第11讲 二次函数与一元二次方程（暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第11讲二次函数与一元二次方程 了内容导航 01预习航标一析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破一析考点破方法：典型题型深度拆解 题型1二次函数与坐标轴的交点 题型2根据二次函数的图象确定一元二次方程的根 题型3求x轴与抛物线的截线长 题型4图象法解一元二次方程的近似根 题型5图象法解一元二次不等式 题型6利用不等式求自变量或函数值的范围 题型7根据交点确定不等式的解集 04过关检测一练考点强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解二次函数图像与x轴交点的横坐标即对应一元二次方程的实数根。 交点、横坐标、判别2.掌握通过判别式△=P-4ac判断抛物线与x轴交点个数：△>0两个交 式、根的个数、数形点，△=0一个交点，△<0无交点。 结合、近似解。 3.能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，体会数形结合思想。 4.经历从函数视角看方程的过程，理解函数与方程的内在联系，培养转化与 综合思维能力。 学习重点：二次函数图像与x轴交点个数与一元二次方程根的个数之间的对应关系。 学习难点：理解“交点的横坐标即方程的根”的几何意义，以及利用函数图象求方程近似解时如何确 定逼近范围。 02 教材全解 ◇： 知1识1框1架 1/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 判别式符号判断错误 二次函数y=ax2+bx4c 交点坐标只写横坐标 高频易错点 二次函数与一元二次方程关系 当y=0时 不等式解集方向搞反 对应一元二次方程ax2+6x4c=0 判别式与交点个数判围 判别式△>0 求交点坐标 高频考点 方程有两个不等实根 函数与×轴有两个交点 利用图象解方程或不等式 二次函数与 二次函数与x轴交点情况 判别式△=0 图象在x轴上方部分 函数值大于0 方程有两个相等实根 函数与×轴有一个交点 图象在X轴下方部分 函数值小于0 二次函数与一元二次不等式 元二次方程 判别式△<0 方程无实根 根据图象确定不尊式解集 函数与X轴无交点 面出函数图象 y=0 图象法 找出图象与×轴交点横坐标 利用二次函数解一元二次方程 求二次函数与x轴交点坐标 解一元二次方程 观察函数值符号变化 逼近法求近似根 交点坐标为x1,0)和(x2,0】 逐步缩小范围确定根 知|识精|讲 知识点01二次函数与坐标轴的交点 二次函数与坐标轴的交点知识总结 1.与y轴的交点： ·求法：令x=0,代入y=x2+bx+c(a砖0)，得y=C,交点为(0，c)。 -特征：必过一点，横坐标恒为0，纵坐标为常数项c。 2.与x轴的交点： -求法：令y=0,解一元二次方程2+bx+c=0,根x1、2对应交点(x1,0)、(2,0)。 ·根的情况与交点个数： ·>0:2个不同交点（方程有两个不等实根）： -=0:1个交点（方程有两个相等实根，为顶点)： -<0:无交点（方程无实根）。 3.核心思想： ·转化思想：将交点问题转化为解方程问题： ·数形结合：通过函数图像直观判断交点个数与位置。 【易错提醒】 与y轴交点即(0，c)。与x轴交点即方程2+bx+c=0的解，个数由判别式△=b-4ac决定（两/一无）。注意： △≥0才有交点，勿忽略判别式。 即时即练1.二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标是(). A.(1,0)和(-3,0) B.(-1,0)和(3,0) C.(1,0)和(3,0) D.(-1,0)和(-3,0) 2/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.在平面直角坐标系xO中，抛物线y=x2-4x+5与y轴交于点C,则点C的坐标为 知识点02二次函数与一元二次方程 二次函数y=+bx+c(a,b,c是常数，≠0) 1.抛物线与x轴的交点的横坐标→一元二次方程ax2+brx+c=0的解. 2.若己知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为5，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax+bx+c=s. 【易错提醒】 函数y=r2+bx+c)与1(x)轴交点横坐标即方程+bx+c=0的实数根。△>0两不等根；△-0一重根；△<0 无实根（无交点）。勿忽略判别式与根的关系。 即时即练1. 已知抛物线y=ar+c(≠0)与直线y=:+b交于点4(-，3)和点B5-2),则关于x的方 程ax2-kx+c-b=0的解是() A.x=2或x=-3 B.x=-2或x=3 C.x=1或x=-5 D.x=-1或x=5 之若=次西数少方式+低+c的部分阔象如网所示，关于的一元=次方在+加+c=0的一个解天=. 则另一个解x= 03 题型突破 题型1二次函数与坐标轴的交点 【例1】(25-26九年级上云南曲靖阶段练习)二次函数y=x'-2x-3的图象与x轴的交点坐标为() 3/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.（-1,0)和(3,0) B.(L,0)和(-3,0) C.(0,-1)和(0,3) D.(0,1)和(0，-3) 【例2】(2425九年级上：广东江门期中)二次函数y=ar2-2r+c(a≠0)的图象过点(3,0)，则 ax2-2ax+c=0的解为() A.x=-3,x3=-1 B.x=-3,x2=1 C.x=3,x2=-1 D.x=3.x2=1 【技巧归纳】 与y轴交点：(0,9。与x轴交点：解方程x2+bx+c=0,根即为横坐标，个数由4决定。当4=0时一个交点 (顶点在x轴)；4>0两交点；<0无交点。代入即可。 【变式1-1】(25-26九年级上·上海期中)二次函数y=2x2-3x的图像与x轴的交点坐标是 【变式1-2】(25-26九年级上山东滨州阶段练习)抛物线y=-x'+bx+c的部分图像如图所示，则关于x 的方程-x2+bx+c=0的解是一. 题型2根据二次函数的图象确定一元二次方程的根 【例3】(25-26九年级上广东汕尾·月考)己知二次函数y=-x-2x+m的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程-x2-2x+m=0的正数解为() VA -10 A.1 B.3 C.2 D.0 【例4】(2425九年级上浙江温州开学考试)如图，抛物线y=心与直线y=+b的两个交点坐标分别 4/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为4(-1,1)，B3,9),则方程a2=+b的解是(） B A x=-1,x2=1B.x=-1,x2=3 C.x=1,x2=9 D.x=3,x2=9 【技巧归纳】 一元二次方程2+x+c=0的根即抛物线y=x2+bx+c与x轴交点的横坐标。图象与x轴有几个交点，方程 就有几个实根。交点横坐标即为根，可用对称轴和顶点辅助判断根的情况。 【变式2-1】(25-26九年级上·吉林期中)如图，抛物线y=ax+br+c的部分图象如图所示，则关于x的 一元二次方程ax2+bx+c=0的解为」 【变式2-2】(25-26九年级上甘肃临夏期中)已知二次函数y=ar+br+c(a≠0)的图象如图所示，回答 下列问题： 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)方程ax2+bx+c=0的根是 (②)当y<0时，x的取值范围是 3)若点(-2,4)，(3，)均在二次函数的图象上，直接写出片、的大小关系. 题型3求x轴与抛物线的截线长 【例5】(25-26九年级上新疆喀什期中)二次函数y=x-2x-3的图象与x轴交于A,B两点，则线段 AB的长度为() A.2 B.3 C.4 D.5 【例6】(2025四川眉山二模)己知：抛物线y=x-mx-3与x轴交于A、B两点，且AB=4,则m的值 为() A.2 B.-2 C.2 D.±4 【技巧归纳】 先解x2+bx+c=0得两交点x1、x2,截线长=x1-x2=V[x1+x2)2-4x1x2]=V[(b2-4C)/a2](a≠0)。也可 用公式：4≥0时，长=√4川叫。需确保两交点存在。 【变式31】(24-25九年级上安徽合肥月考)已知二次函数y=r-4x+8(a≠0)的图象与x轴交于A, B两点.若AB=6,则a=. 【变式3-2】(24-25九年级上·河南新乡阶段练习)如图，二次函数y=x-x-2的图象与x轴交于A, B两点（点A在点B的左侧）· ()若P(-2,m)为二次函数y=x2-x-2的图象上一点，求m的值： (2)求AB的长. 题型4图象法解一元二次方程的近似根 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例7】(25-26九年级上·安徽阶段练习)二次函数y=a2+bx+c的图象如图所示，A(2.18,-0.51) B(2.68,0.54)为图象上的两点，则方程ax2+bx+c=0的一个解可能是（) 4 3 B(2.68,0.54) 2-1 234 A(2.18,-0.51 A.2.18 B.2.68 C.-0.51 D.2.45 【例8】 (25-26九年级上·安微宜城期中)已知二次函数y=a2-2ax+c中部分x和y的值如下表所示： -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 y 0.89 0.56 0.25 -0.04 0.31 则方程ax2-2ar+c=0的一个较大的根的范围是() A.-0.5<x<-0.4 B.-0.6<x<-0.5 C.2.4<x<2.5 D.2.5<x<2.6 【技巧归纳】 画出抛物线y=2++C,观察与x轴交点横坐标。在交点附近取x值，计算函数值，用二分法逐步逼近使 y≈0的x。也可用网格纸估读，精确到小数点后一位或两位。注意端点函数值异号。 【变式41】(25-26九年级上：广东广州期中)下表是一组二次函数y=x+3x-5的自变量x与函数值y 的对应值，那么方程x2+3x-5=0的一个近似根的取值范围是 1 1.1 1.2 13 1.4 0.49 0.04 0.59 1.16 【变式42】(2025吉林长春模拟预测)如图是抛物线y=x+2x-3的图象，结合图象，可知方程 2+2x-3-有 个实数根 7/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型5图象法解一元二次不等式 【例9】(25-26九年级上·北京期中)如图，抛物线y=ar+br+c的部分图象如图所示，若 ax2+bx+c≥3，则x的取值范围是() YA 3 A.x≥0 B.x≤0 C.-2≤x≤0 D.x≤-2或x≥0 【例10】(25-26九年级上黑龙江阶段练习)如图是二次函数y=心+bx+c(a≠0)的图象，下列说法错 误的是() -1O A.y的最大值是4 B.当-3<x<1时，函数值y<0 C.当x<-1时，y随x的增大而增大 D.函数的图象关于直线x=-1对称 【技巧归纳】 画抛物线草图，根据开口方向与x轴交点，确定函数值正负区间。不等式一0取x轴上方的x范围，<0取下 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方。若开口向下则相反。注意等号时包含交点，用实心点表示。无交点时全正或全负。 【变式5-1】(24-25九年级下江苏宿迁月考)已知二次函数y=ar+br+c(a≠0)的图像如图所示，则一 元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是 【变式52】(25-26九年级上：广东惠州期中)如图是二次函数y=m+bx+c的部分图象，则不等式 ax2+bxr+c<0的解集是 题型6利用不等式求自变量或函数值的范围 例1)】(2025四川南充三模)已知抛物线y=)2-6x-b与直线y=2-3在4<r<4之间有)个公 共点，则b的取值范围是() A.b≥-1 B.b<-13 c、3 ≤6s-1 D.1sb<-1 5 【例12】(2025辽宁铁岭二模)已知点A(:,乃)在直线y=-x+3上，点B(x,乃)，C(c,乃)在抛物线 y=-x2+3x上，若y==为且x<x<x,则+x2+的取值范围是() 9/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15 A.0<x+x2+x3<3 B.4 <x+x2+x3<4 C.4<x+x2+x3<6 D.x1+x2+x3>6 【技巧归纳】 根据函数图象或增减性列不等式。已知y范围求x:先解方程求边界，结合图象写出对应x区间。已知x范 围求y:代入端点求边界，注意开口方向决定最值在顶点或端点。分类讨论。 【变式6-1】(2025·贵州遵义模拟预测)如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点(-3,0)， 对称轴为直线x=-1,则当函数值y>0时，自变量x的取值范围是 【支式6习】(245八年级下有南长沙卧食练习》已知=次西数y=号} +3x,a≤x≤a+2时函数y的 最大值是1，则a= 题型7根据交点确定不等式的解集 【例13】(25-26九年级上广东广州期中)二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示，则函数值y<0时，x 的取值范围是() A.-1<x<3B.x<-1 C.x>3 D.x<-l或x>3 【例14】(25-26九年级上·黑龙江佳木斯月考)如图，已知抛物线y=+C与直线y=x+b交于 A(-3,),B(1)两点，则关于x的不等式a2+c>+b的解集是() 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.x<-3或x>1 B.x>-3或x<1 C.-3<x<1 D.-1<x<1 【技巧归纳】 先求出两函数交点横坐标，将数轴分成若干区间。在每个区间内比较两函数值大小（通过图象上下位 置)。图象在上方则函数值大。再结合不等式方向写出对应x的范围，注意等号取交点。 【变式7-1】(25-26九年级上四川泸州期中)如图，已知二次函数片=ar+br+c(Q≠0)与一次函数 乃=c+m(k≠0)的图象交于点，A(-l,3),B(6,),则不等式ar2+(b-k)x+c-m≤0的解集是」 【变式7-2】(25-26九年级上广东珠海期中)已知二次函数y=2x2-8x+6 (1)该函数的顶点坐标是_，与x轴的交点坐标是_· (2)根据图象回答：0≤x≤3时，Y的取值范围是 3)根据图象回答：当y>0时，x的取值范围是_ 11/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 04 过关检测 一、单选题 1.二次函数y=x2-4x+3的图象与x轴的交点个数为（) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.若抛物线y=x2-3x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是() A.m 4 B.m≥9 Cm<-9 4 D.ms-9 4 3.下列表格中是二次函数y=ar+br+c(a≠0)的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方 程ar2+br+c=0(a≠0)的一个近似根是() 6.7 6.8 6.9 7.0 y=ax2+bx+c -0.3 -0.1 0.2 0.6 A.6.7 B.6.8 C.6.9 D.7.0 4.已知抛物线y=ax2-4x+C(a≠0)的对称轴为直线x=-2,当4≤x≤-1时，抛物线与x轴有且只有一个 交点，则C的取值范围为() A.0≤c<3 B.-3≤c≤0 C.-3≤c<0 D.C=-4或-3<c≤0 5,已知二次函数y=ar+br+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1,则下列结论正确的是()， 31 A.ac>0 B.方程ax2+bx+c=0的两根是x=-1,x2=3 C.不等式ar2+br+c<0的解集是-1<x<3 D.当x>O时，Y随x的增大而减小 二、填空题 6.若抛物线y=x2-2x+m与x轴没有交点，则m的值可以是 (写出一个即可) 7.填空： 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)抛物线y=x2-3x+2与y轴的交点坐标是 与x轴的交点坐标是 (2)抛物线y=-2x2+5x-3与y轴的交点坐标是 ,与x轴的交点坐标是 8.如图，抛物线y=ar与直线y=br+c的两个交点坐标分别为A(-3,9),B(I,).则不等式ax2≥bx+c的 解是 B 9.已知二次函数y=-2x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的距离为6，则该函数图象的顶点的纵坐标为 10.如图为二次函数y=ax2+2ax+c的图象，该图象与x轴的两个交点分别为A(4,0),B.下列说法正 确的是 (写出所有正确结果的序号)· ①对称轴为直线x=-1;②当x<0时，y随x的增大而增大；③4a-4ac>0;④8a+c=0. B 三、解答题 11.已知函数y=x2-mx+m-2 (I)求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点： (2)若m=2,求函数与x轴的交点坐标， 12.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x=-1,与y轴的交点为(0,3)，与x轴的一个交点为 (1,0). 13114 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 -4-3-21Q 123x (1)求这个二次函数的解析式： (2)求该图象与x轴的另一个交点坐标： 3)观察图象，当4<x<0时，直接写出y的取值范围. 13.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+bx-4(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交 于点C,且OA=OC=4OB (1)填空： ①点A的坐标为， ②点B的坐标为. ③直线CA的表达式为 (2)求该二次函数的解析式： 3)当-1≤x≤m时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m的取值范围. 14.己知二次函数y=a(x-l)(x-3)+a2(a为常数，a≠0)，顶点坐标为(m,n). 1)当n=0时，a=_: (2)当a<0时， ①求证：二次函数的图像与x轴总有两个公共点； ②若二次函数图像与x轴的交点都在y轴的右侧，则的取值范围为_， 14114 第11讲 二次函数与一元二次方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数与坐标轴的交点 题型2 根据二次函数的图象确定一元二次方程的根 题型3 求x轴与抛物线的截线长 题型4 图象法解一元二次方程的近似根 题型5 图象法解一元二次不等式 题型6 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型7 根据交点确定不等式的解集 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 交点、横坐标、判别式、根的个数、数形结合、近似解。 1. 理解二次函数图象与x轴交点的横坐标即对应一元二次方程的实数根。 2. 掌握通过判别式 = b2 - 4ac判断抛物线与x轴交点个数：>0两个交点，=0一个交点， < 0无交点。 3. 能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，体会数形结合思想。 4. 经历从函数视角看方程的过程，理解函数与方程的内在联系，培养转化与综合思维能力。 学习重点:二次函数图象与x轴交点个数与一元二次方程根的个数之间的对应关系。 学习难点:理解“交点的横坐标即方程的根”的几何意义，以及利用函数图象求方程近似解时如何确定逼近范围。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数与坐标轴的交点 二次函数与坐标轴的交点知识总结 1. 与y轴的交点： - 求法：令x=0，代入y=ax²+bx+c（a≠0），得y=c，交点为(0, c)。 - 特征：必过一点，横坐标恒为0，纵坐标为常数项c。 2. 与x轴的交点： - 求法：令y=0，解一元二次方程ax²+bx+c=0，根x₁、x₂对应交点(x₁, 0)、(x₂, 0)。 - 根的情况与交点个数： - Δ＞0：2个不同交点（方程有两个不等实根）； - Δ=0：1个交点（方程有两个相等实根，为顶点）； - Δ＜0：无交点（方程无实根）。 3. 核心思想： - 转化思想：将交点问题转化为解方程问题； - 数形结合：通过函数图像直观判断交点个数与位置。 【易错提醒】 与y轴交点即(0,c)。与x轴交点即方程ax2+bx+c=0的解，个数由判别式=b2-4ac决定（两/一/无）。注意：≥0才有交点，勿忽略判别式。 即时即练1．二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，令，解方程即可求解． 【详解】令，得， 解得或 ∴二次函数的图象与轴的交点坐标是和． 故选：B． 2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查求抛物线与坐标轴的交点，求抛物线与 y 轴的交点坐标，需令横坐标 ，代入抛物线方程计算纵坐标 的值即可 【详解】解：令 ，代入抛物线方程 ，得：， 因此，点 的坐标为 ． 故答案为 ． 知识点02 二次函数与一元二次方程 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 1.抛物线与x轴的交点的横坐标→一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为s，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=s. 【易错提醒】 函数y=ax2+bx+c\) 与 \(x\) 轴交点横坐标即方程ax2+bx+c=0的实数根。>0两不等根；=0一重根；<0无实根（无交点）。勿忽略判别式与根的关系。 即时即练1．已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，将变形为，则该方程的解即为抛物线与直线交点的横坐标． 【详解】解：∵ 抛物线与直线交于点和点， ∴当或时，成立， 即方程的解为或． 故选：D． 2．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，可直接求出的值． 【详解】解：二次函数的对称轴为，关于x的一元二次方程的一个解，另一个解为， ， ， 故答案为：． 题型1 二次函数与坐标轴的交点 【例1】（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）二次函数的图象与x轴的交点坐标为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图像和坐标轴交点． 将代入解析式解方程即可． 【详解】解：令，得， 解得或， 所以交点坐标为和． 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·广东江门·期中）二次函数的图象过点，则的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，求抛物线对称轴，把求关于x的一元二次方程的解转化为求二次函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．先求抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性得到二次函数图象与x轴的另外一个交点坐标，从而得到的解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且函数图象与x轴交于点， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为横坐标满足，解得， ∴方程的解为，， 故选：C． 【技巧归纳】 与y轴交点：(0,c)。与x轴交点：解方程ax²+bx+c=0，根即为横坐标，个数由Δ决定。当Δ=0时一个交点（顶点在x轴）；Δ>0两交点；Δ<0无交点。代入即可。 【变式1-1】（25-26九年级上·上海·期中）二次函数的图像与x轴的交点坐标是 ． 【答案】和 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，要求二次函数与轴的交点，即要，得到关于的方程来求解． 令二次函数解析式中，得到关于的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与轴的交点坐标． 【详解】令代入，得方程， 因式分解得：， 或， 二次函数的图像与轴的交点坐标是和． 故答案是：和． 【变式1-2】（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）抛物线的部分图像如图所示，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程， 根据抛物线的对称轴为直线与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线与x轴的交点为， 设另一个交点为 ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是：， 故答案为; ． 题型2 根据二次函数的图象确定一元二次方程的根 【例3】（25-26九年级上·广东汕尾·月考）已知二次函数的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程的正数解为（   ） A．1 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解决本题的关键是求解出二次函数与x轴正半轴的交点． 根据二次函数的图像可知对称轴为，则可得二次函数与x轴正半轴的交点，由此可得一元二次方程的正数解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为，且与x轴负半轴的交点为， ∴二次函数与x轴正半轴的交点为， ∴关于x的一元二次方程的正数解为1． 故选：A ． 【例4】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关键．根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为， 方程的解是， 故选：B． 【技巧归纳】 一元二次方程ax²+bx+c=0的根即抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标。图象与x轴有几个交点，方程就有几个实根。交点横坐标即为根，可用对称轴和顶点辅助判断根的情况。 【变式2-1】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线的对称轴性质以及抛物线与轴交点和一元二次方程解的关系是解题的关键． 先根据抛物线的对称轴找到已知交点的对称点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标就是方程的解来解题． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为， 设抛物线与轴的另一个交点为， 则， 解得， ∴关于的一元二次方程的解为，， 故答案为：，． 【变式2-2】（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）已知二次函数的图象如图所示，回答下列问题： (1)方程的根是______； (2)当时，x的取值范围是______； (3)若点均在二次函数的图象上，直接写出、的大小关系． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】题目主要考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据函数图象即可直接得出结果； （2）结合函数图象求解即可； （3）根据题意得出函数的对称轴为，确定距离对称轴越远，函数值越小，即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象得：当时，或， ∴方程的根是， 故答案为：； （2）由图象得：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （3）∵方程的两个根为， ∴函数的对称轴为， ∵开口向下， ∴距离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 题型3 求x轴与抛物线的截线长 【例5】（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 【例6】（2025·四川眉山·二模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设A、B两点的横坐标为、，由题意知，，，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：设A、B两点的横坐标为、， 由题意知：，，， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 【技巧归纳】 先解ax²+bx+c=0得两交点x₁、x₂，截线长=|x₁-x₂| = √[(x₁+x₂)²-4x₁x₂] = √[(b²-4ac)/a²] (a≠0)。也可用公式：Δ≥0时，长=√Δ/|a|。需确保两交点存在。 【变式3-1】（24-25九年级上·安徽合肥·月考）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．若，则 ． 【答案】 【分析】设方程的两根分别为，， 可得，，利用，再解方程即可． 【详解】解：当，则， 设方程的两根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，经检验符合题意； 故答案为： 【变式3-2】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）  如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．    (1)若为二次函数的图象上一点，求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数解析式，即可求解； （2）令，可求出，，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当时， ， 解得：，， ，， ． 题型4 图象法解一元二次方程的近似根 【例7】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵图象上有两点分别为，， ∴当时，；时，， ∴当时，，只有选项符合， 故选：． 【例8】（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，再根据对称轴计算较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为， 由表可知，当时，；当时，， 方程的一个较小根满足。 根关于对称轴对称，设较大根为，则 ， 。 当时，； 当时，； ， 故选：C． 【技巧归纳】 画出抛物线y=ax²+bx+c，观察与x轴交点横坐标。在交点附近取x值，计算函数值，用二分法逐步逼近使y≈0的x。也可用网格纸估读，精确到小数点后一位或两位。注意端点函数值异号。 【变式4-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么方程的一个近似根的取值范围是 ． x 1 y 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与求一元二次方程的近似值．观察表格确定函数值正负的自变量的值，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：由表格数据，当时，， 当时，， ∴方程的一个近似根的取值范围是． 故答案为：． 【变式4-2】（2025·吉林长春·模拟预测）如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有 个实数根． 【答案】3 【分析】本题考查函数与方程的关系，根据函数图象交点的个数即为两解析式联立方程的解得个数解答即可． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出与的图象，结合图像可得有三个交点， ∴方程有3个实数根． 故答案为：3． 题型5 图象法解一元二次不等式 【例9】（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 【例10】（25-26九年级上·黑龙江·阶段练习）如图是二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．的最大值是4 B．当时，函数值 C．当时，随的增大而增大 D．函数的图象关于直线对称 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数图象以及二次函数的性质找出最值、增减性区间、对称轴等是关键． 根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出、二次函数对称轴为、与x轴的一个交点坐标为以及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：观察二次函数图象，发现： 开口向下，则，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，与x轴的一个交点为． A、∵开口向下，抛物线的顶点坐标为， ∴二次函数y的最大值为顶点的纵坐标，即函数y的最大值是4，故此选项正确，不合题意； B、∵二次函数的图象关于直线对称，且函数图象与x轴有一个交点， ∴二次函数与x轴的另一个交点为． ∴当时，函数值，故此选项错误，符合题意． C、当时，y随x的增大而增大，故此选项正确，不合题意； D、∵二次函数的对称轴为直线， ∴函数的图象关于直线对称，故此选项正确，不合题意； 故选：B． 【技巧归纳】 画抛物线草图，根据开口方向与x轴交点，确定函数值正负区间。不等式>0取x轴上方的x范围，<0取下方。若开口向下则相反。注意等号时包含交点，用实心点表示。无交点时全正或全负。 【变式5-1】（24-25九年级下·江苏宿迁·月考）已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方． 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 【变式5-2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图是二次函数的部分图象，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 由二次函数的图象的对称性得抛物线与轴的一个交点为，由轴的下方的图象对应的函数值小于，即可求解． 【详解】解：由图像得，对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的一个交点为， ∴轴的下方的图像对应的函数值小于， ∴当或时，； ∴不等式的解集是或， 故答案为：或． 题型6 利用不等式求自变量或函数值的范围 【例11】（2025·四川南充·二模）已知抛物线与直线在之间有个公共点，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，利用不等式求自变量或函数值的范围，掌握知识点的应用是解题的关键． 先根据题意画出图象，通过抛物线与直线在之间有个公共点，则，最后解出不等式组即可． 【详解】解：如图， 由直线得，当时，，当时，， ∵抛物线与直线在之间有个公共点， ∴， 解得：， 故选：． 【例12】（2025·辽宁铁岭·二模）已知点在直线上，点，在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的值，即可求得取值范围，根据抛物线与方程的关系，从而求得的取值范围，解答即可． 【详解】解：∵， 解得或， ∵点，在抛物线上，且， ∴是方程的两个根， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴； ∴； ∴， 故选：B． 【技巧归纳】 根据函数图象或增减性列不等式。已知y范围求x：先解方程求边界，结合图象写出对应x区间。已知x范围求y：代入端点求边界，注意开口方向决定最值在顶点或端点。分类讨论。 【变式6-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是 ； 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，观察图像可知二次函数有两个根，抛物线的两个根关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与轴的另一个交点，进而得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线与轴交于，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点为：， 故当函数值时，自变量的取值范围是：． 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查二次函数的最值，由函数解析式可知当时，函数有最大值为，且当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，根据x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为1，可分情况讨论a的值． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， ∴当时，， 解得，，， 在时，当时，最大值为1，此时； 在时，当时，最大值为1， 综上，a的值为或3， 故答案为：或3． 题型7 根据交点确定不等式的解集 【例13】（25-26九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象如图所示，则函数值时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，利用交点求不等式的解集．先观察图象确定抛物线的图象与x轴的交点，然后根据时，所对应的自变量x的变化范围． 【详解】解：∵二次函数的图象如图所示． ∴图象与x轴交在，， ∴当时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：． 故选：A． 【例14】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据函数图象交点求不等式的解集．不等式的解集是抛物线在直线上方相对应的自变量x的取值范围，根据函数图象及其交点即可解答． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴由图象可得，不等式的解集是． 故选：C． 【技巧归纳】 先求出两函数交点横坐标，将数轴分成若干区间。在每个区间内比较两函数值大小（通过图象上下位置）。图象在上方则函数值大。再结合不等式方向写出对应x的范围，注意等号取交点。 【变式7-1】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，已知二次函数（）与一次函数（）的图象交于点，，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；由不等式可变形为，然后根据图象可进行求解． 【详解】解：由不等式可变形为， ∴由图象可知：不等式的解集是； 故答案为． 【变式7-2】（25-26九年级上·广东珠海·期中）已知二次函数． (1)该函数的顶点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ． (2)根据图象回答：时，的取值范围是 ． (3)根据图象回答：当时，的取值范围是 ． 【答案】(1)；， (2) (3)或 【分析】本题考查的是把抛物线化为顶点式，顶点坐标，抛物线与x轴的交点坐标，抛物线的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． （1）先把抛物线化为顶点式可得坐标，再令函数值，可得，可得抛物线与x轴的交点坐标； （2）根据函数的图象得到当时，y的最大值与最小值即可得到答案； （3）根据函数的图象得到当时,的取值范围为轴上方自变量的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为：， 令，则， ∴， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为：，． 故答案为：；，． （2）根据图象可得当时，最小值为， 当时，， ∴． （3）∵抛物线与x轴的交点坐标为：，． ∴根据图象可知，当时，的取值范围是或． 一、单选题 1．二次函数的图象与x轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】令，求出的值即可． 【详解】解：令，得， 解得，， ∴与x轴有2个交点． 2．若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与x轴没有交点等价于对应一元二次方程无实数根，利用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 根据一元二次方程根的判别式性质，得， 即， 解得． 3．下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 4．已知抛物线的对称轴为直线，当时，抛物线与轴有且只有一个交点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先根据抛物线对称轴公式求出的值，得到抛物线解析式，再根据抛物线与轴只有一个交点或两个交点两种情况进行讨论，再通过端点函数值的符号，结合端点情况判断c的取值范围。 【详解】对于抛物线，对称轴公式为 ∵ ，对称轴为 ∴ ，解得 ∴ 抛物线解析式为 ， 开口向下，对称轴顶点坐标为，在内 当时， 当时， ①当抛物线与轴有且只有一个交点，则： 解得， 此时， 当解得：满足在这个范围内只有一个交点时， 则可取 ②当抛物线与轴有两个交点，此时满足解得：， 但在这个范围内只有一个交点时，则 ，即 ，解得 当时，解方程得根和，只有在内，符合条件，可取 当时，解方程 得根和，两个根都在区间内，不符合条件，不可取 综上，的取值范围是或 ． 5．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ）． A． B．方程的两根是， C．不等式的解集是 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向和与轴的交点得到，故选项错误；根据对称轴和一个与轴的交点可得另一个与轴的交点，即可得到选项正确；根据图象可得不等式的解集是或，当时，随的增大而增大，故、选项错误． 【详解】解：根据二次函数的图象和性质，逐一分析各选项， 选项：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴正半轴， ∴， ∴，故选项错误； 选项：∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标为，即另一个交点坐标是， ∴方程的两根是，，故选项正确； 选项：∵由图象可知当或时，抛物线在轴的下方， ∴不等式的解集是或，故选项错误； 选项：由图象可知，当时，随的增大而增大，故选项错误． 二、填空题 6．若抛物线 与x轴没有交点，则 m的值可以是_______．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】由抛物线与轴没有交点，可知对应一元二次方程无实数根，即根的判别式小于，求出的取值范围，任写一个范围内的值即可． 【详解】解：抛物线与轴没有交点， 方程没有实数根， ， 解得：， 实数的值可以是（答案不唯一）． 7．填空： （1）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________； （2）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________． 【答案】 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为0，x轴上点的纵坐标为0，将对应值代入抛物线解析式，计算得到对应坐标即可. 【详解】解：（1）对于抛物线， 令， ， 因此抛物线与轴交点坐标为； 令，得方程 ， 因式分解得， 解得，， 因此抛物线与轴交点坐标为 ； （2）对于抛物线 ， 令， ， 因此抛物线与轴交点坐标为； 令，得方程 ， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因此抛物线与轴交点坐标为. 8．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 【答案】或 【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， 由图象可知，抛物线在直线上方时的的取值范围为或， 即不等式的解是或． 9．已知二次函数的图象与轴的两个交点的距离为，则该函数图象的顶点的纵坐标为______． 【答案】 【分析】设二次函数对应一元二次方程的两根为，由抛物线与轴两交点距离为可得，利用恒等式结合韦达定理推导出，再代入顶点纵坐标公式，整体代换求值得到顶点纵坐标． 【详解】解：令，得， 设方程的两个根为， 由根与系数的关系可得 ，， 由题意得二次函数图象与轴两个交点的距离为， 因此， 两边平方得， 由完全平方公式变形得， 代入得， 整理得，即， 二次函数顶点纵坐标公式为， 将代入得， 将代入得． 故答案为：． 10．如图为二次函数的图象，该图象与x轴的两个交点分别为，B．下列说法正确的是_________（写出所有正确结果的序号）． ①对称轴为直线；②当时，y随x的增大而增大；③；④． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数之间的关系． 根据二次函数对称轴公式以及二次函数增减性可以判断说法①、②；根据二次函数与x轴交点个数，结合二次函数与一元二次方程的关系可以判断说法③；根据点A，点B关于对称轴对称，结合点A坐标，求出点B坐标，最后将点B坐标代入二次函数解析式中，即可判断说法④． 【详解】解：对于说法①：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∴①正确，符合题意； 对于说法②：∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ∴②错误，不符合题意； 对于说法③：∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴， ∵二次函数， ∴， ∴即， ∴③正确，符合题意； 对于说法④：∵该二次函数图象与x轴的两个交点分别为，B， ∴点与点B关于对称轴对称， ∵该二次函数的对称轴为直线， ∴点， 将点代入二次函数中，得：， 即， ∴④正确，符合题意． 综上，说法正确的是：①③④． 三、解答题 11．已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 【答案】(1)证明：令，则有， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴不论为何实数，二次函数的图象与轴都有两个不同的交点． (2)， 【分析】（1）由题意可令，则有，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，则有， ∴令，则有， 解得， ∴二次函数与轴的交点坐标为，． 12．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为，与x轴的一个交点为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求该图象与x轴的另一个交点坐标； (3)观察图象，当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，设该二次函数的表达式为，把，分别代入解析式，转化为方程组解答即可． （2）设该图象与x轴的另一个交点坐标为，根据，解答即可． （３）根据抛物线的对称轴，开口方向，确定时，二次函数的最大值与最小值，再确定范围即可． 【详解】（1）解：根据题意，设该二次函数的表达式为． 把，分别代入解析式，得 ， 解得， 该二次函数的表达式为． （2）解：设该图象与x轴的另一个交点坐标为， 根据题意，得， 解得． （3）解：∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值， 且抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小， ∵， ∴在这个范围内， ∴二次函数的最大值为４, ∵， ∴当时，取得最小值，且最小值为， 故的取值范围为． 【点睛】熟练掌握增减性和最值确定方法，是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且． (1)填空： ①点A的坐标为______； ②点B的坐标为______； ③直线的表达式为______； (2)求该二次函数的解析式； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3) 【分析】（1）①求出的长，再求的长，即可求A点坐标； ②由的长，求出的长，即可求B点坐标； ③用待定系数法求直线的解析式即可； （2）用待定系数法求二次函数的解析式即可； （3）分三种情况讨论：①当时，，y有最大值0；，y有最小值，此时不符合题意；②当时，，y有最小值；，y有最大值0；此时符合题意；③当时，，y有最小值；，y有最大值；此时不符合题意． 【详解】（1）解：①令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴； ③设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴； （2）解：将，代入， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时，，y有最大值0；，y有最小值， ∴，此时二次函数的最大值与最小值的差随m的变化而变化； ②当时，，y有最小值；，y有最大值0； ∴，此时二次函数的最大值与最小值的差是一个定值； ③当时，，y有最小值；，y有最大值； ∴，此时二次函数的最大值与最小值的差随m的变化而变化； 综上所述：时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值． 14．已知二次函数（为常数，），顶点坐标为． (1)当时， ； (2)当时， ①求证：二次函数的图像与轴总有两个公共点； ②若二次函数图像与轴的交点都在轴的右侧，则的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)①证明：由（1）可得， 令，即，， ∵， ∴，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数解， ∴二次函数的图像与轴总有两个公共点． ②． 【分析】（1）先将函数解析式化成顶点式可知，然后解关于a的方程即可； （2）①先把函数解析式化成一般式，令，得到关于x的方程，再证明方程根的判别式大于零即可证明结论；②当，即，由题意可知该方程的都是大于零的实数，解（1）的解答过程可得，再根据等式的性质、直接开平方法解关于x的方程，然后让解的最小值大于零，据此列不等式求得a的取值范围；由（1）可知，再根据二次函数的性质确定n的取值范围即可． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵抛物线顶点坐标为，， ∴，解得：或， ∵， ∴． （2）①证明：略； ②解：当，即，由题意可知该方程的根都是大于零的实数， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴方程的最小解为， ∴，解得：， ∴； 由（1）可得：， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为， ∴当时，n随a的增大而减小， ∴当，n随a的增大而减小， ∵当时，n有最大值；当时，n有最小值； ∴的取值范围为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $