第二章 一元二次方程 质量评估-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

第二章质量评估 (时间：90分钟满分：100分) 一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分.每小题均有A, 守 B,C,D四个选项，其中只有一个选项正确) 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 1.下列方程是一元二次方程的是 A.x2=x(x-1) B.x2-x=0 C.x2-y2=0 D.2+2-0 2.把一元二次方程x(2x一1)=4x化成一般形式，则二次项系 数、一次项系数、常数项分别是 A.1,4,1 B.2,-5,0 C.3,4,0 D.-2,-5,1 3.将方程2x2一12x十1=0配方成(x一m)2=n的形式，下列配方 结果正确的是 A.(x+3)2=17 B.(x十3)2=1 2 C.(x-3)2=17 17 D.(x-3)2= 4.方程x2十√5.x一2=0的根的情况是 ) A.有两个不相等的实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 5.下列一元二次方程最适合用因式分解法的是 ( A.（x-1)(x-2)=3 B.3(x-3)2=x2-9 C.x2+2x-1=0 D.x2+4x=2 6.已知一元二次方程x2十bx十c=0的两个实数根分别为x1= 一2，x2=3,则b,c的值分别为 ( 批 A.1,-6 B.-1,-6 C.5,-6 D.-1,6 、 7.若关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)有一个根为 x=3,则方程a(x一1)2十b(x一1)十c=0必有一根为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长为一元二次方程 x2一7x+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为 ( A.8 B.20 C.8或20 D.10 9.《九章算术》中有一题：“今有二人同所立.甲行率五，乙行率二 乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何.”大意 7 是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速 度为2.乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单 位)，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时 甲、乙各走了多少步？设甲、乙二人从出发到相遇用的时间 是x,则可列方程为 () A.(2x)2+82=(5x-8)2 B.(2x)2+82=(5x)2 C.(5x)2+82=(2x-8)2 D.(2x)2=(5x-8)2+82 10.设a,b为一元二次方程x2十x一2034=0的两个实数根，则 a3+a2+a+2035b的值为 ( A.-2035B.-2034 C.2034 D.2035 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 11.写出一个一元二次方程，使它有一个根为2： 12.已知(k一1)x+-1一2x一5=0是关于x的一元二次方程， 则k的值为 13.已知关于x的一元二次方程x2+3x十m十2=0的两个实数 根是x1,x2,且x1=2x2,则m的值是· 14.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm,P,Q, N-D M,N分别同时从点A,B,C,D出发沿AD, BC,CB,DA方向在矩形的边上移动，当有 B-O M 一个点先到达所在边的另一个端点时，其他点都停止移动.已 知在相同时间内，若BQ=xcm(x≠0)，则AP=2xcm,CM 3xcm,DN=x2cm.当x的值为 时，以P,Q,M,N为 顶点的四边形是平行四边形 三、解答题（本大题共7题，共54分.解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分8分)(1)解方程：2x2十5x一3=0； 一8 (2)已知x=一1是关于x的一元二次方程x2十mx-5=0的 一个根，求m的值及方程的另一个根. 16.(本题满分6分)小敏与小霞两名同学解方程3(x一3)= (x一3)2的过程如下： 小敏： 小霞： 解：两边都除以(x一3)， 解：原方程可变形为3(x一3)一(x一3)2=0. 得3=x-3, .(x-3)(3-x-3)=0. 解得x=6. ∴.x-3=0,或3-x-3=0. .x1=3,x2=0. 你认为她们的解法是否正确？若不正确，请写出你的解答过程。 17.(本题满分6分)智能充电桩通过技术创新实现了安全、高效、 便捷、经济、环保的全方位突破，可以为用户提供优质充电服 务.某地为了方便居民充电，8月份新安装了200个充电桩， 随着居民对智能充电桩需求量的增加，10月份新安装充电桩 338个.求该地9,10两个月新安装智能充电桩个数的月平均 增长率. 9 18.（本题满分8分)设一元二次方程x2十bx十c=0,在下列关于 b,c的四组值中选择其中一组，使这个方程有两个不相等的实 数根，并解这个方程 ①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c=-1;④b=2,c=2. 19.（本题满分8分)已知关于x的一元二次方程x2十(1-2m)x十 m-3m2=0. (1)求证：无论m为何实数，方程总有实数根； (2)若1，x2是方程的两个实数根，且+=一5，求m的值. 一10 20.（本题满分8分)项目式学习 项目名称农家乐扩建与经营优化 某数学学习小组积极帮助经营户解决就餐区域扩建和餐 饮定价问题.经营户计划将现有的就餐区域扩建，以提升 项目背景 顾客体验.同时，为了吸引更多顾客，他计划推出特色餐饮 品鉴活动，需要确定一个合适的收费标准，使每天的营业 额能够有所提高 就餐区域扩建规划： 8m 现有就餐区域是一个矩形，面积为168m2. 任务一 扩建时，经营户计划将矩形的一边增加 6m,另一边增加8m,使扩建后的区域6m 成为一个正方形，则正方形就餐区域的边长为多少 餐饮定价策略： 经营户推出特色餐饮品鉴活动.通过市场调查发现，当收 费标准为200元/人时，平均每天可接待顾客50人.收费 任务二 标准每人每降低10元，平均每天可多接待5人.如果经营 户希望每天特色餐饮品鉴活动的营业额达到11250元， 收费标准应定为多少 请完成以上两项任务. —11 21.(本题满分10分)综合探究：如果关于x的一元二次方程ax2十 bx十c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1,那么称这个方程是“邻根方程”.例如，一元二次方程x2十x=0 的两个根是x1=0,x2=一1，则方程x2十x=0是“邻根方程”. (1)通过计算，判断方程x2一5x十6=0是否是“邻根方程”； (2)若关于x的方程x2一(m一1)x一m=0是“邻根方程”，求 m的值； (3)若关于x的方程ax2+bx十1=0(a,b是常数，且a>0)是 “邻根方程”，令t=12a-b2,求t的最大值. —12—人数 30 30 25 26 24 20 20 15 0 C D类别 (2)最希望增设“木偶班”的学生人数约为800×30=240.(3)列表如下： 100 男 男 男 女 女 男 (男，男) (男，男)（男，女） (男，女) 男（男，男） (男，男)（男，女） (男，女) 男（男，男） (男，男) (男，女) (男，女) 女 (女，男)（女，男） (女，男) (女，女) 女 (女，男)（女，男）（女，男）（女，女） 共有20种等可能的结果，其中恰好抽中一男一女的结果有12种，∴·恰好抽中一男一女 的概率为号=号。 综合与实践 解：活动一：20活动二：(1)0.250.2540(2)40活动四：设鱼塘中有x条鱼.依 题意，得10-品解得x=150.经检验，x=1500是所列方程的解，且符合题意. .鱼塘中约有1500条鱼. 质量评估 第一章质量评估 1.A2.D3.C4.D5.D6.B7.D8.B9.A10.D 1.AC=BD(答案不唯-)12.(2+区，w②13.214.号 15.(1)解：在Rt△ABC中，：CD是斜边AB上的中线，.AB=2CD=6.:∠ACB= 90°，∴BC=√AB-AC区=√62-4=2√5.(2)证明：四边形ABCD是矩形，AB =CD,AD=BC,∠A=∠C=90°.在Rt△ABE和Rt△CDF中， BE=DF,:R△ABE≌ AB-CD. Rt△CDF(HL)..AE=CF,∴.AD-AE=BC-CF,即DE=BF. 16.解：，四边形ABCD是菱形，AB=BC,BC∥AD.,AE垂直平分BC,.AB= AC..AB=BC=AC.∴.△ABC是等边三角形.∴∠B=60°.BC∥AD,∴∠B+ ∠BAD=180°..∠BAD=180°-∠B=120°. 17.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,AD=BC.,DE=CF,∴.AD- DE=BC-CF,即AE=BF.∴.四边形ABFE是平行四边形.：BE平分∠ABC, ∠ABE=∠FBE.AD∥BC,.∠AEB=∠FBE..∠ABE=∠AEB.∴AB=AE '.四边形ABFE是菱形. 18.解：答案不唯一，如：(1)AB=BC(2),AB=BC,BF为AC边上的中线，.BF⊥ AC.∠BFC=90°.，四边形BECF为平行四边形，∴.四边形BECF为矩形 :∠ABC=9O,BF为AC边上的中线，∴BF=CF=号AC四边形BBCF为正方形. 19.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC,AD=BC.BE=CF,.BE+CE CF十CE,即BC=EF.∴.AD=EF.,四边形AEFD是平行四边形.：AE⊥BC, ∴∠AEF=90°..四边形AEFD是矩形.(2)解：四边形ABCD是菱形，∴AB=BC =AD=10..BE=BC-CE=6.四边形AEFD是矩形，.EF=AD=10,DF=AE, ∠AEF=∠DFE=90°.∴.BF=BE+EF=16.在Rt△ABE中，AE=√AB-BE=8, 34 .DF=AE=8.在Rt△BDF中，BD=√BF+DF=8√5.四边形ABCD是菱形， :O是BD的中点.：OF=合BD=45. 20.解：(1)由题意，得BQ=tcm,DP=tcm.,四边形ABCD是矩形，AB=4cm,BC= 8cm,∴.CD=AB=4cm,AD=BC=8cm.∴.AP=(8-t)cm.当四边形ABQP是矩形 时，BQ=AP.∴.t=8一t,解得t=4..当t的值为4时，四边形ABQP是矩形.(2)AB =4cm,BQ=tcm,∠B=90°，∴.AQ=√AB2+BQ=√42+平cm.由题意，得AP=CQ =(8-t)cm.,四边形ABCD是矩形，.AD∥BC..四边形AQCP是平行四边形.当 四边形AQCP是菱形时，AP=AQ.∴.√4十=8-t,解得t=3.当t=3时，BQ= 3cm,∴.CQ=BC-BQ=5cm.此时菱形AQCP的面积为CQ·AB=5×4=20(cm2). 21.(1)解：CG=CE.理由如下：，四边形ABCD是正方形，，BC=CD,∠BCG= ∠DCE=90°..∠E+∠EDC=90°..BF⊥DE,.∠BFE=90°.∴.∠E+∠CBG= 90°..∠CBG=∠EDC.∴.△BCG≌△DCE(ASA).∴.CG=CE.(2)证明：延长FD至 点G,使DG=BE,连接AG.,四边形ABCD是正方形，∴.AB=AD,∠B=∠BAD= ∠ADF=∠ADG=90°.，DG=BE,.∴.△ABE≌△ADG(SAS).∴.AE=AG,∠BAE= ∠DAG.,∠BAD=90°，∠EAF=45°，.∠BAE+∠FAD=45°.∴.∠DAG+∠FAD= 45°..∠FAG=∠EAF.,AF=AF,∴.△AEF≌△AGF(SAS)..EF=GF.,BE+ DF=DG+DF=GF,.BE十DF=EF.(3)解：由题意，得BC=CD=6.,E是BC边的 中点，∴BE=CE=号BC=3.设DF=x,则CF=CD-DF=6-x,EF=BE+DF=3+ x.在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2,即(3+x)2=32+(6-x)2,解得x=2..EF=5. 第二章质量评估 1.B2.B3.D4.A5.B6.B7.D8.B9.A10.A 11.x2-2x=0(答案不唯一)12.-313.014.2或4 15.解：(1)这里a=2,b=5,c=-3.:b2-4ac=52-4×2×(-3)=49>0,.x= 二5装®=二5生，即=-3，=分(2)：x=-1是方程父+mx-5=0的根， 2X2 4 .1一m一5=0，解得m=-4.设另一个根为x2,则-1·x2=一5，.x2=5. 16.解：两名同学的解法都不正确.正确解答如下：原方程可变形为3(x一3)一(x一3)2 =0..(x-3)(3一x十3)=0..x一3=0，或6一x=0..x1=3,x2=6. 17.解：设该地9,10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为x.根据题意，得 200(1十x)2=338,解得x1=0.3=30%,x2=一2.3（不合题意，舍去）.答：该地9,10两 个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为306. 18.解：方程有两个不相等的实数根，△=b-4c>0,即b2>4c..选择②③均可.选 择②，则这个方程为2+3江+1=0，解得=一士5。=一3。选择①，则这个 2 方程为r+3x-1=0,解得4=二3+压，=3，区.（②3任选一个作答即可） 2 2 19.(1)证明：△=(1-2m)2-4×1×(m-3m2)=(4m-1)2≥0，.无论m为何实数， 方程总有实数根.(2)解：x1,x2是方程x2十(1一2m)x十m一3m2=0的两个实数根， 1十m=2m-1,西2=m-3m2.·华+4=5十连=西十)-2x1边=-5， x1工2 :2m-12Cm-3m--5,整理，得5m+m-1=0,解得m=二1+√@I,m m-3m2 10 二1√团.m的值为1+√团或1√团 10 10 10 20.解：（任务一）设正方形就餐区域的边长为xm.根据题意，得(x一6)(x一8)=168， 解得x1=20,x2=一6（不合题意，舍去）.答：正方形就餐区域的边长为20m.(任务二) 设收费标准降低y元.根据题意，得(20-)(50+六×5)-1250，解得1=%=50， 200-50=150(元).答：收费标准应定为150元/人. 21.解：(1)解方程x2-5x+6=0,得x1=2,x2=3.x2-x=1,.方程x2-5x十6=0 是“邻根方程”.(2)解方程x2-(m-1)x-m=0,得x1=m,x2=一1.：关于x的方程 一 35 x2-(m-1)x-m=0是“邻根方程”，.x1-x2|=m-（-1)|=1,解得m1=0,m2= 一2..m的值是0或-2.(3)设方程ax2+bx十1=0的两个根分别是1，x2.该方程 是邻根方程，小一=1.由根与系数的关系，得十=一名=日a -=√(a-)严=Vx+)2=4x西=√a 4o=1..-如=1，即8= a2 +4a.∴.t=12a-b=12a-(a2+4a)=-a2+8a=-(a-4)2+16.(a-4)2≥0， .-(a-4)2+16≤16.t的最大值是16. 第三章质量评估 1.D2.B3.D4.D5.B6.A7.C8.A9.C10.D11.12:712.√5 13.27°14.2 9 15解，a器分6=4a2362020a器=号(24//…能 -2器-号ACB号即26A5B号.AB=10 16.解：：∠A=80°，∠B=75°，∠C=125°，∠D=360°-∠A-∠B-∠C=80°.：四 边形ABCD四边形ABCD∠D=∠D-8对，0-识÷专-解得=10 17.解：(1)△ABG如图所示.点A的坐标为1,4).(2)(1，-受】 61 64一2 2468x B 6 18.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，∴.BC∥AD.∴∠AEB=∠DAE.:∠B= ∠AED,.△ABE∽△DEA.(2)解：四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=6.由(1)知 △ABB△DE-()}-(告)广-号 19.证明：(I:∠ADB=∠ACB,∠AFD=∠BPC,△ADP△BCR,∴F-8器 ÷票-8：∠AFB=∠DFPC,AAFB△DPC∠ABF=∠DCF,即∠ABD= ∠ACD.(2)AE∥DC,∴.∠AEF=∠CDF.∠AFE=∠CFD,∴.△AFE∽△CFD. 器-F器-由I痴△AD△BCF,C-器器-肥EF· BC=AD·AF. 20.解：(1)由题意，得FC∥DE,∴.∠BFC=∠BED,∠BCF=∠BDE.∴·△BFCc∽ △BBD,S-品即S4景BC=3m2②：AC-=5.4m,C=3m,A5 =AC-BC=5.4-3=2.4(m).由题意，得∠FBC=∠GBA,∠FCB=∠GAB=90°， △BFC△BGA8架-C,即S-.AG=1.2m答：灯池到地面的高度 AG为1.2m. 21.(1)证明：E是AB的中点，∴AB=2BE.AB=2CD,∴CD=BE.又AB∥CD, .四边形BCDE是平行四边形.DE∥BC.∴∠EDM=∠FBM,∠DEM=∠BFM. ∴△EDM∽△FBM.(2)解：，F是BC的中点，∴BC=2BF.由(1)知四边形BCDE是 平行因边形，DE=BC=2BR,由(I知△EDM△FBM,器-2BM= 子BD=子×12=4.(3)解：存在.如答图，：AB∥CD,∠CDB=∠ABD.:BD平分 —36