第06讲 数轴（暑假预习讲义）新七年级数学新教材北师大版

第06讲 数轴 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 数轴的三要素及其画法 题型2 用数轴上的点表示有理数 题型3 数轴上两点之间的距离 题型4 数轴上整点覆盖问题 题型5 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型6 数轴上的动点问题 题型7 数轴上的规律探究问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 数轴、原点、正方向、单位长度、三要素、数形结合。 1. 掌握数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，能正确画出数轴。 2. 能用数轴上的点表示有理数，并能读出数轴上的点表示的数。 3. 理解数轴上点的位置与数的大小关系，能利用数轴比较有理数的大小（右边的数总比左边大）。 4. 体会数形结合的数学思想，感受数与形的对应统一。 学习重点：数轴的三要素及画法，用数轴上的点表示有理数。 学习难点：理解数轴上的点与有理数的对应关系（不是一一对应，因为无理数以后才学），以及利用数轴比较负数的大小（越向左越小）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 数轴 概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 【易错提醒】 数轴定义易错警示：数轴需同时具备**原点、正方向、单位长度**三要素。缺一不可。单位长度应均匀，正方向一旦选定不能更改，原点位置可任意，但必须标出。 即时即练1．以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点02 数轴的性质 所有的有理数都可以在数轴上表示。 【易错提醒】 数轴性质易错警示：数轴上右边的数总比左边大；每个实数都有唯一对应点。注意：点与数一一对应，但单位长度不均匀或未标原点时无法比较大小。勿默认整点即整数。 即时即练1．把有理数：，，0，，，按下列要求作答： (1)在数轴上表示出来； (2)用“＜”把上面的数连接起来； (3)把上面的数填入对应的集合内． 知识点03 数轴的应用 应用 ：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 【易错提醒】 数轴应用易错警示：求两点距离用 |a-b|，勿忘绝对值。动点问题注意起点、方向和速度，列方程时考虑多种情况。比较数的大小时，先判断点在原点左侧还是右侧。 即时即练1．如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C为原点，点A、B、D所对应的数分别为、、1． (1)请在图中标出点B、C的位置； (2)一个点从点A出发，向左移动5个单位长度到达点E，求点E对应的数． 题型1 数轴的三要素及其画法 【例1】下面是几名同学画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。画法：画直线，定原点（0），标正方向（一般为右箭头），选取等长单位刻度。注意单位长度一致，正负数均匀分布，原点位置根据数值范围调整。 【变式1-1】下列数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2 用数轴上的点表示有理数 【例3】在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 【例4】把这些数在数轴上表示出来： 0，，，，，，再将这些数用“”连接起来． 【技巧归纳】 将有理数标在数轴上：先确定正负，正数在原点的右边，负数在左边。根据数值大小找到对应刻度位置。分数或小数需估算大致位置，可用等分线段法精确标记。0就是原点本身。注意点的密度随单位长度变化。 【变式2-1】已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 【变式2-2】已知下列各数：，0，，． (1)将上面各数填入表示它所在的数集的大括号内： 分数集合：{ …}；非负整数集合：{ …}． (2)将上面各数表示在数轴上，并用“＜”把这些数连接起来． 题型3 数轴上两点之间的距离 【例5】如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，则A、B两点之间的距离是 ． 【例6】点A、B在数轴上的位置如图所示，则A、B两点的距离 ． 【技巧归纳】 数轴上两点间距离等于它们坐标之差的绝对值，即|a-b|。计算时，无论两点位置，直接用大坐标减小坐标得正数。若已知距离和一点坐标，求另一点时需考虑左右两个可能位置（除中点外）。 【变式3-1】已知数轴上有两点，点表示的数为，点在数轴的负半轴上，若，则点表示的数为 ． 【变式3-2】已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为，则点表示的数为 ． 题型4 数轴上整点覆盖问题 【例7】如图所示，在数轴上，墨渍遮挡住的点表示的数可能是（   ） A． B．0 C． D．2.5 【例8】小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【技巧归纳】 数轴整点问题：区间端点是否为整数影响计数。闭区间含端点，开区间不含。求整点个数时，先确定左右边界整数值，计算差值后加1（闭区间）。注意区间长度与整数间距的关系，避免遗漏边界点。 【变式4-1】如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 【变式4-2】如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 题型5 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例9】若有理数、在数轴上的位置如图所示，则、的大小关系为 ．（填“”或“”） 【例10】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，由图可知a，b，c，0的大小关系是 （用“>”连接）．    【技巧归纳】 根据点在数轴位置确定其正负，原点右侧为正，左侧为负。再结合加减运算：大减小为正，小减大为负。两数相乘除，同号得正，异号得负。多个式子组合时，分别判断每个因子符号再整体运算。 【变式5-1】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则 0．（填“”或“”） 【变式5-2】已知a，b在数轴上的位置如图所示，则 （用“>”或“<”填空）． 题型6 数轴上的动点问题 【例11】如图，将点P向右平移3个单位，对应的数是（   ） A． B． C．0 D．1 【例12】如图，将点向右平移个单位，对应的数是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 动点问题：设动点坐标为起点±速度×时间，方向决定加减。利用两点距离公式列绝对值方程，分左右情况讨论。注意相遇、追及时刻相等关系，常需分类解方程，最后检验解是否在运动范围内。 【变式6-1】在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 【变式6-2】数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 题型7 数轴上的规律探究问题 【例13】如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【例14】正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【技巧归纳】 数轴规律题：观察点坐标随序号变化的递增模式（等差、等比或周期），写出通项公式。注意起点位置和步长符号。常见跳跃或往返运动，需分奇数项、偶数项讨论，可用坐标绝对值或模运算找周期。 【变式7-1】如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点到点位置．若点表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点在数轴上对应的数为（    ） A．2024 B．4047 C．4049 D．6071 一、单选题 1．点在数轴上的位置如图所示，若点，表示的数互为相反数，则点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 2．下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 3．在数轴上，点表示的数是，将点A向右移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 5．数轴上表示数a、b的点如图所示．把a、、b、按照从小到大的顺序排列，则正确的结论是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数可能是____________．（写出一个符合题意的数即可） 7．如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 8．有理数、在数轴上的位置如图所示，则_____．（填“”“”或“”） 9．如图，在数轴上注明了四段的范围，其中第______（填序号）段上有三个整数． 10．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是________． 三、解答题 11．把下列各数对应的序号填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨． (1)有理数集合：{______ …}； (2)非正整数集合：{_______ …}； (3)正分数集合：{_______…}． 12．有五个有理数：，，，， (1)在数轴上表示出上述各有理数 (2)把上述各数填入相应的集合内： ①分数集合 ； ②负有理数集合 ． ③非负整数集合 ． 13．如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： (1)点，，表示的数分别为 ， ， ； (2)点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ； (3)将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ； (4)将点向某个方向移动个单位长度后，其对应点所表示的数的绝对值是 ． 14．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是_______； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______； (3)在数轴上表示以下各数，并用“”把这些数按从小到大连接起来： 15．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)画出数轴，标出A，B，C三点在数轴上的位置，并写出A，B，C三点表示的数； (2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？ (3)若蚂蚁从点D出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点D表示的数． 16．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数；    (1)_____，_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． (4)在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 数轴 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 数轴的三要素及其画法 题型2 用数轴上的点表示有理数 题型3 数轴上两点之间的距离 题型4 数轴上整点覆盖问题 题型5 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型6 数轴上的动点问题 题型7 数轴上的规律探究问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 数轴、原点、正方向、单位长度、三要素、数形结合。 1. 掌握数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，能正确画出数轴。 2. 能用数轴上的点表示有理数，并能读出数轴上的点表示的数。 3. 理解数轴上点的位置与数的大小关系，能利用数轴比较有理数的大小（右边的数总比左边大）。 4. 体会数形结合的数学思想，感受数与形的对应统一。 学习重点：数轴的三要素及画法，用数轴上的点表示有理数。 学习难点：理解数轴上的点与有理数的对应关系（不是一一对应，因为无理数以后才学），以及利用数轴比较负数的大小（越向左越小）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 数轴 概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 【易错提醒】 数轴定义易错警示：数轴需同时具备**原点、正方向、单位长度**三要素。缺一不可。单位长度应均匀，正方向一旦选定不能更改，原点位置可任意，但必须标出。 即时即练1．以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查数轴，了解数轴三要素是关键.根据数轴三要素：原点，正方向，单位长度，逐一排除即可． 【详解】A.没有方向，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； B.单位长度不相等，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； C.数轴画法正确，故该选项符合题意； D.没有原点，数轴画法不正确，故该选项不符合题意． 故选：C 知识点02 数轴的性质 所有的有理数都可以在数轴上表示。 【易错提醒】 数轴性质易错警示：数轴上右边的数总比左边大；每个实数都有唯一对应点。注意：点与数一一对应，但单位长度不均匀或未标原点时无法比较大小。勿默认整点即整数。 即时即练1．把有理数：，，0，，，按下列要求作答： (1)在数轴上表示出来； (2)用“＜”把上面的数连接起来； (3)把上面的数填入对应的集合内． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据数轴的定义解答即可； （2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大解答即可； （3）根据有理数的分类解答即可． 【详解】（1）解：，，数轴表示如下： ； （2）解：根据有理数大小比较的原则，得到： ； （3）解：根据题意，填充如下： 知识点03 数轴的应用 应用 ：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 【易错提醒】 数轴应用易错警示：求两点距离用 |a-b|，勿忘绝对值。动点问题注意起点、方向和速度，列方程时考虑多种情况。比较数的大小时，先判断点在原点左侧还是右侧。 即时即练1．如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C为原点，点A、B、D所对应的数分别为、、1． (1)请在图中标出点B、C的位置； (2)一个点从点A出发，向左移动5个单位长度到达点E，求点E对应的数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了用数轴上点表示有理数，解题的关键是掌握数轴上点的特点． （1）根据、B、所对应的数，为原点，确定和B的位置即可； （2）利用两点间的距离公式，分点在点的右侧时或点在点的左侧，两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵点C为原点， ∴点C在点D左侧1个单位处， ∵点B表示的数为， ∴点B在点C的左侧2个单位处， 点B、C的位置，如图所示． （2）解：∵一个点从点A出发，向左移动5个单位长度到达点E， ∴点E表示的数为． 题型1 数轴的三要素及其画法 【例1】下面是几名同学画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴的画法，掌握数轴三要素的解题关键． 根据数轴三要素：原点、正方向、单位长度，即可判断． 【详解】解：数轴三要素：原点、正方向、单位长度，则： A选项，满足三要素，符合题意； B选项，单位长度不一致，不符合题意； C选项，没有原点，不符合题意； D选项，没有正方向，不符合题意． 故选：A． 【例2】下列数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素即规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴，解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素是解题的关键． 【详解】 解：A. 具备了三要素，但是单位长度不同， 该选项错误，不符合题意；     B. 具备了三要素，但是负数的标记位置错误， 该选项错误，不符合题意；     C. 没有原点， 该选项错误，不符合题意； D. 表示正确， 该选项正确，符合题意； 故选：D． 【技巧归纳】 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。画法：画直线，定原点（0），标正方向（一般为右箭头），选取等长单位刻度。注意单位长度一致，正负数均匀分布，原点位置根据数值范围调整。 【变式1-1】下列数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的定义，熟练掌握数轴的定义是解题的关键．根据数轴的“三要素”，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、数轴中的单位长度不一致，故A选项错误； B、数轴中的负数排列顺序错误，故B选项错误； C、数轴中没有原点，故C选项错误； D、的数轴是正确的数轴，故D选项正确． 故选：D． 【变式1-2】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴三要素：原点、单位长度和正方向，任何一个条件都不能少，都必须体现在数轴上．据此逐项分析即可． 【详解】解：A．该数轴无原点，故不正确； B．该数轴无正方向，故不正确； C．该数轴原点左边的数值标错，故不正确； D．该数轴具备数轴三要素，故正确； 故选D． 题型2 用数轴上的点表示有理数 【例3】在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 【答案】，见解析 【详解】解：, 如图 ． 【例4】把这些数在数轴上表示出来： 0，，，，，，再将这些数用“”连接起来． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】把各数按照所在位置表示在数轴上，然后根据数轴上从左到右的点表示的数从大到小即可用“<”连接起来． 【详解】解：， 各数在数轴上表示为： 这些数用“”连接为： ． 【技巧归纳】 将有理数标在数轴上：先确定正负，正数在原点的右边，负数在左边。根据数值大小找到对应刻度位置。分数或小数需估算大致位置，可用等分线段法精确标记。0就是原点本身。注意点的密度随单位长度变化。 【变式2-1】已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 【答案】(1)2， (2)数轴见解析， 【分析】（1）根据点在数轴上的位置，确定a的值，根据绝对值的意义，确定b的值； （2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3， ∴，； （2）解：，，， 在数轴上表示各数，如图： 用“”连接各数为：． 【变式2-2】已知下列各数：，0，，． (1)将上面各数填入表示它所在的数集的大括号内： 分数集合：{ …}；非负整数集合：{ …}． (2)将上面各数表示在数轴上，并用“＜”把这些数连接起来． 【答案】(1)，；，0； (2)见解析， 【分析】此题考查有理数的分类、有理数的大小比较和数轴，熟知数轴上右边的总比左边的大是解题关键． （1）根据有理数的分类解答即可； （2）先在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点用“”连接起来即可． 【详解】（1）解：由可知： 分数集合：…；非负整数集合：，0… 故答案为：，；，0； （2）解：如图所示： 用“”把它们连接起来为：． 题型3 数轴上两点之间的距离 【例5】如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，则A、B两点之间的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，正确把握数轴上两点之间距离求法是解题关键． 直接利用数轴上两点之间距离求法进而得出答案． 【详解】解：∵数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3， ∴A，B两点间的距离是：， 故答案为：4． 【例6】点A、B在数轴上的位置如图所示，则A、B两点的距离 ． 【答案】3 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题关键是掌握两点间的距离公式，解为右边的数减去左边的数，或者是两个数的差的绝对值．直接利用右边的点表示的数减去左边的点表示的数即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【技巧归纳】 数轴上两点间距离等于它们坐标之差的绝对值，即|a-b|。计算时，无论两点位置，直接用大坐标减小坐标得正数。若已知距离和一点坐标，求另一点时需考虑左右两个可能位置（除中点外）。 【变式3-1】已知数轴上有两点，点表示的数为，点在数轴的负半轴上，若，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴； 根据点在数轴的负半轴上，且，直接列式计算即可． 【详解】解：∵点表示的数为，，点在数轴的负半轴上， ∴点表示的数为， 故答案为：． 【变式3-2】已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点之间距离求法、数轴上的点表示有理数等知识，由数轴上点表示的数，再根据数轴上两点之间的距离，计算即可得到答案．掌握数轴上两点之间距离的求法是解决问题的关键． 【详解】解：已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为，则点表示的数为或者， 故答案为：或． 题型4 数轴上整点覆盖问题 【例7】如图所示，在数轴上，墨渍遮挡住的点表示的数可能是（   ） A． B．0 C． D．2.5 【答案】A 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】本题考查了数轴，墨渍遮挡住的点在0的左边且距离0一个单位，即可得出结论． 【详解】解：在数轴上，墨渍遮挡住的点表示的数为负数，可能是． 故选：A． 【例8】小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】数轴上整点覆盖问题、用数轴上的点表示有理数 【分析】此题考查了用数轴上的点表示有理数．写出被遮盖的部分中整数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，被遮盖的部分中整数有，共5个，即被遮盖的部分中表示整数的点有5个， 故选：C 【技巧归纳】 数轴整点问题：区间端点是否为整数影响计数。闭区间含端点，开区间不含。求整点个数时，先确定左右边界整数值，计算差值后加1（闭区间）。注意区间长度与整数间距的关系，避免遗漏边界点。 【变式4-1】如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 【答案】2 【知识点】数轴上整点覆盖问题、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴的特点，理解并掌握数轴上点与数的一一对应关系是解题的关键． 根据数轴的特点，数形结合分析即可求解． 【详解】解：根据数轴的特点，墨迹盖住的整数有，，共2个， 故答案为：2 ． 【变式4-2】如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【知识点】数轴上整点覆盖问题、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 题型5 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例9】若有理数、在数轴上的位置如图所示，则、的大小关系为 ．（填“”或“”） 【答案】 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据数轴上各数的位置得出，容易得出结论； 【详解】解：根据题意由数轴得：， ∴， 故答案为：； 【例10】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，由图可知a，b，c，0的大小关系是 （用“>”连接）．    【答案】 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大，在原点左边离原点越近的点表示的数越大，在原点右边离原点越远的点表示的数越大． 【详解】解：由图可知，． 故答案为：． 【技巧归纳】 根据点在数轴位置确定其正负，原点右侧为正，左侧为负。再结合加减运算：大减小为正，小减大为负。两数相乘除，同号得正，异号得负。多个式子组合时，分别判断每个因子符号再整体运算。 【变式5-1】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则 0．（填“”或“”） 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，由此可解． 【详解】解：由图可知，数轴上c在b的右侧， ， ， 故答案为：． 【变式5-2】已知a，b在数轴上的位置如图所示，则 （用“>”或“<”填空）． 【答案】< 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用数轴比较有理数的大小 【分析】先比较出的大小，然后在进行移项可得到问题的答案．此题考查了数轴以及有理数的大小比较，弄清题意是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：且， 如图所示： ． 故答案为：． 题型6 数轴上的动点问题 【例11】如图，将点P向右平移3个单位，对应的数是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的平移，掌握“左减右加”的原则是解答本题的关键．根据“左减右加”的原则即可求解． 【详解】解：将点向右平移个单位，对应的数是， 故选：D． 【例12】如图，将点向右平移个单位，对应的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的平移，掌握“左减右加”的原则是解答本题的关键．根据“左减右加”的原则即可求解． 【详解】解：将点向右平移个单位，对应的数是， 故选：B． 【技巧归纳】 动点问题：设动点坐标为起点±速度×时间，方向决定加减。利用两点距离公式列绝对值方程，分左右情况讨论。注意相遇、追及时刻相等关系，常需分类解方程，最后检验解是否在运动范围内。 【变式6-1】在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的平移，以及利用数轴表示有理数，根据图像得到点表示的数，再结合题意得到点所表示的数，即可解题． 【详解】解：由图知点表示的数为， 将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为， 故选：B． 【变式6-2】数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【详解】解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 题型7 数轴上的规律探究问题 【例13】如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的规律探索； 根据圆的滚动可得四个字母一循环，被整除后余3，从点与数字0对应开始计算，然后即可求解； 【详解】解：圆的周长为4个单位长度， 个数字为一个循环， ∵点与数字0对应，， 对应的字母是． 故选：A． 【例14】正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化规律，有理数与数轴等知识点，由正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定所对应的点，发现各个顶点在翻转过程中所对应的数字的规律是解此题的关键． 【详解】当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次， 第一次翻转A对应1， 第二次翻转B对应2， 第三次翻转C对应3， 第四次翻转D对应4， …， ∴四次一个循环， ∵， ∴2025所对应的点是A， 故答案为：A． 【技巧归纳】 数轴规律题：观察点坐标随序号变化的递增模式（等差、等比或周期），写出通项公式。注意起点位置和步长符号。常见跳跃或往返运动，需分奇数项、偶数项讨论，可用坐标绝对值或模运算找周期。 【变式7-1】如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的规律探究，找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此题的关键．圆的周长为6个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合即可解答． 【详解】解：由图可知，旋转1周，点B对应的数是0，点C对应的数是，点D对应的数是，点E对应的数是，点F对应的点为，点A对应的点为，继续旋转，点B对应的点为，点C对应的点为，……． ∵ 又∵， ∴数轴上表示的点与圆周上点D重合． 故选C． 【变式7-2】如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点到点位置．若点表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点在数轴上对应的数为（    ） A．2024 B．4047 C．4049 D．6071 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上动点的规律探究，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 由图可知，每3次翻转为一个循环，每次循环点表示的数增大6，2024除以3余数为2，根据余数可知点A在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， 每3次翻转为一个循环组依次循环， ， ∴翻转次后点A在数轴上， ∴点A对应的数是． 故选C． 一、单选题 1．点在数轴上的位置如图所示，若点，表示的数互为相反数，则点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相反数与数轴的相关知识，理解相反数的几何意义（互为相反数的两个数在数轴上对应的点到原点的距离相等，符号相反）是解题的关键．先根据数轴确定点表示的数的范围，再利用相反数的定义，得到点表示的数的范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：由图得，点在之间，若点，表示的数互为相反数，则点应在之间，符合的选项为． 故选：． 2．下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数轴要规定原点、正方向，单位长度要一致，由此求解． 【详解】解：A．所画数轴单位长度不一致，不合题意； B．所画数轴没有原点，不合题意； C．所画数轴规范，符合题意； D．所画数轴没有正方向，不合题意． 3．在数轴上，点表示的数是，将点A向右移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点的移动，正确理解移动方向与数值变化的关系是解题关键．根据数轴上点的移动规则，向右移动表示加，向左移动表示减． 【详解】解：∵点表示的数是，向右移动个单位长度到达点， ∴点表示的数为：． 故选：C． 4．如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的特征写出被遮住的点即可得到答案． 【详解】解：被盖住的整数有，共9个． 故选：C． 5．数轴上表示数a、b的点如图所示．把a、、b、按照从小到大的顺序排列，则正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数和绝对值的意义，根据相反数的意义将，在数轴上表示出来，进而比较大小． 【详解】解：将，在数轴上表示出来，如图， 由数轴上的点表示的数右边的比左边的大，得． 故选：D． 二、填空题 6．点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数可能是____________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由数轴可知，设点A表示的数为x，则， 则点A表示的数可能是． 7．如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 【答案】 【分析】根据相反数的几何意义，互为相反数的两个点关于原点对称，即原点是这两点连线的中点，根据数轴上的两点之间距离即可确定原点位置． 【详解】解：由图可知，点与点之间相隔个单位长度， 点和点表示的数互为相反数， 原点在线段的中点处， 由图可知，， 原点是点． 8．有理数、在数轴上的位置如图所示，则_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴比较大小． 根据数轴得到，，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，在数轴上注明了四段的范围，其中第______（填序号）段上有三个整数． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的特点，整数包括正整数、、负整数，结合数轴特点即可求解，理解并掌握数轴的特点是解题的关键． 【详解】解：根据图示，第段上包含的整数是，，不符合题意； 第段上包含的整数是，，，符合题意； 第段上包含的整数是，，不符合题意； 第段上包含的整数是，，不符合题意； 故答案为：． 10．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是________． 【答案】或/1112或1115 【分析】本题考查了数轴上的动点问题．根据点的运动情况，可知第奇数次移动的点表示的数是，第偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：或． 三、解答题 11．把下列各数对应的序号填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨． (1)有理数集合：{______ …}； (2)非正整数集合：{_______ …}； (3)正分数集合：{_______…}． 【答案】(1)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ (2)⑤⑦ (3)②③⑧ 【分析】本题主要考查了有理数的分类，计算绝对值和化简多重符号，熟知有理数的分类方法是解题的关键． （1）先计算绝对值和化简多重符号，再根据有理数的定义可得答案； （2）非正整数是小于或等于0的整数，据此可得答案； （3）根据正分数的定义可得答案． 【详解】（1）解：，，，， 有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧⑨…}； 故答案为：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨； （2）解：非正整数集合：{⑤⑦…}； 故答案为：⑤⑦； （3）解：正分数集合：{②③⑧…}； 故答案为：②③⑧． 12．有五个有理数：，，，， (1)在数轴上表示出上述各有理数 (2)把上述各数填入相应的集合内： ①分数集合 ； ②负有理数集合 ． ③非负整数集合 ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析. 【分析】本题考查数轴，有理数的分类，能正确画出数轴和区分各个数是解题的关键． （1）利用数轴表示数的方法画出数轴进行描点即可．（2）根据有理数的分类，可得答案． 【详解】（1）解：，， 在数轴上表示出各有理数，如下图所示： （2）解：①分数集合，； ②负有理数集合，． ③非负整数集合，． 13．如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： (1)点，，表示的数分别为 ， ， ； (2)点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ； (3)将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ； (4)将点向某个方向移动个单位长度后，其对应点所表示的数的绝对值是 ． 【答案】(1)，， (2)，， (3)5 (4)或 【分析】本题考查了数轴上的点，相反数的定义． （1）直接根据数轴作答即可； （2）直接根据相反数的定义作答即可； （3）先求出点所表示的数，再求其相反数即可； （4）先求出点所表示的数，再求其绝对值即可． 【详解】（1）解：点，，表示的数分别为，，； 故答案为：，，； （2）解：点，，表示的数的相反数分别为，，； 故答案为：，，； （3）解：将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，相反数是； 故答案为：； （4）解：将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，绝对值是． 将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，绝对值是． 故答案为：或． 14．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是_______； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______； (3)在数轴上表示以下各数，并用“”把这些数按从小到大连接起来： 【答案】(1)数轴见解析；4 (2)2或6 (3)数轴见解析； 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数以及有理数的比较大小，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点表示即可得原点位置，进一步得到点所表示的数； （2）分两种情况讨论即可求解； （3）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）解：如图，为原点，可知点所表示的数是4， 故答案为：4； （2）解：点表示的数为或． 即点C表示的数为：2或6； 故答案为：2或6； （3）解：，， 在数轴上表示，如图所示： 由数轴可知：． 15．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)画出数轴，标出A，B，C三点在数轴上的位置，并写出A，B，C三点表示的数； (2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？ (3)若蚂蚁从点D出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点D表示的数． 【答案】(1)见解析，4，6， (2)向左，4个单位 (3) 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴上的点与数的对应关系． （1）画出数轴并标出A，B，C三点即可求解； （2）根据（1）中所画数轴写出即可； （3）根据正负数在轴上的意义“向右为正，向左为负”来解答． 【详解】（1）如图： A，B，C三点表示的数分别为4，6，； （2）点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了4个单位长度得到的； （3）点D表示的数为． 16．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数；    (1)_____，_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． (4)在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)1,10 (4)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，求绝对值和平方的非负性，点平移的性质，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握数形结合以及分类讨论的数学思想． （1）利用绝对值和平方的非负性及有理数的定义进行求解即可； （2）利用中点公式进行点的平移的性质进行求解即可； （3）利用绝对值的几何意义和两点之间线段最短进行求解即可； （4）根据点平移的性质，分类进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为最小正整数， ∴， 故答案为：； （2）解：根据点与点重合得出中点为， ∴点的重合点为， 故答案为：； （3）解：根据绝对值的几何意义得， 表示到的距离之和， 根据两点之间线段最短，结合各点在数轴上的位置可得， 当时，的值最小， 此时，， 故答案为：1,10； （4）解：乙球到达挡板所需时间为， ①当时，； ②当时，． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $