暑假预习专题 第9讲一元一次不等式（组）与 一元二次不等式的求解（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版

暑假预习专题第9讲一元一次不等式（组）与 一元二次不等式的求解 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元一次不等式 一元一次不等式组 一元二次不等式 1. 掌握一元一次不等式的解法。 2. 掌握一元一次不等式组的解法。 3. 掌握一元二次不等式的解法及其拓展。 学习重点：掌握一元二次不等式的解法。 学习难点：掌握一元二次不等式中的恒成立问题。 1、不等式的解集与不等式组的解集 ①在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解. ②一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集； ③一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集； ④求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式； ⑤将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组. ⑥对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集； 【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为； 2、一元二次不等式的概念 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 【注意】一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等，即：一元二次不等式的一般形式 （1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； （3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；（4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)；都是一元二次不等式； 3、用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)， 不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)； 4、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式， 然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 5、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系。 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(不妨设x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 6、一元二次不等式在求解时应当注意事项 （1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； （2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元一次不等式（组） 1、一元一次不等式的求解： 在含有未知数的不等式中,能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.一个不等式的解的全体 所组成的集合称为此不等式的解集,求一元一次不等式解集的过程称为一元一次不等式的求解 或解一元一次不等式. 形如 的式子叫做一元一次不等式，有四种形式：、、 、 . 2、一元一次不等式组的求解： 将含有相同未知数的多个不等式联立起来,就得到不等式组，求一元一次不等式组解集的过程称为 一元一次不等式组的求解. 3、 最简单的一元一次不等式组的四种解集的情况 不等式组 图示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大 中间找 大大小小 是空集 4、 含参一元一次不等式(组)的求解 含参不等式求解通常需要对参数进行分类讨论，引起分类讨论的原因在于不等式的性质，注意讨论时要考虑周全. 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·上海·期末）不等式组无实数解，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】对于，当时，解得，不满足题意； 当时，与矛盾，即不等式组无实数解，综上，;故答案为：. 【技巧归纳】分类讨论的取值范围，利用不等式组无实数解即可得解. 【例2】（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为， 则实数a的值为 . 【答案】 【详解】由关于x的不等式的解集为，得1是关于的方程的根，且，因此，即，而，解得，所以实数a的值为; 故答案为：. 【技巧归纳】由给定的解集确定关于的方程的根及一次项的系数正负，再代入解方程 即得. 【例3】解关于的不等式，其中． 【答案】答案见解析 【详解】原不等式整理为． 当时，解得，解集为， 当时，解得，解集为， 当时，则，为任意实数，解集为． 【技巧归纳】对一次项系数进行分类讨论，分三类求对应解集. 【对点练习】 【练习1】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】对参数与的关系以及与的关系进行分类讨论，从而求解不等式即可. 【详解】当时，，则，不等式解集为； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为空集； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为； 当时，，则，不等式解集为；故不等式解集不可能为;故选：C. 【练习2】（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数 【答案】【分析】不等式可化为，对分等于，大于，小于三种情况进行讨论即可. 【详解】由不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为，符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意；综上，实数;故答案为：. 【练习3】（24-25高一上·上海·月考）一元一次不等式组的解为， 则与的大小关系是 ．【答案】【分析】画出数轴即可求解. 【详解】利用数轴，画出，如下图，由一元一次不等式组的解为，可知. 故答案为：. 知识点02 一元二次不等式 1、特殊一元二次不等式的求解： 定义 设a , b , c为实数，且 ，形如 或 的不等式统称为 一元二次不等式． 特别地，形如 的求解，遵循＂大于分两边，小于夹中间＂的原则． （1）＂元＂是指不等式中所要求解的未知数．一元就是指未．知数个数为 1 ，这里即 ，但不等式中也可以包含其他字母，如 、、 等，这里的 、、 为系数，即为常数． （2） ＂次＂是指不等式的最高次项的次数，这里的最高次项为 ，次数为 2 ，即二次．注意二次项系数不为 0 ，即 ．若 ，则二次项不存在，不等式实质为一元一次不等式 （其中 ）．在解题的要注意，若未说明二次项系数不为 0 ，则需分类讨论，求不等式的解集． 2、利用一元二次方程的判别式讨论一元二次不等式的解集： 设方程 的判别式 0 或 ，其两根记为 、 ， 且 ，一元二次不等式的求解结果总结成下表： 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 3、二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系: 一元二次方程 的两根为 、 且 ，其解按照 可分三种情况．相应地，二次函数 的图像与 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 或 的解集． 类别 . 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 . 【经典例题】 【例4】已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 【答案】B 【详解】由题设且，所以，所以不等式的解集为;故选：B. 【易错提醒】根据一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集的关系求结果. . 【例5】（24-25高一上·上海金山·期末）设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知可得集合或,由解得，， 所以，因为，所以，则，且小于0， 由中恰有一个整数，所以，即，也即，解得， 故选：B． 【易错提醒】先求出集合， 再根据中恰有一个整数，列出不等式求解. 【例6】（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且，所以，， 解原不等式，得，所以原不等式的解集为；故选：C. 【易错提醒】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【例7】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知关于的不等式组没有实数解， 则实数的取值范围为 ． 【答案】． 【详解】由可得，由可得， 若不等式组没有实数解，则；故答案为：． 【易错提醒】由已知结合二次不等式及一次不等式的求法即可求解． 【对点练习】 【练习4】（24-25高一上·上海·月考）已知，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由题意，为方程的根，且，则，解得，， 则不等式为，即，即，解得或， 所以不等式的解集为.故答案为：. 【易错提醒】由题意可得为方程的根，且，进而结合韦达定理求出，，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【练习5】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是 . 【答案】【分析】先根据一元二次不等式的解集求出的值，代入到不等式中可求得解集. 【详解】由一元二次不等式的解集为，所以方程的两根为和， 则，，，，所以不等式为， 解得，即不等式的解集为；故答案为：. 【练习6】（24-25高一上·上海嘉定·月考）已知一元二次不等式 (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集； 【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）依据题意可知是方程的根可得， 然后代入利用一元二次不等式解法计算即可. （2）将代入不等式，然后对的范围进行讨论计算即可. 【详解】（1），所以， 所以不等式为，所以解集为. （2）当时，不等式，即 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 1．（24-25高一上·上海·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】首先求解不等式，再根据必要不充分条件，转化为子集问题，即可求解. 【详解】，若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以；故选：A 2．（24-25高一上·上海金山·月考）若不等式的解集是， 则的解集为 ． 【答案】【分析】由已知不等式的解集得相应二次方程的根，从而求得，然后再解不等式可得． 【详解】不等式的解集是，是方程的两根， 由根与系数的关系可得，解得，则化为， 解得；的解集为；故答案为：． 3．（24-25高一上·上海静安·月考）若关于x的不等式的解集为， 则不等式的解集为 . 【答案】【分析】根据不等式的解集得出a与b、c的关系， 再代入不等式中化简求解集即可． 【详解】不等式的解集为，所以和1是的实数根，且， 所以，可得，所以不等式可化为， 即，整理可得，解得或，所以不等式的解集为． 故答案为：． 4．（24-25高一上·上海·月考）已知一元二次不等式的解集为， 不等式的解集为 .【答案】 【分析】先根据一元二次不等式的解集求出的值，代入到不等式中可求得解集. 【详解】根据一元二次不等式的解集为，可得的根为， 则，所以，不等式为， 解集为或，故答案为：. 5．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知命题：关于的方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题， 则实数的取值范围是 ． 【答案】．【分析】根据题意，分别求出、为真命题时的取值范围，再分“真假”和“假真”两种情况讨论，求出的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，对于方程，变形可得，解可得或， 若为真命题，则或，则有， 对于，只有一个实数满足不等式，则有，解可得或， 若命题和中有且仅有一个是真命题，有2种情况， ①假真，为假时，或；为真时，或，假真不能同时成立，此时无解； ②真假，为真时，；为假时，且，此时或； 综合可得：或，即的取值范围为．故答案为：． 6．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知关于的方程至少有一个实根， 则实数的取值范围是 . 【答案】【分析】分与时讨论，当时，令判别式大于等于零即可； 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程至少有一个实根，则，解得， 综上，实数的取值范围是；答案为：. 7．（24-25高一上·上海徐汇·期中）已知实数，，，则c的取值范围为 【答案】【分析】由题意可得，是方程的两个不等实根，由判别式大于0可得范围．再由，取范围交集得解.【详解】因为，， 所以，是方程的两个不等实根，则△，解得． 而，即，解得，或（不和题意，舍去）， 所以. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是 . 【答案】【分析】由题意，利用一元二次方程实根的分布规律列式求解即可. 【详解】设，显然函数的图象开口向上， 又的两根一个比2大，另一个比2小，则，即，解得， 所以的取值范围为.故答案为： 9．（25-26高一上·上海育才中学·期中）用表示非空集合中元素的个数， 定义，若，，， 则实数的所有可能取值构成集合，则 （请用列举法表示）． 【答案】【解析】根据题意，，，则有， 又因为，即得表示方程实数根的个数， 解这个方程得①，或②解方程①得，，解方程②得， 若，即或时，方程有两个不等实根分别为，；若，即或时，方程有且只有一个实根； 若，即时，方程没有实数根；综上可得， 当或时，； 当或时，； 当时，，所以（1）当时，，即得，此时可得；（2）当时，即得，此时可得或；故答案为：． 10．（25-26高一上·七宝中学·开学摸底考）集合，， 且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度， 那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】先求出集合M和集合N的长度，由此能求出集合的“长度”的最小值． 【解析】根据新定义可知集合M的长度为，集合N的长度为，当集合的长度最小时， M与N应分别在区间上的左右两端，故的长度的最小值是故选：B. 10．（24-25高一上·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 【答案】(1)或；(2)1或3. 【分析】（1）根据方程有两个正根列出不等式组求解； （2）根据根与系数的关系，结合根及为整数，求出根即可得解. 【详解】（1）因为关于的方程有两个正实数根， 所以，即，解得或； （2）由方程有两个整数根，所以且，， 由，所以或，当时，，， 所以或，所以，当时，，， 所以或，所以，综上，的值为1或3. 11．（24-25高一上·上海·月考）根据要求完成下列问题： (1)已知命题，命题，若是的必要不充分条件， 求实数的取值范围； (2)已知命题：关于的方程有两个不等的负根；命题：关于的不等式的解集为．若一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）解一元二次不等式先计算两个命题对应变量的范围，再结合必要不充分条件的定义计算即可； （2）分类讨论两个命题的真假结合一元二次方程根的情况计算即可； 【详解】（1）由，记； 由，记． 因为是的必要不充分条件，所以，则且等号不同时成立，解得， 综上，的取值范围为； （2）若命题为真，设为的两个不等的负根，则，解得； 若命题为真，则当时，不等式化为，恒成立； 当时，，解得，于是的范围是． 若真假，则，若假真，则， 综上，若一真一假，则． 12.（24-25高一上·上海·月考）设：实数满足；：实数满足． (1)若是真命题，求实数的取值范围；(2)若且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用绝对值不等式的几何意义，求出的解即可； （2）先求出的范围，再根据q是p的充分不必要条件，列不等式组求解. 【详解】（1）表示数轴上的数对应的点到数对应点的距离之和， 又数和对应点到数对应点的距离之和为，所以实数的取值范围是； （2）由得，又，此时. 由（1）知，，因为q是p的充分不必要条件，则有，即，解得. 13．（24-25高一上·上海·月考）已知，关于的不等式的解集为. (1)若，求的取值范围；(2)若存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）分和两种情况讨论求解即可； （2）由题意可得，且方程有两个不相等的负根，然后根据根与系数的关系列不等式组可求得结果. 【详解】（1）当时，或，当时，恒成立， 当时，不恒成立，舍去，当时，，得或， 综上，的取值范围为， （2）根据不等式的解集形式可知： 或， 不等式解集的两个端点就是对应方程的根，即，有两个不相等的负根， 所以，即，解得，则的取值范围为. 14．对，定义一种新的运算，规定：（其中，，）， 已知，．(1)求，的值；(2)若，解不等式组． 【答案】(1)，；(2)． 【分析】（1）先根据规定的新运算列出关于，的方程组，再解之即可； （2）由，得出，，根据规定的新运算列出关于的不等式组，解之即可. 【详解】（1）由题意，可知，，解得，； （2）由（1）知，，因为，所以，， 所以，，所以．所以， ，由，得， 由，得，综上，原不等式组的解集为. 15．（24-25高一上·上海·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)2；(2)：(3)答案见解析 【分析】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值； （2）整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集； （3）整理不等式，讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，是方程的两个根，则，则； （2），则对于实数时恒成立， 则，即，解得，∴， 则的取值范围为； （3）依题意，等价丁，当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为. 16．（青浦高级中学、嘉定一中、金山中学、闵行中学、崇明中学2025-2026学年高一上学期 10月五校联考数学试题）已知不等式的解集为. （1）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【详解】（1）因为，原不等式等价于恒成立，且的解集为， 故方程的2个根为2，3，故由韦达定理，所以， 所以恒成立，可得恒成立， 所以，解得，则，即， 故，所以，因为不等式有且仅有9个整数解， 故，解得，所以的取值范围为； （2）Ⅰ.当时，由（1）得时，， 故，即：， ①当时，原不等式解集为； ②当时，原不等式解集为；③当时，原不等式解集为； Ⅱ.当时，原不等式等价于恒成立，且的解集为， 由韦达定理：，所以，则恒成立， 即恒成立，所以，解得， 又，该不等式解集为； Ⅲ.当时，，则无解； Ⅳ.当时，，则. 综上：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为；当时，不等式解集为； 当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为. 17．（进才中学2025-2026学年高一上学期第一次数学测试）定义区间、、、的长度均为，其中．（1）求不等式的解集区间的长度； （2）如果数集，都是集合的子集，那么集合，的长度的 最小值和最大值分别是多少？（3）已知不等式组的解集构成的各区间的长度和 等于，求实数的范围． 【答案】（1）；（2）长度的最大值为，最小值为；长度的最大值为，最小值为； （3）.【分析】（1）解一元二次不等式即可得到答案； （2）由，得到，的长度，结合，都是集合的子集即可求解；（3）设的解集为C，由于的解集为，长度为6，结合题意可得，然后分，和讨论的解集情况，列出不等式即可求解 【解析】（1）由得， 所以的解集为，故解集区间的长度为； （2）由，可得到A的长度为，B的长度为， 因为，都是集合的子集，所以长度的最大值为，最小值为； 长度的最大值为1，最小值为； （3） 由即得，此不等式解集长度为6， 又不等式组的解集构成的各区间的长度和等于6， 设的解集为C，则，由得：，当时，，显然成立； 当时，，由得或，所以或； 当时，，由得即，所以； 综上，实数k的范围是. 18．（进才中学2025-2026学年高一上学期第一次数学测试）符号表示不大于的最大整数（），例如：，，． （1）解下列两个方程：，； （2）分别研究当，时，不等式是否成立，并说明理由； （3）求方程的实数解． 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）答案见解析. 【分析】（1）结合题目所给定义解方程即可；（2）由所给定义得到，结合不等式的性质即可求得不等式是否成立；（3）由，将问题转化为关于的不等式组，解出代入方程求解即可. 【解析】（1）因为，所以，因为，所以， 所以； （2）对任意x，有， 当时，成立，因为故， 当时，不成立，因为故； （4） 因为，又不是解，所以， 所以，解得或，解得或或7或8， 分别代入方程得， 解得，，，，，，， 经检验，这四个值都是原方程的解． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题第9讲一元一次不等式（组）与 一元二次不等式的求解 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元一次不等式 一元一次不等式组 一元二次不等式 1. 掌握一元一次不等式的解法。 2. 掌握一元一次不等式组的解法。 3. 掌握一元二次不等式的解法及其拓展。 学习重点：掌握一元二次不等式的解法。 学习难点：掌握一元二次不等式中的恒成立问题。 1、不等式的解集与不等式组的解集 ①在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解. ②一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集； ③一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集； ④求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式； ⑤将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组. ⑥对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集； 【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为； 2、一元二次不等式的概念 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 【注意】一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等，即：一元二次不等式的一般形式 （1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； （3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；（4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)；都是一元二次不等式； 3、用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)， 不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)； 4、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式， 然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 5、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系。 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(不妨设x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 6、一元二次不等式在求解时应当注意事项 （1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； （2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元一次不等式（组） 1、一元一次不等式的求解： 在含有未知数的不等式中,能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.一个不等式的解的全体 所组成的集合称为此不等式的解集,求一元一次不等式解集的过程称为一元一次不等式的求解 或解一元一次不等式. 形如 的式子叫做一元一次不等式，有四种形式：、、 、 . 2、一元一次不等式组的求解： 将含有相同未知数的多个不等式联立起来,就得到不等式组，求一元一次不等式组解集的过程称为 一元一次不等式组的求解. 3、 最简单的一元一次不等式组的四种解集的情况 不等式组 图示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大 中间找 大大小小 是空集 4、 含参一元一次不等式(组)的求解 含参不等式求解通常需要对参数进行分类讨论，引起分类讨论的原因在于不等式的性质，注意讨论时要考虑周全. 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·上海·期末）不等式组无实数解，则的取值范围是 . 【技巧归纳】分类讨论的取值范围，利用不等式组无实数解即可得解. 【例2】（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为， 则实数a的值为 . 【技巧归纳】由给定的解集确定关于的方程的根及一次项的系数正负，再代入解方程 即得. 【例3】解关于的不等式，其中． 【技巧归纳】对一次项系数进行分类讨论，分三类求对应解集. 【对点练习】 【练习1】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【练习2】（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数 【练习3】（24-25高一上·上海·月考）一元一次不等式组的解为， 则与的大小关系是 ． 知识点02 一元二次不等式 1、特殊一元二次不等式的求解： 定义 设a , b , c为实数，且 ，形如 或 的不等式统称为 一元二次不等式． 特别地，形如 的求解，遵循＂大于分两边，小于夹中间＂的原则． （1）＂元＂是指不等式中所要求解的未知数．一元就是指未．知数个数为 1 ，这里即 ，但不等式中也可以包含其他字母，如 、、 等，这里的 、、 为系数，即为常数． （2） ＂次＂是指不等式的最高次项的次数，这里的最高次项为 ，次数为 2 ，即二次．注意二次项系数不为 0 ，即 ．若 ，则二次项不存在，不等式实质为一元一次不等式 （其中 ）．在解题的要注意，若未说明二次项系数不为 0 ，则需分类讨论，求不等式的解集． 2、利用一元二次方程的判别式讨论一元二次不等式的解集： 设方程 的判别式 0 或 ，其两根记为 、 ， 且 ，一元二次不等式的求解结果总结成下表： 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 3、二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系: 一元二次方程 的两根为 、 且 ，其解按照 可分三种情况．相应地，二次函数 的图像与 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 或 的解集． 类别 . 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 . 【经典例题】 【例4】已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 【易错提醒】根据一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集的关系求结果. . 【例5】（24-25高一上·上海金山·期末）设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】先求出集合， 再根据中恰有一个整数，列出不等式求解. 【例6】（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【易错提醒】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【例7】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知关于的不等式组没有实数解， 则实数的取值范围为 ． 【易错提醒】由已知结合二次不等式及一次不等式的求法即可求解． 【对点练习】 【练习4】（24-25高一上·上海·月考）已知，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【易错提醒】由题意可得为方程的根，且，进而结合韦达定理求出，，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【练习5】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为， 则不等式的解集是 . 【练习6】（24-25高一上·上海嘉定·月考）已知一元二次不等式 (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集； 1．（24-25高一上·上海·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海金山·月考）若不等式的解集是， 则的解集为 ． 3．（24-25高一上·上海静安·月考）若关于x的不等式的解集为， 则不等式的解集为 . 4．（24-25高一上·上海·月考）已知一元二次不等式的解集为， 不等式的解集为 . 5．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知命题：关于的方程在上有解； 命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题， 则实数的取值范围是 ． 6．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知关于的方程至少有一个实根， 则实数的取值范围是 . 7．（24-25高一上·上海徐汇·期中）已知实数，，， 则c的取值范围为 8．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是 . 9．（25-26高一上·上海育才中学·期中）用表示非空集合中元素的个数， 定义，若，，， 则实数的所有可能取值构成集合，则 （请用列举法表示）． 10．（25-26高一上·七宝中学·开学摸底考）集合，， 且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度， 那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 11．（24-25高一上·上海·月考）根据要求完成下列问题： (1)已知命题，命题，若是的必要不充分条件， 求实数的取值范围； (2)已知命题：关于的方程有两个不等的负根；命题：关于的不等式的解集为．若一真一假，求实数的取值范围． 12.（24-25高一上·上海·月考）设：实数满足；：实数满足． (1)若是真命题，求实数的取值范围；(2)若且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 13．（24-25高一上·上海·月考）已知，关于的不等式的解集为. (1)若，求的取值范围；(2)若存在，使得，求的取值范围. 14．对，定义一种新的运算，规定：（其中，，）， 已知，．(1)求，的值；(2)若，解不等式组． 15．（24-25高一上·上海·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 16．（青浦高级中学、嘉定一中、金山中学、闵行中学、崇明中学2025-2026学年高一上学期 10月五校联考数学试题）已知不等式的解集为. （1）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； （2）解关于的不等式：. 17．（进才中学2025-2026学年高一上学期第一次数学测试）定义区间、、、的长度均为，其中．（1）求不等式的解集区间的长度； （2）如果数集，都是集合的子集，那么集合，的长度的 最小值和最大值分别是多少？（3）已知不等式组的解集构成的各区间的长度和 等于，求实数的范围． 18．（进才中学2025-2026学年高一上学期第一次数学测试）符号表示不大于的最大整数（），例如：，，． （1）解下列两个方程：，； （2）分别研究当，时，不等式是否成立，并说明理由； （3）求方程的实数解． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $