暑假作业07 二元一次方程（组）的应用（巩固培优，16大题型+能力培优练+创新拓展练）七年级数学新教材人教版

**基本信息** 以解题六步骤（审设列解验答）为核心方法体系，系统覆盖二元及三元一次方程组应用，通过12类典型题型构建“概念-方法-应用”逻辑链，强化模型意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|2个核心知识点|二元/三元方程组解题六步骤（审等量关系→设元→列方程组→求解→验实际意义→作答）|从二元到三元，概念逐步扩展，步骤统一迁移| |题型|12类应用题型（含古代问题、几何图形、行程工程等）|针对实际场景的等量关系提取技巧，如图表信息转化、古代问题直译、几何图形边长关系分析|题型与生活/文化/几何场景对应，覆盖中考高频应用考法，典例代表性强|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业07 二元一次方程（组）的应用 【知识点1 二元一次方程组的应用】 1.定义：利用二元一次方程组解决实际问题，一般需要设两个未知数，根据题目中的两个等量关系列方程组求解。 注：列二元一次方程组解应用题，应根据以下步骤操作： ①审：审题，找出题目中的两个等量关系； ②设：设两个未知数，通常用x、y表示； ③列：根据等量关系列出二元一次方程组； ④解：解方程组，求出未知数的值； ⑤验：检验求得的解是否符合实际意义； ⑥答：写出答案。 【知识点2 三元一次方程组的应用】 1.定义：利用三元一次方程组解决实际问题，一般需要设三个未知数，根据题目中的三个等量关系列方程组求解。 注：列三元一次方程组解应用题，应根据以下步骤操作： ①审：审题，找出题目中的三个等量关系； ②设：设三个未知数，通常用x,y,z表示； ③列：根据等量关系列出三元一次方程组； ④解：解方程组，求出未知数的值； ⑤验：检验求得的解是否符合实际意义； ⑥答：写出答案。 【题型1 根据实际问题列二元一次方程组】 1．某国产机车工厂生产仿赛车与复古街车两种车型．已知生产1台仿赛车比生产1台复古街车的成本高0.5万元，且生产5台仿赛车与生产6台复古街车的成本相等．设生产1台仿赛车的成本为万元，生产1台复古街车的成本为万元，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 2．《天工开物》是世界上第一部关于农业和手工业生产的综合性著作，也是中国古代一部百科全书式的科学技术著作，作者是明代科学家宋应星．《天工开物》中记载了灯具骨架的制作工艺．某非遗工坊用竹篾和彩绢制作灯具，每盏大灯用竹篾1.2米，彩绢5米；每盏小灯用竹篾0.5米，彩绢2米．若该工坊恰好用完了90米竹篾和370米彩绢，设制作大灯盏，小灯盏，则下列方程组正确的为（     ） A． B． C． D． 3．某家具厂有60名工人，每人每天平均能生产桌面3张或桌腿8条，要使1张桌面配套4条桌腿，应如何分配工人，才能使每天生产的桌面和桌腿刚好配套？设生产桌面的工人为x人，生产桌腿的工人为y人，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 4．平定紫砂茶具是山西传统手工艺品，制作平定紫砂茶具需要用到紫砂泥．已知制作1把茶壶和1个茶杯恰好用光2份紫砂泥；制作2把茶壶和4个茶杯恰好用光5份紫砂泥．若设制作1把茶壶需要x份紫砂泥，制作1个茶杯需要y份紫砂泥，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据古代问题列二元一次方程】 1．我国古代数学著作《九章算术》中有“雀燕称重”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀燕重一斤．问雀和燕各重几何？”题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？设1只雀重斤，1只燕重斤，根据题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 2．《孙子算经•卷中》有一题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：如果每3人乘坐一辆车，就有2辆车空着；如果每2人乘坐一辆车，就有9人步行．问有多少人？多少辆车？设有x人，有y辆车，根据题意，列出方程组得（　　） A． B． C． D． 3．《九章算术》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银11枚每枚白银重量相同，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可以列出方程组为（     ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．”大意是：现有甲、乙两人各持有若干钱财，甲若得到乙所有钱的一半，则甲共有50钱；乙若得到甲所有钱的三分之二，则乙也共有50钱．问甲、乙各带了多少钱？设甲持钱数为x，乙持钱数为y，据题意，下面方程组正确的是（     ）． A． B． C． D． 5．《书生坐船》原文：今有书生泛舟，四人共一舟，三舟空；三人共一舟，五人留．问人与舟各几何？译文：若干书生坐船，若每4人坐一条船，则空余3条船；若每3人坐一条船，则有5人无船可坐．问共有多少人、多少条船？若设有人，条船，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【题型3 根据几何图形列二元一次方程】 1．如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（   ） A．B． C． D． 2．如图，个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为的大长方形，设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 5．在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．图1所示的算筹图表示的是关于的方程组，则图2所示的算筹图表示的方程组是（    ） A． B． C． D． 【题型4 二元一次方程实际应用之方案问题】 1．“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，新能源汽车的销量稳步提升．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)该公司计划用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 2．今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用辆型车和辆型车装满物资一次可运吨；用辆型车和辆型车一次可运吨、某物流公司现有吨物资，计划同时租用型和型车，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)辆型车和辆型车都装满物资一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； 3．《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情节跌宕起伏，扣人心弦．在电影的热潮中，哪吒与敖丙玩具也火热登场．已知：购买2个哪吒玩具和1个敖丙玩具需要80元，购买1个哪吒玩具和2个敖丙玩具需要70元，问： (1)哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是多少元？ (2)若小军现有200元，买了两种玩具后恰好用完，写出一种购买方案． 4．为深入推进城市老旧小区适老化改造民生工程，切实解决老旧居民楼“上下楼难”的痛点问题，某市全面落实旧楼加装电梯惠民政策，让老旧小区重拾宜居新活力．老张居住的老旧单元楼中，三至七楼共户人家（每层户，一楼、二楼住户不参与）均自愿申请加装电梯．据测算，除政府专项补贴外，这户需共同自筹资金万元，并依据“楼层越高，受益越多，付费越高”的原则，经单元住户共同商议，确定自筹资金分摊规则：每户分摊费用随楼层递增，每升高一层，每户增加万元，且七楼每户的分摊费用是三楼每户的倍． (1)老张家居住在三楼，他这户应自筹资金多少万元？ (2)若四楼其中户因故退出加装电梯，该户原本需承担的费用需由剩余户共同分摊．请设计合理的分摊方案，并说明理由． 【题型5 二元一次方程实际应用之行程问题】 1．某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶后报废；若安装在后轮，行驶后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）． (1)如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行驶了，交换后又行驶了．请根据题意，列出关于、的方程组． (2)计算和的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米． (3)如果小明希望在总行驶里程达到时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由． 2．某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 3．骑自行车出行，已经成为了人们健康环保的出行方式，根据市场需求，某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划每天生产安装10辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂抽调名熟练工，招聘名新工人，既能使得工人们刚好能完成每日的安装任务，又能保证新工人和熟练工在工作上有照应，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为，更换轮胎时，如果只更换前轮，骑行的舒适性会降低，如果同时更换前后轮胎，则维护成本会提高．为了解决这个问题，一般会有定期更换自行车前后轮胎的建议． ①设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为___________，后轮每行驶的磨损量为___________； ②如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮，那么应在自行车行驶里程达到多少公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废？并求出前、后轮报废时自行车的行驶里程． 4．从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 5．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 【题型6 二元一次方程实际应用之工程问题】 1．为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 2．山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 3．某快递公司使用机器人进行包裹分拣，具体分拣情况如下表所示： 甲机器人工作时间（） 乙机器人工作时间（） 分拣包裹总数（件） 信息一 2 4 1600 信息二 3 2 1400 (1)试问甲乙两台机器人每小时各拣多少件包裹？ (2)现有包裹2500件，若安排甲、乙两台机器人工作，且甲的工作时间比乙多k小时（k为正整数），两台机器人的工作时间均为整数小时，问是否存在这样的k？若存在，求出所有可能的k的值及各自的工作时间；若不存在，请说明理由． 4．苏通第二过江通道已于近期开工建设，项目建成后将创下“世界最大跨度同类桥梁结构”，“世界最高桥梁索塔”等七项“世界第一”，是推动长三角一体化发展的战略性交通项目．现有甲、乙两车队参与某段项目材料运输，甲车队每天运输材料数目相同，乙车队每天运输材料数目相同，如果甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨． (1)求甲、乙两车队每天完成运输材料各是多少吨？ (2)现甲、乙两车队共同运输材料1800吨，每次运输均装满材料，甲车队每天费用3000元，乙车队每天费用2400元，如何分配运输任务使总费用最低？总费用最低是多少？ 5．某快递公司使用机器人进行包裹分拣．若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹；若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹． (1)求甲、乙两台机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)该快递公司现需要分拣件包裹，同时安排甲、乙机器人分拣小时（甲、乙机器人都需要有），请求出该快递公司这次分拣安排的甲、乙机器人数量的方案． 【题型7 二元一次方程实际应用之数字问题】 1．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示）就是一个三阶“幻方”（如图所示），观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，即每行、每列和对角线的数字之和必须相等．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，求，的值． 2．请阅读下列材料，并解答相应的问题： “九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（如图1），是世界上最早的矩阵，又称幻方用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方（如表1）．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等． (1)表三阶幻方中间的数字是______； (2)表是一个三阶幻方，那么的值是多少？请写出解题过程． (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图所示的“幻圆”幻方中，将，，，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，求图中的值． 3．传说幻方最早出现于我国古代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)求图所示的幻方中的值； (2)求图所示的幻方中，的值； (3)如图，若，均为正整数，请通过计算说明一共有多少种不同的填法． 4．有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【题型8 二元一次方程实际应用之年龄问题】 1．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 2．在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 3．今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 4．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【题型9 二元一次方程实际应用之分配问题】 1．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人负责生产大齿轮，多少名工人负责生产小齿轮？（使用二元一次方程组的知识解答） 2．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 3．学生的椅子设计如图1，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图．因学校需要，某工厂配合制作该款椅子．椅子的铁架直接购买，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装． (1)如图3，已知该工厂购进一批板材长为，宽为（裁切时不计损耗），请你在不造成板材浪费的情况下（板材全部利用），设计出两种裁剪方案，并画出裁剪方案的设计示意图． 方案1：裁剪________块椅座，________块椅背； 方案2：裁剪________块椅座，________块椅背． (2)若该工厂用这两种方案裁剪板材140块，刚好配套做成若干个椅子，没有任何材料剩余，请问该怎么分配板材？ 4．综合与实践：设计制作纸盒方案 如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片． 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 ① n个竖式无盖纸盒 n ② (1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示） (2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【题型10 二元一次方程实际应用之销售利润问题】 1．某中学举办足球联赛，为表彰优秀参赛队伍，学校决定采购A、B两类足球作为比赛奖品，已知购买10个A类足球和5个B类足球需要花费1250元；购买15个A类足球和10个B类足球需要花费2075元． (1)求A类足球和B类足球的单价分别是多少？ (2)现有两个供应商可供选择，并分别给出了优惠方案：甲供应商：买5个A类足球送1个B类足球：乙供应商：A类足球和B类足球均按照定价的付款．问：学校需要购买30个A类足球和30个B类足球，选择哪家供应商更便宜． 2．某水果店以元/千克的价格购进一批橙子，很快售完．该店再次购进，第二次进货价格比第一次每千克便宜了元，两次一共购进了千克，且第二次进货的费用是第一次进货费用的倍． (1)该水果店两次分别购进了多少千克的橙子？ (2)售卖中，第一批橙子在其进价的基础上加价进行定价，第二批橙子因为进价便宜，因此以第一批橙子的定价再打八折进行销售．销售时，在第一批橙子中有的橙子变质不能出售，在第二批橙子中有的橙子变质不能出售，该水果店售完两批橙子能获利元，求的值． 3．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，经了解，2辆A型汽车、3辆型汽车的进价共计60万元；4辆型汽车、1辆型汽车的进价共计70万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别是多少万元？ (2)公司计划用100万元购进以上两种型号的新能源汽车，两种型号的汽车都要购买．求该公司共有哪几种购买方案？ (3)销售一辆A型汽车可获利5500元，销售一辆B型汽车可获利4000元．在（2）中购买的新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？ 4．漫葡小镇是银川文旅热门打卡景区，带火了汉服体验，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法.某汉服专卖店用5200元购进甲、乙两种汉服共60套，这两种汉服的进价和售价如下表所示： （利润=售价-进价） 甲 乙 进价（元/套） 80 100 售价（元/套） 120 160 (1)这两种汉服各购进了多少套？ (2)① 一套甲种汉服的利润为________元，一套乙种汉服的利润为________元； ② 该汉服专卖店销售完这批汉服获得的总利润是多少元？ 5．某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品5件与购进乙种商品6件的进价相同． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共80件，所用资金为9000元．甲种商品在进价的基础上提高后标价，又以8折优惠售出；乙商品售出后，每件可获利30元，则甲、乙两种商品全部售出后共可获利多少元？ 【题型11 二元一次方程实际应用之图表信息问题】 1．阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 2．为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 3．新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 (1)求温州队的积分． (2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？ 4．郴州市某景区的门票其票价如下： 购票人数 1~49人 50~100人 100人以上 每人门票价 130元 110元 90元 今有甲乙两个旅游团均超过40人，且甲团人数少于乙团人数，两个团合在一起购票，总计支付门票费10080元． (1)这两个旅游团共有多少人？ (2)若两旅游团分别购票，总计应付门票费13140元，请问甲，乙两个旅游团各有多少人？ 5．2020年1月以来，我国受新冠疫情影响，疫情严重地区医疗物资紧缺，“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的医疗物资，用两种型号的货车，分两批运往疫情严重的地区，具体运输情况如下： 第一批 第二批 型号货车的辆数（单位：辆） 1 2 型号货车的辆数（单位：辆） 4 3 累计运送货物的吨数（单位：吨） 34 38 备注：第一批、第二批每辆货车均满载 (1)求、两种型号货车每辆满载分别能运多少吨医疗物资； (2)该市后续又筹集了60吨医疗物资，现已联系了3辆A型号货车，试问至少还需要多少辆型号货车才能一次性将这批医疗物资运往目的地． 【题型12 三元一次方程的实际应用】 1．某初级中学共有学生673人，已知八年级学生人数比其他两个年级人数的平均数多25人，九年级学生人数比七年级学生人数少8人．问：3个年级各有多少人？ 2．先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值.本题常规思路是将两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； (3)某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ 3．母亲节到了，小明计划为妈妈准备康乃馨、玫瑰、百合三种鲜花．已知购买2支康乃馨和1支玫瑰共需12.6元；购买3支康乃馨和2支玫瑰共需21.6元． (1)求康乃馨和玫瑰的单价． (2)若百合的单价为6元，花店推出活动：每购买1支玫瑰，赠送1支百合．小明计划购买三种鲜花共33支（含赠送的鲜花，且三种鲜花均至少有1支），其中康乃馨支，玫瑰支，除赠送的百合外，还需额外购买百合支，若购买鲜花的总费用为118.8元，求所有满足条件的购买方案． 4．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 5．重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数/人 以上 每人门票价/元 重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费元． (1)两个班各有多少人？ (2)小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满1元，但不超过元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费元，其中小明的付款额小于元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品件、商品件、商品件共需元；若购买商品件、商品件、商品件共需元，则他们购买、、各一件共需要多少元？ 1．洛川苹果是陕西特色农产品，声名远播，今年又是一个丰收年，某经销商为了打开销路，对1000个精品苹果进行打包优惠出售．打包方式及售价如图所示． 1.纸盒装每箱8个苹果 2.编织袋装每袋18个苹果 3.纸盒装每箱售价64元 4.编织袋装每袋售价126元 (1)若销售箱纸盒装和袋编织袋装的苹果的收入共950元，求的值； (2)假设用这两种打包方式恰好装完全部苹果，当销售总收入为7280元时： ①若这批苹果全部售完，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋共包装了多少袋？ ②若该经销商留下（，为正整数）箱纸盒装送人，其余苹果全部售出，求的值； (3)若为回馈顾客，经销商推出优惠活动：每买一箱纸盒装赠送一个苹果，每买一编织袋装赠送两个苹果．若优惠后所有苹果（含赠送）恰好全部出完货且无剩余，且两种包装均有售卖，请直接写出纸盒装、编织袋装的包装数量的所有可能情况． 2．【问题情境】 我国新能源车发展迅速，由于电池重量，导致整车质量较大，新能源车轮胎的磨损普遍会比传统能源油车较大，且前期大多数新能源汽车是前轮驱动和转向的，所以前、后轮的磨损程度不一．从安全角度考虑，通常前后一起换新轮胎；从性价比考虑，可先进行前、后轮胎换位，使磨损程度均衡，从而延长使用寿命． 信息1：新能源汽车的轮胎，若只放置在前轮，一般行驶达到时报废，而放置在后轮，应在行驶达到时报废； 信息2：为了让轮胎均匀磨损并延长使用寿命，一般建议每行驶进行一次轮胎换位． 根据以上信息，在不考虑其他因素影响下，解决下列任务： (1)任务一： 可类比工程类问题，将每个新轮胎的总磨损量设为“单位1”或引入未知数． ①汽车前轮轮胎每千米的磨损量为________，后轮轮胎每千米的磨损量为________； ②若汽车没有按照建议，只在行驶了时进行了1次前、后轮胎换位，则该汽车第一次轮胎报废时，汽车行驶的总里程为________； (2)任务二： 如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少时交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶里程． (3)任务三： 若按建议每更换前后轮胎一次，经过偶数次换位后至有轮胎报废时，汽车的行驶里程最高是多少？（精确到） 3．某中学拟组织全校师生外出春游．下面是活动过程中几位老师的对话． 情境 信息 租车环节 李老师：客运公司有50座的大巴车和30座的中巴车可供租用，我们八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计9000元，且每辆车租车的空位不超过1个． 赵老师：九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计8000元，且每辆车的空位不超过2个． 购票环节 旅行社面向团队游客推出的收费标准如下： 人数 收费标准（元/人） 40 30 15 赵老师；如果九年级师生和八年级师生分别组团购票共需花费20100元；若两个年级联合组团只需花费13800元． 根据以上信息，解决春游中的相关问题： (1)问题1：大巴车和中巴车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)问题1：八、九年级各有多少人参加春游？ 4．剪纸艺术是中华优秀传统文化瑰宝，学校以剪纸育美润心，传承非遗技艺，展现学子匠心与青春风采．学校打算开展“闽南剪纸文化艺术节”活动，需要在商场购买甲、乙两种剪纸彩纸制作窗花60朵，已知1张甲彩纸和1张乙彩纸共能剪窗花8朵，2张甲彩纸和3张乙彩纸共能剪窗花19朵．购买时正好赶上商场促销活动：买一张甲彩纸，就赠送一张乙彩纸．已知甲彩纸每张4元，乙彩纸每张3元．请你解决以下问题： (1)制作窗花的过程中，若甲、乙彩纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些窗花需要两种彩纸各多少张，并求出最低采购费用． (2)由于实际需要，需要再制作闽南古厝纸雕42个．已知1张甲彩纸可做纸雕3个，1张乙彩纸可做纸雕2个．总共采购两种彩纸的费用要求低于65元．在尽可能减少甲乙两种彩纸的余料的情况下，请你设计出一种窗花、纸雕的制作数量方案（要求：同一张彩纸只能做同一类手工，即不能既做窗花又做纸雕）． 1．列方程组解应用题： 越野爱好者吴悠分三次从甲地出发，沿着不同的线路（线，线，线）去乙地．在每条线路上，行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登山峰这三种路况，且他在同种路况下行进的速度不以线路改变而变化．已知他涉水行走的路程与攀登山峰的路程相等．线、线路程相等，都比线路程多，线总时间等于线总时间的，他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，在线中一共用了，其中涉水行走所用时间比线上升了，攀登山峰所用时间也比线上升了．若他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，且都为正整数，求，，的值． 2．我们知道象棋棋子“马”每步走“日”字形．在平面直角坐标系网格中，规定整点的“马步移动”是指：从一点出发，沿“日”字形对角线移动，即这点只能沿坐标系网格上“”或“”的对角线移动，若规定：每一次移动后的点的纵坐标必须增大、（即只向轴正方向移动）．例如，如图，从点做一次“马步移动”，可以到达点．我们将这四种移动分别记为：①型移动：对应到达点的方向，②型移动：对应到达点的方向，③型移动：对应到达点的方向，④型移动：对应到达点的方向． 设，从开始，第一次移动后到达点，第二次移动后到达点，第三次移动到点，…，如此继续下去，每次移动均为上述四种之一． (1)若在轴上，则点的坐标为__________； (2)在每次移动纵坐标增大的基础上，若附加限制：的“马步移动”也只能向轴的正方向移动（即每次移动只能①型移动或③型移动），能否通过若干次这样的移动到达点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． (3)若经过20次跳跃后得到，且它的纵坐标为33，其中①型和②型移动的次数和记为，③型和④型移动的次数和记为，求的值． 3．根据以下索材，探索完成任务．随着AI技术的发展，越来越多的行业引人机器人来高效、精准地完成工作．某物流公司先引人了A，B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人． 素材1：三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 素材2：已知1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物； 素材3：物流公司需在1小时内完成4000件货物的分拣任务． 型号 工作效率/[件/（小时·台）] 耗电量/[千瓦时/（小时·台）] 2 1.5 600 1.8 (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成本次任务（两种型号都要使用），求总耗电量为多少千瓦时． (3)【任务3】该公司引进型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（每种型号至少投人1台），且C型机器人台数是型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务． ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为________千瓦时． 方案 型/台 型/台 型/台 总耗电量/千瓦时 一 2 16 1 14.9 二 4 12 2 14.8 三 6 8 3 14.7 四 8 4 4 14.6 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业07 二元一次方程（组）的应用 【知识点1 二元一次方程组的应用】 1.定义：利用二元一次方程组解决实际问题，一般需要设两个未知数，根据题目中的两个等量关系列方程组求解。 注：列二元一次方程组解应用题，应根据以下步骤操作： ①审：审题，找出题目中的两个等量关系； ②设：设两个未知数，通常用x、y表示； ③列：根据等量关系列出二元一次方程组； ④解：解方程组，求出未知数的值； ⑤验：检验求得的解是否符合实际意义； ⑥答：写出答案。 【知识点2 三元一次方程组的应用】 1.定义：利用三元一次方程组解决实际问题，一般需要设三个未知数，根据题目中的三个等量关系列方程组求解。 注：列三元一次方程组解应用题，应根据以下步骤操作： ①审：审题，找出题目中的三个等量关系； ②设：设三个未知数，通常用x,y,z表示； ③列：根据等量关系列出三元一次方程组； ④解：解方程组，求出未知数的值； ⑤验：检验求得的解是否符合实际意义； ⑥答：写出答案。 【题型1 根据实际问题列二元一次方程组】 1．某国产机车工厂生产仿赛车与复古街车两种车型．已知生产1台仿赛车比生产1台复古街车的成本高0.5万元，且生产5台仿赛车与生产6台复古街车的成本相等．设生产1台仿赛车的成本为万元，生产1台复古街车的成本为万元，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找出两个等量关系：一是1台仿赛车成本比1台复古街车成本高0.5万元，二是5台仿赛车成本等于6台复古街车成本，据此列出方程组即可． 【详解】解：设生产1台仿赛车的成本为万元，生产1台复古街车的成本为万元， 生产1台仿赛车比生产1台复古街车的成本高0.5万元 生产5台仿赛车与生产6台复古街车的成本相等 可列方程组为． 2．《天工开物》是世界上第一部关于农业和手工业生产的综合性著作，也是中国古代一部百科全书式的科学技术著作，作者是明代科学家宋应星．《天工开物》中记载了灯具骨架的制作工艺．某非遗工坊用竹篾和彩绢制作灯具，每盏大灯用竹篾1.2米，彩绢5米；每盏小灯用竹篾0.5米，彩绢2米．若该工坊恰好用完了90米竹篾和370米彩绢，设制作大灯盏，小灯盏，则下列方程组正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设制作大灯x盏，小灯y盏， 由题意得，． 【点睛】 3．某家具厂有60名工人，每人每天平均能生产桌面3张或桌腿8条，要使1张桌面配套4条桌腿，应如何分配工人，才能使每天生产的桌面和桌腿刚好配套？设生产桌面的工人为x人，生产桌腿的工人为y人，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据家具厂有60名工人，每人每天平均能生产桌面3张或桌腿8条，使1张桌面配套4条桌腿，建立二元一次方程组即可． 【详解】解：设生产桌面的工人为x人，生产桌腿的工人为y人， 根据题意可得方程组：． 4．平定紫砂茶具是山西传统手工艺品，制作平定紫砂茶具需要用到紫砂泥．已知制作1把茶壶和1个茶杯恰好用光2份紫砂泥；制作2把茶壶和4个茶杯恰好用光5份紫砂泥．若设制作1把茶壶需要x份紫砂泥，制作1个茶杯需要y份紫砂泥，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】提取题干中的两个等量关系，分别列出方程即可得到对应方程组． 【详解】解：根据“制作1把茶壶和1个茶杯恰好用光2份紫砂泥”，可得第一个方程：， 根据“制作2把茶壶和4个茶杯恰好用光5份紫砂泥”，可得第二个方程：， ∴可列方程组为． 【题型2 根据古代问题列二元一次方程】 1．我国古代数学著作《九章算术》中有“雀燕称重”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀燕重一斤．问雀和燕各重几何？”题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？设1只雀重斤，1只燕重斤，根据题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需从题干提取两个等量关系，分别列出方程即可得到答案． 【详解】解：设1只雀重斤，1只燕重斤， ∵5只雀和6只燕的总重量为1斤， ∴可得方程， 将1只雀和1只燕互换位置后，一边为4只雀加1只燕，另一边为5只燕加1只雀，此时两边重量相等， ∴可得方程 ， 因此可列方程组为． 2．《孙子算经•卷中》有一题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：如果每3人乘坐一辆车，就有2辆车空着；如果每2人乘坐一辆车，就有9人步行．问有多少人？多少辆车？设有x人，有y辆车，根据题意，列出方程组得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据如果每3人乘坐一辆车，就有2辆车空着；如果每2人乘坐一辆车，就有9人步行；列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设有x人，有y辆车， 由题意得：． 3．《九章算术》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银11枚每枚白银重量相同，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可以列出方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知每枚黄金重两，每枚白银重两，根据“甲袋原有9枚黄金，乙袋原有11枚白银，两袋重量相等”，得出第一个方程 ，交换1枚后，甲袋变为8枚黄金加1枚白银，总重量为，乙袋变为10枚白银加1枚黄金，总重量为，根据交换后甲袋比乙袋轻13两，即乙袋重量减去甲袋重量等于13，即可得第二个方程，据此即可建立方程组． 【详解】解：根据题意可得方程组． 4．《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．”大意是：现有甲、乙两人各持有若干钱财，甲若得到乙所有钱的一半，则甲共有50钱；乙若得到甲所有钱的三分之二，则乙也共有50钱．问甲、乙各带了多少钱？设甲持钱数为x，乙持钱数为y，据题意，下面方程组正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干描述的两个等量关系，分别列出方程，即可得到正确的方程组． 【详解】设甲持钱数为，乙持钱数为， 甲得到乙所有钱的一半后，甲共有钱50， 甲原有的钱加上乙钱数的一半等于50，可得方程 ， 又乙得到甲所有钱的三分之二后，乙共有钱50， 乙原有的钱加上甲钱数的三分之二等于50，可得方程 ，因此可列方程组为 ． 5．《书生坐船》原文：今有书生泛舟，四人共一舟，三舟空；三人共一舟，五人留．问人与舟各几何？译文：若干书生坐船，若每4人坐一条船，则空余3条船；若每3人坐一条船，则有5人无船可坐．问共有多少人、多少条船？若设有人，条船，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设有人，条船， 由每4人坐一条船，空余3条船，得：， 由每3人坐一条船，有5人无船可坐，得：， 则可得方程组． 【题型3 根据几何图形列二元一次方程】 1．如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设每块墙砖的长为，宽为，利用“3块横放比1块竖放高”和“2块横放比2块竖放低”这两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每块墙砖的长为 ，宽为 ∵3块横放的墙砖高度为，1块竖放的墙砖高度为 ∴ 可得方程：，即 ∵2块横放的墙砖高度为，2块竖放的墙砖高度为 ∴可得方程：，即 ∴ 联立可得方程组：． 2．如图，个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为的大长方形，设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据以及大长方形的周长为分别列方程即可． 【详解】解：由题意可得：，，即； 大长方形的周长为， ， 即可列方程组为． 3．如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，关键是从图中提取大长方形的长和宽与小长方形长、宽的等量关系，结合周长公式和长、宽的差列出方程组．首先，由“小长方形的长比宽多4”可直接得到；其次，大长方形周长为，根据长方形周长公式可知长与宽的和为，从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，从而得到，进而确定正确方程组． 【详解】解：根据题意，小长方形的长比宽多4，故有； 大长方形的周长为，可得长与宽的和为； 从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，因此； 综上，可列方程组为． 故选：D． 4．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．根据图示可得：长方形的左右的边可以表示为或25，故，长方形的上下边可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可． 【详解】解：根据图示可得：，即 故选：B． 5．在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．图1所示的算筹图表示的是关于的方程组，则图2所示的算筹图表示的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法是解答本题的关键． 由图1可知：前2个算筹为字母的系数，后2个，第一个是十位数字，第二个是个位数，竖的表示1，横的表示5，据此类比图1所示的算筹的表示方法解答即可． 【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹表示的方程组：， 故选C． 【题型4 二元一次方程实际应用之方案问题】 1．“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，新能源汽车的销量稳步提升．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)该公司计划用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 【答案】(1)型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元 (2)共有种购买方案，分别为①购买型汽车辆，型汽车辆；②购买型汽车辆，型汽车辆；③购买型汽车辆，型汽车辆 【分析】（1）设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元，根据题意可得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可得出答案； （2）设购买型汽车辆，型汽车辆，根据总费用为万元，结合（1）中所求进价，得出关于、的二元一次方程，根据、都是正整数，求出方程的正整数解即可得答案． 【详解】（1）解：设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元， ∵辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元， ∴， 解得：， ∴型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元． （2）解：设购买型汽车辆，型汽车辆， ∵公司计划用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号均购买）， ∴， 整理得，， ∵、都是正整数， ∴或或， ∴共有种购买方案，分别为①购买型汽车辆，型汽车辆；②购买型汽车辆，型汽车辆；③购买型汽车辆，型汽车辆． 2．今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用辆型车和辆型车装满物资一次可运吨；用辆型车和辆型车一次可运吨、某物流公司现有吨物资，计划同时租用型和型车，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)辆型车和辆型车都装满物资一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； 【答案】(1) 辆型车装满物资一次可运吨，辆型车装满物资一次可运吨 (2) 共有种租车方案：①租用型车辆，型车辆；②租用型车辆，型车辆 【分析】（1）设辆型车装满物资一次可运吨，辆型车装满物资一次可运吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）由题意，该物流公司现有吨物资，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设辆型车装满物资一次可运吨，辆型车装满物资一次可运吨， 由题意得：， 解得：， 答：辆型车装满物资一次可运吨，辆型车装满物资一次可运吨； （2）解：设租用型车辆，型车辆， 由题意得：， ∵均为正整数， ∴或 ． 答：共有种租车方案：①租用型车辆，型车辆；②租用型车辆，型车辆． 3．《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情节跌宕起伏，扣人心弦．在电影的热潮中，哪吒与敖丙玩具也火热登场．已知：购买2个哪吒玩具和1个敖丙玩具需要80元，购买1个哪吒玩具和2个敖丙玩具需要70元，问： (1)哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是多少元？ (2)若小军现有200元，买了两种玩具后恰好用完，写出一种购买方案． 【答案】(1)哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是30元和20元 (2)购买哪吒玩具2个，则购买敖丙玩具7个（答案不唯一） 【分析】（1）设哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是x元和y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设小军可以购买哪吒玩具个，则购买敖丙玩具个，根据小军现有200元，买了两种玩具后恰好用完列出二元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设哪吒玩具的单价是元和敖丙玩具的单价是元． 由题意可得：． 解得：， 答：哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是30元和20元； （2）解：设小军可以购买哪吒玩具个，则购买敖丙玩具个， 由题意得：， ∵m,n为正整数， ∴， ∴购买方案有：购买哪吒玩具2个，购买敖丙玩具7个； 或购买哪吒玩具4个，购买敖丙玩具4个或购买哪吒玩具6个，购买敖丙玩具1个． 4．为深入推进城市老旧小区适老化改造民生工程，切实解决老旧居民楼“上下楼难”的痛点问题，某市全面落实旧楼加装电梯惠民政策，让老旧小区重拾宜居新活力．老张居住的老旧单元楼中，三至七楼共户人家（每层户，一楼、二楼住户不参与）均自愿申请加装电梯．据测算，除政府专项补贴外，这户需共同自筹资金万元，并依据“楼层越高，受益越多，付费越高”的原则，经单元住户共同商议，确定自筹资金分摊规则：每户分摊费用随楼层递增，每升高一层，每户增加万元，且七楼每户的分摊费用是三楼每户的倍． (1)老张家居住在三楼，他这户应自筹资金多少万元？ (2)若四楼其中户因故退出加装电梯，该户原本需承担的费用需由剩余户共同分摊．请设计合理的分摊方案，并说明理由． 【答案】(1)万元 (2)三楼每户约万元，每升高一层每户增加约万元；理由见解析 【分析】（1）设三楼每户分摊费用为万元，每升高一层每户增加万元，再根据“七楼每户费用是三楼的倍”和“户总自筹资金万元”这两个等量关系列出二元一次方程组求解即可； （2）先明确保持原分配核心原则，即七楼每户费用是三楼的倍、每升高一层每户增加万元，再根据剩余户的楼层分布和总自筹资金万元不变的条件，列出对应的二元一次方程组，解方程组求出新的三楼每户分摊费用和每层增加额的近似值，最后得出分摊方案并说明理由即可． 【详解】（1）解：设三楼每户的费用为万元，则七楼每户的费用是万元，可列方程组为 ， 解得； 答：老张这户应自筹资金万元． （2）解：保持原分配核心原则，按总自筹资金万元重新计算，可列方程组： ， 解得， 即分摊方案为：三楼每户约万元，每升高一层每户增加约万元； 理由：该方案延续了原有的“楼层越高，受益越多，付费越高”的公平分摊原则，且总自筹资金仍为万元，完全符合题目要求． 【题型5 二元一次方程实际应用之行程问题】 1．某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶后报废；若安装在后轮，行驶后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）． (1)如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行驶了，交换后又行驶了．请根据题意，列出关于、的方程组． (2)计算和的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米． (3)如果小明希望在总行驶里程达到时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，千米． (3)小明的这个想法不能实现，理由见解析 【分析】（1）设交换前行驶了，交换后又行驶了．根据题意列出方程组即可； （2）方程组变形后求出方程组的解即可； （3）设交换前行驶了千米，求出前轮磨损和后轮磨损即可作出判断． 【详解】（1）解：设交换前行驶了，交换后又行驶了．则； （2）解； 整理得到 解得 ∴， 即这辆自行车最多可以行驶千米． （3）小明的这个想法不能实现，理由如下： 设交换前行驶了千米，则前轮磨损为，后轮磨损为， ∵， ∴在行驶到千米之前，后轮轮胎就已经报废，所以小明无法在行驶千米时交换轮胎， ∴小明的这个想法不能实现． 2．某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 【答案】(1)车头与每节车厢的长度分别为4米，8米 (2)隧道的长度为120米 【分析】（1）设观光车的车头的长度为x米，每节车厢的长度为y米，根据观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设隧道的长度为a米，观光车身总长度为b米，根据观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，列出方程组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设车头与每节车厢的长度分别为米，米， 根据题意，得 解得 所以，车头与每节车厢的长度分别为4米，8米． （2）解：设隧道的长度为米，观光车总长为米，根据题意，得 ， 由得， 可得 所以，隧道的长度为120米． 3．骑自行车出行，已经成为了人们健康环保的出行方式，根据市场需求，某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划每天生产安装10辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂抽调名熟练工，招聘名新工人，既能使得工人们刚好能完成每日的安装任务，又能保证新工人和熟练工在工作上有照应，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为，更换轮胎时，如果只更换前轮，骑行的舒适性会降低，如果同时更换前后轮胎，则维护成本会提高．为了解决这个问题，一般会有定期更换自行车前后轮胎的建议． ①设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为___________，后轮每行驶的磨损量为___________； ②如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮，那么应在自行车行驶里程达到多少公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废？并求出前、后轮报废时自行车的行驶里程． 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)共有2种新工人的招聘方案，即方案一：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案二：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； (3)①，；②应在自行车行驶里程达到公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废；前、后轮报废时自行车的行驶里程为公里 【分析】（1）设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）由题意得，，则，再求出符合题意的整数解即可； （3）①根据“本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为”即可求解每行驶的磨损量； ②设自行车行驶时交换前后轮，总行驶里程为，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车， 由题意，可列方程组 解得 答：每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车； （2）解：由题意得，，则， ∵m，n均为非负整数，且“保证新工人和熟练工在工作上有照应”， ∴， ∴或 ∴共有2种新工人的招聘方案，即方案一：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案二：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； （3）解：①∵本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为 ∴设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为，后轮每行驶的磨损量为； ②设自行车行驶时交换前后轮，总行驶里程为， 由题意得， 解得， 答：应在自行车行驶里程达到公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废；前、后轮报废时自行车的行驶里程为公里． 4．从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 【答案】336千米 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意，正确列出方程组是做题的关键．先设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米，再根据题意，列出方程组，进而解方程组即可解答． 【详解】解：设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米， （千米/小时），（千米/小时），3小时24分小时， 则根据题意得，， 整理得，， 解得，， 所以，、两市之间的公路长为（千米）． 答：、两市之间的公路全长为336千米． 5．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 【答案】(1)甲每小时行20km   乙每小时行16km (2)或或 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，行程问题，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）设甲每小时行，乙每小时行，则甲总共走了，乙总共走了，根据题意列方程组进行求解即可，注意单位换算； （2）分相遇前；相遇后，甲未到终点；相遇后，甲到终点后三种情况，列方程求出所用的时间即可解答． 【详解】（1）解：设甲每小时行，乙每小时行． 根据题意，得 解得 故甲每小时行，乙每小时行． （2）解：相遇前：，解得，，符合题意； 相遇后，甲未到终点：，解得，，符合题意； 相遇后，甲到终点后：，解得，，符合题意． 综上所述，的值为或或． 【题型6 二元一次方程实际应用之工程问题】 1．为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 【答案】 甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天 【分析】根据两队总工作天数为10天，两队整治的长度为380米，设出未知数后列出二元一次方程组求解即可. 【详解】解：设甲工程队整治了天，乙工程队整治了天， 根据题意列方程组得， 解得， 答：甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天. 2．山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 【答案】(1)甲工程队修建道路的长度；乙工程队修建道路的长度 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】（1）根据题意及小红同学列出的方程组即可得到答案； （2）设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天，由题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是甲工程队修建道路的长度，未知数表示的是乙工程队修建道路的长度； （2）解：设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天， 据题意得， 解得， 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 3．某快递公司使用机器人进行包裹分拣，具体分拣情况如下表所示： 甲机器人工作时间（） 乙机器人工作时间（） 分拣包裹总数（件） 信息一 2 4 1600 信息二 3 2 1400 (1)试问甲乙两台机器人每小时各拣多少件包裹？ (2)现有包裹2500件，若安排甲、乙两台机器人工作，且甲的工作时间比乙多k小时（k为正整数），两台机器人的工作时间均为整数小时，问是否存在这样的k？若存在，求出所有可能的k的值及各自的工作时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)甲每小时各拣300件包裹，乙每小时各拣250件包裹 (2)，甲、乙工作时间分别为5小时，4小时 【分析】（1）设甲、乙每小时各拣包裹x件、y件，根据表格中的等量关系列出方程组并解方程组即可； （2）设甲、乙工作时间为a、小时，根据题意列出二元一次方程，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙每小时各拣包裹x件、y件，则： ； 解得 答：甲每小时各拣300件包裹，乙每小时各拣250件包裹； （2）解：设甲、乙工作时间为a、小时， 则 即 ∴ ∵a、k均为正整数， ∴ 甲、乙工作时间为5小时，小时． 4．苏通第二过江通道已于近期开工建设，项目建成后将创下“世界最大跨度同类桥梁结构”，“世界最高桥梁索塔”等七项“世界第一”，是推动长三角一体化发展的战略性交通项目．现有甲、乙两车队参与某段项目材料运输，甲车队每天运输材料数目相同，乙车队每天运输材料数目相同，如果甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨． (1)求甲、乙两车队每天完成运输材料各是多少吨？ (2)现甲、乙两车队共同运输材料1800吨，每次运输均装满材料，甲车队每天费用3000元，乙车队每天费用2400元，如何分配运输任务使总费用最低？总费用最低是多少？ 【答案】(1)甲、乙两车队每天完成运输材料分别为200吨和150吨． (2)安排甲车队运输9天，不安排乙车队，运输总费用最低，运输总费用最少为27000元． 【分析】（1）设甲、乙两车队每天完成运输材料分别为x和y吨，根据“甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨”列二元一次方程组求解即可； （2）设安排甲车队运输m天，乙车队运输n天，运输总费用为w元，易得， 运输总费用为，再分别列举m、n的可能取值，并分别求出运输总费用，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：设甲、乙两车队每天完成运输材料分别为x吨和y吨， 根据题意得：，解得：， 答：甲、乙两车队每天完成运输材料分别为200吨和150吨． （2）解：设安排甲车队运输m天，乙车队运输n天，运输总费用为w元， 根据题意，得：，整理得：， 运输总费用为， ∵m、n为自然数， ∴当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元． 所以安排甲车队运输9天，不安排乙车队，运输总费用最低，运输总费用最少为27000元． 5．某快递公司使用机器人进行包裹分拣．若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹；若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹． (1)求甲、乙两台机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)该快递公司现需要分拣件包裹，同时安排甲、乙机器人分拣小时（甲、乙机器人都需要有），请求出该快递公司这次分拣安排的甲、乙机器人数量的方案． 【答案】(1)甲机器人每小时分拣件包裹，乙机器人每小时分拣件包裹 (2)安排甲机器人台，乙机器人台． 【分析】（1）设甲机器人每小时分拣件包裹，乙机器人每小时分拣件包裹，根据题意列出方程组，求解即可； （2）安排的甲机器人台，乙机器人台，根据题意列出方程，变形得，结合、都是正整数可得，是的倍数，因此，最后写出具体安排方案即可． 【详解】（1）解：设甲机器人每小时分拣件包裹，乙机器人每小时分拣件包裹， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：甲机器人每小时分拣300件包裹，乙机器人每小时分拣250件包裹． （2）解：设安排甲机器人台，乙机器人台， 根据题意，可列方程： ， 整理，得， 变形，得， ∵、都是正整数， ∴是的倍数，且， ∴， 当时，． 答：安排甲机器人台，乙机器人台． 【题型7 二元一次方程实际应用之数字问题】 1．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示）就是一个三阶“幻方”（如图所示），观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，即每行、每列和对角线的数字之和必须相等．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，求，的值． 【答案】，的值分别为，． 【分析】根据题意列方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴，的值分别为，． 2．请阅读下列材料，并解答相应的问题： “九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（如图1），是世界上最早的矩阵，又称幻方用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方（如表1）．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等． (1)表三阶幻方中间的数字是______； (2)表是一个三阶幻方，那么的值是多少？请写出解题过程． (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图所示的“幻圆”幻方中，将，，，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，求图中的值． 【答案】(1)5 (2) (3)或 【分析】（1）根据幻方的定义列方程求解即可； （2）根据幻方的定义可知表2中第三行第一个数为，第三行第二个数为，第二行第三个数为，设最中间的数为a，第三行第三个数为b，根据幻方的定义列方程组求解即可； （3）根据幻方的定义求出，进而可知可以为或，分别代入计算即可． 【详解】（1）解：∵“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等， ∴， 解得：； （2）解：由题意可知，表2中第三行第一个数为， 第三行第二个数为， 第二行第三个数为， 设最中间的数为a，第三行第三个数为b， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴； （3）解：根据题意得：，解得：． ， 又∵横、竖以及内、外两圈上的个数字之和都相等，且这个数总和为， ∴横、竖以及内、外两圈上的个数字之和为， ∴， ∴在“幻圆”中填上部分数，如图所示： ∴可以为或． 当时，， 当时，， 的值为或． 3．传说幻方最早出现于我国古代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)求图所示的幻方中的值； (2)求图所示的幻方中，的值； (3)如图，若，均为正整数，请通过计算说明一共有多少种不同的填法． 【答案】(1)的值为； (2)的值为，的值为； (3)一共有种不同的填法． 【分析】（）根据题意列出方程 ，然后解方程即可； （）根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）根据题意列出二元一次方程 ，然后求出正整数解即可． 【详解】（1）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴ ， ∴的值为； （2）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴， 整理得：， 解得：， ∴的值为，的值为； （3）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴ ， 整理得： ， ∴ ， ∵，均为正整数， ∴或或或， ∴一共有种不同的填法． 4．有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式和二元一次方程组的应用，正确理解题意，掌握数字的表示方法即可； （1）根据数字的表示方法即可求解； （2）由题意，得即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：原来的两位数为；新的两位数为； 故答案为：； （2）解：由题意，得         解得             答：原来的两位数为 【题型8 二元一次方程实际应用之年龄问题】 1．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 2．在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 3．今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 【答案】今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁，根据题意列出方程，然后解出方程即可． 【详解】解：设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁， 根据题意得，，解得：， 答：今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 4．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 【题型9 二元一次方程实际应用之分配问题】 1．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人负责生产大齿轮，多少名工人负责生产小齿轮？（使用二元一次方程组的知识解答） 【答案】应该分配25名工人负责生产大齿轮，分配60名工人负责生产小齿轮 【分析】设应该分配名工人负责生产大齿轮，分配名工人负责生产小齿轮，根据等量关系列出方程，再进行求解即可． 【详解】解：设应该分配名工人负责生产大齿轮，分配名工人负责生产小齿轮， 由题意可得， 解得， 答：应该分配25名工人负责生产大齿轮，分配60名工人负责生产小齿轮． 2．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 【答案】(1)每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套 (2)先安排10人制作茶具 【分析】（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，根据等量关系，列出方程组，解方程组即可； （2）设先安排m人制作茶具，将整个任务看作单位1，然后列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意得：， 解得：， 答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套； （2）解：设先安排m人制作茶具， 由题意得：， 解得：， 答：先安排10人制作茶具． 3．学生的椅子设计如图1，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图．因学校需要，某工厂配合制作该款椅子．椅子的铁架直接购买，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装． (1)如图3，已知该工厂购进一批板材长为，宽为（裁切时不计损耗），请你在不造成板材浪费的情况下（板材全部利用），设计出两种裁剪方案，并画出裁剪方案的设计示意图． 方案1：裁剪________块椅座，________块椅背； 方案2：裁剪________块椅座，________块椅背． (2)若该工厂用这两种方案裁剪板材140块，刚好配套做成若干个椅子，没有任何材料剩余，请问该怎么分配板材？ 【答案】(1)1，6，； 4，2， (2)有40块板材按方案1裁剪，有100块板材按方案2裁剪 【分析】（1）根据题意可得可以裁剪1块椅座，6块椅背或裁剪4块椅座，2块椅背，即可解答； （2）设有m块板材按方案1裁剪，有n块板材按方案2裁剪，根据题意，列出方程组，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：设有m块板材按方案1裁剪，有n块板材按方案2裁剪，根据题意得： ， 解得：， 答：有40块板材按方案1裁剪，有100块板材按方案2裁剪． 4．综合与实践：设计制作纸盒方案 如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片． 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 ① n个竖式无盖纸盒 n ② (1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示） (2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【答案】(1)； (2)能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个． (3)分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． 【分析】（1）根据制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片，竖式无盖纸盒需要和4个长方形纸片列代数式即可． （2）能做成横式无盖纸盒x个，制作竖式无盖纸盒y个，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （3）设分配x名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，则一天生产长方形纸板张，生产正方形纸板张，设生产横式无盖纸盒k个，制作竖式无盖纸盒h个，配套要求，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片， 则制作横式无盖纸盒m个，则需要个正方形纸片， ∵竖式无盖纸盒需要4个长方形纸片． 则制作竖式无盖纸盒n个，则需要个长方形纸片， 故答案为：，． （2）解：能做成横式无盖纸盒x个，制作竖式无盖纸盒y个， ， 解得：， 答：能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个． （3）解：设分配x名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板， 则一天生产长方形纸板张，生产正方形纸板张， 设生产横式无盖纸盒k个，制作竖式无盖纸盒h个，配套要求， 根据题意得：， ∵， ∴原式变成， 解得：， ∴， 答：分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． 【题型10 二元一次方程实际应用之销售利润问题】 1．某中学举办足球联赛，为表彰优秀参赛队伍，学校决定采购A、B两类足球作为比赛奖品，已知购买10个A类足球和5个B类足球需要花费1250元；购买15个A类足球和10个B类足球需要花费2075元． (1)求A类足球和B类足球的单价分别是多少？ (2)现有两个供应商可供选择，并分别给出了优惠方案：甲供应商：买5个A类足球送1个B类足球：乙供应商：A类足球和B类足球均按照定价的付款．问：学校需要购买30个A类足球和30个B类足球，选择哪家供应商更便宜． 【答案】(1)A类足球单价为85元，B类足球单价为80元 (2)选择乙供应商更便宜 【分析】（1）根据两种购买方案的花费条件，设A、B类足球单价为未知数，列二元一次方程组，利用消元法求解单价； （2）分别按照甲、乙供应商的优惠规则，计算购买指定数量足球的总费用，通过比较费用大小确定更优惠的供应商． 【详解】（1）解：设A类足球的单价为x元，B类足球的单价为y元 根据题意得，， 解得， 答：A类足球单价为85元，B类足球单价为80元； （2）解：∵买5个A类足球送1个B类足球，购买30个A类足球， ∴可赠送B类足球的数量为（个） ∴需要购买B类足球的数量为（个） 甲供应商的总费用为（元） 乙供应商的总费用为（元）， ∵， ∴选择乙供应商更便宜． 2．某水果店以元/千克的价格购进一批橙子，很快售完．该店再次购进，第二次进货价格比第一次每千克便宜了元，两次一共购进了千克，且第二次进货的费用是第一次进货费用的倍． (1)该水果店两次分别购进了多少千克的橙子？ (2)售卖中，第一批橙子在其进价的基础上加价进行定价，第二批橙子因为进价便宜，因此以第一批橙子的定价再打八折进行销售．销售时，在第一批橙子中有的橙子变质不能出售，在第二批橙子中有的橙子变质不能出售，该水果店售完两批橙子能获利元，求的值． 【答案】(1)第一次购进橙子千克，第二次购进橙子千克 (2) 【分析】（1）设第一次购进橙子千克，则第二次购进橙子千克，根据题意列方程求出，，即可求解； （2）根据题意把第一批橙子的总售价表示出来为，第二批橙子的总售价表示出来为，根据该水果店售完两批橙子能获利元，列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：设第一次购进橙子千克，则第二次购进橙子千克， 根据题意得， 解得， 答：第一次购进橙子千克，第二次购进橙子千克； （2）根据题意得第一批橙子的总售价为，第二批橙子的总售价为， 则， 化简得， ， 则， ． 3．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，经了解，2辆A型汽车、3辆型汽车的进价共计60万元；4辆型汽车、1辆型汽车的进价共计70万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别是多少万元？ (2)公司计划用100万元购进以上两种型号的新能源汽车，两种型号的汽车都要购买．求该公司共有哪几种购买方案？ (3)销售一辆A型汽车可获利5500元，销售一辆B型汽车可获利4000元．在（2）中购买的新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型汽车每辆进价为15万元，B型汽车每辆进价为10万元 (2)该公司有3种购买方案，分别是：A型汽车2辆，B型汽车7辆；A型汽车4辆，B型汽车4辆；A型汽车6辆，B型汽车1辆 (3)最大利润是39000元 【分析】（）设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解方程即可求解； （）设购买A型汽车辆，B型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （）利用总利润单辆利润销售车辆数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论； 【详解】（1）解：设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元 由题意，得 ， 解得， 答：A型汽车每辆进价为15万元，B型汽车每辆进价为10万元． （2）解：设购买A型汽车辆，B型汽车辆． 由题意，得， ， 为正整数， 或或． ∴该公司有3种购买方案，分别是： A型汽车2辆，B型汽车7辆； A型汽车4辆，B型汽车4辆； A型汽车6辆，B型汽车1辆． （3）解：当购买A型汽车2辆，B型汽车7辆时，获得的利润为： （元）； 当购买型汽车4辆，型汽车4辆时，获得的利润为： （元）． 当购买型汽车6辆，型汽车1辆时，获得的利润为： （元）． 答：最大利润是39000元． 4．漫葡小镇是银川文旅热门打卡景区，带火了汉服体验，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法.某汉服专卖店用5200元购进甲、乙两种汉服共60套，这两种汉服的进价和售价如下表所示： （利润=售价-进价） 甲 乙 进价（元/套） 80 100 售价（元/套） 120 160 (1)这两种汉服各购进了多少套？ (2)① 一套甲种汉服的利润为________元，一套乙种汉服的利润为________元； ② 该汉服专卖店销售完这批汉服获得的总利润是多少元？ 【答案】(1)购进甲种汉服40套，乙种汉服20套 (2)①40，60；②销售完这批汉服获得的总利润是2800元 【分析】（1）设这两种汉服各购进了套和套，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）根据利润等于售价减进价，总利润等于单件利润乘以销量，列式计算即可. 【详解】（1）解：设这两种汉服各购进了套和套，由题意，得： ，解得； 答：购进甲种汉服40套，乙种汉服20套； （2）解：①一套甲种汉服的利润为（元）；一套乙种汉服的利润为（元）； ②（元）； 答：销售完这批汉服获得的总利润是2800元. 5．某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品5件与购进乙种商品6件的进价相同． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共80件，所用资金为9000元．甲种商品在进价的基础上提高后标价，又以8折优惠售出；乙商品售出后，每件可获利30元，则甲、乙两种商品全部售出后共可获利多少元？ 【答案】(1)甲种商品每件的进价是120元，乙种商品每件的进价是100元 (2)甲、乙两种商品全部售出后共可获利2100元 【分析】（1）设甲种商品每件的进价是元，乙种商品每件的进价是元，根据题干给出的等量关系列出方程求解，即可求出甲乙的进价， （2）设购进甲种商品件，求出甲乙的购进数量，最后计算总获利即可． 【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价是元，乙种商品每件的进价是元， 依题意得， 解得， 答：甲种商品每件的进价是120元，乙种商品每件的进价是100元； （2）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 依题意得， 解得， 则， 甲种商品每件获利为：（元）， 总获利为：（元）， 答：甲、乙两种商品全部售出后共可获利2100元． 【题型11 二元一次方程实际应用之图表信息问题】 1．阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 【答案】(1) (2)小海家今年的水费估计是1174元 【分析】（1）依据第二阶梯收费标准，结合小海家两年的用水量与水费数据，构建关于a，b的方程组，求解后得出a和b的值； （2）根据304立方米的用水量对应的阶梯范围，分三部分计算各阶梯的水费，再求和得到总水费． 【详解】（1）解：由小海家2021年，2022年的用水量和水费可得： ， 解得：； （2） （元） 答：小海家今年的水费估计是1174元． 2．为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)答对一道题得5分，答错一道题扣1分 (2)刘羽同学答对了16道题，答错了4道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，准确理解题意建立方程组或方程是解题的关键． （1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，建立方程组，解方程组即可； （2）设刘羽同学答对了a道题，答错了道题，根据题意建立方程，解方程即可； （3）假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题，根据题意建立方程，解得不符题意，故假设不成立，晓飞同学不可能得79分． 【详解】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得， 由①得， 将③代入②得， 解得， ∴原方程组的解为， 答：答对一道题得5分，答错一道题扣1分． （2）解：设刘羽同学答对了a道题，答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∴ 答：刘羽同学答对了16道题，答错了4道题． （3）解：假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∵b应为整数， ∴不符题意， ∴假设不成立，即晓飞同学不可能得79分． 3．新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 (1)求温州队的积分． (2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？ 【答案】(1)温州队的积分为14分 (2)温州队要获得小组第一，至少还要胜10场 【分析】本题考查了二元一次方程的应用和一元一次不等式应用，根据表格中的数据求出胜负平的得分，读懂题意正确列出方程和不等式是解题关键． （1）设胜1场加分，负1场加分，根据题意列方程即可解答； （2）设胜场，负场，根据题意列不等式即可解答． 【详解】（1）解：设胜1场加分，负1场加分 由题，得 解得， 所以（分） 答：温州队的积分为14分． （2）解：由题，得温州队一共要进行场比赛 设胜场，负场 由题，得 解得， ， 答：温州队要获得小组第一，至少还要胜10场． 4．郴州市某景区的门票其票价如下： 购票人数 1~49人 50~100人 100人以上 每人门票价 130元 110元 90元 今有甲乙两个旅游团均超过40人，且甲团人数少于乙团人数，两个团合在一起购票，总计支付门票费10080元． (1)这两个旅游团共有多少人？ (2)若两旅游团分别购票，总计应付门票费13140元，请问甲，乙两个旅游团各有多少人？ 【答案】(1)这两个旅游团共有112人 (2)甲旅游团有41人，乙旅游团有71人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程和方程组，注意分情况讨论． （1）设这两个旅游团共有m人，分和两种情况，列出关于m的一元一次方程，解之取其正整数即可得出结论； （2）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，分和两种情况，列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两个旅游团共有m人， 当时，有， 解得：（不为整数，舍去）； 当时，有， 解得：， 答：这两个旅游团共有112人； （2）解：设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人， 当时，有， 方程组无解； 当时，有， 解得：． 答：甲旅游团有41人，乙旅游团有71人． 5．2020年1月以来，我国受新冠疫情影响，疫情严重地区医疗物资紧缺，“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的医疗物资，用两种型号的货车，分两批运往疫情严重的地区，具体运输情况如下： 第一批 第二批 型号货车的辆数（单位：辆） 1 2 型号货车的辆数（单位：辆） 4 3 累计运送货物的吨数（单位：吨） 34 38 备注：第一批、第二批每辆货车均满载 (1)求、两种型号货车每辆满载分别能运多少吨医疗物资； (2)该市后续又筹集了60吨医疗物资，现已联系了3辆A型号货车，试问至少还需要多少辆型号货车才能一次性将这批医疗物资运往目的地． 【答案】(1)A种型号货车每辆满载能运10吨医疗物资，B种型号货车每辆满载能运6吨医疗物资 (2)5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，以及一元一次不等式的实际应用，体现了用二元一次方程组解决实际问题中“找等量关系、设未知数、列方程、解方程”的核心思路，属于二元一次方程组在实际生活中运输物资这类场景下的应用考查． （1）设A种型号货车每辆满载能运x吨医疗物资，B种型号货车每辆满载能运y吨医疗物资，根据前两批具体运输情况数据表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据要求一次性运送60吨医疗物资，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种型号货车每辆满载能运x吨医疗物资，B种型号货车每辆满载能运y吨医疗物资， 依题意，得， 解得， 综上，A种型号货车每辆满载能运10吨医疗物资，B种型号货车每辆满载能运6吨医疗物资资． （2）解：设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批医疗物资运往目的地， 依题意，得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m的最小值为5． 综上，至少还需联系5辆B种型号货车才能一次性将这批医疗物资运往目的地． 【题型12 三元一次方程的实际应用】 1．某初级中学共有学生673人，已知八年级学生人数比其他两个年级人数的平均数多25人，九年级学生人数比七年级学生人数少8人．问：3个年级各有多少人？ 【答案】七年级有220人，八年级有241人，九年级有212人 【分析】本题设三个年级的人数为未知数，根据总人数、各年级人数的数量关系列方程组，用消元法求解方程组即可得到结果． 【详解】解：设七年级人数为人，八年级人数为人，九年级人数为人， 根据题意可得方程组， 将方程②两边同乘2，整理得，， 将代入方程①，得， ， 解得，， 把代入方程①得，， 把代入，得 ， 解得， 则， 答：七年级有220人，八年级有241人，九年级有212人． 2．先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值.本题常规思路是将两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； (3)某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3)购买支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需110元 【分析】本题考查加减消元法及实际应用，能够理解整体思想是解题的关键． （1）根据题目中的步骤运用整体思想，即可求解； （2）利用加减消元法将消掉即可得证； （3）根据实际信息列式求解即可． 【详解】（1）解： 得，， 则， 得，； （2）解： 得，， 则， 的值始终不变； （3）解：设购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本需元，由题意得： 得，， ， 答：购买支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需110元． 3．母亲节到了，小明计划为妈妈准备康乃馨、玫瑰、百合三种鲜花．已知购买2支康乃馨和1支玫瑰共需12.6元；购买3支康乃馨和2支玫瑰共需21.6元． (1)求康乃馨和玫瑰的单价． (2)若百合的单价为6元，花店推出活动：每购买1支玫瑰，赠送1支百合．小明计划购买三种鲜花共33支（含赠送的鲜花，且三种鲜花均至少有1支），其中康乃馨支，玫瑰支，除赠送的百合外，还需额外购买百合支，若购买鲜花的总费用为118.8元，求所有满足条件的购买方案． 【答案】(1) 康乃馨单价为3.6元，玫瑰单价为5.4元. (2) 满足条件的购买方案为：方案一，康乃馨22支，玫瑰4支，额外购买百合3支；方案二，康乃馨11支，玫瑰8支，额外购买百合6支. 【分析】（1）设康乃馨的单价为x元一支，玫瑰花的单价为y元一支，根据购买2支康乃馨和1支玫瑰共需12.6元；购买3支康乃馨和2支玫瑰共需21.6元，列出方程组进行求解即可； （2）根据购买三种鲜花共33支（含赠送的鲜花，且三种鲜花均至少有1支），购买康乃馨支，玫瑰支，除赠送的百合外，还需额外购买百合支，购买鲜花的总费用为118.8元，列出三元一次方程组，得到，求解即可． 【详解】（1）解：设康乃馨的单价为x元一支，玫瑰花的单价为y元一支， 根据题意得， 解得， 答：康乃馨单价为3.6元，玫瑰单价为5.4元； （2）解：根据题意得， 消去c，并整理得，即， ∴， ∵为正整数，且， ∴或， 当时，， 当时，， 答：满足条件的购买方案为：方案一，康乃馨22支，玫瑰4支，额外购买百合3支；方案二，康乃馨11支，玫瑰8支，额外购买百合6支． 4．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元 (2)一共有四种购买方案 (3)该班级共需花费元 【分析】（1）设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只，根据题意列出二元一次方程组，根据，都是正整数，确定方程的整数解，即可求解； （3）设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元，根据题意得出，共需花费，消去字母，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．   由题意得 解得 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只．   由题得 ， 化简得， ∴ ， 因为，都是正整数， 所以方程有4个正整数解， 分别为，，， 所以一共有四种购买方案． （3）解：设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元．   由题意得， 解得， 共需花费 （元） ， 答：该班级共需花费元． 5．重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数/人 以上 每人门票价/元 重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费元． (1)两个班各有多少人？ (2)小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满1元，但不超过元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费元，其中小明的付款额小于元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品件、商品件、商品件共需元；若购买商品件、商品件、商品件共需元，则他们购买、、各一件共需要多少元？ 【答案】(1)甲班有人，乙班有人 (2)①分开付款时，小明支付了元或元；②他们购买、、各一件共需元 【分析】（1）根据表格数据，用总票价除以单价得到人数列出算式，即可求解； （2）①设分开付款时小明支付了元，则小红支付了元，根据题意分类讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解； ②设商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，根据题意得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：甲班人数为（人），乙班人数为（人）． 答：甲班有49人，乙班有53人． （2）①当小明购物原价小于100元时，设小明支付了，其付款金额元即为原价，则小红支付了元． ， ． 当小明购物原价为元，小红购物原价为元，则， 解得； 当小明购物原价不小于100元时，其付款金额为原价的九折，则原价为元，小红购物原价为元， 则， 解得． 综上，分开付款时，小明支付了元或元． ②设商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，商品的单价为元/件， 则①，②． 由，得③．由①，得， ． 答：他们购买，，各一件共需6元． 1．洛川苹果是陕西特色农产品，声名远播，今年又是一个丰收年，某经销商为了打开销路，对1000个精品苹果进行打包优惠出售．打包方式及售价如图所示． 1.纸盒装每箱8个苹果 2.编织袋装每袋18个苹果 3.纸盒装每箱售价64元 4.编织袋装每袋售价126元 (1)若销售箱纸盒装和袋编织袋装的苹果的收入共950元，求的值； (2)假设用这两种打包方式恰好装完全部苹果，当销售总收入为7280元时： ①若这批苹果全部售完，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋共包装了多少袋？ ②若该经销商留下（，为正整数）箱纸盒装送人，其余苹果全部售出，求的值； (3)若为回馈顾客，经销商推出优惠活动：每买一箱纸盒装赠送一个苹果，每买一编织袋装赠送两个苹果．若优惠后所有苹果（含赠送）恰好全部出完货且无剩余，且两种包装均有售卖，请直接写出纸盒装、编织袋装的包装数量的所有可能情况． 【答案】(1) (2)①纸盒装装了35箱，编织袋装了40袋；② (3)纸盒装装100箱，编织袋装5袋；或纸盒装装80箱，编织袋装14袋；或纸盒装装60箱，编织袋装23袋；或纸盒装装40箱，编织袋装32袋；或纸盒装装20箱，编织袋装41袋 【分析】（1）根据“单价销售箱数收入”的等量关系，列出关于的方程，求出． （2）设纸盒装共包装了箱，编织袋共包装了袋，根据题意，可以列出以下方程组，即可求出结果， 由题意列出方程组，求出值． （3）设纸盒装共包装了 箱，编织袋共包装了袋，根据题意，纸盒装每箱个苹果，编织袋装每袋个苹果，根据苹果总数是固定的列出方程． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得：． （2）解：设纸盒装共包装了箱，编织袋装共包装了袋． 由题意可得， ， 解方程组得，， 答：纸盒装装了箱，编织袋装了袋． 解：由题意得， ， 由得， ， 代入得， ， 化简得，，观察可知为的倍数， ∵、、均为整数，且、、， ∴，此时，满足题意． （3）解：设纸盒装共包装了 箱，编织袋装共包装了袋． 由题意得， ∵、正整数， ∴， ∴， 枚举得所有解： ，． ，． ，． ，． ，； 答：纸盒装装100箱，编织袋装5袋；或纸盒装装80箱，编织袋装14袋；或纸盒装装60箱，编织袋装23袋；或纸盒装装40箱，编织袋装32袋；或纸盒装装20箱，编织袋装41袋． 2．【问题情境】 我国新能源车发展迅速，由于电池重量，导致整车质量较大，新能源车轮胎的磨损普遍会比传统能源油车较大，且前期大多数新能源汽车是前轮驱动和转向的，所以前、后轮的磨损程度不一．从安全角度考虑，通常前后一起换新轮胎；从性价比考虑，可先进行前、后轮胎换位，使磨损程度均衡，从而延长使用寿命． 信息1：新能源汽车的轮胎，若只放置在前轮，一般行驶达到时报废，而放置在后轮，应在行驶达到时报废； 信息2：为了让轮胎均匀磨损并延长使用寿命，一般建议每行驶进行一次轮胎换位． 根据以上信息，在不考虑其他因素影响下，解决下列任务： (1)任务一： 可类比工程类问题，将每个新轮胎的总磨损量设为“单位1”或引入未知数． ①汽车前轮轮胎每千米的磨损量为________，后轮轮胎每千米的磨损量为________； ②若汽车没有按照建议，只在行驶了时进行了1次前、后轮胎换位，则该汽车第一次轮胎报废时，汽车行驶的总里程为________； (2)任务二： 如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少时交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶里程． (3)任务三： 若按建议每更换前后轮胎一次，经过偶数次换位后至有轮胎报废时，汽车的行驶里程最高是多少？（精确到） 【答案】(1)①，；②； (2)应在行驶时交换轮胎，报废时总行驶里程为； (3)最高行驶里程约为． 【分析】（1）①根据信息1即可解答；②先求出行驶剩余磨损，即可求出换到后轮后还可行驶的路程，即可解答； （2）设行驶时交换前后轮，总行驶里程为时两对轮胎同时报废，由题意列出二元一次方程组求解即可； （3）设经过（为正整数）次换位，换位完成时已经行驶了，求出总磨损为，设换位后原前轮回到前轮，剩余磨损可继续行驶，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：① 设每个轮胎总磨损量为单位， 前轮报废，因此每千米磨损为；后轮报废，因此每千米磨损为； ② 行驶后，原前轮总磨损，剩余磨损， 换到后轮后还可行驶， 总里程为， （2）解：设行驶时交换前后轮，总行驶里程为时两对轮胎同时报废， 根据题意得 ， 解得， 则 答：应在行驶时交换轮胎，报废时总行驶里程为； （3）解：设经过（为正整数）次换位，换位完成时已经行驶了，每两次换位后，每个轮胎在前轮、后轮各行驶， 总磨损为， 设换位后原前轮回到前轮，剩余磨损可继续行驶， 则， 解得， 总里程为， ∵，即，为整数， ∴最大， 则， 答：最高行驶里程约为． 3．某中学拟组织全校师生外出春游．下面是活动过程中几位老师的对话． 情境 信息 租车环节 李老师：客运公司有50座的大巴车和30座的中巴车可供租用，我们八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计9000元，且每辆车租车的空位不超过1个． 赵老师：九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计8000元，且每辆车的空位不超过2个． 购票环节 旅行社面向团队游客推出的收费标准如下： 人数 收费标准（元/人） 40 30 15 赵老师；如果九年级师生和八年级师生分别组团购票共需花费20100元；若两个年级联合组团只需花费13800元． 根据以上信息，解决春游中的相关问题： (1)问题1：大巴车和中巴车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)问题1：八、九年级各有多少人参加春游？ 【答案】(1)大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元 (2)八年级有人参加春游，九年级有人参加春游 【分析】（1）设大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元，利用八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计元，九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计元，列方程组求解即可； （2）根据题意得出八年级人数，九年级人数，设八年级有人参加春游，九年级有人参加春游，情况一：当八年级人数小于时，即八年级人数，此时九年级人数，两年级总人数大于，根据题意列方程求解；情况二：当八年级人数大于等于时，即八年级人数，此时九年级人数，两年级总人数大于，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设大巴车每辆每天的租金为，中巴车每辆每天的租金为， 根据题意，得：， 解得：， 答：大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元； （2）解：∵八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，且每辆车的空位不超过1个， ∴八年级师生人数范围为八年级人数， 即八年级人数， ∵九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，且每辆车的空位不超过2个， ∴九年级师生人数范围为九年级人数， 即九年级人数， 设八年级有人参加春游，九年级有人参加春游， 情况一：当八年级人数小于时，即八年级人数， 此时九年级人数，两年级总人数大于， 由题意，得：， 方程化简得：，方程无解； 情况二：当八年级人数大于等于时，即八年级人数， 此时九年级人数，两年级总人数大于， 由题意，得：， 方程化简得：， 解得：， 经检验符合题意， 综上，八年级有人参加春游，九年级有人参加春游． 4．剪纸艺术是中华优秀传统文化瑰宝，学校以剪纸育美润心，传承非遗技艺，展现学子匠心与青春风采．学校打算开展“闽南剪纸文化艺术节”活动，需要在商场购买甲、乙两种剪纸彩纸制作窗花60朵，已知1张甲彩纸和1张乙彩纸共能剪窗花8朵，2张甲彩纸和3张乙彩纸共能剪窗花19朵．购买时正好赶上商场促销活动：买一张甲彩纸，就赠送一张乙彩纸．已知甲彩纸每张4元，乙彩纸每张3元．请你解决以下问题： (1)制作窗花的过程中，若甲、乙彩纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些窗花需要两种彩纸各多少张，并求出最低采购费用． (2)由于实际需要，需要再制作闽南古厝纸雕42个．已知1张甲彩纸可做纸雕3个，1张乙彩纸可做纸雕2个．总共采购两种彩纸的费用要求低于65元．在尽可能减少甲乙两种彩纸的余料的情况下，请你设计出一种窗花、纸雕的制作数量方案（要求：同一张彩纸只能做同一类手工，即不能既做窗花又做纸雕）． 【答案】(1)最低采购费用为36元，对应方案：甲彩纸6张、乙彩纸10张，或甲彩纸9张、乙彩纸5张； (2)一种可行方案：窗花用甲6张、乙10张，纸雕用甲10张、乙6张，总费用64元． 【分析】（1）设1张甲彩纸能剪窗花朵，1张乙彩纸能剪窗花朵，根据题意列出二元一次方程组，可求得1张甲彩纸能剪窗花5朵，1张乙彩纸能剪窗花3朵；再设需要甲彩纸张，乙彩纸张，根据题意列出二元一次方程，求解即可； （2）设制作窗花用甲彩纸a张、乙彩纸b张；制作纸雕用甲彩纸m张、乙彩纸n张．根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设1张甲彩纸能剪窗花朵，1张乙彩纸能剪窗花朵， 根据题意得， 解得， ∴1张甲彩纸能剪窗花5朵，1张乙彩纸能剪窗花3朵； 设需要甲彩纸张，乙彩纸张， 由题意得， 整理得，需满足是3的倍数，， ∴，；，；，；，； 促销规则：买1张甲彩纸赠送1张乙彩纸，所以实际需要购买的乙彩纸数量为 (若)，否则只需买甲彩纸； 方案1：，， 费用：元； 方案2：，， 费用：元； 方案3：，， 费用：元(因为，赠送的乙彩纸足够) ， 方案4：，， 费用：元； 所以最低采购费用为36元，对应方案：甲彩纸6张、乙彩纸10张，或甲彩纸9张、乙彩纸5张； （2）解：设制作窗花用甲彩纸a张、乙彩纸b张；制作纸雕用甲彩纸m张、乙彩纸n张． 满足： 1.窗花： (同第一问) ， 2.纸雕：， 3.总费用： 4.余料最少： 即a，b，m，n尽量满足等式，无多余； 由，m，n都是非负整数， ∴或或或或或或， 总费用：， 整理得， 当时，不满足； 当时，满足； 此时，总费用， ∴一种可行方案：窗花用甲6张、乙10张，纸雕用甲10张、乙6张，总费用64元，无余料． 1．列方程组解应用题： 越野爱好者吴悠分三次从甲地出发，沿着不同的线路（线，线，线）去乙地．在每条线路上，行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登山峰这三种路况，且他在同种路况下行进的速度不以线路改变而变化．已知他涉水行走的路程与攀登山峰的路程相等．线、线路程相等，都比线路程多，线总时间等于线总时间的，他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，在线中一共用了，其中涉水行走所用时间比线上升了，攀登山峰所用时间也比线上升了．若他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，且都为正整数，求，，的值． 【答案】，，或，，， 【分析】本题考查了三元一次方程组，难度较大，解题的关键是理解题意，学会利用参数方程解决问题．设涉水行走的速度为、攀登的速度为、穿越丛林的速度为，结合题意建立方程组解题即可． 【详解】解：他涉水行走的路程与攀登山峰的路程相等， 可以假设涉水行走的速度为、攀登的速度为、穿越丛林的速度为， 由题意得： 整理得：， 解得：，①， ∵线总时间等于线总时间的，他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线， ∴； 由消去z得到：， ∵，是正整数， ∴，，或，，， 2．我们知道象棋棋子“马”每步走“日”字形．在平面直角坐标系网格中，规定整点的“马步移动”是指：从一点出发，沿“日”字形对角线移动，即这点只能沿坐标系网格上“”或“”的对角线移动，若规定：每一次移动后的点的纵坐标必须增大、（即只向轴正方向移动）．例如，如图，从点做一次“马步移动”，可以到达点．我们将这四种移动分别记为：①型移动：对应到达点的方向，②型移动：对应到达点的方向，③型移动：对应到达点的方向，④型移动：对应到达点的方向． 设，从开始，第一次移动后到达点，第二次移动后到达点，第三次移动到点，…，如此继续下去，每次移动均为上述四种之一． (1)若在轴上，则点的坐标为__________； (2)在每次移动纵坐标增大的基础上，若附加限制：的“马步移动”也只能向轴的正方向移动（即每次移动只能①型移动或③型移动），能否通过若干次这样的移动到达点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． (3)若经过20次跳跃后得到，且它的纵坐标为33，其中①型和②型移动的次数和记为，③型和④型移动的次数和记为，求的值． 【答案】(1)或 (2)能，需要走25步 (3)， 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变化规律，解题的关键是明确四种“马步移动”对应的坐标变化量，结合题意列方程求解． （1）根据四种移动的坐标变化，找出从出发后纵坐标为的点； （2）设①型、③型移动的次数，根据坐标变化列方程组求解； （3）根据总移动次数和纵坐标变化列方程组求解． 【详解】（1）解：从出发，移动后纵坐标为，则纵坐标变化量为，对应①型或②型移动． 若为①型：； 若为②型：． 故答案为：或． （2）解：设①型移动次，③型移动次． 根据题意： 由得，代入得：， 解得：； 则，． 答：能到达点，需要走25步． （3）解：根据题意： ②①：代入，得. 故，. 3．根据以下索材，探索完成任务．随着AI技术的发展，越来越多的行业引人机器人来高效、精准地完成工作．某物流公司先引人了A，B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人． 素材1：三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 素材2：已知1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物； 素材3：物流公司需在1小时内完成4000件货物的分拣任务． 型号 工作效率/[件/（小时·台）] 耗电量/[千瓦时/（小时·台）] 2 1.5 600 1.8 (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成本次任务（两种型号都要使用），求总耗电量为多少千瓦时． (3)【任务3】该公司引进型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（每种型号至少投人1台），且C型机器人台数是型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务． ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为________千瓦时． 【答案】(1) (2)千瓦时． (3)①见解析，②14.6 【分析】（1）根据题意列出方程组并解方程组即可； （2）设型机器人用了台，型机器人用了台．列出方程并求出正整数解即可得到答案； （3）①设安排型机器人台，型机器人台，则型机器人台．根据题意列出二元一次方程，并求出正整数解即可；②根据各方案的耗电量进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：设型机器人用了台，型机器人用了台． 由题意，得， 整理，得． 因为，都是正整数，所以是4的倍数， 所以，， 所以总耗电量为（千瓦时）． （3）①设安排型机器人台，型机器人台，则型机器人台． 由题意，得， 整理，得． 由题意得，是2的倍数，故所有可行方案列表如下： 方案 型/台 型/台 型/台 总耗电量/千瓦时 一 2 16 1 14.9 二 4 12 2 14.8 三 6 8 3 14.7 四 8 4 4 14.6 ②方案四：有A型号的机器人台，有B型号的机器人台，有C型号的机器人台；最省电，其耗电量为14.6千瓦时 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $