7.9.1 向量法求空间角与距离 课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间向量的应用”专题，覆盖空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）与距离（点到线、点到面）计算等核心考点，依据高考评价体系明确立体几何解答题12-14分的考查权重，归纳向量法求角、距离的常考题型，构建完整备考体系。 课件亮点在于“真题引领+分层训练+素养提升”策略，如以2025北京卷、2024新课标Ⅰ卷真题为例，详解“建系-求向量-算角/距离”步骤，培养数学运算与逻辑推理素养。通过二面角求法中“法向量夹角辨析”等典型实例，帮助学生掌握得分技巧，教师可直接用于课堂教学，实现高效冲刺。

第七章 立体几何与空间向量 7.9　空间向量的应用 7.9.1　向量法求空间角与距离 复习目标　掌握用空间向量的方法求空间角和距离． 内容索引 内容索引 核心体系 活动方案 核 心 体 系 内容索引 内容索引 内容索引 活 动 方 案 内容索引 活动一　基础引入 C 内容索引 内容索引 D 内容索引 内容索引 内容索引 3 (多选)[2026惠泽高级中学月考]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1B，B1C的中点，则下列结论中正确的是 (　　) A. 直线EF∥平面ABCD B. EF⊥AC C. 异面直线EF与直线D1C所成角的大小为60° D. 平面B1CD1到平面BA1D的距离等于EF AC 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 4 [2026锡山高级中学月考]在空间直角坐标系中，点A(－1，1， 1)，B(－2，0，1)，P(0，1，3)，则点P到直线AB的距离为_______． 内容索引 5 [2026无锡新吴三中月考]在空间直角坐标系O-xyz中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为2x－y－2z＋5＝0，直线l是平面β：x－y－3＝0与平面γ：2x＋3y＋5z＋2＝0的 交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为______． 内容索引 内容索引 活动二　典例悟法 题组一　异面直线所成的角 [2025扬中二中期末]如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，E，F分别为棱AB，A1B1的中点． (1) 求证：AF∥平面B1CE； (2) 求直线C1E与直线AF夹角的余弦值． 1 内容索引 【解析】(1) 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，易知AB∥A1B1且AB＝A1B1. 因为E，F分别为棱AB，A1B1的中点， 所以AE∥B1F，AE＝B1F， 所以四边形AEB1F为平行四边形， 所以AF∥B1E. 因为AF⊄平面B1CE，B1E⊂平面B1CE， 所以AF∥平面B1CE. 内容索引 内容索引 (1) 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为 ______； 内容索引 内容索引 C 内容索引 图1 内容索引 图2 内容索引 题组二　直线与平面所成的角 如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1) 求证：AC⊥B1D； (2) 求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值． 2 内容索引 【解析】(1) 易知AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系． 设AB＝t(t>0)，则A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)， 内容索引 内容索引 内容索引 [2025扬州期末] 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝3，CC1＝4，二面角A-CC1-B为直二面角．N为棱C1B1的中点，棱A1B1与平面ACN相交于点M. (1) 求证：M为棱A1B1的中点； 内容索引 【解析】(1) 因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以A1C1∥AC. 又A1C1⊄平面ACN，AC⊂平面ACN，所以A1C1∥平面ACN. 又A1C1⊂平面A1B1C1，平面A1B1C1∩平面ACN＝MN， 所以A1C1∥MN. 又N为棱C1B1的中点，所以M为棱A1B1的中点． (2) 方法一(向量法)：由直三棱柱ABC-A1B1C1，得CC1⊥平面ABC， 又AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以CC1⊥AC，CC1⊥BC， 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 所以CC1⊥AC，CC1⊥BC， 所以∠ACB即为二面角A-CC1-B的平面角． 又二面角A-CC1-B为直二面角， 所以∠ACB＝90°，即AC⊥CB. 又AC⊥CC1，CC1∩CB＝C，CC1⊂平面BCC1B1，CB⊂平面BCC1B1， 所以AC⊥平面BCC1B1. 又C1G⊂平面BCC1B1，所以AC⊥C1G. 因为C1G⊥CN，AC∩CN＝C，AC⊂平面ACN，CN⊂平面ACN， 内容索引 内容索引 [2025北京卷·17]如图，在四棱锥P-ABCD中，△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC＝90°∠BAC＝90°，E为BC的中点． (1) 若F为PD的中点，G为PE的中点，求证：FG∥平面PAB； (2) 若PA⊥平面ABCD，PA＝AC，求AB与平面PCD所成角的正弦值． 内容索引 内容索引 所以GM＝1. 因为∠DAC＝45°，∠ACB＝45°， 所以AD∥BC， 所以FN∥GM， 则四边形FGMN为平行四边形， 所以FG∥MN. 因为FG⊄平面PAB，MN⊂平面PAB， 所以FG∥平面PAB. 内容索引 内容索引 内容索引 题组三　二面角 [2025扬州期中]如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别为棱C1D1，BB1，A1B1的中点． (1) 求证：A1N⊥平面AMQ； (2) 求二面角N-AM-Q的正切值． 3 内容索引 【解析】(1) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，Q分别为棱C1D1，A1B1的中点，所以QM∥A1D1. 又A1D1⊥平面ABB1A1，A1N⊂平面ABB1A1， 所以A1D1⊥A1N，所以QM⊥A1N. 在正方形ABB1A1中，N为B1B的中点，Q为A1B1的中点， 所以△AA1Q≌△A1B1N，所以∠QAA1＝∠NA1B1. 设AQ与A1N的交点为H，则∠QA1H＋∠A1QH＝90°， 所以∠A1HQ＝90°，即A1N⊥AQ. 又AQ⊂平面AMQ，QM⊂平面AMQ，AQ∩QM＝Q， 所以A1N⊥平面AMQ. 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 作OH⊥PD，垂足为H. 因为OH⊂平面PBD，所以AD⊥OH. 又PD∩AD＝D，PD⊂平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以OH⊥平面PAD. 又PA⊂平面PAD，所以OH⊥PA. 作OE⊥PA，连接EH. 因为OE∩OH＝O，OE⊂平面OEH，OH⊂平面OEH， 所以PA⊥平面OEH， 内容索引 内容索引 内容索引 [2025全国二卷·17]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB＝3AD，CD＝2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD′A′，使得平面EFD′A′与平面EFCB所成的二面角为60°. (1) 求证：A′B∥平面CD′F； (2) 求平面BCD′与平面EFD′A′所成二面角 的正弦值． 内容索引 【解析】(1) 因为EF∥AD，AB∥CD， 所以四边形AEFD为平行四边形， 所以AE∥DF，所以A′E∥D′F. 因为D′F⊂平面CD′F，A′E⊄平面CD′F， 所以A′E∥平面CD′F. 因为FC∥EB，FC⊂平面CD′F，EB⊄平面CD′F， 所以EB∥平面CD′F. 又EB∩A′E＝E，EB⊂平面A′EB，A′E⊂平面A′EB， 所以平面A′EB∥平面CD′F. 又A′B⊂平面A′EB，所以A′B∥平面CD′F. 内容索引 图1 内容索引 内容索引 方法二(空间向量法)：因为∠DAB＝90°，所以AD⊥AB， 又因为AB∥FC，EF∥AD，所以EF⊥FC. 如图2，以F为坐标原点，FE，FC所在直线以及过点F垂直于平面BEFC的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系． 因为D′F⊥EF，CF⊥EF， 所以∠D′FC为平面EFD′A′与平面EFCB所成的二 面角， 即∠D′FC＝60°. 不妨设DF＝FC＝1， 图2 内容索引 内容索引 内容索引 题组四　距离问题 [2025启东、通州期中联考]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PD＝AB＝2，BC＝CD＝1. (1) 求证：PD⊥AB； (2) 求PB与平面PAD所成角的正弦值； (3) 若线段PC上存在一点E，使得截面ABE将四棱锥 P-ABCD分成体积之比为5∶7的上下两部分，求点P到截 面ABE的距离． 4 内容索引 内容索引 则PO⊥AO，即PO⊥AB. 又DO⊥AB，PO∩DO＝O，PO⊂平面PDO，DO⊂平面PDO， 所以AB⊥平面PDO. 又PD⊂平面PDO，所以PD⊥AB. (2) 由DO⊥PO，PO⊥AO，DO∩AO＝O，DO⊂平面 ABCD，AO⊂平面ABCD，得PO⊥平面ABCD. 又DO⊂平面ABCD，所以PO⊥DO. 以O为坐标原点，OD，OB，OP所在直线分别为x 轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz， 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 5 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 (2) 因为A1C⊥平面ABC1，所以A1C⊥AC1， 所以四边形AA1C1C为菱形． 取A1C1的中点E，连接AE. 因为∠ACC1＝60°，所以△AA1C1为等边三角形，所以AE⊥A1C1. 又AC∥A1C1，所以AE⊥AC. 又AB⊥平面AA1C1C，所以AB⊥AE. 如图，以A为坐标原点，AB，AC，AE所在直线 分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz， 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 【解析】(1) 因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以PA⊥AD. 又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB， 所以AD⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB. 在△ABC中，因为BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB. 所以AD∥BC. 又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以AD∥平面PBC. 内容索引 内容索引 内容索引 方法二：如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EF⊥ CP于点F，连接DF. 因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC， 所以平面PAC⊥平面ABCD. 又平面PAC∩平面ABCD＝AC，DE⊥AC，DE⊂平面ABCD， 所以DE⊥平面PAC. 因为CP⊂平面PAC，所以DE⊥CP. 内容索引 内容索引 内容索引 谢谢观看 Thank you for watching 由＝，＝，得平面BCF的一个法向量为n＝(1，，)，所以cos 〈n，〉＝，所以sin 〈n，〉＝，所以tan 〈n，〉＝.故二面角C-BF-D的正切值为. 故A正确；对于B，·＝(2，2，0)·(1，1，0)＝2＋2＝4，所以EF与AC不垂直，故B错误；对于C，D1(0，2，2)，则＝(2，0，－2)，得cos 〈，〉＝＝＝，所以异面直线EF与直线D1C所成角的大小为60°，故C正确；对于D，设平面B1CD1的法向量为m＝(x，y，z)，则令x＝1， 则y＝z＝1，即m＝(1，1，1).设平面BA1D的法向量为m1＝(x1，y1，z1)，则令x1＝1，则y1＝z1＝1，即m1＝(1，1，1)，所以平面B1CD1与平面BA1D平行，则平面B1CD1到平面BA1D的距离等于d＝＝＝，所以d≠||＝，故D错误．故选AC. 所以∠ACB即为二面角A-CC1-B的平面角． 又二面角A-CC1-B为直二面角，所以∠ACB＝90°. 如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别 为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系． 设CB＝t(t>0)，则A(3，0，0)，C1(0，0，4)，N， 所以＝(－3，0，4)，＝(3，0，0)，＝. 设直线AC1与平面ACN所成的角为θ， 所以sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝， 解得t＝4(负值舍去)，即CB＝4. 方法二(综合法)：如图，在平面BCC1B1内， 过点C1作C1G⊥CN，垂足为G，连接AG. 由直三棱柱ABC-A1B1C1，得CC1⊥平面ABC. 又AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC， (2) 以A为坐标原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AD＝CD＝2，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，0，0)，D (，－，0)，P(0，0，2)， 所以＝(0，2，0)，＝(，，0)， ＝(－2，0，2). 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则∠OEH即为二面角C-PA-D的平面角． 因为PB＝PD＝2，BD＝2，所以DO＝，PO＝3， 由等面积法，得OH＝＝. 因为AO＝＝， 所以PA＝＝4，所以OE＝＝. 则P(0，0，)，A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)， 所以＝(0，－1，－)，＝(1，0，－)，＝(0，1，－). 设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)， 则令z＝1，得n＝(，－，1). 取c＝－λ，得m＝((1－λ)，0，－λ)， 则点P到平面ABEF的距离为d＝＝， 所以VP-ABEF＝·(λ＋2)··＝，解得λ＝(负值舍去)， 所以点P到截面ABE的距离为. (2) 由(1)，得＝(1，－1，0)，＝(1，1，)，＝(1，－1，2). 设平面MB1C的法向量为m＝(x，y，z)， 则取x＝3，得m＝(3，－1，－)， 故点B到平面MB1C的距离为d＝＝＝. 所以三棱锥C-MBB1的体积为·BC·S△MBB1＝h·S△MB1C， 即××××2＝h××2×， 解得h＝，即点B到平面MB1C的距离为. [2025邵阳二模] 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB＝AC＝2，BC＝2，∠ACC1＝60°，A1C⊥BC1，P为线段AA1上一点，且＝λ. (1) 求证：A1C⊥平面ABC1； (2) 是否存在实数λ，使得点C到平面BPC1的距离为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即可取n＝(2－t，s，s)， 所以cos 〈m，n〉＝＝＝. 由题意，得＝，解得t＝或t＝2(舍去)， 所以AD＝＝＝. $