第五章 二次函数 质量评估-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

第五章质量评估 （时间：90分钟满分：100分) 一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分，每小题均有A, 动 B,C,D四个选项，其中只有一个选项正确) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1.下列函数是二次函数的是 A.y=2x+1 B.y=ax2+bx+c C.y=1-x2 Dy是 2.抛物线y=一3(x十2)2一3的顶点坐标是 A.(2,-3) B.(-2,-3) C.(2,3) D.(-2,3) 3.如果将抛物线y=x2+3先向左平移1个单位长度，再向下平 移1个单位长度，那么所得新抛物线的表达式是 A.y=(x+1)2+2 B.y=(x+1)2+1 C.y=x2+2 D.y=(x+1)2-1 4.已知抛物线y=一(x+1)2+4,则下列说法错误的是( A.形状与抛物线y=一x2相同 B.对称轴是直线x=一1 C.点(2,3)在该抛物线上 D.当x=-1时，y有最大值4 5.二次函数y=ax2+x+c(a≠0)的自变量x与函数y的部分对 应值如下表，则关于x的方程ax2+x+c=0的一个根的近似 值是 1.1 1.2 1.3 1.4 y 0.49 0.04 0.59 1.16 批 A.1.08 B.1.18 C.1.28 D.1.38 6.已知(-3，y1),（一2，y2),(1,y3)是抛物线y=一3x2一12x+m 上的点，则y1,y2,y3的大小关系是 ( A.y3<y2<y1 B.y3<y1<y2 C.y2<y3<y1 D.y1<y3<y2 7.已知函数y=ax2十bx十c的图象过点A(3,2),B(0,一4)， C(2,n),则下列选项中，对应的a的值最大的是 ( A.n=2 B.n=1 C.n=0 D.n=-1 31 8.如图，有一块矩形空地ABCD,学校规划在其内部的一块四边 形空地EFGH上种草坪，其中点E,F,G,H分别在边AD, AB,BC,CD上，且AE=AF=CG=CH,已知AD=30m, AB=50m,则草坪面积最大为 A.600m2 B.800m2 C.1000m2 D.1200m2 力23 (第8题图) (第10题图) 9.函数y=ax2-2x十1和y=ax-a(a是常数，且a≠0)在同一 平面直角坐标系中的图象可能是 10.如图，二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的部分图象与x轴的 正半轴交于点A,对称轴为直线x=1.有下列结论：①abc<0; ②2a十b=0;③3a十c>0;④方程ax2十bx十c=0必有一个根 大于一1且小于0，其中正确结论的个数是 ( A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 11.已知二次函数y=一x2十c的图象不经过第一、二象限，则常 数c的值可能为 .（写出一个即可) 12.若抛物线y=x2一8x十m一1的顶点在x轴上，则m的值为 13.飞机着陆后滑行的距离s(m)关于滑行时间t(s)的函数表达 式为s=60t一1.5t,则飞机着陆后滑行的时间为 14.已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t一1)，当x=-1时，函 数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围 是 三、解答题（本大题共7题，共54分.解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤) 15.(（本题满分8分)(1)用配方法将二次函数y=一2x2十4x一1 化为y=a(x十m)2+k的形式，并指出该函数图象的开口 方向和对称轴； 32 (2)已知抛物线y=x2+2x十k一2与x轴有两个交点，求实数 k的取值范围. 16.(本题满分6分)已知二次函数y=ax2十bx十c的自变量x与 函数y的部分对应值如下表 -2 -1 0 1 2 3 4 y … 5 0 -3-4-3 0 m (1)a的值为 ,m的值为 (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当y<0时，x的取值范围是 A- 17.(本题满分6分)已知抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)的顶点为 P(1,4),且经过点Q(3,0). (1)求a,b,c的值； (2)若将该抛物线向上或者向下平移，使平移后的图象经过原 点O(0,0),求平移后的抛物线的表达式. —33 18.（本题满分8分)如图，二次函数y=x2+bx十c的图象经过点 A(1,0),B(0,3),点C与点B关于该二次函数图象的对称轴 对称，已知一次函数y=mx十n的图象经过A,C两点， (1)求二次函数与一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出满足不等式x2十bx十c>mx十n的x 的取值范围 19.（本题满分8分)某商场销售一种小商品，进货价为40元/件， 当售价为60元/件时，每天的销售量为300件.在销售过程中 发现，每件的售价每上涨2元，每天的销售量就减少20件.设 每件的售价上涨x元(x为偶数)，每天的销售量为y件， (1)写出y与x之间的函数关系式 (2)设每天的销售利润为元，为了让利于顾客，则当商品的 售价定为多少元/件时，每天获得的利润最大？最大利润 为多少元？ 34 20.(本题满分8分)数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个 弹珠投箱子的游戏（无盖长方体箱子放在水平地面上），现将 弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系 (x轴经过箱子的底面中心，并与其一组对边平行，矩形 DEFG为箱子正面示意图).某同学将弹珠从点A(1,0)处抛 出，弹珠的飞行轨迹为抛物线L:y=ax2十bx十3（单位长度为 1m)的一部分，且抛物线经过点（一2,3）.已知DE=2m, EF=2 m,DA=5 m. (1)求抛物线L的函数表达式和顶点坐标； (2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能投人箱子， y/mt D E O A x/m 一 35 一 21.（本题满分10分)如图，已知抛物线y=一x2十bx十c与x轴 交于A(一1,0)，B(5,0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式. (2)D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点B,C重 合)，过点D作DF⊥x轴于点F,交直线BC于点E. ①求线段DE长的最大值 ②连接BD,直线BC把△BDF分成两部分.若SADE: S△EF=3:2,求点D的坐标. —36∠ABC,∴.∠CBD=∠ABD.∴.∠CDB=∠CBD.∴.CD= BC.∴.四边形BCDE是菱形.DE=BE=AE.:AD= BC,.AD=DE=AE.∴.△ADE是等边三角形.∴.∠AED= 60°.AB∥CD,∴.∠CDE=∠AED=60°.∠BDC= 答图 合∠CDE=30.DP·BP=BF.CD,8S-S器 B丽的又： ∠CDB=∠CBD,.△PDC∽△FBP.∴.∠PCD=∠BPF.,∠BPC=∠BDC+ ∠PCD=∠CPF+∠BPF,∴∠CPF=∠BDC=30. 期中质量评估 1.B2.D3.A4.B5.B6.D7.B8.D9.C10.B11.是12413.6 14.4√2 15.解：(1)原方程可变形为(x-1)2-2(x-1)=0..(x-1)(x-1-2)=0..x-1= 0,或x-3=0.x1=1,x2=3.(2)AD=2,DF=1,∴.AF=AD+DF=3.a∥b∥c, cB=1.2,票-能即号-是BE=3.6 16.证明：，四边形ABCD是菱形，∴.AD=CD=AB=BC,∠A=∠C.在△ADE和 AD=CD, △CDF中， ∠A=∠C,.△ADE≌△CDF(SAS)..DE=DF..∠DEF=∠DFE. AE=CF, 17.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.(2)A1(2,2),B1(-2,3). -5-4-3-212345x B 18.解：(1)由题意，得△=b2-4ac=22-4×1×(k+1)≥0，解得k≤0.(2)由根与系数 的关系，得x1十x2=-2,x1x2=十1.x1十x2-x1x2<-1,∴.-2-(k十1)<-1，解 得k>一2.：≤0，.一2<k≤0.∴.k的整数值为-1,0. 19.解：(1)四边形ADCF是矩形.证明如下：E是AD的中点，.AE=DE..AF∥ ∠AFE=∠DBE, BC,∴.∠AFE=∠DBE.在△AEF和△DEB中， ∠AEF=∠DEB,.△AEF≌ AE=DE, △DEB(AAS).∴.AF=DB.AB=AC,D是BC中点，.AD⊥CD,BD=CD. .∠ADC=90°，四边形ADCF是平行四边形..四边形ADCF是矩形.(2)由(1)知 BD=CD=号BC=15,∠ADC=90,AD=VAB-BD=&.∴四边形ADCF的面 积=CD·AD=15×8=120. 20.解：（任务1）设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x.根 据题意，得3(1十x)2=5.07,解得x1=0.3=30%,x2=-2.3(不合题意，舍去).答：从 1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%.（任务2）设下调后 每辆汽车的售价为y万元根据题意，得(y一15)(8+28，×1)=96，解得1=21， =23.·此次销售尽量让利于顾客，∴.y=21.答：下调后每辆汽车的售价为21万元. 21.(1)①证明：四边形ABCD是正方形，.∠PDA=∠PDC=45°，AD=CD.在 (DP=DP, △PDA和△PDC中，∠PDA=∠PDC,.△PDA≌△PDC(SAS)..∠DAE= DA=DC, 一 37 (∠ADE=∠CDO, ∠DCO.在△ADE和△CDO中，AD=CD, ∴.△ADE≌△CDO(ASA)..DE ∠DAE=∠DCO, =OD.②解：连接OF,交AE于点G.:四边形ABCD是正方形，.AD=BC,AD∥ BC.0,F分别是AD,BC的中点，CF=号BC,OD=号AD.∴OD=FC.∴四边形 ODCF是平行四边形.∴.OP=CP,OF∥CD.∴.∠POG=∠PCE,∠PGO=∠PEC. △GOPAECP(AAS.0G=CE:OF/CD△A0G△ADE÷8器-8- 合器=合DE=CECD=DE+CE=CE,器=号.(2)证明：Cr= DE,∠FCD=∠EDA=9O°，CD=DA,∴△FCD≌△EDA(SAS).∴∠CDF-∠EAD. :∠CDF+∠ADP=90°，∴∠DAE+∠ADP=90°.∴.∠APD=90°.：O是AD的中 点，.OP=OA=OD.∠OAP=∠OPA=∠CPE.∠CPE=∠CDP.:∠PCE= ∠DCP△CPBACDP.器-票，即cP-CE,Cn.:AD∥BC,∠ODP- ∠CFP.,OP=OD,.∠ODP=∠OPD=∠CPF.∴∠CFP=∠CPF..CP=CF= DE..DE=CE·CD. 第四章质量评估 1.B2.A3.D4.C5.B6.C7.B8.B9.B10.B11.中心12.12 13.3+4W314.13 15.解：(1)如图所示.(2)如图所示. (1) (2) 16.解：(1)如图所示.(2).OA=10m,AM=2.5m,..OM=OA十AM=12.5m. G∠MOP=∠BAM=9O,∠OMP=∠AMB,△OMPn△AMB.∴0-YOP _OM:AB_12.5X1.8=9(m).答：路灯灯泡P到地面的距离为9m AM 2.5 O CN (第16题图) (第19题图) 17.解：(1)102√3(2)这个几何体的侧面积为(4+4+4)×10=120(cm2). 18.解：(1)这个几何体是由圆柱和长方体组成的.(2)这个几何体的体积为8×5×2十 x×(告)）'×6=80+24x(em). 19.解：(1)如图，CD在太阳光下的影子为线段DE和EF.(2)过点F作FG⊥CD于点 G,则EF=DG=1m,DE=FG=1m,由题意可知∠A=∠C,∠CGF=∠B=90°， ÷△CG△AWMB÷%-0即9-：cG=0,75mCD=cG+DG 1.75m.答：CD的高度为1.75m. 20.解：(1)a=2,d=1,f=1.(2)这个几何体最少由2+3+1+1十1+1=9（块）小立方 块搭成，最多由2+3+3+3+1+1=13（块）小立方块搭成.(3)如图所示. 38 阳光 灯光 阳光 D F C (第20题图) (第21题图) 21.解：1)如图所示.(2)由题意可知EF=5m,FG=1.5m照=合PC=3m NFG⊥AC,DC⊥AC,.∠GFE=∠DCE=90°.：∠GEF=∠DEC,∴.△EGF∽ △EDC品既即品CD-24m答：路灯的商为24m 第五章质量评估 1.C2.B3.A4.C5.B6.B7.D8.B9.B10.B11.0(答案不唯一) 12.1713.2014.2≤≤4 15.解：(1)y=一2x2+4x一1=一2(x一1)2+1，该函数图象的开口向下，对称轴为直线 x=1.(2),抛物线与x轴有两个交点，.方程x2十2x+k一2=0有两个不相等的实数 根.∴.△=22-4×1×(-2)=-4k+12>0,解得<3. 16.解：(1)15(2)如图所示.(3)-1<x<3 17.解：(1)抛物线的顶点为(1,4)，.设抛物线的表达式为y=a(x一1)2+4.把Q(3, 0)代入，得a·(3-1)2+4=0,解得a=-1.∴y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3..b= 2,c=3.(2)设平移后的抛物线的表达式为y=-x2+2x+3十m.将O(0,0)代人，得3 十m=0,解得m=一3..平移后的抛物线的表达式为y=一x2+2x. 18.解：(1)把A(1,0),B(0,3)代入y=x2+bz+c,得 1+b+c=0, 解得 b=一4.二 c=3, c=3. 次函数的表达式为y=-4红十8小二次函数图象的对称轴为直线x=一2青-2 :点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，.C(4,3).把A(1,0),C(4,3)代入y =mx十，得m+n=0, (4m+n=3, 解得m,÷一次函数的表达式为y=x一1.(2)x的取宜 范围是x<1或x>4. 19.解：(1)由题意，得y=300-20×号=300-10x.(2)由题意，得w=(60-40+ x)(300-10x)=-10(x-5)2十6250.-10<0，x为偶数，.当x=4或x=6时，w 有最大值.，要让利于顾客，∴.x=4,此时售价为60十4=64（元/件），心=6240.答：当 商品的售价定为64元/件时，每天获得的利润最大，最大利润为6240元. 20.解：(1)把A(1,0),(-2,3)代人y=ax2+bx+3,得 a+b+3=0, 解得 4a-2b+3=3, (a=一1，：抛物线L的函数表达式为y=一2-2x十3=-(x+1)2+4.顶点坐标 b=-2. 为(-1,4).(2)A(1,0),.OA=1m.DA=5m,∴D0=4m,即D(-4,0).DE =2m,EF=2m,.OE=2m..E(-2,0),F(-2,2),G(-4,2).在y=-x2-2x+3 中，当y=2时，-x2-2x十3=2，解得x1=-√2-1，x2=√2-1（舍去）.，-4<-√2- 1<一2，.该同学抛出的弹珠能投入箱子. (-1-b+c=0, 21.解：(1)把A(-1,0),B(5,0)代入y=-x2+bx+c,得 解得 (-25+5b+c=0, -39 -,抛物线的表达式为y=-2+4x十5.(2)①由(1)，得y=-+4红十5.令x 1c=5. =0,得y=5.C(0,5).设直线BC的表达式为y=x十b.把B(5,0),C(0,5)代人，得 15k+b=0, b1=5, 解得{k-一1，直线BC的表达式为y=一x+5.设D(m,一m+4m 50,则Em,-m+5.∴DE=-m+4m+5-（-m+5)=-(m-多）广+2装.：-1< 0,当m=号时，线段DE的长有最大值，为空.②：SS=32器=号 =。设De,-P+4+5,则E(,-+5).DF=-P+4红+5，EF三 二+4+5-5】 -t+5 =号解得=号，6=5（不合题意，合去）.D(受，)》】 第六章质量评估 1.A2.D3.B4.C5.C6A7.D8B9.C10.C11.号12.号 1 13.3014号 15.解：(1)列表如下： 第二次 正 反 第一次 正 (正，正) (正，反) 反 (反，正) (反，反) 共有4种等可能的结果，其中至少有一次正面朝上的结果有3种，.至少有一次正面 朝上的概率是子.(2)盒子中白色桃子的数量为10×忍≈7（枚）.：黑色棋子的数量 约为10-7=3（枚）. 16.解：画树状图如下： 开始 小明 小红B CA CA B 共有6种等可能的结果，其中抽取的两本书中有《九章算术》的结果有4种，∴.抽取的两 本书中有（九章算术的概率为告一号 17.解：(1)0.59116(2)0.6(3)其他颜色的球的个数为12÷0.6一12=8. 18.解：画树状图如下： 开始 小明 正面 反面 小亮 正面 反面 正面 反面 小强正面反面正面反面正面反面正面反面 共有8种等可能的结果，其中一个回合能确定两人下棋的结果有6种，∴.一个回合能 确定两人下桃的概率为8一是 19.解：(1)3 (2)列表如下： A B C D (D,A) (D,B) (D,C) E (E,A) (E,B) (E,C) F (F,A) (F,B) (F,C) 40 共有9种等可能的结果，其中混合后的结果为纯净物的结果有2种，∴.混合后的结果 为笔净物的概率为号 20.解：(1)4 (2)游戏不公平.理由如下：列表如下： 小亮 A B C D 小明 A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 共有12种等可能的结果，其中摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图 形的结果有2种，∴P(摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形)=号 -合∴P(小充获胜)=合∴P(小明获胜)=吕-吾.：P(小充获雕)≠P(小明获 胜)，∴游戏不公平.修改规则不唯一，如：若摸出的两张牌面图形都是中心对称图形， 则小亮获胜，否则小明获胜。 21.解：(1)调查总人数为80÷40%=200（人），“骑自行车或电动车”的人数为200× 360。=90(人)，“其他”的人数为200一80一90一25=5（人），补全条形统计图如图所示， ↑人数 i00 90 8 7 60 50 40 301 20 102 坐公骑自行开私其他使用交通 交车车或电家车 工具方式 动车 (2)绿色出行在所有交通方式中的频率为(80十90)÷200=0.85，估计该城市中选择绿 色出行的共有50×0.85=42.5（万人）.(3)画树状图如下： 开始 女 女 男 男 男 代 女男男男女男男男女女男男女女男男女女男男 共有20种等可能的结果，其中恰好选到一男一女的结果有12种，∴.恰好选到一男一女 的概率为号-号 期末质量评估 1.B2.D3.B4.C5.C6.C7.D8.D9.B10.B11.中心12.813.16 14.√3 15.(1)解：两边同除以4，得2-3x=子.配方，得(x一号)=4.两边开平方，得x- 是=士2，即x-是=2，或x-号=-2.“=子=-分(2)证明：四边形 ADPE为平行四边形，.PD∥AC,PE∥AB.∴∠BPD=∠C,∠B=∠EPC.∴△DBP ∽△EPC 16,解：()如图所示.(2)设木杆AB的影长BF=xm由题意，得=子，解得x=8。 答：木杆AB的影长为8m. “告墙 17.解：(1)3 (2)画树状图如下： 开始 乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙 共有12种等可能的结果，其中丙参加的结果有6种丙参加的概率为吕号 18.(1)证明：四边形ABCD是菱形，.BD⊥AC..∠BOC=∠COD=90°.DE∥ AC,∴.∠BDE=∠BOC=90°.CF⊥DE,.∠CFD=90°.∴.∠COD=∠BDE= ∠CFD=90°.∴.四边形OCFD是矩形.(2)解：，四边形ABCD是菱形，BD=2AC=4, 0A=OC=AC=1,0B=OD=合BD=2,ACL BD,在R△COD中，CD= √OC+OD=√5.'四边形OCFD是矩形，.OF=CD=5. 19.解：(1)24912(2)设每件衬衫应降价x元.由题意，得(20+2x)(40-x)=1050. 整理，得x2一30x十125=0，解得x1=5,x2=25.,要尽快减少库存，∴.x=25.答：每件 衬衫应降价25元.(3)设每件衬衫降价y元.由题意，得(20十2y)(40一y)=1500.整 理，得y2-30y+350=0.·4=b-4ac=(-30)2-4×1×350=-500<0,∴.此方程没 有实数根..不能通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利1500元. 20.(1)证明：：四边形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠BAD=∠CDA=∠B=90 '∠MAN=9O°，∴.∠BAD-∠MAD=∠MAN-∠MAD,即∠BAM=∠DAN. :∠ADN=180°-∠ADC=90°=∠B,.△ABM≌△ADN(ASA)..AM=AN. (2)证明：，AM=AN,∠MAN=90°，.∠MNA=45°.：四边形ABCD为正方形， ∴.∠CAD=∠ACB=45°.∠CAD=2∠NAD=45°，∴∠NAD=22.5..∠CAM= ∠MAN-∠CAD-∠NAD=22.5°.∴.∠CAM=∠NAD,∠ACB=∠MNA=45. △AMC△AEN÷-SAM:AN=AC·AE:AN=AM,AC=EAB, ÷AM=EAB·AE.(3)解：车2【解析】过点M作MF∥AB,交AC于点F.设BM .CM-ke,BC=(+1.ND-BM-e,AB-CD-BC-(+e. :MF∥AB,AB⊥BC,.MF⊥CM.∠MCF=45°，.MF=CM=ka.,MF∥CN, ÷△M0FO△N0C8器-织=G+G年2 ka 21.解：(1)将B(2,0),C(-1,0)代人y=ax2+bz十4，得 4a十26+4=0，解得 a-b+4=0, (a2抛物线的函数表达式为y=一2x十2x+4.(2)过点D作DM1x轴于点 b=2. M,交AB于点N.在y=-2x2+2x十4中，当x=0时，y=4,∴.A(0,4).设直线AB的 表达式为y=x十c.将A0,,B2,0)代人，得64，。解得医-2，：直线AB 2k+c=0, （c=4. 的表达式为y=-2x+4.设点D(m,-2m2+2m+4)(0<m<2),则点N(m,-2m十 4).∴DN=-2m2+2m十4-(-2m+4)=-2m+4m.∴Sam=20B·DN=号× 2×(-2m2+4m)=-2(m-1)2+2.-2<0,∴.当m=1时，△ABD的面积有最大 值，最大值为2.(3)如图，，四边形AFGD是菱形，∴.DG∥AF, AD=DG.设D(t,-2+2t+4),则G(t,-2t+4).∴.DG= (-2+2t+4)-（-2t+4)=-2+4t,AD= √P+(-22+21+4-4)z=√P+(-2+2..√P+(-2+2) =一2+4，解得名=0（不合题意，会去）4-号点D的坐标 为(g器)： 42