为凸集的是（　BC　） 解析： A中取最左边的点和最右边的点的连线，不在集合中，故不是凸 集；D中取两圆的公切线，不在集合中，故不是凸集；B、C显然符合. BC 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）已知集合A，B与集合A·B的对应关系如下表所示： A {1，2，3，4，5} {－1，0，1} {－4，8} B {2，4，6，8} {－2，－1，0，1} {－4，－2，0，2} A·B {1，3，5，6，8} {－2} {－2，0，2，8} 若A＝{－2 026，0，2 026}，B＝{－2 026，0，2 027}，试根据表中的规 律写出A·B＝ ⁠. 解析：通过对表中集合关系的分析，可以发现规律：集合A·B表示的是 A∪B中的元素再去掉A∩B中的元素，故当A＝{－2 026，0，2 026}，B ＝{－2 026，0，2 027}时，A·B＝{2 026，2 027}. {2 026，2 027} 高中总复习·数学（创新版） 目 录 容斥原理 教材母题：〔人A必修一P35复习参考题11题〕学校举办运动会时，高一 （1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比 赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时 参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加 田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 细研教材：〔人A必修一P15阅读与思考〕在研究集合时，经常遇到有关集 合中元素的个数问题.一般地，若有限集合A＝{a1，a2，…，an}，B＝ {b1，b2，…，bm}，将A中的元素个数记为card（A）＝n，将B中的元素 个数记为card（B）＝m，关于集合中的元素个数有下面的关系. （1）二元容斥原理：card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card （A∩B）； （2）三元容斥原理：card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card （C）－card（A∩B）－card（C∩A）－card（B∩C）＋card （A∩B∩C）. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 〔一题多解〕某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有85人听 了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，其中16人同时听了 数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音 乐讲座，还有5人听了全部讲座，则听讲座的人数为（　　） A. 168 B. 172 C. 184 D. 196 √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　法一　设全年同学中听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座 的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C. 由题意知，card（A）＝ 85，card（B）＝70，card（C）＝61，card（A∩B）＝16，card （A∩C）＝12，card（B∩C）＝9，card（A∩B∩C）＝5，由三元容 斥原理得card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card （A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）＝184. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 法二　设全年级同学是全集U，听数学讲座的人组成 集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的 人组成集合C. 根据题意，用Venn图表示，如图所 示.由Venn图可知，听讲座的人数为62＋7＋5＋11＋4 ＋50＋45＝184. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：45分钟，满分：71分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. （2025·全国Ⅰ卷2题）已知集合U＝{x｜x是小于9的正整数}，A＝{1， 3，5}，则∁UA中元素的个数为（　　） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，故∁UA＝ {2，4，6，7，8}，故∁UA中有5个元素.故选C. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 已知集合M＝{x｜－4＜x≤1}，N＝{x｜－1＜x＜3}，则M∪N＝ （　　） A. {x｜－4＜x＜3} B. {x｜－1＜x≤1} C. {0，1，2} D. {x｜－1＜x＜4} √ 解析： 　由题意可将集合M与集合N用数轴表示，所以M∪N＝{x｜－ 4＜x＜3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. （2026·湖北武汉二调）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x｜x2－ 4x－5＜0}，则A∩B＝（　　） A. {2，3，4，5} B. {1，2，3} C. {1，2，3，4} D. {2，3，4} √ 解析： 　因为B＝{x｜x2－4x－5＜0}＝{x｜－1＜x＜5}，所以A∩B ＝{1，2，3，4}，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 4. （2025·山东潍坊二模）已知集合A＝{x∈N｜x3＜27}，则A的子集的 个数是（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 √ 解析： 　由x3＜27，解得x＜3，所以A＝{x∈N｜x3＜27}＝{x∈N｜x ＜3}＝{0，1，2}，所以A的子集有23＝8个.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 5. （2026·湖北武汉模拟）已知集合A＝{x｜ln x＜1}，若a∉A，则实数a 的值可能是（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3 √ 解析： 　由ln x＜1，得0＜x＜e，则A＝{x｜0＜x＜e}，∁RA＝{x｜ x≤0或x≥e}，由a∉A，得a∈∁RA，显然选项A、B、C不满足，D满足. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 6. 设集合A＝{－1，0，1}，B＝{y｜y＝｜x｜，x∈A}，则下列选项中 正确的是（　　） A. B⫋A B. A＝B C. A∩B＝A D. A∪B＝B √ 解析： 　由B＝{y｜y＝｜x｜，x∈A}，得B＝{0，1}，故B⫋A， A∩B＝B，A∪B＝A. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 7. 〔多选〕（2027·重庆学业质量调研）已知集合A＝{x｜x2－2x＞0}， B＝{x｜1＜x＜3}，则（　　） A. （∁RA）∪B＝{x｜0≤x＜3} B. （∁RA）∩B＝{x｜1＜x＜2} C. A∩B＝{x｜2＜x＜3} D. A∩B是{x｜2＜x＜5}的真子集 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　由x2－2x＞0，得x＜0或x＞2，所以A＝{x｜x＜0或x＞ 2}，所以∁RA＝{x｜0≤x≤2}，因为B＝{x｜1＜x＜3}，所以（∁RA） ∪B＝{x｜0≤x＜3}，（∁RA）∩B＝{x｜1＜x≤2}，A∩B＝{x｜2＜ x＜3}，所以A、C正确，B错误；对于D，因为A∩B＝{x｜2＜x＜3}， 所以A∩B是{x｜2＜x＜5}的真子集，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 8. 设集合A＝{1，2，4}，B＝{x｜x2－4x＋m＝0}.若A∩B＝{1}，则 B＝ ⁠. 解析：因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根， 所以1－4＋m＝0，得m＝3.由x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B ＝{1，3}. {1，3} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 9. （2026·豫西北教研联盟第一次质检）已知集合A＝{x｜1＜x≤6}，B ＝{x｜a＋2≤x＜2a}，若B⊆A，则实数a的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：当B＝⌀时，a＋2≥2a，得a≤2；当B≠⌀时，画 出数轴如图所示，由B⊆A，得 解得2＜a≤3.故a的取值范围为（－∞，3]. （－∞， 3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 10. （2026·山西大同模拟）设全集U是实数集R，M＝{x｜y＝ln（x－ 2）}与N＝{x 都是U的子集（如图所示），则阴影部分所表示的 集合为 ⁠. {x｜1＜x≤2} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：集合M表示函数y＝ln（x－2）的定义域，由x－2＞0，解得x＞ 2，故M＝{x｜x＞2}；由 ≤0，解得1＜x≤3，即N＝{x｜1＜ x≤3}，而图中阴影部分表示（∁UM）∩N＝{x｜x≤2}∩{x｜1＜x≤3} ＝{x｜1＜x≤2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 11. 已知全集U＝{x∈N*｜x≤8}，A＝{2，3，4}，B＝{3，5，7}，则 {1，6，8}是（　　） A. A∪（∁UB） B. ∁U（A∩B） C. （∁UA）∪（∁UB） D. （∁UA）∩（∁UB） √ 解析： 　因为U＝{x∈N*｜x≤8}＝{1，2，3，4， 5，6，7，8}，所以画出Venn图如图所示.由图可知{1， 6，8}＝∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 12. 若集合A＝{y｜y＝｜x｜＋1}，且A∪B＝B. 则集合B可能是 （　　） A. ⌀ B. {1} C. {y｜y＞1} D. {y｜y≥0} √ 解析： 因为y＝｜x｜＋1≥1，所以集合A＝{y｜y≥1}.因为A∪B＝ B，所以A⊆B，显然选项A、B、C均不满足题意，D满足题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 13. （2025·河南郑州模拟）设集合A＝{x｜x＜a2}，B＝{x｜x＞a}， 若A∩（∁RB）＝A，则实数a的取值范围为（　　） A. （0，1） B. （0，1] C. [0，1） D. [0，1] √ 解析： 　因为B＝{x｜x＞a}，所以∁RB＝{x｜x≤a}，又A∩ （∁RB）＝A，所以A⊆∁RB，又A＝{x｜x＜a2}，所以a2≤a，解得 0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0，1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 14. 〔创新考法〕已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系： ①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c ＝ ⁠. 201 解析：可分下列三种情形：（1）若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0， 可推出a＝b＝1，与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可 能的；（2）若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，与集合中元素的互异 性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；（3）若只有③正确，则c≠0， a＝2，b≠2，可推出b＝0，c＝1，满足集合中元素的互异性.所以100a ＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 $