专题05 分式及其运算（暑假复习讲义）新九年级数学新教材北师大版

专题05 分式及其运算 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 分式的概念与判定 题型2 分式的基本性质、约分与通分 题型3 分式乘除运算 题型4 分式加减运算 题型5 分式混合运算 题型6 分式化简求值 题型7 整数指数幂与科学记数法 题型8 以分式运算为背景的拓展创新题型 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.分式的概念与判定 2.分式的基本性质、约分与通分 3.分式乘除运算 4.分式加减运算 5.分式混合运算 6.分式化简求值 7.整数指数幂与科学记数法 8.以分式运算为背景的拓展创新题型 1. 固定题型分值布局 （1）选择、填空（基础保分） 1. 概念辨析：判断分式、有无意义、值为0的字母取值； 1. 基础变形：约分、符号化简、负指数计算、最简公分母识别； 1. 浅度参数：分式值为整数、简单增根参数； 1. 微小填空：科学记数法、规律单空。 （2）中档解答计算（核心主力） 1. 必考混合运算大题（6–8分）：2–3道分层混合计算，评分看步骤、约分、最简结果； 1. 化简求值大题：带限制条件筛选代入值，漏检验分母直接扣一半分； 1. 分式方程计算题：规范写出检验步骤，无检验判步骤缺失扣分； 1. 简单参数：增根、无解求字母范围。 （3）压轴探究大题（拉分区分） 1. 分式方程应用题压轴：多条件工程/行程，等量关系隐蔽，双重检验； 1. 综合代数融合：分式+不等式组/二元一次方程组综合求值； 1. 新定义、规律裂项、多情况无解分类讨论； 1. 少量数形结合：图形边长列式分式化简。 2. 五大核心命题大趋势 趋势1：因式分解是分式全题型底层工具，捆绑式考查 所有约分、通分、乘除第一步必须因式分解，不会分解直接算错；阅卷偏好设置二次三项式、平方差、完全平方分子分母，强制调用前一章知识。 趋势2：检验意识是硬性评分红线，处处设陷阱 1. 分式值为0：强制检验分母≠0； 1. 化简代入：代入前先排除让分母为0的数字； 1. 分式方程：无检验步骤直接扣除2–3分，增根无解题必须写检验推理过程。 趋势3：符号运算为第一失分坑，命题刻意埋负号陷阱 分子多项式加减不加括号、负号分配错误、乘方符号判断失误、分式三重符号化简混乱，是整张试卷最高频计算错误点。 趋势4：知识融合化，单一纯计算题越来越少 主流组合套路： 1. 因式分解+分式混合运算； 2. 不等式组解集筛选+分式化简求值； 3. 整式方程+分式方程参数联动； 4. 实际场景建模+分式方程求解检验。 考情解码： 1. 固化运算模板：分式计算固定流程因式分解→符号整理→约分/通分→计算→化为最简； 2. 检验强制步骤：做题手写标注“分母≠0”取值范围，方程题检验步骤单独成行； 3. 符号专项训练：所有多项式分子加减统一套括号，负号逐层分配展开； 4. 参数题分类模板：分式方程无解分①整式方程解是增根 ②整式方程系数为0无解方程； 5. 求值三套路备用：直接代入、整体换元、设比值，灵活切换简化计算. 知识点一 分式及其基本性质 1. 分式定义 形如 是整式，分母 必须含字母、且 2. 三种核心条件 （1）分式有意义： （2）分式无意义： （3）分式值为 0： 且 （必须同时满足） 3. 分式符号性质 分子、分母、分式前，任意两处变号，分式值不变 4. 分式基本性质 5. 约分与通分 · 约分：先因式分解，约去公因式，化为最简分式 · 通分：找最简公分母（系数最小公倍数、字母最高次幂） 【易错提醒】 一、分式概念易错 （1）分式为 0 必须保证分母不为 0，只令分子为 0 必扣分； （2）π 是常数，分母含 π 不是分式； （3）约分前必须保证原式有意义，不能随便约掉含字母因式。 二、基本性质易错 （1）分子分母同乘/除同一个不为 0的整式，不能单独变分子或分母； （2）首项为负一定要统一符号，避免多重符号混乱。 即时即练若a、b均不为0，将下列分式中的a和b都变为原来的2倍，分式值保持不变的有哪些？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)分式值保持不变 (2)分式值改变 (3)分式值保持不变 (4)分式值改变 【分析】根据分式的性质依次进行求解即可． 【详解】（1）解：把分式中的a和b都变为原来的2倍，则有， ∴分式的值保持不变； （2）解：把分式中的a和b都变为原来的2倍，则有， ∴分式的值改变； （3）解：把分式中的a和b都变为原来的2倍，则有， ∴分式的值保持不变； （4）解：把分式中的a和b都变为原来的2倍，则有， ∴分式的值改变． 知识点二 分式的运算 1. 分式乘法 2. 分式除法（乘倒数） 3. 分式乘方 4. 分式加减法 · 同分母： · 异分母：先通分，再加减 5. 混合运算顺序 先乘方 → 再乘除 → 最后加减 → 有括号先算括号 结果必须化成最简分式或整式 6. 指数幂公式 · 零指数： · 负指数： 【易错提醒】 一、乘除运算易错 （1）必须先因式分解，再约分，不要先硬算； （2）除法忘记变倒数、乘方漏给分母平方； （3）只能交叉约分，加减不能约分。 二、加减运算易错（最大扣分点） （1）分子是多项式必须加括号再加减，否则符号全错； （2）异分母加减不能分子分母分别相加减； （3）整式通分时，默认分母是 1，不要漏乘公分母。 即时即练先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中； (3)，其中； (4)，其中． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； 【详解】（1）解：， 当时，原式； （2）解：， 当时，原式； （3）解：， 当时，原式； （4）解：， 当时，原式． 题型1 分式的概念与判定 例1. 在下列式子：①；②；③；④中，是分式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①的分母是常数，不含字母，不是分式； ②的分母含有字母，是分式； ③中是常数，分母不含字母，不是分式； ④的分母含有字母，是分式； 综上，共有个分式． 例2. 下列代数式，，，，，，，其中分式共有______个． 【答案】 【分析】分式的定义为：若，表示两个整式，，且中含有字母，则是分式，逐个判断后统计分式个数即可． 【详解】解：，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； ，是圆周率，属于常数，分母为常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； 综上可得：分式共有个． 【易错警示】 【变式训练1-1】下列选项中，是分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：分母是常数，不含字母，是整式，不是分式； 选项B：分母是常数，不含字母，是整式，不是分式； 选项C：分母含有字母，因此符合分式定义，是分式； 选项D：分母是常数，不含字母，是常数，属于整式，不是分式． 【变式训练1-2】在式子：①，②，③，④中，属于分式的是______．（填写序号） 【答案】①④/④① 【分析】此题考查了分式的定义，根据分式的定义，两个整式相除，且分母中含有字母的式子称为分式，据此判断各式子． 【详解】解：①，④是分式，②，③不是分式． 故答案为：①④． 题型2 分式的基本性质、约分与通分 例3．下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简分式的定义，判断各选项分子分母是否存在除1以外的公因式，即可得到答案． 【详解】解：A、无法分解因式，分子与分母没有除1以外的公因式，则是最简分式； B、，分子分母含有公因式，不是最简分式； C、，分子分母含有公因式，不是最简分式； D、，分子分母含有公因式，不是最简分式． 例4．根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 【答案】 b 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变是解题的关键，根据分式的变化，利用分式基本性质即可求解． 【详解】解：（1）已知等式右边分母 ，且，根据分式的基本性质，给分子分母同乘，得 因此括号内应填入． （2）对等式左边分子因式分解得，变形后分子为，即分子除以，且，根据分式的基本性质，给分子分母同除以，得 因此括号内应填入． 【技巧总结】 【变式训练2-1】化简分式的结果是（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题先对分子因式分解，再约去分子分母的公因式即可得到化简结果，用到平方差公式和分式约分的知识点． 【详解】解：∵分子可以用平方差公式分解因式， ∴， ∴原式， ∵分式有意义时，可同时约去公因式 ∴原式． 【变式训练2-2】若把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值________． 【答案】扩大倍 【分析】本题考查了分式的基本性质． 根据分式的基本性质，将x和y都扩大3倍后，分别计算新分式的分子和分母，再与原分式比较，得出分式值的变化情况 【详解】解：把分式中的x和y都扩大3倍，得到新的分式为： 所以分式的值扩大3倍． 故答案为：扩大倍． 题型3 分式乘除运算 例5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式的乘法运算求解即可； （2）根据分式的除法运算求解即可； （3）先因式分解再约分，再利用分式的乘除法运算求解即可； （4）分子分母分别进行乘方运算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解： ； （4）解：． 例6．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【技巧总结】 【变式训练3-1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分式的乘除法法则进行计算即可； （2）先通分，然后按同分母分式加减法计算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式训练3-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先除法变乘法，再约分即可求出答案． （2）先因式分解，再约分化简即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 题型4 分式加减运算 例7. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先对异分母分式进行通分，转化为同分母分式后加减计算，最后化简得到最简分式 【详解】（1）解： （2）解： ． 例8. 计算： (1)； (2)； 【答案】(1)1 (2)1 【分析】（1）利用同分母分式的加减运算法则计算即可； （2）先化为同分母，再计算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【易错警示】 【变式训练4-1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】将分式通分进而利用分式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式训练4-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 题型5 分式混合运算 例9．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用单项式乘以多项式和完全平方公式进行计算即可； （2）先计算括号内，再通分进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 例10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘除、加减运算法则以及因式分解． （1）先将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，再进行乘法运算化简． （2）先对分母因式分解，通分后将分子相减，再化简分子得出结果． 【详解】（1）解： （2） ． 【技巧总结】 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内；全程配合因式分解约分，最终结果强制最简分式/整式。 【变式训练5-1】计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）先根据求分式的加法，再根据平方差公式即可求解； （2）先算括号内的，再把除法变成乘法，结全完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式训练5-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，分式的加减乘除混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用分式的加减混合运算法则进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式化简，再根据分式的混合运算进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型6 分式化简求值 例11．先化简，再求值，其中，选择一个合适的整数a． 【答案】，当取时，值为（取任意符合条件的，对应结果正确即可）． 【分析】将除法转化为乘法后约分，再计算同分母分式加法得到化简结果，再根据分式有意义的条件排除不可取的值，在给定范围内选择合适的整数代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 要使分式有意义，分母不能为，因此，，即且． ，为整数 可选整数． ∴原式． 例12．计算：，其中a是不等式组的整数解． 【答案】， 【分析】先对原式进行分式化简，再解不等式组得到a的整数解，根据分式有意义的条件确定a的有效取值，最后代入化简后的式子计算结果． 【详解】解： 对于 解第一个不等式得 解第二个不等式得 因此不等式组的解集为，整数解为 分式有意义要求分母不为0， 因此，，， 即，， 因此仅能取 将代入化简后的式子得 ． 【技巧总结】 1.固定化简步骤 先因式分解→约分/通分→按顺序运算，结果化为最简分式。 2.代入值筛选 代入前排除使原式所有分母、除式为0的数字。 【变式训练6-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： 当时， 原式． 【变式训练6-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】首先进行分式的化简运算，再把的值代入化简后的式子，即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，上式. 题型7 整数指数幂与科学记数法 例13. 经过近年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒）．数据“百亿分之一”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定百亿的数值，再将百亿分之一转化为符合要求的科学记数法即可． 【详解】解：∵100亿， ∴百亿分之一为：， ∴． 例14. 把的值用科学记数法表示，结果应该为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用负指数幂性质化简原式，再结合积的乘方法则计算，最后整理为符合要求的科学记数法即可． 【详解】． 【易错警示】 负指数公式：；零指数；极小小数用负指数科学记数法表示。 【变式训练7-1】下边是原子的结构示意图，已知原子的直径约为，一个乒乓球的直径约为，则乒乓球的直径大约是原子直径的（     ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】A 【详解】解：∵， ∴乒乓球的直径大约是原子直径的倍． 【变式训练7-2】碳纳米管，又名巴基管，是一种具有特殊结构的一维量子材料，其直径一般为0.0000004厘米，其中0.0000004用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：. 题型8 以分式运算为背景的拓展创新题型 例15．如果两个分式和满足（为整数），则称，为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，，满足，则称，为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”． (1)已知分式，，判断，是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”． (2)已知“兄弟分式”，，分式为分式的“信度值”是，求（用含的代数式表示）； (3)已知，均为非零实数，分式，属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为，求分式的值． 【答案】(1)，是“兄弟分式”，信度值 (2) (3)或 【分析】根据题目中定义的“兄弟分式”和“信度值”列式进行求解， （1）计算，观察结果是否为整数即可判断，是否为“兄弟分式”，求解的值； （2）列式，即可解得； （3）列式或，分别解得与的关系式，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，是“兄弟分式”，信度值； （2）解：∵分式为分式的“信度值”是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵分式，属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为， ∴，或， ∴由得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入中， 则有； 由得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入中， 则有． 例16．我们定义：如果两个分式A与B的差为整数k，则称A是B的“差整分式”，整数k称为A关于B的“差整值”．例如分式，，，则A是B的“差整分式”，A关于B的“差整值”为2． (1)已知分式，，判断C是不是D的“差整分式”．若不是，请说明理由；若是，求出C关于D的“差整值”． (2)已知分式，，M是N的“差整分式”，且M关于N的“差整值”是，求P所代表的代数式． 【答案】(1)是； (2) 【分析】（1）先计算，再根据结果即可得解； （2）先根据题意得出，进而得到，最后进行整理即可． 【详解】（1）解：C是D的“差整分式”， 理由：∵， ∴C关于D的“差整值”为， ∴C是D的“差整分式”，C关于D的“差整值”为． （2）解：∵M是N的“差整分式”，且M关于N的“差整值”是， ∴， ∴， 整理得． 【技巧总结】 根据题目所给的新定义或运算规则，进行计算 【变式训练8-1】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如：，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________+________； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________+________； (3)化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)2， (2)， (3)化简结果为；x取时，该式的值为整数 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，通过凑项法将分式变形即可； （2）根据“和谐分式”的定义，通过凑项法将分式变形即可； （3）先将原式化简为，讨论要使该式的值为整数时需满足的条件，并结合原分式有意义的条件，求出满足条件的整数的值即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：原式 ； ∵该式的值为整数， ∴或， 解得， ∵要使分式有意义， ∴， ∴，即当x取时，该式的值为整数． 【变式训练8-2】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：； 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)求所有符合条件的整数x的值，使得的值为整数． 【答案】(1)真 (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的化简运算，正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键． （1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据结果为整数求出的值，并检验的取值是否符合题意． 【详解】（1）解：∵的次数为，的次数为， ∴是真分式． 故答案为：真． （2）解：． （3）解： ∵与均为整数， ∴或或或； ∴或或或； ∵，，，， ∴，，，． ∴． 1．若分式无意义，则实数满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当分式的分母为0时，分式无意义，据此列出方程，求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴． 2．下列各式从左到右的变形，一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，据此逐一判断各选项即可 【详解】解： A 选项，，仅当或时等式成立，变形错误； B 选项，， ，变形错误； C 选项，原式分母为，可得， 分子分母同时除以，得，变形正确； D 选项，分子分母同时加同一个数，不符合分式基本性质，等式不一定成立，变形错误 3．若分式的值为零，则x的值为（     ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式的值为零的条件，结合分式有意义的条件，即可得的值． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，， ∴． 4．下列各式与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式的基本性质化简选项，和对比即可得到结果． 【详解】解：A、是最简分式，，故本选项不合题意； B、是最简分式，，故本选项不合题意； C、∵， ∴，故本选项符合题意； D、是最简分式，，故本选项不合题意． 5．已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 【答案】或0或2 【分析】先将分式化简为整式与分式和的形式，再根据分式的值为正整数且为整数，确定的所有可能取值，进而求解得到整数的值. 【详解】解： 分式的值是正整数，是整数， 为整数，且是正整数， 或 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，不是正整数，舍去. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 综上，整数的值为或或． 6．观察下列一组分式：，，，，，…，则第10个分式为________，第个分式为________． 【答案】 【分析】分别从符号，分子系数，分母的指数三个部分归纳第n项的规律，再将代入规律得到第10个分式． 【详解】解：观察给出的分式，分部分归纳规律： 符号规律：第1个分式为正，第2个为负，第3个为正，…，可知符号规律为（为项数）； 分子规律：分子系数等于项数，分子恒含因式，因此分子为； 分母规律：分母为的次方，即； 因此第个分式为：， 当时，代入得：． 7．若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】分式有意义等价于分母不为零，据此列不等式求解即可 【详解】解：∵分式有意义时，分母不能为0， ∴， 移项得， 系数化为1得． 8．填空： （1）；括号内填_______ （2）．括号内填_______ 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质与因式分解. 第一题利用分式的基本性质，将原分式分子分母同乘即可得到结果. 第二题先对分母因式分解，再约分即可得到结果． 【详解】（1）根据分式的基本性质，分式的分母由变为，是分子和分母同时乘以，且， 因此分子也应乘以，得 ； （2）对原式分母用平方差公式进行因式分解， 得， 因此 ， 因为， 所以， 故， 根据分式的基本性质，分子分母同除以不为的， 约分可得 ． 9．下面是小红进行分式混合运算的过程，请认真阅读并完成相应任务， ·····················第一步 ·································第二步 ·········································第三步 ·····························································第四步 (1)任务一：小红的解答从第______步开始出现错误，这一步的错误原因是______； (2)任务二：请写出正确的解答过程． 【答案】(1)三 ，括号前面是负号去括号没变号 (2) ． 【分析】（1）根据小红的运算过程分析即可得出结果； （2）根据分式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由小红的运算过程可得：小红的解答从第三步开始出现错误，这一步的错误原因是括号前面是负号去括号没变号； （2）略． 10．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．先化简，再求值：，． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 12．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2)， (3)化简：， 【分析】（1）根据定义，化简计算再判定即可． （2）根据定义求解即可； （3）根据分式的混合运算，化简，然后利用整数的条件，分式有意义的条件，求解即可． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”； ②是整式，不是分式，不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”； ④，是“和谐分式”． （2）解：． （3）解：原式 ， 当，时，该式的值为整数， 解得或或或， 根据分式有意义的条件，得， 解得， 故． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 分式及其运算 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 分式的概念与判定 题型2 分式的基本性质、约分与通分 题型3 分式乘除运算 题型4 分式加减运算 题型5 分式混合运算 题型6 分式化简求值 题型7 整数指数幂与科学记数法 题型8 以分式运算为背景的拓展创新题型 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.分式的概念与判定 2.分式的基本性质、约分与通分 3.分式乘除运算 4.分式加减运算 5.分式混合运算 6.分式化简求值 7.整数指数幂与科学记数法 8.以分式运算为背景的拓展创新题型 1. 固定题型分值布局 （1）选择、填空（基础保分） 1. 概念辨析：判断分式、有无意义、值为0的字母取值； 1. 基础变形：约分、符号化简、负指数计算、最简公分母识别； 1. 浅度参数：分式值为整数、简单增根参数； 1. 微小填空：科学记数法、规律单空。 （2）中档解答计算（核心主力） 1. 必考混合运算大题（6–8分）：2–3道分层混合计算，评分看步骤、约分、最简结果； 1. 化简求值大题：带限制条件筛选代入值，漏检验分母直接扣一半分； 1. 分式方程计算题：规范写出检验步骤，无检验判步骤缺失扣分； 1. 简单参数：增根、无解求字母范围。 （3）压轴探究大题（拉分区分） 1. 分式方程应用题压轴：多条件工程/行程，等量关系隐蔽，双重检验； 1. 综合代数融合：分式+不等式组/二元一次方程组综合求值； 1. 新定义、规律裂项、多情况无解分类讨论； 1. 少量数形结合：图形边长列式分式化简。 2. 五大核心命题大趋势 趋势1：因式分解是分式全题型底层工具，捆绑式考查 所有约分、通分、乘除第一步必须因式分解，不会分解直接算错；阅卷偏好设置二次三项式、平方差、完全平方分子分母，强制调用前一章知识。 趋势2：检验意识是硬性评分红线，处处设陷阱 1. 分式值为0：强制检验分母≠0； 1. 化简代入：代入前先排除让分母为0的数字； 1. 分式方程：无检验步骤直接扣除2–3分，增根无解题必须写检验推理过程。 趋势3：符号运算为第一失分坑，命题刻意埋负号陷阱 分子多项式加减不加括号、负号分配错误、乘方符号判断失误、分式三重符号化简混乱，是整张试卷最高频计算错误点。 趋势4：知识融合化，单一纯计算题越来越少 主流组合套路： 1. 因式分解+分式混合运算； 2. 不等式组解集筛选+分式化简求值； 3. 整式方程+分式方程参数联动； 4. 实际场景建模+分式方程求解检验。 考情解码： 1. 固化运算模板：分式计算固定流程因式分解→符号整理→约分/通分→计算→化为最简； 2. 检验强制步骤：做题手写标注“分母≠0”取值范围，方程题检验步骤单独成行； 3. 符号专项训练：所有多项式分子加减统一套括号，负号逐层分配展开； 4. 参数题分类模板：分式方程无解分①整式方程解是增根 ②整式方程系数为0无解方程； 5. 求值三套路备用：直接代入、整体换元、设比值，灵活切换简化计算. 知识点一 分式及其基本性质 1. 分式定义 形如 是整式，分母 必须含字母、且 2. 三种核心条件 （1）分式有意义： （2）分式无意义： （3）分式值为 0： 且 （必须同时满足） 3. 分式符号性质 分子、分母、分式前，任意两处变号，分式值不变 4. 分式基本性质 5. 约分与通分 · 约分：先因式分解，约去公因式，化为最简分式 · 通分：找最简公分母（系数最小公倍数、字母最高次幂） 【易错提醒】 一、分式概念易错 （1）分式为 0 必须保证分母不为 0，只令分子为 0 必扣分； （2）π 是常数，分母含 π 不是分式； （3）约分前必须保证原式有意义，不能随便约掉含字母因式。 二、基本性质易错 （1）分子分母同乘/除同一个不为 0的整式，不能单独变分子或分母； （2）首项为负一定要统一符号，避免多重符号混乱。 即时即练若a、b均不为0，将下列分式中的a和b都变为原来的2倍，分式值保持不变的有哪些？ (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点二 分式的运算 1. 分式乘法 2. 分式除法（乘倒数） 3. 分式乘方 4. 分式加减法 · 同分母： · 异分母：先通分，再加减 5. 混合运算顺序 先乘方 → 再乘除 → 最后加减 → 有括号先算括号 结果必须化成最简分式或整式 6. 指数幂公式 · 零指数： · 负指数： 【易错提醒】 一、乘除运算易错 （1）必须先因式分解，再约分，不要先硬算； （2）除法忘记变倒数、乘方漏给分母平方； （3）只能交叉约分，加减不能约分。 二、加减运算易错（最大扣分点） （1）分子是多项式必须加括号再加减，否则符号全错； （2）异分母加减不能分子分母分别相加减； （3）整式通分时，默认分母是 1，不要漏乘公分母。 即时即练先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中； (3)，其中； (4)，其中． 题型1 分式的概念与判定 例1. 在下列式子：①；②；③；④中，是分式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2. 下列代数式，，，，，，，其中分式共有______个． 【易错警示】 【变式训练1-1】下列选项中，是分式的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】在式子：①，②，③，④中，属于分式的是______．（填写序号） 题型2 分式的基本性质、约分与通分 例3．下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 例4．根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 【技巧总结】 【变式训练2-1】化简分式的结果是（     ） A． B． C． D．1 【变式训练2-2】若把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值________． 题型3 分式乘除运算 例5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 例6．计算： (1)； (2)； (3)． 【技巧总结】 【变式训练3-1】计算： (1) (2) 【变式训练3-2】计算： (1)； (2)． 题型4 分式加减运算 例7. 计算： (1)； (2)． 例8. 计算： (1)； (2)； 【易错警示】 【变式训练4-1】计算： (1) (2) 【变式训练4-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型5 分式混合运算 例9．计算： (1) (2) 例10．计算： (1)； (2)． 【技巧总结】 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内；全程配合因式分解约分，最终结果强制最简分式/整式。 【变式训练5-1】计算： (1) (2) 【变式训练5-2】计算： (1)； (2)． 题型6 分式化简求值 例11．先化简，再求值，其中，选择一个合适的整数a． 例12．计算：，其中a是不等式组的整数解． 【技巧总结】 1.固定化简步骤 先因式分解→约分/通分→按顺序运算，结果化为最简分式。 2.代入值筛选 代入前排除使原式所有分母、除式为0的数字。 【变式训练6-1】先化简，再求值：，其中． 【变式训练6-2】先化简，再求值：，其中． 题型7 整数指数幂与科学记数法 例13. 经过近年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒）．数据“百亿分之一”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 例14. 把的值用科学记数法表示，结果应该为（     ） A． B． C． D． 【易错警示】 负指数公式：；零指数；极小小数用负指数科学记数法表示。 【变式训练7-1】下边是原子的结构示意图，已知原子的直径约为，一个乒乓球的直径约为，则乒乓球的直径大约是原子直径的（     ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式训练7-2】碳纳米管，又名巴基管，是一种具有特殊结构的一维量子材料，其直径一般为0.0000004厘米，其中0.0000004用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 题型8 以分式运算为背景的拓展创新题型 例15．如果两个分式和满足（为整数），则称，为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，，满足，则称，为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”． (1)已知分式，，判断，是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”． (2)已知“兄弟分式”，，分式为分式的“信度值”是，求（用含的代数式表示）； (3)已知，均为非零实数，分式，属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为，求分式的值． 例16．我们定义：如果两个分式A与B的差为整数k，则称A是B的“差整分式”，整数k称为A关于B的“差整值”．例如分式，，，则A是B的“差整分式”，A关于B的“差整值”为2． (1)已知分式，，判断C是不是D的“差整分式”．若不是，请说明理由；若是，求出C关于D的“差整值”． (2)已知分式，，M是N的“差整分式”，且M关于N的“差整值”是，求P所代表的代数式． 【技巧总结】 根据题目所给的新定义或运算规则，进行计算 【变式训练8-1】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如：，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________+________； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________+________； (3)化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【变式训练8-2】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：； 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)求所有符合条件的整数x的值，使得的值为整数． 1．若分式无意义，则实数满足的条件是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形，一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若分式的值为零，则x的值为（     ） A．或 B． C． D． 4．下列各式与相等的是（     ） A． B． C． D． 5．已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 6．观察下列一组分式：，，，，，…，则第10个分式为________，第个分式为________． 7．若分式有意义，则的取值范围是______． 8．填空： （1）；括号内填_______ （2）．括号内填_______ 9．下面是小红进行分式混合运算的过程，请认真阅读并完成相应任务， ·····················第一步 ·································第二步 ·········································第三步 ·····························································第四步 (1)任务一：小红的解答从第______步开始出现错误，这一步的错误原因是______； (2)任务二：请写出正确的解答过程． 10．计算： (1)； (2)； 11．先化简，再求值：，． 12．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $