暑假预习专题 第7讲一元二次方程的解集及根与系数的关系（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版

暑假预习专题 第7讲一元二次方程的解集及根与系数的关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元二次方程 根与系数的关系 韦达定理 1. 懂得恒等式的概念，并会求解恒等式中的未知系数。 2.理解一元二次方程根与系数的关系，经历韦达定理的推导过程，提升推理 论证能力。 3. 会运用韦达定理，求解多项式的值，在已知根的情况下,会构造相应的 一元二次方程,发展数学运算素养。 学习重点：理解一元二次方程根与系数的关系，经历韦达定理的推导过程，提升推理论证能力。 学习难点：会运用韦达定理，求解多项式的值，在已知根的情况下,会构造相应的一元二次方程， 发展数学运算素养。 一元二次方程是高中数学中一个很常见的类型，考察知识内容相对比较灵活，但无外乎也就那么几种类型，在此基础上推陈出新，我们要能够从一元二次方程的解法基础上学会归纳和分析，学会分析问题，自主性学习。 若一元二次方程的两根为、，则满足，在方程转化为 不等式时，不等式解集的端点即为方程的解，也同样满足上述等式关系（韦达定理）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元二次方程 1、数学上，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式．例如 与 ， 对于任一组实数 ，都有 ，所以 与 是恒等的。 2、一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根.如果一元二次方程的两个根相等,那么这两个根叫做重根。 (1)应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式,然后确定a、b、c的值； (2)此判别式只适用于一元二次方程,当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论； （3）当 时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根。 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知关于的方程，若方程的两实根x1，x2满足，则k的值为 【技巧归纳】判断指定的一组对象能否构成集合,关键在于能否找到一个明确的标准. 【例2】（23-24高一上·上海·期中）已知，则关于的方程    ） A．一定有不相等的两个实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．可能有两个相等的实数根 D．没有实数根 【技巧归纳】根据已知条件及判别式即可求解. 【对点练习】 【练习1】（青浦高级中学、嘉定一中、金山中学、闵行中学、崇明中学2025-2026学年高一上学期 10月五校联考数学试题）已知，记符号表示不大于的最大整数，集合， ，则 . 【练习2】设、、均为奇数，求证：方程无整数根． 【练习3】（青浦高级中学、嘉定一中、金山中学、闵行中学、崇明中学2025-2026学年高一上学期 10月五校联考数学试题）设关于的一元二次不等式与的解集分别为 与，则不等式的解集为 ． 知识点02 根与系数的关系 . 应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形 变形一 变形二 变形三 变形四 【经典例题】 【例3】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设、是方程的两个实数根， 则的值为 ． 【易错提醒】利用韦达定理可求得所求代数式的值. .【例4】（24-25高一上·上海·期中）已知方程有两个实根，，且，则实数 . 【易错提醒】由韦达定理可得，结合的关系建立关于a的方程，解之即可求解. 【例5】（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知实数，满足，， 则代数式 . 【易错提醒】分和两种情况讨论，当时，可得是方程的两个根， 由根与系数的关系，可得的值，整理所求的代数式，可得其代数式的值. 【例6】（23-24高一上·上海青浦·月考）已知，是一元二次方程 的两个实数根．(1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)若的值为整数，求整数的值． 【易错提醒】（1）由求出的取值范围，再列出韦达定理，由得到方程，解得即可；（2）由，代入韦达定理，得到，结合为整数，且，即可得解. 【对点练习】 【练习4】（21-22高一上·上海嘉定·期中）设是方程的两个实数根， 则 【练习5】（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为．(1)均为正根，求实数m的取值范围；(2)若满足：，求实数m的值． 1．（24-25高一上·上海·月考）已知，关于的方程的两个实数根为， 且，则 . 2．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 3．（24-25高一上·上海·期中）已知是关于的方程的两实根， 是关于的方程的两实根，则 . 4．（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 5．（24-25高一上·上海·期中）方程的两个实数根为，若，则实数 ． 6.（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 7.（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列说法正确的是（    ） A．方程的两个实数根满足 B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C．已知方程的两个实数根，则 D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则 8.已知不等式的解集是．求不等式的解集． 9．（青浦高级中学、嘉定一中、金山中学、闵行中学、崇明中学2025-2026学年高一上学期 10月五校联考数学试题）已知是一元二次方程的两个不等实数根． （1）若均为正根，求实数的取值范围；（2）求使的值为整数的的整数值； 10.（24-25高一上·上海·月考）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围；(2)取，设一元二次方程两个根为，求，． 11．已知，是一元二次方程的两个实数根. (1)求的值；（用表示） (2)是否存在实数，使成立？ 若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由；(3)求使的值为整数的实数的整数值. 12．（21-22高一上·上海徐汇·月考）已知函数， 设关于的方程的两实根为，方程的两实根为． (1)若，求与的关系式；(2)若均为负整数，且，求的解析式； (3)若，求证：． 13．（21-22高一上·上海奉贤·期中）已知一元二次方程的两个实根为，； (1)若，，求的值； (2)若，，用反证法证明，中至少有一个大于等于2；(3)若，设，若，是方程的实根，求实数m的取值范围. 14．（21-22高一上·上海徐汇·期中）已知、是关于的一元二次方程的两个实根. (1)若，求实数的值；(2)是否存在实数，使成立？ 若存在，求出的值，若不存在，说明理由；(3)若，求整数的值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第7讲一元二次方程的解集及根与系数的关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元二次方程 根与系数的关系 韦达定理 1. 懂得恒等式的概念，并会求解恒等式中的未知系数。 2.理解一元二次方程根与系数的关系，经历韦达定理的推导过程，提升推理 论证能力。 3. 会运用韦达定理，求解多项式的值，在已知根的情况下,会构造相应的 一元二次方程,发展数学运算素养。 学习重点：理解一元二次方程根与系数的关系，经历韦达定理的推导过程，提升推理论证能力。 学习难点：会运用韦达定理，求解多项式的值，在已知根的情况下,会构造相应的一元二次方程， 发展数学运算素养。 一元二次方程是高中数学中一个很常见的类型，考察知识内容相对比较灵活，但无外乎也就那么几种类型，在此基础上推陈出新，我们要能够从一元二次方程的解法基础上学会归纳和分析，学会分析问题，自主性学习。 若一元二次方程的两根为、，则满足，在方程转化为 不等式时，不等式解集的端点即为方程的解，也同样满足上述等式关系（韦达定理）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元二次方程 1、数学上，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式．例如 与 ， 对于任一组实数 ，都有 ，所以 与 是恒等的。 2、一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根.如果一元二次方程的两个根相等,那么这两个根叫做重根。 (1)应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式,然后确定a、b、c的值； (2)此判别式只适用于一元二次方程,当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论； （3）当 时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根。 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知关于的方程，若方程的两实根x1，x2满足，则k的值为 【答案】 【详解】由得：①当时，，此时方程有两相等的实数根， 则，解得； ②当时，，即，则，解得， 此时,,方程无实数根，故不合题意，舍去，综上，k的值为；故答案为：. 【技巧归纳】判断指定的一组对象能否构成集合,关键在于能否找到一个明确的标准. 【例2】（23-24高一上·上海·期中）已知，则关于的方程    ） A．一定有不相等的两个实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．可能有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【详解】由，得，且， 所以， 所以关于的方程有实数根，但不能确定是否一定相等；故选：C. 【技巧归纳】根据已知条件及判别式即可求解. 【对点练习】 【练习1】（青浦高级中学、嘉定一中、金山中学、闵行中学、崇明中学2025-2026学年高一上学期 10月五校联考数学试题）已知，记符号表示不大于的最大整数，集合， ，则 . 【答案】【详解】由得，解得或， 又因为表示不大于的最大整数，所以由得，由得， 所以，所以；故答案为：. 【练习2】设、、均为奇数，求证：方程无整数根． 【答案】证明见解析【分析】利用反证法，假设方程有整数根，， 则，然后分为偶数和为奇数，进行推理即可. 【详解】证明：假设方程有整数根，，则，即； ①若为偶数，则与均为偶数，所以为偶数，从而为偶数，与题设矛盾； ②若为奇数，则与均为奇数，所以为偶数，从而为偶数，与题设矛盾． 综上所述，方程无整数根． 【练习3】（青浦高级中学、嘉定一中、金山中学、闵行中学、崇明中学2025-2026学年高一上学期 10月五校联考数学试题）设关于的一元二次不等式与的解集分别为 与，则不等式的解集为 ． 【答案】【详解】由不等式的解集为， 可得是的解，且，由不等式的解集为 可得恒成立，则不等式可化为， 解得，所以不等式的解集为；故答案为：. 知识点02 根与系数的关系 . 应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形 变形一 变形二 变形三 变形四 【经典例题】 【例3】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设、是方程的两个实数根， 则的值为 ． 【答案】 【详解】因为、是方程的两个实数根，由韦达定理可得，， 因此，；故答案为：. 【易错提醒】利用韦达定理可求得所求代数式的值. .【例4】（24-25高一上·上海·期中）已知方程有两个实根，，且，则实数 . 【答案】1 【详解】由韦达定理，得，有，得， 又，所以，即，所以，解得；故答案为：1. 【易错提醒】由韦达定理可得，结合的关系建立关于a的方程，解之即可求解. 【例5】（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知实数，满足，， 则代数式 . 【答案】或. 【详解】解：当时，为方程的两个不等实根，可得， 所以， 当时，则；故答案为：或. 【易错提醒】分和两种情况讨论，当时，可得是方程的两个根， 由根与系数的关系，可得的值，整理所求的代数式，可得其代数式的值. 【例6】（23-24高一上·上海青浦·月考）已知，是一元二次方程 的两个实数根．(1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)若的值为整数，求整数的值． 【答案】(1)不存在，理由见解析；(2)或或. 【详解】（1）因为，是一元二次方程的两个实数根， 所以且，解得，且，，若， 则，即，解得（舍去），即不存在实数，使成立； （2）由题意， 又当，即时，且，，故， 由于为整数且为整数，故只能取、、，又， 则或或，解得或或， 故整数的值为或或. 【易错提醒】（1）由求出的取值范围，再列出韦达定理，由得到方程，解得即可；（2）由，代入韦达定理，得到，结合为整数，且，即可得解. 【对点练习】 【练习4】（21-22高一上·上海嘉定·期中）设是方程的两个实数根， 则 【答案】【分析】根据韦达定理得到，然后代入计算即可求解. 【详解】因为是方程的两个实数根，由韦达定理得， 所以，故，故答案为：. 【练习5】（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为．(1)均为正根，求实数m的取值范围；(2)若满足：，求实数m的值． 【答案】(1)；(2).【分析】结合韦达定理列出式子，即可求. 【详解】（1）由均为正根，得，解得，即； （2）由（1）得，解得（舍去）或，则 1．（24-25高一上·上海·月考）已知，关于的方程的两个实数根为， 且，则 . 【答案】【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】由题意，，且，即， 因为，则，解得，即， 所以；故答案为：30. 2．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 【答案】3【分析】由已知结合方程的根与系数关系即可求解 【详解】因为方程的两个根为，，所以，则； 故答案为：3 3．（24-25高一上·上海·期中）已知是关于的方程的两实根， 是关于的方程的两实根，则 . 【答案】3【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，列出方程组，解出验证即可. 【详解】因为是关于的方程的两实根，所以由根与系数的关系得，因为是关于的方程的两实根， 所以，即，， 所以，解得，经验证可得，所以， 所以；故答案为：3. 4．（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 【答案】/【分析】根据韦达定理可得的表示，化简条件结合韦达定理形式可求结果. 【详解】因为的两根为，所以， 所以，解得，符合条件，故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·期中）方程的两个实数根为，若，则实数 ． 【答案】【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系求解即可. 【详解】由根与系数的关系知，，所以， 解得，故答案为： 6.（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 【答案】3【分析】由韦达定理得到，，进而求解即可. 【详解】因为方程的两个根为、，由韦达定理得，，， 所以；故答案为：3. 7.（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列说法正确的是（    ） A．方程的两个实数根满足 B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C．已知方程的两个实数根，则 D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则 【答案】D【分析】根据判别式判断A、B；整理方程求解可得判断C；求一元二次方程的解判断D.【详解】A：由中，即方程无实根，错； B：由方程知不一定恒成立，故方程不一定有两个不等的实根，错； C：由，显然，错； D：由题设中，对；故选：D. 8.已知不等式的解集是．求不等式的解集． 【答案】 【解析】由题可判断出，是方程的两根，∴，． 又的解集是，说明．而，， ∴． ∴，即，即． 又，∴，∴的解集为． 9．（青浦高级中学、嘉定一中、金山中学、闵行中学、崇明中学2025-2026学年高一上学期 10月五校联考数学试题）已知是一元二次方程的两个不等实数根． （1）若均为正根，求实数的取值范围；（2）求使的值为整数的的整数值； 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由题意，一元二次方程有两个正根，故，得， 且，解得：； （2）由题意，，又当，即时， 且，故，由于为整数， 故只能取，又，故整数的值为. 10.（24-25高一上·上海·月考）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围；(2)取，设一元二次方程两个根为，求，． 【答案】(1)；(2)2，. 【分析】（1）根据判别式，列出不等式，求解即可；（2）根据韦达定理，代值计算即可. 【详解】（1）由题意可得：解得：且， 所以实数的取值范围是 （2）当，可得，所以， 所以，. 11．已知，是一元二次方程的两个实数根. (1)求的值；（用表示） (2)是否存在实数，使成立？ 若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由；(3)求使的值为整数的实数的整数值. 【答案】(1)；(2)不存在，理由见详解；(3). 【分析】（1）通分后，利用韦达定理代入可得； （2）利用韦达定理代入后解方程可得k，然后可判断； （3）利用韦达定理化简，然后根据k和分式都为整数值验证可得. 【详解】（1）因为一元二次方程， 所以，解得，由韦达定理可得， 当时，，无意义；当时，， 综上，的值为； （2）由韦达定理可知：， 令，整理得，，由（1）可知， 所以不存在实数，使成立； （3），因为为整数，所以必为整数， 所以，即，又，所以，因为为整数，所以， 经检验时，为整数，所以使的值为整数的实数的整数值为. 12．（21-22高一上·上海徐汇·月考）已知函数， 设关于的方程的两实根为，方程的两实根为． (1)若，求与的关系式；(2)若均为负整数，且，求的解析式； (3)若，求证：． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析. 【分析】（1）由题意得有两个不等实根为，，根据韦达定理及可求解；（2）由（1）得，结合均为负整数可求解； （3）由韦达定理可得，结合即可证明. 【详解】（1）由题意得有两个不等实根为，， 所以．由得，即， 所以，即； （2）由（1）得，因为均为负整数，所以或或， 显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有，解得，． 故所求函数解析式为； （3）由题意得，又由，得，故， 所以． 13．（21-22高一上·上海奉贤·期中）已知一元二次方程的两个实根为，； (1)若，，求的值； (2)若，，用反证法证明，中至少有一个大于等于2；(3)若，设，若，是方程的实根，求实数m的取值范围. 【答案】(1)1；(2)证明见解析；(3).【分析】(1)结合已知条件，利用韦达定理首先判断 与的符号，进而即可求出的值；(2)首先假设，都小于2，结合已知条件和韦达定理可得 和同号，且，再结合和的范围推出矛盾即可证明；(3)首先利用判别式求出的范围，然后结合已知条件并利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）当，时，的两个实根为，， 由韦达定理可得，，，即，，故； （2）证明：假设，都小于2，由，可知，，且与异号， 由韦达定理可知，，，则与同正， 此时，则，又因为，都小于2，所以，这与矛盾， 故假设不成立，从而，中至少有一个大于等于2； （3）由可知，，从而方程等价于， 由题意可知，且，即， 故，解得或，又因为，所以的取值范围为， 又因为，是方程的实根，所以， 即，从而或，解得或， 故实数m的取值范围为. 14．（21-22高一上·上海徐汇·期中）已知、是关于的一元二次方程的两个实根. (1)若，求实数的值；(2)是否存在实数，使成立？ 若存在，求出的值，若不存在，说明理由；(3)若，求整数的值. 【答案】(1)；(2)不存在，详见解析；(3)或或. 【分析】（1）首先可根据判别式得出，然后根据韦达定理得出、， 最后根据得出，通过计算即可得出结果； （2）根据得出，然后通过计算以及即可得出结果； （3）可将转化为，然后根据为整数以及即可得出结果. 【详解】（1）因为、是关于的一元二次方程的两个实根， 所以，解得，，， 因为，所以，即，，，； （2）由（1）易知，，，若存在实数，使成立， 则，解得， 因为，所以不存在实数使成立； （3）由（1）易知，，， 则， 因为，所以，因为为整数，所以、、， 因为，所以或或. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $