易错章测(2)[范围：第一章]（提分小卷）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

易错章 (范围：第一章时间： 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.如图，在菱形ABCD中，∠1=25°，则∠B 的度数为 ( A.110°B.120° C.130° D.140° B (第1题图) (第2题图) 2.如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC 的中点，连接OD.若AB=12,AD=16, 则OD的长为 ( A.7 B.8 C.9 D.10 3.下列说法正确的是 ( ) A.对角线相等的四边形是矩形 B.有一个角为直角的四边形是矩形 C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正 方形 4.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于 点O,过点O作BD的垂线，交AD,BC于 E,F两点.若AC=6,∠AEO=120°，则 CF的长为 A.1 B.2 C.2 D.√3 (第4题图) (第5题图) 5.如图，正方形ABCD的面积为16，菱形 BEDF的面积为4√2，则菱形BEDF的 周长为 ) A.23B.3 C.8√5D.12 测（二） 40分钟满分：100分) 6.如图，□ABCD的对角线 相交于点O,尺规作图操 作步骤如下：①以点C为 圆心，OC长为半径画弧； ②以点D为圆心，OD长为半径画弧； ③两弧交于点E,连接DE,CE.下列说法 一定正确的是 A.若AC⊥BD,则四边形OCED是矩形 B.若AC=BD,则四边形OCED是菱形 C.若AD⊥CD,则四边形OCED是矩形 D.若AD=CD,则四边形OCED是菱形 二、填空题（每小题5分，共20分） 7.如图，四边形ABCD是矩形，只需补充一 个条件： ,就可以判定四边形 ABCD是正方形. (第7题图) (第8题图) 8.如图，E是菱形ABCD的对角线BD上一 点，连接AE.若AD=DE,∠AEB=105°， 则∠BAE的度数为 9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,DE= 3BE,AE=3,则BD的长是 (第9题图) (第10题图) 10.如图，在菱形ABCD中，AB=5,BD=8, P为线段BD上不与端点重合的一个动 点，过点P作直线BC,CD的垂线，垂足 分别为E,F,连接PA.在点P的运动过 程中，PE十PA十PF的最小值为 三、解答题（共50分） 11.(10分)如图，在△ABC中，M是边AC 上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻 折，使点B落在点D处，DM∥AB.求 证：四边形ABMD是菱形 12.(12分)如图，在矩形ABCD中，E是AB 的中点，连接CE并延长，交DA的延长 线于点F (1)求证：△AEF≌△BEC; (2)若BC=2,CD=4,求CF的长. D 13.(14分)如图，在菱形ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,延长CB到点E,使 得BE=BC,连接AE,过点B作BF∥ AC,交AE于点F,连接OF (1)求证：四边形AFBO是矩形； ·6 (2)若∠E=30°，BF=1,求OF的长. 4.(14分)如图，菱形ABCD的对角线AC 与BD相交于点O,∠CAD=∠DBC. (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)E是OB上一点，DH⊥CE,垂足为 H,DH与OC相交于点F.求证： OE=OF. HAB=AD=12.∠A0D=90.:E是AD的中点，∴OE=AE=合AD=6.由(1)知四 边形OEFG是矩形，∴.FG=OE=6.,EF⊥AB,∴∠EFA=90°.∴AF=√AE-EF =2...BG=AB-AF-FG-4. 易错章测（二） 1.C2.D 3.C【易错点拨】判定矩形、菱形、正方形时，不要忽略基本条件“平行四边形”. 4.D 5.D【易错点拔】利用公式S=6(@,6为两条对角线的长)进行计算时，漏掉号 而致错. 6.B。【易错点拨】弄清平行四边形成为矩形、菱形时边或角需满足的条件是解题的关键. 7.AB=AD(答案不唯一)8.45°9.4√310.7.8 11.证明："DM∥AB,.∠BAM=∠AMD.由折叠的性质，得∠BAM=∠DAM,AB= AD,BM=DM.'.∠DAM=∠AMD..AD=DM..AB=AD=BM=DM..四边形 ABMD是菱形. 12.(1)证明：四边形ABCD是矩形，.AD∥BC.∴.∠F=∠BCE.E是AB的中 「∠F=∠BCE, 点，.AE=BE.在△AEF和△BEC中，∠AEF=∠BEC,∴.△AEF≌△BEC(AAS). AE=BE, (2)解：，四边形ABCD是矩形，∴.∠D=90°，AD=BC=2.△AEF≌△BEC,AF =BC=2..DF=AD+AF=4..CF=√CD3+DF=4√2. 13.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，.AD∥BC,AC⊥BD,AD=BC..BE=BC, AD=BE.∴.四边形AEBD是平行四边形.∴AE∥BD.,BF∥AC,.四边形AFBO 是平行四边形.，AC⊥BD,∠AOB=90°.∴四边形AFBO是矩形.(2)解：四边形 AFBO是矩形，.∠AFB=∠OAF=90°，OF=AB.∴.∠BFE=180°-∠AFB=90. :∠E=30°，BF=1,BE=2BF=2.在Rt△AEC中，BE=BC,∴AB=2CE=BE= 2.∴.OF=AB=2. 14.证明：(1)：四边形ABCD是菱形，.AD∥BC,∠BAD=2∠CAD,∠ABC= 2∠DBC.∴.∠BAD+∠ABC=180°.：∠CAD=∠DBC,∴.∠BAD=∠ABC. .2∠BAD=180°.∴∠BAD=90°..四边形ABCD是正方形.(2)，四边形ABCD是 正方形，ACLBD,.AC=BD,0C=号AC,0D=号BD.∴∠COB=∠DOC=90,OC =OD.:DH⊥CE,.∠DHE=90..∠EDH+∠DEH=90°.：∠ECO+∠DEH= 1∠ECO=∠FDO, 90°，.∠ECO=∠EDH.在△ECO和△FDO中，OC=OD, '.△ECO≌ ∠COE=∠DOF, △FDO(ASA).∴.OE=OF. 阶段小测（三） 1.B2.C3.D4.D5.A6.A7.-38.号9.直角三角形10.-4068 11.解：(1)整理，得(2x-1)2=9.两边开平方，得2x-1=±3，即2x-1=3,或2x-1= -3.x1=2,x2=-1.(2)这里a=2,b=-7,c=4.b-4ac=(-7)2-4×2×4=17 >0,x=二（二亚_生亚，即=十亚，=？二厘.(3)原方程可变 2×2 4 4 形为(8x十2+2x)3x十2-2a)=0.5z十2=0，或x+2=0.∴函=-号=-2. 12.解：(1)配方法二(2)公式法：这里a=1,b=8,c=一9.，b-4ac=82-4×1× 9)=100>0,÷x=810=二810，即x4=1,4=-9. 2 13.解：(1)，该方程有两个不相等的实数根，.△=22一4×1×(3一k)=一8十4k>0, -55 解得k>2.(2)方程的两个根为a,B,∴8=3一k..b2=3一十3k,解得k1=3,k2= -1.由(1)知k>2,∴.k的值为3. 14.解：(1)根据题意，得x(70-2x十2)=640，解得x1=16,x2=20.当x=16时，72- 2x=40.当x=20时，72-2x=32.答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽 为20m时，能围成一个面积为640m的羊圈.(2)不能.理由如下：根据题意，得x(70一 2x十2)=650.整理，得x2-36x十325=0.4=(-36)2-4X325=-4<0,∴.该方程 没有实数根.，∴.羊圈的面积不能为650m2. 15.解：(1)0(2)分两种情况讨论：①当x一1≥0，即x≥1时，原方程化为x2+x一1一 1=0,即x2+x一2=0，解得x1=1,x2=-2(不合题意，舍去)；②当x-1<0,即x<1 时，原方程化为x2+1一x一1=0，即x2-x=0,解得x=0,x2=1(不合题意，舍去).综 上所述，原方程的根为x1=1,x2=0. 易错章测（四） 1.A 2.A【易错点拨】一元二次方程化成一般形式时，需要把各项移至等号左边. 3.C 4.D【易错点拨】本题易对等式两边同时除以x一2而致错. 5.B 6.C【易错点拨】利用根与系数的关系解题时，要注意△≥0. 7.x1=2,x2=-28.x2十x-6=0(答案不唯一) 9.一2【易错点拨】易忽略一元二次方程的二次项系数不为0而致错. 10.1或5 11.解：(1)原方程可变形为5x(x一1)十2(x一1)=0..(x一1)(5x十2)=0.∴.x一1= 0,或5x+2=0.=1,m=-号.(2)这里a=3,6=-7,c=2.-40c=（-7)2 4X3X2=25>0=二《一-装压-7告.=2，=专(3)整理得士-红 2X3 =-3.配方，得x2-4x十4=-3十4，即(x-2)2=1.两边开平方，得x一2=士1，即x 2=1,或x-2=-1..=3,x2=1. 12.解：把x=3代入x2-mx十m-3=0,得9-3m十m-3=0,解得m=3.设方程的另 一个根为t,则3十t=m=3,解得t=0..m=3,方程的另一个根为x=0. 13.解：设锦缎边饰的宽度为xm.根据题意，得(6十2x)(4十2x)=48,解得x1=1,x2= 一6（不合题意，舍去）.答：锦缎边饰的宽度为1m. 14.解：(1)：方程有两个实数根，.△=[一2(k-1)]2-4k2=4k2一8k十4一4k2=一8k 十4>0，解得≤分.(2)根据题意，得十x=2(k-1),1x=.由(1)可知≤2， 2(k-1)<0,即x1十x2<0.|x1+x2|=-(x1十x2)=x1x2-1..-2(k-1)= -1,解得1=1（不合题意，舍去），k2=-3..=-3. 15.解：(1)设y关于x的函数表达式为y=kx+b.把(50,500)，(60,400)代人，得 /50士6二50，解得二-10，y关于工的函数表达式为y=-10z+100.(2)根 (60k+b=400, b=1000. 据题意，得(x-40)(-10x十1000)=8000，解得x1=60,x2=80.要让利于顾客， ∴x=60.答：该茶叶的销售价格应定为60元/kg. 阶段小测（五） 1.B2.D3.B4.B5.D6.B7.∠A=∠C(答案不唯-)8号9.510.5 1.解：2a=36,号=号.(1-322=号.(2)2a-2X3+2=4 b 2 b 2 12证明：BD平分∠ABC,∠DBE=∠CBD,BD=BC·BE,S-=0 △BCDn△BDE. 13.解：(1)甲乙(2)答案不唯一，如图丙中，长为10的边缩短为3.理由如下：：图 -56 丙中，长为10的边缩短为3，∴号=是=2.又：矩形的四个角都是902.“矩形甲0矩 形丙.又矩形甲∽矩形乙，.矩形甲∽矩形乙∽矩形丙. 14.证明：(1)五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE=∠AED=(5-2)×180°÷5= 108,AB=AE=DE.·∠ABE=∠AEM=∠DAE=∠ADE=号×(180-108)= 3S.△AMB∽△AED(②由(I)知△AMEO△AED,￥-盖：∠DME= ∠DAE+∠AEM=72°，∠DEM=∠AED-∠AEM=72°.∴∠DME=∠DEM.∴.DE =DMAE=DM微-器M是AD的黄金分制点 15.解：(1)2t(5-t)(2),∠POQ=∠AOB=90°，.△POQ与△AOB相似分两种 情况讨论.①当△P0Q△A0B时，贺-8器，即号-5号，解得1=号 2;②当△P0Qn △BOA时，8器-器，即号-5日，解得：=1擦上所述，当△P0与△A0B相似时，d 的值为号或1. 阶段小测（六） 1.A2.D3.D4.D5.B6,D7,三边成比例的两个三角形相似8,729.吾 10.(4-3a,-3b) 1L.解，AB=6,BC-10,AC=AB+BC=16,直线马/么/∴是-B器即是 -2票DE=, 12.解：(1)如图，△OBC即为所求.(2)点B的坐标是(-6,2)，点C的坐标是(-4，一2). 13.(1)证明：：AF⊥DE,AG⊥BC,∴∠AFE=∠AGC=90°.∴∠AED=90°- ∠EAF,∠C=90°-∠GAC.'∠EAF=∠GAC,∠AED=∠C.∠DAE=∠BAC, ÷△ADED△ABC,(2)解：号 14.证明：(1：0D-20A,0c-20B,÷8器-8咒-子又：∠A0B-∠D0C ∴.△AOB∽△DOC.(2)由(1)得△AOB∽△DOC,∴.∠AB0=∠DCO.AB∥DE,. ∠AB0=∠ED0.∠Dc0=∠ED0.:∠D0C=∠E0D,△D0C∽△EOD.÷8器 -8%0D=0E0C 15.解：(1)，四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥CD.∴∠AEF=∠CDF, ∠EAF=∠DCR△AEF△CDR.:AE:EB=2:3,荒-=号∴甍-能- 号.△AEF与△CDF的周长之比为2：5.(2)：Sam=20,Sm=8,Sx S△cDF十S△ADF=28.,四边形ABCD是平行四边形，.S△ABc=S△ADC=28.由(1)知 △AEF∽△CDF,.= CD =是5aMs=20X若-5Saae=S 124 一SAAEF=5· 易错章测（七） 1.A2.D3.C 57