精品解析：广西南宁市邕宁高级中学2025-2026学年高二下学期6月测试数学试卷

高二数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设随机变量，则（ ） A. 0.25 B. 0.35 C. 0.65 D. 0.70 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，， 所以. 故选：B. 2. 等比数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】因为为等比数列，所以，解得或， 因为等比数列，所以， 则，所以，设公比为，则， 所以． 3. 二项式的展开式中的系数为（ ） A. 60 B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】化简通项，令的指数为4求出，代回通项可得答案. 【详解】展开式的通项， 令，解得，所以，即的系数为. 故选：C 4. 已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可. 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 5. 函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可知的符号，故可得的解集. 【详解】由图可知当时，，当时，， 所以的解集为． 故选：A 6. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别算出，，结合公式即可求解. 【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：， 所以， 所以. 故选：C. 7. 已知点是双曲线的右焦点，是坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图：由题有，由双曲线性质有， 所以.所以， 所以.又双曲线方程，则， 所以，则双曲线离心率. 8. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】进行合理换元和同构，转化为的图象与直线有两个交点，转化为交点问题，再利用导数研究函数的单调性、最值，最后得到参数的取值范围即可. 【详解】令， 所以． 令，定义域为， 令，易知在上单调递增，且． 所以， 则函数有两个零点转化为函数的图象与直线有两个交点． 则，当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，；当时，， 则，解得，即实数的取值范围是． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 在使用经验回归方程进行预测时，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体 B. 在残差图中，残差点在以横轴为中心的水平带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C. 样本相关系数，当时，表明成对样本数据间没有相关关系 D. 用决定系数来比较两个不同模型对同一组数据的拟合效果时，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查回归分析的基本概念，涉及经验回归方程的适用范围、残差的意义、样本相关系数的含义，决定系数的作用，需要逐一辨析各知识点的正误. 【详解】对于A，使用经验回归方程进行预测时，经验回归方程只适用于所研究的样本对应的总体，故A正确； 对于B，残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，说明残差的波动幅度越小，模型对样本数据的拟合精度越高，拟合效果越好，故B正确； 对于C，当时，表示成对样本数据之间不存在线性相关关系，仍可能存在非线性相关关系，并不是没有相关关系，故C错误； 对于D，决定系数的计算公式为，其中是残差平方和，对于同一组数据，越大，残差平方和越小，拟合效果越好，故D正确. 10. 甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，下列结论正确的是（ ） A. 共有72种安排方法 B. 若甲被安排在学校，则有12安排方法 C. 若学校需要两名志愿者，则有12种安排方法 D. 若甲、乙不能在同一所学校，则有6种安排方法 【答案】BC 【解析】 【分析】先分组、再分配即可判断A；分学校安排一名与两名志愿者讨论，即可判断B；先选两人安排到学校，另外两人全排列，即可判断C；利用间接法判断D. 【详解】所有安排方法有种，故A错误； 若甲被安排在学校，则有种安排方法，故B正确； 若学校需要两名志愿者，则有种安排方法，故C正确； 若甲、乙被安排在同一所学校，则有种安排方法， 所以若甲、乙不能在同一所学校，共有种方法，故D错误． 故选：BC． 11. 某市以“渤海湾畔､生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线，其方程为.对应的曲线如图（实线部分）：对于曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线所围成的封闭区域面积等于 B. 若直线与曲线有唯一公共点，则取值范围为 C. 曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为 D. 曲线上存在唯一的点，使得点到点与到点的距离之差为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据方程分象限讨论曲线的方程，其图形是四个圆的一部分圆弧组成图形，根据弧长公式及扇形面积公式可判断A，根据直线与圆的相交相切关系可判断BC，根据双曲线的定义可判断D. 【详解】对于A，先计算第一象限部分的弓形弧的面积，扇形弦长为2，半径为， 所以扇形的圆心角为，所以第一象限部分的弓形的面积， 所以曲线所围成的封闭区域面积等于，故A正确； 对于B，直线过原点，所以直线必和曲线有一个交点， 再以第一象限为例，圆心到直线的距离，化简得， 即当时直线与圆相切，且切点为，同理可分析其他各个象限，由图象可知当时，直线与曲线有唯一公共点，故B正确； 对于C.当直线与切线的距离为时，则，解得或； 故恰好存在3个不同点到直线的距离为C错误； 对于D，因为点到点与到点的距离之差为4， 所以点在以为焦点，以实轴长为4的双曲线的下支上， 方程为，显然双曲线的一个实顶点在曲线C上且只有这一个点，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝________的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关． 【答案】0.01 【解析】 【分析】根据已知与临界值比较结合独立性检验的概念判断即可. 【详解】因为6.635<7.235<10.828，所以根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关． 故答案为：0.01. 13. 曲线上任意一点到直线的距离的最小值是________． 【答案】 【解析】 【详解】如图，所求最小值即曲线上斜率为的切线与两平行线间的距离， 也即切点到直线的距离． 由，则，得，， 即与直线平行的曲线的切线，切点坐标是， 所以上任意一点到直线的距离的最小值为． 14. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入________个小球的概率最大. 【答案】7或8 【解析】 【分析】首先求出改进后，1个小球从高尔顿板上方的通道口落下后落入2号球槽的概率，根据二项分布列出2号球槽中落入k个小球的概率最大时的不等式组，进而可得解. 【详解】由题意知1个小球从高尔顿板上方的通道口落下后共碰撞4次，落入2号球槽需向右1次，向左3次， 因为改进后，的概率向左，的概率向右滚下， 所以落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为X，则， 令最大，则， 即， 解得，因为， 所以2号球槽中落入或个小球的概率最大. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足． （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式和等差数列定义以及等差数列通项公式证明、求解即可； （2）表示出数列的通项公式，然后利用裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 证明：显然，对两边同时取倒数， 得，即， 所以数列是公差为2的等差数列， 又，所以， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 则数列的前项和 所以. 16. 如图，三棱锥中，，，，为的中点． （1）证明：； （2）点满足，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明和均为等腰三角形，利用三线合一性质得到和，进而证明平面，最后利用线面垂直的性质得证； （2）根据（1）中的垂直关系及勾股定理逆定理证明，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角的正弦值。 【小问1详解】 因为， 所以为等边三角形，则. 同理，因为， 所以为等边三角形，则，所以. 因为为的中点，所以. 又因为,为的中点，所以. 因为平面， 所以平面, 因为平面， 所以. 【小问2详解】 不妨设由（1）可知. 在中，，， 所以. 因为为的中点，所以，. 在中，， 所以 在中，， 所以. 由（1）知平面，且平面， 所以， 故两两垂直. 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系 则 所以,. 因为， 所以 所以. 设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为 17. 规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮，如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． （1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下： 1 2 3 4 5 232 98 60 40 20 求关于的回归方程，并预测时成功的人数（精确到1）； 附：经验回归方程系数：， 参考数据：，，（其中，）． 【答案】（1） 数学期望 （2）回归方程为 ，时预测成功人数为. 【解析】 【分析】（1）结合相互独立、独立重复试验的概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望； （2）利用换元法，结合回归直线方程的计算公式，计算出关于的回归方程，并求得预测值. 【小问1详解】 由题知，的取值可能为1，2，3， 所以； ； ； 所以的分布列为： 1 2 3 所以数学期望为． 【小问2详解】 令，则， 由题知：， ， 所以， 所以 ， ， 故所求的回归方程为： ， 所以，估计时，． 18. 已知椭圆的离心率，且过点， （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的上顶点为点，若直线与椭圆交于两点， （i）证明：以线段为直径的圆过点； （ii）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）9 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而代入点的坐标，可求得椭圆的方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程，设，利用根与系数的关系可得，利用向量的坐标运算可得，进而可证结论；（ii）根据，结合换元法与函数的单调性可求得面积的最大值． 【小问1详解】 因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为，又椭圆过点， 所以，解得，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）由（1）知椭圆的上顶点为点，设直线与椭圆交于， 由，得，整理得， 所以，， 又， 所以 ， 所以，所以以线段为直径的圆过点； （ii）因为直线过定点， 所以 ， 令， 则 所以，可得， 所以函数在上单调递增，所以， 所以，即，所以. 所以当时，面积的最大值为9． 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求的最小值． 【答案】（1）, （2） （3）0 【解析】 【分析】（1）求导即可得结论; （2）构造函数,求导,并结合分类讨论确定函数的最小值即可求解; （3）多次求导最终判断函数单调在内单调递增,且函数为偶函数从而确定最小值. 【小问1详解】 求导易知,. 【小问2详解】 构造函数，，由（1）可知， ①当时，由, 可知，，故单调递增， 此时，故对任意，恒成立，满足题意； ②当时，令，， 则，可知单调递增， 由与可知， 存在唯一，使得， 故当时，， 则在内单调递减， 故对任意，，即，矛盾； 综上所述，实数的取值范围为． 【小问3详解】 ，， 令，则； 令，则， 当时，由（2）可知，， 则， 令，则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 因为， 即为偶函数，故在内单调递减， 则，故当且仅当时，取得最小值0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设随机变量，则（ ） A. 0.25 B. 0.35 C. 0.65 D. 0.70 2. 等比数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 二项式的展开式中的系数为（ ） A. 60 B. C. D. 12 4. 已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是双曲线的右焦点，是坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 在使用经验回归方程进行预测时，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体 B. 在残差图中，残差点在以横轴为中心的水平带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C. 样本相关系数，当时，表明成对样本数据间没有相关关系 D. 用决定系数来比较两个不同模型对同一组数据的拟合效果时，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 10. 甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，下列结论正确的是（ ） A. 共有72种安排方法 B. 若甲被安排在学校，则有12安排方法 C. 若学校需要两名志愿者，则有12种安排方法 D. 若甲、乙不能在同一所学校，则有6种安排方法 11. 某市以“渤海湾畔､生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线，其方程为.对应的曲线如图（实线部分）：对于曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线所围成的封闭区域面积等于 B. 若直线与曲线有唯一公共点，则取值范围为 C. 曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为 D. 曲线上存在唯一的点，使得点到点与到点的距离之差为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝________的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关． 13. 曲线上任意一点到直线的距离的最小值是________． 14. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入________个小球的概率最大. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足． （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，三棱锥中，，，，为的中点． （1）证明：； （2）点满足，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮，如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． （1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下： 1 2 3 4 5 232 98 60 40 20 求关于的回归方程，并预测时成功的人数（精确到1）； 附：经验回归方程系数：， 参考数据：，，（其中，）． 18. 已知椭圆的离心率，且过点， （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的上顶点为点，若直线与椭圆交于两点， （i）证明：以线段为直径的圆过点； （ii）求面积的最大值． 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $