7.5 用综合法求空间距离 课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“用综合法求空间距离”专题，依据高考评价体系梳理了点到平面、异面直线、直线到平面及两平行平面距离的概念与求法，通过考点权重分析明确点到面距离（等体积法）、异面直线距离（转化为面面距离）为高频考点，归纳直棱柱、折叠问题等常考题型。 课件亮点在于“真题引领+变式迁移+素养提升”，如链接2023天津卷点到面距离题，运用等体积法与作垂线段双解法，培养学生空间观念和推理能力。典型题如直三棱柱中点到面距离，通过“定义理解-方法选择-步骤规范”三步突破，帮助学生掌握转化技巧，教师可依托典例悟法模块实现精准教学，助力高效备考。

第七章 7.5　用综合法求空间距离 立体几何与空间向量 复习目标　1. 理解空间内点到直线的距离、两异面直线之间的距离、直线到平面的距离、两平行平面的距离的概念，理解空间内线面的平行关系与垂直关系.2. 掌握求空间距离的常见方法． 内容索引 内容索引 核心体系 活动方案 核 心 体 系 内容索引 空间的距离 内容索引 活 动 方 案 内容索引 活动一　基础引入 1 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AB＝AA1＝4，D是棱AB的中点，则点B1到平面A1CD的 距离为______． 内容索引 内容索引 2 若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，直线AC1与底面ABCD所成角的大小是60°，则A1C1到底面ABCD的距离为______． 内容索引 3 已知平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，若AB＋CD＝33，且AB，CD在平面β内的射影长分别为5和16，则平面α与β之间的距离为______． 12 内容索引 内容索引 内容索引 5 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，则异面直线A1D与B1D1的 距离为______． 【解析】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由A1D1∥BC，A1D1＝BC，得四边形A1D1CB是平行四边形，所以A1B∥CD1，同理可得BD∥B1D1.设F，E分别是上、下底面对角线的交点，A1E，CF分别与AC1交于点M，N，连接相应的线段．因为A1B⊄平面CB1D1 ， CD1⊂平面CB1D1，所以A1B∥平面CB1D1，同理BD∥平面CB1D1.又A1B∩BD＝B，A1B⊂平面A1BD，BD⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CB1D1.因为A1F与CE平行 内容索引 内容索引 内容索引 活动二　典例悟法 题组一　求空间点到面的距离 1 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 B 内容索引 内容索引 D 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 求空间点到直线、点到平面的距离，思路一：作垂线段，一、根据题设中的线线垂直关系作面的垂线，二、根据面面垂直的性质作面的垂线；思路二：构造三棱锥，利用等体积法求点到平面的距离． 内容索引 题组二　求直线到平面及两平行平面之间的距离 2 D 内容索引 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝2BC＝CC1＝2，D，E，F分别是棱A1C1，BC，AC的中点，AB⊥BC. (1) 求证：平面ABD∥平面EFC1； (2) 求平面EFC1到平面ABD的距离． 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 空间内直线到平面的距离以及两平行平面间的距离一般是转化为空间内点到平面的距离求解． 内容索引 题组三　空间距离的综合应用 3 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 1 [2025徐州二中模拟]如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，M，N分别为PC，AB的中点．求异面直线PC与AB间的距离． 【解析】连接BM，CN. 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC. 又BC⊥AB，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB＝A， 所以BC⊥平面PAB. 内容索引 内容索引 内容索引 2 如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． (1) 求证：MN∥平面C1DE； (2) 求点C到平面C1DE的距离． 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 [2023天津卷·17]如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，M，N分别为BC，AB的中点． (1) 求证：A1N∥平面AMC1； (2) 求平面AMC1与平面ACC1A1所成角的余弦值； (3) 求点C到平面AMC1的距离． 内容索引 内容索引 (2) 如图，过点M作ME⊥AC，垂足为E，过点E作EF⊥AC1，垂足为F，连接MF，C1E. 因为ME⊂平面ABC，A1A⊥平面ABC，所以AA1⊥ME. 又ME⊥AC，AC∩AA1＝A，AC⊂平面ACC1A1， AA1⊂平面ACC1A1，所以ME⊥平面ACC1A1. 因为AC1⊂平面ACC1A1，所以ME⊥AC1. 又EF⊥AC1，ME∩EF＝E，ME⊂平面MEF，EF⊂平面MEF， 所以AC1⊥平面MEF. 因为MF⊂平面MEF，所以AC1⊥MF， 所以∠MFE为平面AMC1与平面ACC1A1所成的角． 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 在求解距离问题时，一、要根据题设条件选择恰当的方法；二、要学会利用直线与平面平行及两平面平行的性质，将所求的点到面的距离转化为空间其余点到面的距离；三、用等积法解决距离问题． 内容索引 谢谢观看 Thank you for watching 因为△ABC是等边三角形，D是棱AB的中点，所以AB⊥CD，所以CD＝＝＝2.因为A1D2＋CD2＝A1C2，所以A1D⊥CD，所以S△A1CD＝×2×2＝2.因为AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面A1ABB1，所以平面ABC⊥平面A1ABB1.因为平面ABC∩平面A1ABB1＝AB，AB⊥CD，CD⊂平面ABC，所以CD⊥平面A1ABB1.设点B1到平面A1CD的距离为h，由VB1-A1CD＝VC-A1B1D，得×2h＝××4×4×2，解得h＝，所以点B1到平面A1CD的距离为. 【解析】如图，过点A作AE⊥β，垂足为E，过点C作CF⊥β，垂足为F，由题意可知，BE＝5，DF＝16，设AB＝x，则CD＝33－x，可得x2－52＝(33－x)2－162，解得x＝13，所以平面α与β之间的距离AE＝＝12. 又因为BD⊂平面BCD，CO⊂平面BCD，BD∩CO＝O，所以AO⊥平面BCD，所以点A到平面BCD的距离为AO＝2.又△BCD的面积为S△BCD＝×2×2＝4，所以三棱锥A-BCD的体积为VA-BCD＝S△BCD·AO＝.设点D到平面ABC的距离为d，则VD-ABC＝S△ABC·d.因为AB＝BC＝AC＝2，所以S△ABC＝×2×2×sin 60°＝2.又VD-ABC＝VA-BCD＝，所以×2×d＝，解得d＝，所以点D到平面ABC的距离为. 且相等，所以四边形A1FCE是平行四边形，所以A1E∥CF.又E，F分别是AC，A1C1的中点，所以AM＝MN＝NC1.由正方体的棱长为4，得AC1＝4，MN＝AC1＝.因为CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD.又BD⊥AC，AC∩CC1＝C，AC⊂平面ACC1，CC1⊂平面ACC1，所以BD⊥平面ACC1.因为AC1⊂平面ACC1，所以AC1⊥BD，同理可得AC1⊥A1B.因为A1B∩BD＝B，A1B⊂平面A1BD，BD⊂平面A1BD， 所以AC1⊥平面A1BD，所以AC1⊥平面CB1D1，所以平面A1BD与平面CB1D1的距离为.因为A1D⊂平面A1BD，B1D1⊂平面CB1D1，且A1D与B1D1是异面直线，所以异面直线A1D与B1D1的距离等于平面A1BD与平面CB1D1之间的距离为. [2025苏州苏苑高级中学月考]离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为φP＝1－(∠Q1PQ2＋∠Q2PQ3＋…＋∠Qk－1PQk＋∠QkPQ1)，其中Qi(i＝1，2，…，k，k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk－1PQk和平面QkPQ1为多面体M的所有以P为公共点的面．已知三棱锥P-ABC如图所示． 1 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝AC＝BC＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离是 (　　) A. B. C. D. 【解析】 设点A到平面A1BC的距离为h.由题意，得A1C＝A1B.如图，取BC的中点D，连接AD，A1D，则A1D⊥BC，所以S△A1BC＝BC·A1D＝×2×2＝2，S△ABC＝×2×＝.因为VA1-ABC＝VA-A1BC，所以S△ABC·AA1＝S△A1BC·h，所以××1＝×2×h，解得h＝，故点A 到平面A1BC的距离是. 所以O是BC的中点．连接AO.因为AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，所以AD⊥BC.又DO⊥BC，AD∩DO＝D，且AD，DO均在平面ADO内，所以BC⊥平面ADO.又AO⊂平面ADO，所以BC⊥AO，即AO为点A到BC的距离．由题意，得正三角形ABC的边长为a，所以AD＝a.因为正三角形BDC的边长为，所以边BC上的高DO＝a，所以在Rt△ADO中，AO＝＝a. [2024全国甲卷(文)·19(2)]如图，已知AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4，AD＝BC＝，AE＝2，M为CD的中点．求点M到平面ADE的距离． 又AD＝，所以△ADM是等腰三角形． 同理可得△EDM是等腰三角形． 所以OA⊥DM，OE⊥DM， 所以OA＝＝3，OE＝＝. 又AE＝2，所以OA2＋OE2＝AE2， 所以OA⊥OE. 又OA⊥DM，OE∩DM＝O，OE⊂平面EDM，DM⊂平面EDM， 所以OA⊥平面EDM. 易知S△EDM＝×2×＝. 在△ADE中，cos ∠DEA＝＝， 所以sin ∠DEA＝， 所以S△ADE＝×2×2×＝. 设点M到平面ADE的距离为d， 由VM-ADE＝VA-EDM，得S△ADE·d＝S△EDM·OA，解得d＝， 故点M到平面ADE的距离为. 所以AB＝，PB＝＝. 因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以PA⊥BC. 又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB. 过点A作AH⊥PB交PB于点H. 因为AH⊂平面PAB，所以BC⊥AH. 又PB∩BC＝B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以AH⊥平面PBC. 因为AH＝＝， 所以点A到平面PBC的距离为. 3 如图，直角梯形ABCD与梯形EFCD全等，其中AB∥CD∥EF，AD＝AB＝CD＝1，且ED⊥平面ABCD，G是CD的中点． (1) 求证：平面BCF∥平面AGE； (2) 求平面BCF与平面AGE间的距离． 又C1Q⊥AM，C1Q∩C1P＝C1，C1Q⊂平面C1PQ，C1P⊂平面C1PQ，所以AM⊥平面C1PQ. 因为PR⊂平面C1PQ，所以PR⊥AM. 又PR⊥C1Q，C1Q∩AM＝Q，C1Q⊂平面C1MA，AM⊂平面C1MA，所以PR⊥平面C1MA. 在Rt△C1PQ中，PR＝＝＝. 又CA＝2PA，所以点C到平面AMC1的距离是点P到平面AMC1的距离的2倍， 故点C到平面AMC1的距离是. 在Rt△AC1Q中，AQ＝，所以C1Q＝＝. 设点C到平面AMC1的距离为h. VC1-AMC＝C1P·S△AMC＝×2××2×1＝， VC-AMC1＝h·S△AMC1＝×h×××＝. 由VC1-AMC＝VC-AMC1，得＝，解得h＝. $