应用专练(2) 二次函数的实际应用（提分小卷）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

应用专练（二）二次函数的实际应用 (时间：40分钟满分：60分) 1.(10分)有一座抛物线形拱桥，当水面与桥 (2)当x是多少时，种植月季的面积最大？ 孔的顶部相距5m时，桥孔内水面宽为8m 最大面积是多少？ (1)如图，以拱顶为坐标原点建立平面直 角坐标系，求该抛物线的表达式， (2)一艘装有防汛器材的运输船，露出水 面部分的宽为4m,高为1.25m.要使 该船顺利通过桥孔，水面与拱顶至少 相距多少？ 3.(12分)心理学家研究发现，通常情况下， 学生从接受一个新知识开始30min内， 对新知识的接受能力y与学习知识所用 的连续时间x(min)之间的函数关系满足 y= 1Ox2十bx十c,其图象如图所示. (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若王老师在讲一个新的知识时，重难 点的部分需要讲12min,为了使学生 尽可能有效地接受知识，王老师应将 重难点放在什么时候讲最好？ 2.(12分)如图，一块矩形场地的长为40m, 55 43 宽为30m现将这块地划分成四块，分别种 植：A郁金香；B.月季；C.菊花；D.玉兰花 0T6 x/min (1)求这块场地中种植月季的面积y(m) 关于B场地的长x(m)的函数表达式 A 30m D 40m ·19 4.(12分)一次足球训练中，小明从球门正前5.(14分)学校计划租用客车送师生到某红 方8m的A处射门，球射向球门的路线呈 色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有 抛物线，当球飞行的水平距离为6m时， 我”的研学活动.请阅读下列材料，并解答 球达到最高点，此时球离地面3m.已知 问题 球门高OB为2.44m,现以O为原点建立 租车公司有A,B两种型号的客车可供租 如图所示的平面直角坐标系。 用，在每辆车满员的情况下，每辆A型客 (1)求抛物线的表达式，并通过计算判断 料 车比每辆B型客车多载客15人；用A型 球能否射进球门；（忽略其他因素） 客车载客600人与用B型客车载客450人 (2)对本次训练进行分析，若射门路线的 所需的车辆数相同 A型客车租车费用为3200元/辆，B型客 形状、最大高度均保持不变，则当他带 车租车费用为3000元/辆. 材 球向正后方移动多少米时射门，才能 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用 二 让球经过点O正上方2.25m处？ 为(3200-50m)元/辆； y/m 租用B型客车，租车费用打八折 租车公司最多提供8辆A型客车； 材料三 学校参加研学活动的师生共有530人，租 x/m 用A,B两种型号客车共10辆 (1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别 是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是 多少？ ·20·4.B【易错点拨】物体在太阳光下的投影与物体的摆放方式有关系，因此A,C,D选项 都有可能，此题容易误选D项. 5.B。【易错点拨】在由投影判断光源时，混淆平行投影和中心投影的特征而致错，平行 投影的光线互相平行，中心投影的光线交于一点. 6.D7.平行8.正方体（答案不唯一）9.1810.7 11.解：如图所示. 主视图 左视图 俯视图 12.解：(1)如图，CA即为所求.(2)设小丽的身商为xm由题意，得-污，解得x =1.4.答：小丽的身高为1.4m 、C 小明 小丽 主视图 左视图 (第12题图) (第14题图) 13.解：(1)四棱柱(2)由这个几何体的三视图，得四棱柱的底面为对角线长分别为4 和②的菱形.“这个几何体的底面积为之×4X2=2巨.“这个几何体的体积为2厄 X4=8√2. 14.解：(1)如图所示.(2)3 15.解：I由题意，得R△CEPRt△CBD,部-品即号=2升6+QD∴0D 2 =1.5m.答：小明站在Q处时，在路灯AC下的影长QD为1.5m.(2)由题意，得 R△DFQR△DAG器-8器即2L585+3AC=12m答：路灯AC 1.5 的高度为12m. 阶段小测（八） 1.B2.D3.B4.C5.B6.C7.-28y>%9.1或-号10.①@③ 11.解：把(5,0)代人y=-x2+(k+1)x-k,得0=-52+5(k+1)-k,解得k=5.∴.抛 物线的函数表达式为y=一x2+6x一5=一(x一3)2+4.∴.抛物线的对称轴为直线x=3. 12.解：(1)二次函数的表达式为y=(x-2)2-1=x2-4x十3.(2)如图所示.(3)一1≤y<3 3 2 1 2345x -2 13.解：(1)(1,1)(2)不经过，理由如下：由题意得抛物线C的函数表达式为y=2(x -1+1)2+1+2=2x2+3.当x=2时，y=2×22+3=11≠3..抛物线C1不经过点 P(2,3) 14.解：(1)：抛物线y=一x2十bx十c经过点A(-1,0),B(5,0),∴.对称轴为直线x= b 2.一2×-=2，解得6=4.六y=一t+4x+.把A(-1,0)代入，得0=-1-4+ c,解得c=5.(2)由(1)，得抛物线的表达式为y=-x2+4x+5=-(x-2)2十9.∴.点P 的坐标为2,9).Sap=2AB·p=名×[5-(-1D]X9=27. 15.(1)解：将(-1,0)代入y=x2十bx+3,得1-b十3=0，解得b=4.(2)证明：由(1)知 y=x2+4x十3，：点A(m,y),B(m十1，y2)都在该抛物线上，∴.y=m2+4m十3，y2= —58 (m+1)2+4(m+1)+3.∴.2y1-y2=2m2+8m+6-(m+1)2-4(m+1)-3=m2+2m -2=(m+1)2-3.(m+1)2-3≥-3，.2y-2≥-3.…21≥y%-3.(3)解：·y= x2+4x十3=(x十2)2一1，.抛物线开口向上，对称轴为直线x=一2.分以下两种情况 讨论：当n≤-1，n-2≤x≤n时，在x=n-2时，y有最大值，最大值为y=(n一2+2)2 一1=5，解得m=一√6，n2=√6（舍去）.当n>-1,n一2≤x≤n时，在x=n时，y有最 大值，最大值为y=(n十2)2-1=5，解得n3=√6-2，n4=一√6-2（舍去）.综上所述，n 的值为一√6或√6-2. 应用专练（二）二次函数的实际应用 1.解：1)设抛物线的表达式为y=ar,将(4，-5)代人，得-5=16a,解得a=一6 该抛物线的表达式为)一是2.(2)当x=2时y=一最×2=一是·号+1.25 =2.5(m).答：水面与拱顶至少相距2.5m. 2.解：(1)由题意知y=x(30-x)=-x2+30x.(2)由(1)知，y=-x2+30x=-(x一 15)2十225，∴.当x=15时，y取最大值，最大值为225.答：当x=15时，种植月季的面积 最大，最大面积为225m2. c=43, 1 3.解：1)把(0,43)，(6,55)代人y=-0x2+bx+c,得 -六×36+60+c=5 解得 13 6-号y与之同的丽数表达式为y=02+号+银.②)y=一02+号 c=43. 十43=一0（x一13)十59.9，当x=13时，学生对新知识的接受能力最强。“重难点 的部分需要讲l2min,∴.王老师应将重难点放在上课7min到19min的时候讲最好. 4.解：(1)8-6=2，.抛物线的顶点坐标为(2,3).设抛物线的表达式为y=a(x-2)2 十3.把A(8,0)代人，得36a十3=0，解得a=一立抛物线的表达式为)y=一（红 2)+3.当=0时=一立×4+3=号>24，球不能射进球门.(2)设小明带球向 正后方移动力m,则移动后的抛物线的表达式为y=一立(x一2-p)2十3.把(0,2.25) 代人，得2.25=一立0-2-p2+3,解得A=-5(含去)，=1.答：当他带球向正后 方移动1m时射门，才能让球经过点O正上方2.25m处. 5.解：(1)设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为(x一15)人.根据题 意，得四9=5，解得=60经检验=60是原分式方程的解，且符合题意，上 15=45.答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人.(2)，租用A 型客车m辆，∴.租用B型客车(10-m)辆.根据题意，得60m十45(10一m)≥530.解得 m≥号“<m<8,设本次研学活动学校的租车总费用为w元，根据慝意，得w (320-50mm+300X0.810-m）=-50(m-8y2+2720.:-50<0,号≤m≤ 8,且m为正整数，.当m=6时，w取得最小值，最小值为一50×(6一8)2十27200= 27000.答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元. 易错章测（九） 1,A【易错点拨】忽略二次函数表达式中二次项系数不为0而致错. 2.A【易错点拨】审题不仔细，误以为本题求解内容为与x轴的交点个数而致错， 3.A【易错点拨】平移坐标轴正好与“左加右减，上加下减”相反. 4.C5.A6.D7.y=x2-4x十3（答案不唯一）8.> 9.52【易错点拨】在解决二次函数有关的实际问题时，未考虑自变量的取值范围而致错. 10.1或号 一 59 11.解：把(0,0)代入y=(a-1)x2+a2-2a-3,得a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1. 函数图象开口向下，.a-1<0,解得a<1.a=-1. 12,解：1)把A(1,-2,B(0,-5)代入y=2+x十6，得+6+c=-2, 解得 lc=-5, b-2,.六二次函数的表达式为y=2+2z-5=(x+1)2-6.顶点坐标为（-1， c=-5. -6).(2)当y≤-2时，x的取值范围是一3≤x≤1. 13.解：(1)二次函数的图象经过A(-2,0),B(1,0),y=-(x+2)(x-1)=-x2一 x十2..b=一1，c=2.(2)由(1)知二次函数的表达式为y=一x2-x+2.设点P的坐标 为(m,-m-m+2).:Sag=7AB·加，AB=1-(-2)=3,2×3X-m2- m十2|=6，解得m1=-3,m2=2.此时-m2一m十2=一4.∴点P的坐标为（一3，-4） 或(2，-4) 14.解：(1)，BO=4m,.B(0,4).设抛物线L1的函数表达式为y=ax2十4.AC= 16m,A(-8,0),C(8,0).将C(8,0)代人y=ax2+4,得0=64a+4,解得a=一6 1 抛物线L的函数表达式为y=-x+4.(2)MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC, NQ-忘2+4-[-是c-]-号解得4==6.MN=2X6=12m. 易错章测（十） 1.C2.B3.C4c5.D6.C7.0.428.号9.号10. 1 11.解：列表如下： 2 3 4 2 (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,2) (4,3) (4,4) 共有9种等可能的结果，其中两次抽到的编号都是偶数的结果有4种，两次抽到的编 号都是偶数的概率为台， 12.解：(1) (2)画树状图如下： 开始 虎 兔 龙 蛇 兔龙蛇虎龙蛇虎兔蛇虎兔龙 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张邮票恰好是“虎”和“龙”的结果有2种，.抽 取的两聚郎票恰好是皮“和“龙”的概率为品一=日· 13.解：(1)0.6(2)0.6(3)由题意知，白球有40×0.6=24（个），.黑球有40一24= 16(个). 14.解：将转盘B的黄色区域等分成黄1，黄2.画树状图如下： 开始 转盘A 蓝 转盘B红黄1黄2红黄1黄2 共有6种等可能的结果，其中配成紫色的结果有1种，配不成紫色的结果有5种，，∴.配 成紫色的概率是日，配不成紫色的概率是吾“日×2<号，这个游戏对双方不公 平.修改规则不唯一，如：若配成紫色，小颖得2分；若转出的颜色都是红色，小明得2分. 60