暑假预习专题 第11讲 绝对值不等式和三角不等式（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版

暑假预习专题 第11讲 绝对值不等式和三角不等式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 绝对值 绝对值不等式 三角不等式 1. 绝对值的定义及其几何意义。 2. 各种绝对值不等式的解法。 3. 三角不等式的应用及其推广。 学习重点：绝对值的意义、因式分解、不定方程或者方程组。 学习难点：运用绝对值的意义来解含绝对值的不等式，利用三角不等式来求参数的最值或者范围。 1.解绝对值不等式的思想是化去绝对值符号，转化为整式不等式（主要是一次、二次不等式）解之； 【注意】去绝对值符号，化绝对值不等式为整式不等式时要保持同解性. 2.绝对值不等式，关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何意义法；②平方法；③分段讨论法. 3.含参数问题一定注意几何意义，数轴上标根以及最后确定解集时，要注意区间的开闭. 4.绝对值三角不等式的变形种种： （1）；（2）；（3）. （注意不等式成立的条件） 5.三角不等式中的恒成立与有无解问题的方法：分离常数法. 6.常见误区：注意三角不等式成立的条件与拓展结论. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 利用几何意义法解不等式 绝对值的几何意义即实际含义，就是数轴上两点之间的距离；所以，利用这一点，就可以解决一些简单的绝对值不等式问题；也可以直接利用分类讨论将绝对值符号去掉进行求解. 【经典例题】 【例1】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接套用前面给的公式，然后进行化简就可以得出答案. 【例2】解不等式 【技巧归纳】 去绝对值符号之前，可适当对绝对值内的代数式进行化简，化简后可较容易判断符号或确定零点. 【例3】已知，（ ） （A） （B） （C） （D） 【技巧归纳】其中的分式不等式应移项、通分再求解，最后的解为两个不等式的交集. 【对点练习】 【练习1】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【练习2】若集合，则__________. 【练习3】若，化简的结果是（ ） （A） （B） （C） （D） 知识点02 利用平方法解不等式 当不等式的两边都出现绝对值（或恒大于等于零）时，就可以利用不等式可两边平方的性质来去掉 绝对值符号：. 【经典例题】 【例4】 【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接套用前面给的公式，然后进行化简就可以得出答案. 【例5】不等式的解集是__________. 【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接套用前面给的公式，然后进行化简就可以得出答案. 【对点练习】 【练习4】解不等式 【练习5】解不等式 知识点03 利用分类讨论法解不等式 一般地，当无法直接去绝对值，或者出现多个绝对值符号时，通常是“分段讨论”，去掉绝对值符号. 【经典例题】 【例6】不等式的解集是__________. 【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接套用前面给的公式，然后进行化简就可以得出答案. 【例7】解不等式 【技巧归纳】 解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法： 一是根据绝对值的意义； 二是根据绝对值的性质：或. 【例8】不等式的解是__________. 【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接套用前面给的公式，然后进行化简就可以得出答案. 【例9】解不等式 【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接套用前面给的公式，然后进行化简就可以得出答案. 【例10】解不等式 【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接进行分类讨论，然后进行化简就可以得出答案. 【例11】解不等式 【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接进行分类讨论，然后进行化简就可以得出答案. 【例12】解不等式 【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接进行分类讨论，然后进行化简就可以得出答案. 【对点练习】 【练习6】解不等式 【练习7】解不等式 【练习8】不等式组 的解集是（ ） (A) (B) (C) (D) 【易错警示】本题是在的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方；另一种方法则是分区间讨论， 从而去掉绝对值符号，当然本题还可用特殊值排除法求解. 【练习9】解不等式 【练习10】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【技巧归纳】去绝对值符号之前，不能直接套用公式的，应该分类讨论，按照分和两种情况，分别解不等式，进而可求出答案. 知识点04 含参数的不等式 含参数的绝对值不等式分为三类：①给定解集求参数；②简单恒成立问题；③讨论参数取值解不等式； 其解决方法都可以利用前面三种方法来进行求解，有时也可以利用参变分离、数形结合的方法来简化计算. 【经典例题】 【例13】关于的不等式的解集是[-1,5]，那么的值是（ ） () () () () 【技巧归纳】将形如转化为，再分类讨论解出的取值集合，利用集合相等的概念解二元一次方程组即可求出的值. 【例14】若不等式的解集为全集，求实数的求值范围. 【技巧归纳】利用绝对值不等式分段求解的方法，设的最小值，再利用恒成立问题 求得实数的取值范围即可. 【例15】已知 （1）当时，求不等式的解；（2）当时，求实数的取值范围. 【易错警示】（1）首先分别解绝对值不等式与一元二次不等式，再根据的取值范围，求两不等式的解集 的交集，即可得解；（2）由解集为，即，即可得到不等式，解得即可. 【对点练习】 【练习11】已知不等式的解集为，求的值. 【练习12】已知，使不等式在实数集上的解集不是空集，求的取值范围. 【练习13】设全集（是常数），且，则（ ） A． B． C． D． 知识点05 三角不等式 1.定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立. 2.推广： （1）如果、是实数，那么（由定理通过代换可以推得）； （2）如果、、是实数,那么，当且仅当时，等号成立. 【经典例题】 【例16】设不等式（常数）的解集是，设不等式（常数）的解集是，则（ ）A． B． C． D． 【技巧归纳】由此题的条件，结合三角不等式，可知，从而得到， 即可得解. 【例17】已知、是实数，写出不等式等号成立的所有条件 【技巧归纳】根据，，将证等号成立条件， 转化为证等号成立条件求解. 【例18】若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为______. 【易错警示】 注意：题设中的关键词“存在”与“成立（有解）”并存，这与“恒成立”本质不同，千万不要混淆； 再利用三角不等式求出的最小值为3，即得解. 【对点练习】 【练习14】若不等式|x－2|＋|x＋3|>a，对于x∈R均成立，那么实数a的取值范围是（ ） A．(－∞，5) B．[0，5) C．(－∞，1) D．[0，1] 【练习15】代数式y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为 1.（2024·上海杨浦·一模）已知，则实数的取值范围为 . 2.（24-25高一上·上海·期中）已知，则方程的解集为 . 3.（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式. 4.（24-25高一上·上海金山·期末）已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 5.（24-25高一上·上海长宁·期末）若对任意，都有，则实数的最大值为 6.（24-25高一上·上海徐汇·期末）若关于的不等式对于一切实数都成立， 则实数的取值范围是 . 7.（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，则的最大值为 ． 8.（24-25高一上·上海·阶段练习）对任意的实数，的最小值为 ． 9.（24-25高一上·上海·阶段练习）存在使不等式成立， 则实数的取值范围是 . 10.（24-25高一上·上海·期中）设，方程的解集是 ． 11.若关于x的不等式对于任意恒成立，则实数a的取值范围是________． 12.不等式的解集是（ ） （A） （B）（C） （D） 13.不等式的解集是（ ） （A） （B） （C） （D） 14.不等式的解集是（ ） （A） （B） （C） （D） 15.若集合,则（ ） （A） （B）（C）（D） 16.不等式的解集是（ ） （A） （B） （C） （D） 17.不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 18.不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 19.若不等式的解集为，则实数等于（ ） A. B. C. D. 20.（24-25高一上·上海·期中）（1）解关于的不等式组 （2）设，证明：若是奇数，则是奇数. 21.（24-25高一上·上海·期中）已知函数满足 (1)当时，求不等式的解集；(2)若恒成立，求实数a的取值范围． 22.解不等式 23.（1）不等式的解集为一切实数，求实数的取值范围； （2）不等式的解集为空集，求实数的取值范围； （3）不等式的解集非空，求实数的取值范围； 24.设集合，若，求实数的取值范围. 25.已知关于x的不等式|ax－1|＋|ax－a|≥1(a＞0). （1）当a＝1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围. 26.已知函数； （1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第11讲 绝对值不等式和三角不等式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 绝对值 绝对值不等式 三角不等式 1. 绝对值的定义及其几何意义。 2. 各种绝对值不等式的解法。 3. 三角不等式的应用及其推广。 学习重点：绝对值的意义、因式分解、不定方程或者方程组。 学习难点：运用绝对值的意义来解含绝对值的不等式，利用三角不等式来求参数的最值或者范围。 1.解绝对值不等式的思想是化去绝对值符号，转化为整式不等式（主要是一次、二次不等式）解之； 【注意】去绝对值符号，化绝对值不等式为整式不等式时要保持同解性. 2.绝对值不等式，关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何意义法；②平方法；③分段讨论法. 3.含参数问题一定注意几何意义，数轴上标根以及最后确定解集时，要注意区间的开闭. 4.绝对值三角不等式的变形种种： （1）；（2）；（3）. （注意不等式成立的条件） 5.三角不等式中的恒成立与有无解问题的方法：分离常数法. 6.常见误区：注意三角不等式成立的条件与拓展结论. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 利用几何意义法解不等式 绝对值的几何意义即实际含义，就是数轴上两点之间的距离；所以，利用这一点，就可以解决一些简单的绝对值不等式问题；也可以直接利用分类讨论将绝对值符号去掉进行求解. 【经典例题】 【例1】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接套用前面给的公式，然后进行化简就可以得出答案. 【例2】解不等式 【答案】 【解析】这个绝对值不等式的绝对值符号内是一个分式，若先去绝对值符号，就变成一个形式上是分式的不等式：，这样就为解题制造了障碍，但是如果我们不急于去绝对值符号， 而是先将绝对值符号内的表达式进行化简，就可以得到. 【技巧归纳】 去绝对值符号之前，可适当对绝对值内的代数式进行化简，化简后可较容易判断符号或确定零点. 【例3】已知，（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】， 即. 【技巧归纳】其中的分式不等式应移项、通分再求解，最后的解为两个不等式的交集. 【对点练习】 【练习1】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式，化为，或，根据不等式的基本性质，易得到满足条件的的取值范围，即等式的解集． 【解析】不等式可化为，或 解得，或，故不等式的解集为；故选：D. 【练习2】若集合，则__________. 【答案】 【练习3】若，化简的结果是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【分析】先解不等式得，再根据化简即可. 【解析】解不等式得，∴ ， ∴ ∴ ；故选：C. 知识点02 利用平方法解不等式 当不等式的两边都出现绝对值（或恒大于等于零）时，就可以利用不等式可两边平方的性质来去掉 绝对值符号：. 【经典例题】 【例4】 【答案】 【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接套用前面给的公式，然后进行化简就可以得出答案. 【例5】不等式的解集是__________. 【答案】｛x| x≥-1｝ 【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接套用前面给的公式，然后进行化简就可以得出答案. 【对点练习】 【练习4】解不等式 【答案】 【练习5】解不等式 【答案】， 【分析】问题转化为关于的不等式组，通过讨论的范围求出各个区间上的的范围，不交集即可． 【解析】， ， 解不等式，即即， 解得或；解不等式，即，，解得，故，故不等式的解集是． 知识点03 利用分类讨论法解不等式 一般地，当无法直接去绝对值，或者出现多个绝对值符号时，通常是“分段讨论”，去掉绝对值符号. 【经典例题】 【例6】不等式的解集是__________. 【答案】 【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接套用前面给的公式，然后进行化简就可以得出答案. 【例7】解不等式 【答案】 【解析】解法一：原不等式即 ∴或故原不等式的解集为． 解法二：原不等式等价于 即 ∴． 【技巧归纳】解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法： 一是根据绝对值的意义； 二是根据绝对值的性质：或. 【例8】不等式的解是__________. 【答案】 【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接套用前面给的公式，然后进行化简就可以得出答案. 【例9】解不等式 【答案】 【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接套用前面给的公式，然后进行化简就可以得出答案. 【例10】解不等式 【答案】 【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接进行分类讨论，然后进行化简就可以得出答案. 【例11】解不等式 【答案】 【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接进行分类讨论，然后进行化简就可以得出答案. 【例12】解不等式 【答案】 【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接进行分类讨论，然后进行化简就可以得出答案. 【对点练习】 【练习6】解不等式 【答案】 【解析】，所以或，解得或， 综上可得原不等式的解集为. 【练习7】解不等式 【答案】 【解析】，所以或，所以或， 所以或，解得或或或， 故原不等式的解集为. 【练习8】不等式组 的解集是（ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】本题是考查含有绝对值不等式的解法，由，知，所以， 又，所以，解原不等式实为解不等式. 解法一：不等式两边平方得：2 222. 所以即 所以，又，所以 ，所以，选C 解法二：由可分为两种情况讨论： （1）当时，不等式组可化为（）；解得 ； （2）当时，不等式组可化为； 综合可得原不等式组的解为，选C. 【易错警示】本题是在的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方；另一种方法则是分区间讨论， 从而去掉绝对值符号，当然本题还可用特殊值排除法求解. 【练习9】解不等式 【答案】 【解析】，因为， 所以或或，解得或或， 综上可得，即原不等式的解集为. 【练习10】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，不等式可化为，解得；当时，不等式可化为： ，解得且；综上，原不等式的解集为；故选：D. 【技巧归纳】去绝对值符号之前，不能直接套用公式的，应该分类讨论，按照分和两种情况，分别解不等式，进而可求出答案. 知识点04 含参数的不等式 含参数的绝对值不等式分为三类：①给定解集求参数；②简单恒成立问题；③讨论参数取值解不等式； 其解决方法都可以利用前面三种方法来进行求解，有时也可以利用参变分离、数形结合的方法来简化计算. 【经典例题】 【例13】关于的不等式的解集是[-1,5]，那么的值是（ ） () () () () 【答案】C 【解析】等价于，由题意知：， 当时，，则 ，解得：（舍）； 当时，，则，解得：；故选：C. 【技巧归纳】将形如转化为，再分类讨论解出的取值集合，利用集合相等的概念解二元一次方程组即可求出的值. 【例14】若不等式的解集为全集，求实数的求值范围. 【答案】 【解析】设 ,故，故；故答案为:. 【技巧归纳】利用绝对值不等式分段求解的方法，设的最小值，再利用恒成立问题 求得实数的取值范围即可. 【例15】已知 （1）当时，求不等式的解；（2）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）. 【解析】（1）因为，解，即，解得， 即不等式的解集为，解得， 即不等式的解集为，因为，所以，， 所以原不等式组的解集为，即； （2）当时，则，所以或， 解得或，即. 【易错警示】（1）首先分别解绝对值不等式与一元二次不等式，再根据的取值范围，求两不等式的解集 的交集，即可得解；（2）由解集为，即，即可得到不等式，解得即可. 【对点练习】 【练习11】已知不等式的解集为，求的值. 【答案】或 【练习12】已知，使不等式在实数集上的解集不是空集，求的取值范围. 【答案】设y=|x-4|+|x-3|，y为实数x对应的点与3、4对应的点的距离|PA|与|PB|之和，∵|PA|+|PB|≥1， ∴y≥1对一切x都成立∴要使原不等式有解，只需a>1. 【练习13】设全集（是常数），且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 知识点05 三角不等式 1.定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立. 2.推广： （1）如果、是实数，那么（由定理通过代换可以推得）； （2）如果、、是实数,那么，当且仅当时，等号成立. 【经典例题】 【例16】设不等式（常数）的解集是，设不等式（常数）的解集是，则（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由绝对值三角不等式，可知； 因为，不等式（常数）的解集是， 不等式（常数）的解集是，所以，，故选：B. 【技巧归纳】由此题的条件，结合三角不等式，可知，从而得到， 即可得解. 【例17】已知、是实数，写出不等式等号成立的所有条件 【答案】或. 【解析】因为，，所以要证的等号成立条件 ， 只需证的等号成立条件， 即的等号成立条件， 当时， ； 当时，； 当且仅当时，即或时，等号成立. 【技巧归纳】根据，，将证等号成立条件， 转化为证等号成立条件求解. 【例18】若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】由题得，所以的最小值为3，所以； 故答案为：. 【易错警示】注意：题设中的关键词“存在”与“成立（有解）”并存，这与“恒成立”本质不同， 千万不要混淆；再利用三角不等式求出的最小值为3，即得解. 【对点练习】 【练习14】若不等式|x－2|＋|x＋3|>a，对于x∈R均成立，那么实数a的取值范围是（ ） A．(－∞，5) B．[0，5) C．(－∞，1) D．[0，1] 【答案】A 【解析】由绝对值的几何意义知|x－2|＋|x＋3|表示的是x与数轴上的点A(－3)及B(2)两点距离之和， A、B两点的距离为5，线段AB上任一点到A、B两点距离之和也是5；数轴上其它点到A、B两点距离 之和都大于5，或由三角不等式，更简洁得|x－2|＋|x＋3|≥5，因为x∈R，所以，a<5；答案为A. 【练习15】代数式y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为 【答案】2 【解析】y＝|x－4|＋|x－6|≥| x－4＋6－x |＝2. 1.（2024·上海杨浦·一模）已知，则实数的取值范围为 . 【答案】【分析】讨论去绝对值求解.【详解】由， 当时，上式为，解得（舍）， 当时，上式为，解得（舍）， 当时，上式为；所以实数的的取值范围为；故答案为：. 2.（24-25高一上·上海·期中）已知，则方程的解集为 . 【答案】或【分析】分类讨论去绝对值，即可求解. 【详解】当时，方程为，解得， 当时，方程为，解得， 当时，方程为，解得，不符合，舍去， 当时，方程为，解得，不符合，舍去， 综上可得解集为或，故答案为；或， 3.（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式. 【答案】【分析】分类讨论开绝对值即可求解. 【详解】当时，，此时不等式无解； 当时，，此时； 当时，，此时. 综上：原不等式的解集为. 4.（24-25高一上·上海金山·期末）已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 【答案】【分析】根据绝对值不等式求解最值即可求解. 【详解】恒成立，等价于， 又，；故答案为：. 5.（24-25高一上·上海长宁·期末）若对任意，都有，则实数的最大值为 【答案】【分析】利用绝对值不等式的性质求出的最小值，再根据已知条件确定实数的最大值.【详解】根据绝对值不等式. 对于，这里，，则. 当且仅当时等号成立，所以的最小值是. 因为对任意，都有恒成立；这就意味着要不大于的最小值； 而最小值是，所以，那么实数的最大值就是；故答案为：3. 6.（24-25高一上·上海徐汇·期末）若关于的不等式对于一切实数都成立， 则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式求左侧最小值，结合恒成立有，即可求参数范围. 【详解】由，当且仅当时取等号， 所以；故答案为：. 7.（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，则的最大值为 ． 【答案】4【分析】利用绝对值三角不等式求解. 【详解】解：因为，，，， 所以；故答案为：. 8.（24-25高一上·上海·阶段练习）对任意的实数，的最小值为 ． 【答案】4【分析】利用基本不等式与绝对值三角不等式求解即可，另外要特别注意等号成立的条件. 【详解】因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当，且，即或且时等号成立， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以，则， 当且仅当，且，即或且时等号成立， 所以，当且仅当或且时等号成立， 即的最小值为4；故答案为：4. 9.（24-25高一上·上海·阶段练习）存在使不等式成立， 则实数的取值范围是 . 【答案】【分析】根据绝对值的三角不等式和一元二次不等式计算即可. 【详解】存在,不等式成立，变形即成立， 由于，当且仅当时取等号，因此有， 两边平方，解得或，即实数的取值范围是； 故答案为：. 10.（24-25高一上·上海·期中）设，方程的解集是 ． 【答案】【分析】利用绝对值三角不等式等号的成立条件可求解. 【详解】因为，又， 当且仅当时，等号成立，解得， 所以方程的解集是，故答案为：. 11.若关于x的不等式对于任意恒成立，则实数a的取值范围是________． 【提示】将绝对值不等式等价转化，利用绝对值三角不等式即可求得关于的不等式即可. 【答案】或 【解析】． 所以，解得或，故答案为：或. 12.不等式的解集是（ ） （A） （B）（C） （D） 【答案】B 13.不等式的解集是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 14.不等式的解集是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 15.若集合,则（ ） （A） （B）（C）（D） 【答案】D 16.不等式的解集是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 17.不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.，解得A； 或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除. 18.不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 19.若不等式的解集为，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 20.（24-25高一上·上海·期中）（1）解关于的不等式组 （2）设，证明：若是奇数，则是奇数. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）解分式不等式和解绝对值不等式进行求解即可；（2）用反证法进行证明即可. 【详解】（1）由，解得， 当，即时，，解得， 当，即时，，解得， 则的解集为. （2）假设不是奇数，则是偶数，设，则，因为，则， 所以是偶数，即是偶数，这与已知是奇数矛盾，故假设不成立，因此证得若是奇数，则是奇数. 21.（24-25高一上·上海·期中）已知函数满足 (1)当时，求不等式的解集；(2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或；(2). 【分析】（1）运用零点分区间法，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式可得所求解集； （2）由题意可得，由绝对值不等式的性质可得的最小值，解不等式可得所求范围． 【详解】（1）当时，， 等价为或或，解得或或， 则不等式的解集为或； （2）恒成立等价为，由， 当时，上式取得等号，则，解得或． 所以实数a的取值范围为. 22.解不等式 【答案】【分析】根据不等式，得到，结合分式不等式的解法，即可求解. 【解析】由题意，不等式，可转化为，即，解得， 即不等式的解集为.故答案为：. 23.（1）不等式的解集为一切实数，求实数的取值范围； （2）不等式的解集为空集，求实数的取值范围； （3）不等式的解集非空，求实数的取值范围； 【答案】 ； ； . 【分析】利用不等式的性质对进行分类讨论，求出的最小值，即可求解； 利用不等式的性质对进行分类讨论，求出的最小值，即可求解； 利用不等式的性质对进行分类讨论，求出的最小值，即可求解. 【解析】 ，当时，， 当时，， 当时，，因此，. 因为不等式的解集为一切实数，所以，即实数的取值范围是； ，当时，， 当时，，即， 当时，，因此，， 因为不等式的解集为空集，所以，即实数的取值范围是； ，当时，， 当时，， 当时，，因此，， 因为不等式的解集非空，所以，即实数的取值范围是. 24.设集合，若，求实数的取值范围. 【答案】由题意可得，，因为，可得， 解得的取值范围为. 25.已知关于x的不等式|ax－1|＋|ax－a|≥1(a＞0). （1）当a＝1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围. 【答案】(1);(2) a≥2. 【解析】(1)当a＝1时，得2|x－1|≥1，∴|x－1|≥，x≥或x≤，∴不等式的解集为. （2）因为，|ax－1|＋|ax－a|≥|a－1|，所以，原不等式解集为R等价于|a－1|≥1， 所以，a≥2或a≤0，又因为，a＞0，所以a≥2，则实数a的取值范围为：[2 , +∞). 26.已知函数； （1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围. 【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集；（2）利用绝对值不等式化简 ，由此求得的取值范围.【答案】（1）.（2）. 【解析】（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和， 则表示数轴上的点到和的距离之和不小于， 当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或， 所以的解集为； （2）依题意，即恒成立，， 当且仅当时取等号，所以，，故， 所以或，解得，所以的取值范围是. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $