（复习篇）专题04 相交线与平行线、长方形与正方形【思维导图+知识卡片+知识梳理+九大考点讲练+真题强化 共47题】-2026-2027学年苏教版数学三升四年级暑假衔接金牌讲义

null2026-2027学年数学三升四年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 暑假衔接 专题04相交线与平行线、长方形与正方形 思维导图+知识回顾+九大考点讲练+真题强化（共47题） 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 技巧点拨 知识梳理方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 真题强化 真题汇编查漏补缺 小学数学 三年级/下册 教 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年苏教版数学三升四年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习三年级下学期内容为主，选取重点难，点专题内容强化复习， 讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内 容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。 解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！ 希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 苏教版三年级数学下册专题04 相交线与平行线、长方形与正方形思维导图 (1.相交线 不相交的码条直线互相平行，其中一条直战是芳一条直线的平行线 1.正方形的特征 ②两直线只委相交会有一个交点。而且只有一个交点】 ①正方形的四条边都相等。 ②正方形的四个角都是直角 ③正方形的对边夏相平行. ④将正方形的4条边也分别对折 都完全重合。 (2.垂直 一、相交线 ①两条直我相交成直角时。这两条直线互相垂直。 与平行线 三、正方形 (2.正方形的周长 边长 其中一条直战是另一泰直线的参线。这两条直线的 正方形周长=边长×4 边长 交点叫作垂是。 边长 ②平行线是互相◆直的，不能单微说明嘟条直线是垂线。 3.正方形的面积 3,垂直的画法 月月月月与 ①方法一：用三角板画 ②方法二：用直角器来羲 正方形面积=边长×边长 重点：高己南查战的委民可以画无数表】 相交线与平行线、 两过直线外一点已直线的垂线只能高一 长方形与正方形 4.点到立线的距离 （1.长方形和正方形的关系 重点：点到直找的所有线中，垂直线段最翅 ①正方形是特殊的长方形 ③当长方形的长=宽时，就是正方形。 从直线外一点列这条直线所画的季直线授的美度 叫件这点列直线的距离。 ③四条边的长度都相等，四个角都是直角。 1.长方形的特征 方形（长*无 正方形（宽） ①长方形有四条边，上。下这组对边相等 ③长方形的左。右达组时边也相等 2,画长方形和王方影的方法 ③长方形的财边至相平行 四、长方形和 方法一：月直尺量段的方法。 两条边完企重合：左右相时的两条边完金重合 正方形的关系 二、长方形 与画法 两域点连起来。 2.长方形的周长 长方形周长=（长+宽）×2 3.长方形的面积 长方形面积=长×宽 7受A回A口 ”提示：画正方形的过程与画长方形的过程相似 ☆总结：相交线有1个交点，平行线不相文：垂直有直角，距离取最短： 不同之处是四悬边的长度都相等。 长方形对边相等，正方形四边相等，都有四个直角装！ 知识梳理温故知新 知识点一相交与平行 1.不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 2.下图中，直线a与直线b互相平行，记作a/b,读作a平行于b。 第2页共16页 2026-2027学年苏教版数学三升四年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 易错：平行线是成组出现的， 不能单独说某一条线是平行线。 两条直线只要相交就会有交点，而 且只有一个交点。 它们相交后都形成4 个角，都有一个交点。 重点：平行线之间的距离处处相等。 垂直是相交的一种特殊情况，互相垂直的两条直线一定相交。 2.两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。这两条直 线的交点叫作垂足。 易错：两条直线是互相垂直的，不能单独说明哪条直线是垂线。 3.右图中，直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b,读作a垂直于b。 提示：判断两条直线是否互相垂直的关键是看它们相交所成的角是不是直 角，与两条直线放置的方向无关。 知识点二垂线的画法 1.方法：①用三角板画 ②用量角器来画 垂足 重点：画已知直线的垂线可以画无数条，而过直线外一点画已知直线的垂线只能画一条。 知识点三点到直线的距离 重点：点到直线的所有线段中，垂直线段最短。 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。 知识点四长方形和正方形 1.长方形 第3页共16页 2026-2027学年苏教版数学三升四年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 长方形有四条边，上 长方形的左、右这组 长方形的对边 下这组对边相等。 对边也相等。 互相平行。 将长方形纸上下对折，上、 下相对的两条边完全重合。 将长方形纸左右对折。左、 长方形相对的两条边之 右相对的两条边完全重合。 问的距离处处相等。 知识点五正方形 正方形的两组对边 正方形的4条边 正方形有4个角， 也分别平行。 都相等。 都是直角。 即两组对边 分别相等， 邻边也相等。 知识点六画长方形的方法 画长方形时，可以先画长也可以先画宽，但要保证相邻的两条线段是互相垂直的。 方法一：用画垂线的方法画。 在线段的两端向同一个方向分别画一 先画一条长8厘米的线段，再 条长5cm的垂直线段，最后把两条 垂直线段的另外两个端点主起来。 8 cm 5 cm 5cm◆5cm 5 cm (宽)h 8cm(长) 8 cm 8cm 8 cm 方法二：用画平行线的方法画。 先画一组平行线，使它们之间的距离是5厘米，再…。 5c四 0 5 cm →5c四 T 8cm 把直尺与下面这条直线重合，三角板的一条直角边紧靠直尺，使 三角板的直角顶点分别对准0和8刘度线，沿三角板的另一条直 角边画两条垂直线段，画出的图形即为长8am、宽5am的长方形。 提示：画正方形的过程与画长方形的过程相似，不同之处是四条边的长度都相等。 第4页共16页 2026-2027学年苏教版数学三升四年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 优选题型考点讲练 考点一平行的特征及性质 【典例精讲】(25-26三年级上·河北邢台·期末)如图中有( )个锐角，( )个直角， )个钝角。图中AD与BC互相( ),AB与BC互相( )。 A B 【变式训练1】（25-26三年级下·江苏·课后作业)按要求将序号填在括号里。 ② ③ 4 6 在上面的图形中，有互相平行的线段的图形是( ),有互相垂直的线段的图形是( , 既有互相平行又有互相垂直的线段的图形是( )。 【变式训练2】(25-26三年级下·全国·课后作业)下图中，点P可以在方格纸（每格高是1）上 自由移动。 ()当点P移动到什么位置时，它到直线的距离是2？ (2)画出几个表示这些位置的点。这些点在同一条直线上吗？ (3)这些点所在的直线与直线有什么关系？ 考点二垂直的特征 【典例精讲】(25-26三年级下·河南周口·阶段检测)在括号里填上每组直线的位置关系。 第5页共16页 2026-2027学年苏教版数学三升四年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练1】（25-26三年级下·江苏·课后作业)按要求画图。 过点A先画己知直线的垂线，再画已知直线的平行线。量一量，画出的两条直线互相垂直吗？ A· 【变式训练2】(25-26三年级下·全国·随堂练习) 木材加工厂⊙ 百 龙 湖 (1)图中，哪些道路互相平行？哪些道路互相垂直？ (2)木材加工厂要将白龙湖的水引入厂内，怎样铺设管道能使它最短？把它画出来。 考点三画垂线 【典例精讲】(25-26三年级上·河北保定·期末)某城市规划图（如下图），点A、B、C、D分别为 四个居民区的位置。 ④ ③ ① D (1)从A区出发共有①、②、③、④条路可以到C区。利用直尺和圆规作图的方法，分别在下面的横 (虚)线上做出路线②和④，能清晰看出哪条路短。 ②● ④●… (2)A区和D区之间正在铺设供暖主管道，想从这条主管道引出一条管道直通C区，怎样铺设管道最 第6页共16页 2026-2027学年苏教版数学三升四年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 短？请在上图中画出来。 【变式训练1】（25-26三年级下·河南周口·阶段检测)过A点画已知直线的垂线。 A· A 【变式训练2】(25-26三年级下·江苏·课后作业)练习投掷沙包时，同学们站在起掷线后原地投 掷。沙包落地点到起掷线的距离为同学们的成绩。如图是小江、小华、小军、小力投掷沙包的示意图， ()的成绩最好。请用画平行线或画垂线的方法解答。 起掷线 小江小华小军小力 考点四点到直线的距离 【典例精讲】(25-26三年级下·江苏·课后作业)如图，三只蚂蚁同时朝箭头所指的方向爬行，同 一时间到达米粒处，谁爬得最慢？说明你的理由。 甲 乙 米粒 家容丙 【变式训川练1】（25-26三年级下·江苏·周测)如图，两条直线分别表示两条天然气管道，点B为 新建的天然气供给站，现在要将天然气供给站与两条天然气管道连通，并要使新铺设的天然气管道的 长度最短。请你在图中画出天然气管道铺设的位置。 第7页共16页 2026-2027学年苏教版数学三升四年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练2】(25-26三年级下·全国·课后作业)小船要从湖面西岸的点B划到东岸（如下图）， 怎样划才能使路线最短？把最短的路线画出来。 西 东 湖 B 考点五画平行线 【典例精讲】(25-26三年级上·河北邢台·期末)过A点画已知直线的平行线和垂线。 【变式训练1】（25-26三年级下·江苏·周测)学衡路和文澜路平行，栖霞区仙林办事处就在文澜 路上，你能在图中画出文澜路吗？ 学衡路 文范路 仙林办事处 【变式训练2】(25-26三年级下·全国·课后作业) -a .A b ()请你设计一条航行路线，使游船A在下图这段河道上航行时总是平行于a岸。请在图中画出这条路 线co (2)已知a岸平行于b岸，则路线c( )于b岸。（填“平行”或“相交”） (3)请给游船A设计一条路线，使其去b岸的路线最近。请在图中画出这条路线。 第8页共16页 2026-2027学年苏教版数学三升四年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点六长方形的概念及特点 【典例精讲】(25-26三年级上·陕西咸阳·期末)按要求画一画。 ()在下面左边的点子图上分别画出一个锐角和一个直角。 (2)在下面右边的点子图上按照提示画一个长方形和一个更大的钝角。 ●●●●。。 【变式训练1】（25-26三年级下·全国·课后作业)在下面的图形中，你能找到哪些不同的正方形 和长方形？ 【变式训练2】(25-26三年级下·江苏·周测)选择图1的小棒（每根不能折断)，摆出长方形和 正方形。 1厘米 2厘米 3厘米 图1 图2 (1)选择( )根( )厘米的小棒摆出一个正方形。 (2)选择()根（)厘米和（)根（)厘米的小棒就能摆出一个长方形，并把这个长方形画 在图2的方格纸上。（方格纸中每个小正方形的边长表示1厘米） (3)选择( )就能摆出一个边长是4厘米的正方形。 第9页共16页 2026-2027学年苏教版数学三升四年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点七正方形的概念及特点 【典例精讲】(25-26三年级上·陕西咸阳·期未)如图所示，用1张长方形纸剪出1个最大的正方 形，剩下的长方形刚好可以分成3个同样的小正方形。原来长方形纸的长为( )厘米，宽为( 厘米。 2厘米 【变式训练1】（25-26三年级下·全国·课后作业)下面是乐乐没有画完的四边形，请你猜一猜。 (填序号) ② ③ (1)( )号图形一定是正方形。 (2)( )号图形一定是长方形。 (3)( )号图形可能是正方形，也可能是长方形。 【变式训练2】（25-26三年级下·全国·课后作业)爸爸选中一款正方形瓷砖铺设卫生间的地面， 如下图。已知这种瓷砖由2个白色正方形和2个涂色长方形组成，2个涂色长方形长均为4分米，宽均 为1分米，则正方形瓷砖的边长为( )分米。 考点八画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【典例精讲】(25-26三年级下·全国·课后作业)（1)画一个长6厘米、宽4厘米的长方形。 (2)画一个边长5厘米的正方形。 第10页共16页 2026-2027学年苏教版数学三升四年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练1】（24-25三年级上·湖南永州·期末)在下面的方格纸上按要求画图形（共4分）。 1厘米 1厘米 (1)画一个长4厘米、宽2厘米的长方形。 (2)画一个边长为3厘米的正方形。 【变式训练2】（24-25三年级上·辽宁葫芦岛·期末)在下面边长是1厘米的方格纸上按要求画出 图形。 (1)画一个边长为3厘米的正方形。 (2)画一个长是宽2倍的长方形。 1厘米 考点九数图形 【典例精讲】(25-26三年级下·全国·课后作业)乐乐一家经过商讨，最终决定用正方形瓷砖铺设 厨房地面。下图是其平面示意图，图中有()个正方形，有( )个长方形。 第11页共16页 2026-2027学年苏教版数学三升四年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练1】(25-26三年级下·全国·课后作业) )个长方形。 【变式训练2】(25-26三年级上·河北·单元测试)观察下列图形，则第12个图形中三角形的个数 是()。 A.52 B.44 C.48 真题汇编能力强化 1. (25-26三年级上·陕西西安·期末)下面选项中，顺次折叠各点（)能围成一个长方形。 1cm ● 3cm 1cm 3cm A. 3cm 1cm 3cm lem B C. 3cm 3cm 1cm 2.(25-26三年级上·陕西咸阳·期末)班级要布置“几何图形创意角”，需要用两个相同的图形拼 成一个正方形装饰牌。以下()选项里的两个图形，能正好拼成这个正方形装饰牌。（单位：dm) A 3 3.(22-23二年级下·山东·单元测试)把一张正方形纸按下面的操作对折，可以验证（)。 A.正方形的四条边都相等 B.正方形的对边相等 第12页共16页 2026-2027学年苏教版数学三升四年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 C.正方形的邻边相等 4.（25-26三年级上·河北邯郸·期末)数图形。 )条线段 )个长方形 )个角 5.(25-26三年级下·江苏·单元复习)两组平行线中间组成一个长方形（如图），点0在长方形的 正中间，如果点0到直线a的距离是5厘米，到直线c的距离是7厘米，那么这个长方形的长是（) 厘米，宽是( )厘米。 d a 0 6.(25-26三年级上·陕西渭南·期末)在正确答案的下面或后面画“√”。 (1)下面哪个事件发生的年份是闰年？ 2025年10月31日，神舟二十一 2001年中国加入世 2000年中国国内生产总值首 号载人飞船成功发射。 界贸易组织。 次突破1万亿美元。 () () () (2)用同样长的小棒摆图形，在图上继续摆，摆成长方形或正方形至少还需要几根小棒？（不改变小棒 的位置，图中的小棒均在长方形或正方形上，没有多余的小棒) D 图1 图2 在图1上摆长方形： 3根☐ 4根☐ 6根☐ 在图2上摆正方形： 2根☐ 4根☐ 6根☐ 第13页共16页 2026-2027学年苏教版数学三升四年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 7.(25-26三年级上·陕西西安·期末)下图中两根铁丝分别沿各自的折痕弯折，可以围成正方形或 长方形，( )围成的是正方形，（ )围成的是长方形（填序号）。 ① ② 8.(24-25四年级上·重庆云阳·期末)数一数，下图中有( )个长方形。 9.(24-25三年级上·江苏苏州·期中)把一个长方形的长减少2厘米，宽增加2厘米就变成了一个 正方形，原来长方形的长比宽多( )厘米。 10.（25-26三年级下·陕西宝鸡·期中)如图 用一个长方形折出 一个最大的正方形，正方形的边长与长方形的宽相等。（)（判断对错） 11.（25-26三年级下·河南周口·阶段检测)用8个1平方厘米的小正方形拼成的长方形，面积一定 是8平方厘米。（)（判断对错） 12.(25-26三年级上·辽宁营口·期末) 图中长方形被挡住的角是直角。（)（判断对 错) 13.（25-26三年级下·全国·课后作业)分别量出下面正方形和长方形中∠1和∠2的度数，再算出 ∠3和∠4的度数。 3 3 2 4 第14页共16页 2026-2027学年苏教版数学三升四年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 14.（25-26三年级上·河北石家庄·期末)在科技展区展示了机器人和无人机。 ()机器人能够按照设定的程序自动前进和装卸货物。请你设计一条让机器人从A点走到装货区的最短 路线，画在下图中。 装货区 (2)一款农业无人机，一分钟能喷洒农药4千克。喷洒完60千克农药，需要几分钟？ 15.(25-26三年级下·河南周口·阶段检测)李奶奶有一个长36米、宽17米的长方形菜园。如果菜 园的长不变，要把它扩建成正方形，菜园的宽要增加多少米？ 16.(25-26三年级上·河北石家庄·期末)科技节共设置了两个竞赛项目。 (1)在蔬菜塔比赛中，三（1)班的5名同学准备搭成图这样的高塔，每层需要4块胡萝卜，他们每人 制作了4层，再把它们连接起来。一共使用了多少块胡萝卜？ (2)小斌获得了魔方大赛的冠军，魔方的一个面上一共有( )个正方形。 17.（25-26三年级下·江苏·单元复习)如图是两个部分重叠的长方形，如果∠1+∠2+∠3=110°， 求∠1的度数。 、3 】2 第15页共16页 2026-2027学年苏教版数学三升四年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 18.（25-26三年级下·广东佛山·期中)张奶奶用48米长的篱笆靠墙围了一个正方形菜地。 墙壁 (1)这个正方形菜地的边长是多少米？ (2)用同样长的篱笆围一个宽是9米的长方形花圃，花圃的长是多少米？（长方形花圃不靠墙） 9米 19.（25-26三年级下·江苏·课后作业)有一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸。 (1)在这张纸上剪一个最大的正方形，把你的剪法在图中画出来。剪出的正方形的边长是（)厘米。 (2)剩下的图形是一个长方形，这个长方形的长是( )厘米，宽是( )厘米。 20.（25-26三年级下·全国·课后作业) 1cm 3cm (1)用上面这种正方形和长方形拼一个边长3厘米的正方形，可以怎样拼？这两种图形各需要多少个？ (2)用上面这种正方形和长方形拼一个长4厘米、宽3厘米的长方形，又可以怎样拼？这两种图形各需 要多少个？ 第16页共16页null2026-2027学年苏教版数学三升四年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学三升四年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 三年级/下册 小学数学 专题04 相交线与平行线、长方形与正方形 思维导图+知识回顾+九大考点讲练+真题强化 （共47题） 【解析版】 苏教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习三年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 相交与平行 1.不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 2.下图中，直线a与直线b 互相平行，记作a//b,读作a平行于b。 易错：平行线是成组出现的， 不能单独说某一条线是平行线。 重点：平行线之间的距离处处相等。 垂直是相交的一种特殊情况，互相垂直的两条直线一定相交。 2. 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。这两条直线的交点叫作垂足。 易错：两条直线是互相垂直的，不能单独说明哪条直线是垂线。 3. 右图中，直线a与直线b 互相垂直，记作a⊥b, 读作a垂直于b。 提示：判断两条直线是否互相垂直的关键是看它们相 交所成的角是不是直角，与两条直线放置的方向无关。 知识点二 垂线的画法 1.方法：①用三角板画 ② 用量角器来画 重点：画已知直线的垂线可以画无数条，而过直线外一点画已知直线的垂线只能画 一 条。 知识点三 点到直线的距离 重点：点到直线的所有线段中，垂直线段最短。 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。 知识点四 长方形和正方形 1. 长方形 知识点五 正方形 知识点六 画长方形的方法 画长方形时，可以先画长也可以先画宽，但要保证相邻的两条线段是互相垂直的。 提示：画正方形的过程与画长方形的过程相似，不同之处是四条边的长度都相等。 考点一 平行的特征及性质 【典例精讲】（25-26三年级上·河北邢台·期末）如图中有( )个锐角，( )个直角，( )个钝角。图中AD与BC互相( )，AB与BC互相( )。 【答案】 1 2 1 平行 垂直 【思路引导】由锐角、直角、钝角的定义：小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°且小于180°的角是钝角。 在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。由此判定两直线间的关系即可。 【规范解答】图中有1个锐角，2个直角，1个钝角。 图中AD与BC互相平行，AB与BC互相垂直。 【变式训练1】（25-26三年级下·江苏·课后作业）按要求将序号填在括号里。 在上面的图形中，有互相平行的线段的图形是( )，有互相垂直的线段的图形是( )，既有互相平行又有互相垂直的线段的图形是( )。 【答案】 ①②③④ ②④⑥ ②④ 【思路引导】在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线。两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；据此解答即可。 【规范解答】在上面的图形中，有互相平行的线段的图形是①②③④，有互相垂直的线段的图形是②④⑥，既有互相平行又有互相垂直的线段的图形是②④。 【变式训练2】（25-26三年级下·全国·课后作业）下图中，点P可以在方格纸（每格高是1）上自由移动。 (1)当点P移动到什么位置时，它到直线的距离是2？ (2)画出几个表示这些位置的点。这些点在同一条直线上吗？ (3)这些点所在的直线与直线有什么关系？ 【答案】(1)点P在直线上方2格处的水平线上的任意一个位置 (2)见详解 (3)这些点所在的直线都和直线互相平行。 【思路引导】（1）点到直线的距离是点到直线的垂线段长度，已知每格高度是1，要求距离为2，点P在直线上方2格处的水平线上的任意一个位置。 （2）在直线上方2格处的水平线上画任意几个位置并连接，判断是否在同一条直线上。 （3）平行：在同一平面内，不相交的两条直线相互平行。 【规范解答】（1）点P在直线上方2格处的水平线上的任意一个位置，如下图所示：（答案不唯一） （2）在直线上方2格处的水平线上画任意4个位置并连接，画图如下： 即可观察发现这些点在同一条直线上。 （3）这些点所在的直线都和直线互相平行。 考点二 垂直的特征 【典例精讲】（25-26三年级下·河南周口·阶段检测）在括号里填上每组直线的位置关系。 ( )   ( )   ( )   ( )   ( ) 【答案】 相交 平行 相交 垂直 相交 【思路引导】分别根据相交、平行、垂直的定义进行判断： 相交：两条直线有且只有一个公共点， 平行：在同一平面内，两条直线永不相交； 垂直：两条直线相交且夹角为90°。 【规范解答】第一组直线相交且不垂直，位置关系是相交； 第二组直线永不相交，位置关系是平行； 第三组直线延长后会相交且不垂直，位置关系是相交； 第四组直线相交且垂直，位置关系是垂直； 第五组直线延长后会相交且不垂直，位置关系是相交； 【变式训练1】（25-26三年级下·江苏·课后作业）按要求画图。 过点A先画已知直线的垂线，再画已知直线的平行线。量一量，画出的两条直线互相垂直吗？ 【答案】垂直；画图见详解 【思路引导】过直线外一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过A点时，沿这条直角边画的直线就是过A点作的直线的垂线。 画平行线：用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺靠紧和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线即可。 观察图可知，画出的两条直线相交于点A，组成4个角，根据量角器的使用方法，中心点需与角的顶点对齐，零刻度线需与角的一条边对齐，看另一条边对应的刻度，就是该角的度数。据此分别测量出这4个角的度数，看看是不是90°，如果4个都是90°，画出的两条直线相交于点A，组成4个角都是直角，即画出的两条直线互相垂直；据此解题即可 【规范解答】过点A先画已知直线的垂线，再画已知直线的平行线，画图如下： 通过测量，画出的两条直线相交于点A，组成4个角都是直角，所以，画出的两条直线互相垂直。 【变式训练2】（25-26三年级下·全国·随堂练习） (1)图中，哪些道路互相平行？哪些道路互相垂直？ (2)木材加工厂要将白龙湖的水引入厂内，怎样铺设管道能使它最短？把它画出来。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路引导】（1）在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。按照一定的顺序进行观察，注意不重复，不遗漏，据此解答即可。 （2）要想让木材加工厂到白龙湖最近，因为点到直线的垂线段最短，所以画木材加工厂表示的点到白龙湖的垂线段即可。 【规范解答】（1）南瑞路、育英路、平安路、彩虹路，互相平行，凤凰大道、幸福大道，互相平行； 南瑞路、育英路、平安路、彩虹路分别和幸福大道、凤凰大道互相垂直。 （2）根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，可知管道最短的位置应是过木材加工厂到白龙湖的垂线段。 考点三 画垂线 【典例精讲】（25-26三年级上·河北保定·期末）某城市规划图（如下图），点A、B、C、D分别为四个居民区的位置。 （1）从A区出发共有①、②、③、④条路可以到C区。利用直尺和圆规作图的方法，分别在下面的横（虚）线上做出路线②和④，能清晰看出哪条路短。 ②●………………………………………… ④●………………………………………… （2）A区和D区之间正在铺设供暖主管道，想从这条主管道引出一条管道直通C区，怎样铺设管道最短？请在上图中画出来。 【答案】（1） （2） 【思路引导】（1）这道题考查的是尺规作图的方法； （2）直线外一点到这条直线的所有线段中垂线段最短，以此作答 【规范解答】（1）尺规作图的方法：先将有针尖的脚固定在原线段的端点上，另一只脚固定在另一个端点上，保持圆规开口大小不变，将针尖脚移动到虚线上，固定一个端点，再画弧定点，连接这两个端点，就得到与原线段长度相等的线段，将路线②和④的长度转移到虚线上，直观显示两条路线长短； （2）将三角形的一条直角边与AD完全重合，将三角尺平稳地沿着AD移动，直到三角尺的另一条直角边经过C点，沿着直角边画出垂线段，这条垂线段就是铺设的最短的管道。 【变式训练1】（25-26三年级下·河南周口·阶段检测）过A点画已知直线的垂线。 【答案】 【思路引导】过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线。 【规范解答】略 【变式训练2】（25-26三年级下·江苏·课后作业）练习投掷沙包时，同学们站在起掷线后原地投掷。沙包落地点到起掷线的距离为同学们的成绩。如图是小江、小华、小军、小力投掷沙包的示意图，（    ）的成绩最好。请用画平行线或画垂线的方法解答。 【答案】图见详解；小军 【思路引导】画垂线的方法：比较出谁的落地点到起掷线的垂线距离最长，谁的成绩就最好；过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线； 画平行线的方法：画一条与起掷线平行的直线，让它刚好经过沙包落地点，哪条平行线离起掷线越远，对应的成绩就越好。 【规范解答】如图： 观察发现小军投掷沙包的落地点到起掷线的垂线距离最长，小军的沙包落地点所在的平行线，距离起掷线最远，所以小军的成绩最好。 考点四 点到直线的距离 【典例精讲】（25-26三年级下·江苏·课后作业）如图，三只蚂蚁同时朝箭头所指的方向爬行，同一时间到达米粒处，谁爬得最慢？说明你的理由。 【答案】丙蚂蚁；理由见详解 【思路引导】直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，相同的时间内，爬的距离短的爬得慢。 【规范解答】丙爬得最慢，根据从直线外一点到这条直线的所有连线中，垂直线段最短。蚂蚁丙的路程最短，而相同的时间，路程越短，爬得越慢，故蚂蚁丙爬得最慢。 【变式训练1】（25-26三年级下·江苏·周测）如图，两条直线分别表示两条天然气管道，点B为新建的天然气供给站，现在要将天然气供给站与两条天然气管道连通，并要使新铺设的天然气管道的长度最短。请你在图中画出天然气管道铺设的位置。 【答案】见详解 【思路引导】根据从直线外一点到直线上任意一点的连线中，垂直线段最短，所以，要使新铺设的天然气管道的长度最短，只需从B点分别向两条直线画垂直线段即可。 【规范解答】根据分析，画图如下： 【变式训练2】（25-26三年级下·全国·课后作业）小船要从湖面西岸的点B划到东岸（如下图），怎样划才能使路线最短？把最短的路线画出来。 【答案】见详解 【思路引导】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，因此，只要作出点B到东岸所在直线的垂直线段，据此解答。 【规范解答】根据分析，作图如下： 考点五 画平行线 【典例精讲】（25-26三年级上·河北邢台·期末）过A点画已知直线的平行线和垂线。 【答案】 【思路引导】过A作直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使A点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画垂线即可。 【规范解答】略 【变式训练1】（25-26三年级下·江苏·周测）学衡路和文澜路平行，栖霞区仙林办事处就在文澜路上，你能在图中画出文澜路吗？ 【答案】见详解 【思路引导】此题考查过直线外一点作直线的平行线；把三角板的一边靠紧学衡路，另一边靠紧直尺，沿直尺滑动三角板，当与学衡路重合的一边经过仙林办事处时，沿这条边画直线就是文澜路；据此作图。 【规范解答】 【变式训练2】（25-26三年级下·全国·课后作业） (1)请你设计一条航行路线，使游船A在下图这段河道上航行时总是平行于a岸。请在图中画出这条路线c。 (2)已知a岸平行于b岸，则路线c( )于b岸。（填“平行”或“相交”） (3)请给游船A设计一条路线，使其去b岸的路线最近。请在图中画出这条路线。 【答案】(1)图见详解 (2)平行 (3)图见详解 【思路引导】（1）把三角尺的一条直角边和已知直线a重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使三角尺原来和已知直线a重合的直角边和A点重合，过A点沿三角尺的直角边画直线即可。 （2）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，据此解答； （3）直线外一点到直线的距离垂线段最短，用直角三角尺的一条直角边和直线b重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点A重合，过A点沿直角边向已知直线画直线即可。 【规范解答】（1）如图： （2）已知a岸平行于b岸，则路线c平行于b岸。 （3）如图： 考点六 长方形的概念及特点 【典例精讲】（25-26三年级上·陕西咸阳·期末）按要求画一画。 (1)在下面左边的点子图上分别画出一个锐角和一个直角。 (2)在下面右边的点子图上按照提示画一个长方形和一个更大的钝角。 【答案】(1) (2) 【思路引导】锐角：小于90°的角；直角：90°的角；钝角：大于90°小于180°的角。 长方形：对边相等的四边形；画一个更大的钝角：在图中画一个开口更大，角度更大的角即可。 【规范解答】（1） （2） 【变式训练1】（25-26三年级下·全国·课后作业）在下面的图形中，你能找到哪些不同的正方形和长方形？ 【答案】见详解 【思路引导】正方形四条边都相等，四个角都是直角；长方形两组对边相等，四个角都是直角；据此分别找出正方形和长方形即可。 【规范解答】如图所示： 左边图形中①②④⑥是单独的4个正方形，①②③这3个部分组成1个正方形，①②③④⑤这5个部分组成了1个正方形，①②③④⑤⑥⑦这7个部分组成了1个正方形，一共有7个正方形；③⑤⑦是单独的3个长方形，①②这2个部分组成1个长方形，①②③④这4个部分组成了1个长方形，①②③④⑤⑥这6个部分组成了1个长方形，一共有6个长方形； 右边图形中①③④⑤⑥是单独的5个正方形，且只有这5个正方形；②是1个单独的长方形，①②这2个部分组成1个长方形，①②③这3个部分组成1个长方形，①②③④这4个部分组成了1个长方形，①②③④⑤这5个部分组成了1个长方形，①②③④⑤⑥这6个部分组成了1个长方形，一共有6个长方形。 【变式训练2】（25-26三年级下·江苏·周测）选择图1的小棒（每根不能折断），摆出长方形和正方形。 (1)选择( )根( )厘米的小棒摆出一个正方形。 (2)选择（    ）根（    ）厘米和（    ）根（    ）厘米的小棒就能摆出一个长方形，并把这个长方形画在图2的方格纸上。（方格纸中每个小正方形的边长表示1厘米） (3)选择( )就能摆出一个边长是4厘米的正方形。 【答案】(1) 4 2 (2)2；1；2；3；图见详解 (3)4根2厘米、2根1厘米、2根3厘米 【思路引导】正方形的四条边相等，长方形的两组对边分别平行且相等 ，正方形和长方形均有4个直角，结合小棒的长度判断作图即可。 【规范解答】（1）选择4根2厘米的小棒摆出一个正方形。（答案不唯一） （2）选择2根1厘米和2根3厘米的小棒就能摆出一个长方形，画图如下： （答案及画法不唯一） （3）4厘米＝2厘米＋2厘米 4厘米＝1厘米＋3厘米 选择4根2厘米、2根1厘米、2根3厘米就能摆出一个边长是4厘米的正方形。 考点七 正方形的概念及特点 【典例精讲】（25-26三年级上·陕西咸阳·期末）如图所示，用1张长方形纸剪出1个最大的正方形，剩下的长方形刚好可以分成3个同样的小正方形。原来长方形纸的长为( )厘米，宽为( )厘米。 【答案】 8 6 【思路引导】从图中可知小正方形边长为2厘米，剩下的长方形由3个小正方形组成，其长为3个小正方形边长，宽等于小正方形边长；原来长方形的宽等于剩下长方形的长，长等于剩下长方形的长加小正方形边长。 【规范解答】剩下长方形的长是2×3＝6厘米，原来长方形的宽是6厘米，原来长方形的长是6＋2＝8厘米。 【变式训练1】（25-26三年级下·全国·课后作业）下面是乐乐没有画完的四边形，请你猜一猜。（填序号） (1)( )号图形一定是正方形。 (2)( )号图形一定是长方形。 (3)( )号图形可能是正方形，也可能是长方形。 【答案】(1)② (2)① (3)③ 【思路引导】根据题意，①号图形没有画出左上角，可以明显的看出它的两组对边是相等的，且相邻的两边不相等，所以一定是长方形；②号图形没有画出右下角，可以明显的看出它的两组对边相等且相邻两边也相等，所以一定是正方形；③号图形没有画出右半部分的一大半，难以辨别它的两组对边是否相等，以及相邻两边是否相等，所以不能确定它是正方形还是长方形；据此解答。 【规范解答】（1）②号图形一定是正方形。 （2）①号图形一定是长方形。 （3）③号图形可能是正方形，也可能是长方形。 【变式训练2】（25-26三年级下·全国·课后作业）爸爸选中一款正方形瓷砖铺设卫生间的地面，如下图。已知这种瓷砖由2个白色正方形和2个涂色长方形组成，2个涂色长方形长均为4分米，宽均为1分米，则正方形瓷砖的边长为( )分米。 【答案】5 【思路引导】根据题意，涂色长方形长为4分米，宽为1分米，正方形瓷砖的边长等于涂色长方形的长加涂色长方形的宽，据此解答。 【规范解答】（分米） 因此，正方形瓷砖的边长为5分米。 考点八 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【典例精讲】（25-26三年级下·全国·课后作业）（1）画一个长6厘米、宽4厘米的长方形。 （2）画一个边长5厘米的正方形。 【答案】见详解 【思路引导】长方形有4条边，对边相等，4个角都是直角。正方形有4条边，4条边长度都相等，4个角都是直角。利用直尺来画线段，用直尺的直角边缘来辅助画垂直线，确保画出的角是直角。 【规范解答】（1）作图步骤：用直尺画一条水平线段，量出长度为6厘米。 在这条线段的左端点，向上画一条垂直线段，长度为4厘米；同样，在右端点也向上画一条垂直线段，长度为4厘米。连接上面两条垂直线段的顶端，画一条水平线段。这条线段的长度应该也是6厘米。此时得到的图形就是长6厘米、宽4厘米的长方形。 （2）作图步骤： 用直尺画一条水平线段，量出长度为 5厘米；在这条线段的左端点，向上画一条垂直线段，长度为 5厘米；在这条线段的右端点，向上画一条垂直线段，长度为5厘米。连接上面两条垂直线段的顶端，画一条水平线段。这条线段的长度应该也是5厘米。此时得到的图形就是边长5厘米的正方形。 【变式训练1】（24-25三年级上·湖南永州·期末）在下面的方格纸上按要求画图形（共4分）。 （1）画一个长4厘米、宽2厘米的长方形。 （2）画一个边长为3厘米的正方形。 【答案】见详解 【思路引导】根据题意，首先明确两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形。四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形。 （1）长方形的长画4个小方格，宽画2个方格即可。 （2）已知每个小方格为1厘米，边长为3厘米的正方形，则四边都画3个小方格即可。 【规范解答】根据分析画图如下： 【变式训练2】（24-25三年级上·辽宁葫芦岛·期末）在下面边长是1厘米的方格纸上按要求画出图形。 （1）画一个边长为3厘米的正方形。 （2）画一个长是宽2倍的长方形。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）正方形的定义：四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形； （2）求一个数的几倍是多少，用乘法计算；可以假设宽为1厘米，则长为1×2＝2（厘米）；假设宽为2厘米，则长为2×2＝4（厘米）；……等，长方形的定义：四个角都是直角的四边形叫做长方形；通常情况下，长的那一边为长，短的那一边为宽；据此作图。 【规范解答】（1）（2）如图： （长方形画法不唯一） 考点九 数图形 【典例精讲】（25-26三年级下·全国·课后作业）乐乐一家经过商讨，最终决定用正方形瓷砖铺设厨房地面。下图是其平面示意图，图中有( )个正方形，有( )个长方形。 【答案】 16 29 【思路引导】根据题意，将正方形由小到大分为、和的正方形，分别计数再相加；将长方形分为2个小方格组成的长方形、3个小方格组成的长方形、4个小方格组成的长方形……，分别计数再相加，据此解答。 【规范解答】的正方形：11个 的正方形：4个 的正方形：1个 正方形共有：（个） 2个小方格组成的长方形：14个 3个小方格组成的长方形：8个 4个小方格组成的长方形：2个 5个小方格组成的长方形：1个 6个小方格组成的长方形：4个 长方形共有：（个） 因此，图中有16个正方形，有29个长方形。 【变式训练1】（25-26三年级下·全国·课后作业）( )个长方形。 【答案】7 【思路引导】根据题意可知，单独的长方形有4个，两个长方形组成的长方形有2个，最外面有1个长方形，一共有（）个长方形，据此填空即可。 【规范解答】（个） 所以有7个长方形。 【变式训练2】（25-26三年级上·河北·单元测试）观察下列图形，则第12个图形中三角形的个数是（    ）。 A．52 B．44 C．48 【答案】C 【思路引导】观察图形，第1个图形：有4个三角形；第2个图形：在第1个的基础上增加了4个三角形，共4×2＝8个；第3个图形：在第2个的基础上再增加4个三角形，共4×3＝12个；观察可得，图形的规律是：三角形个数＝4×图形的序号，即第12个图形中三角形的个数用4乘12计算。 【规范解答】由分析可知，图形的规律是：三角形个数＝4×图形的序号； 4×12＝48（个） 所以第12个图形中三角形的个数是48个。 故答案为：C 1．（25-26三年级上·陕西西安·期末）下面选项中，顺次折叠各点（    ）能围成一个长方形。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】根据长方形的对边相等，邻边分别为长方形的长和宽，据此进行解答即可。 【规范解答】A．线段中相邻的1cm和1cm属于长方形的宽，因此顺次折叠各点不能围成一个长方形，该选项不正确。 B．顺次折叠各点能围成一个长方形，该选项正确。 C．线段中相邻的3cm和3cm属于长方形的长，因此顺次折叠各点不能围成一个长方形，该选项不正确。 2．（25-26三年级上·陕西咸阳·期末）班级要布置“几何图形创意角”，需要用两个相同的图形拼成一个正方形装饰牌。以下（    ）选项里的两个图形，能正好拼成这个正方形装饰牌。（单位：dm） A． B． C． 【答案】C 【思路引导】明确正方形的四条边相等，四个角相等的四边形。根据题意，逐项分析即可。 【规范解答】A．两个都是长3分米、宽2分米的长方形，无论怎么拼，最终都只能得到长方形（要么是长6分米宽2分米，要么是长3分米宽4分米），四条边长度不相等，不能拼成正方形。 B．两个都是边长4分米的正方形，拼接后会得到长8分米、宽4分米的长方形，不是正方形。 C．这两个是完全相同的等腰直角三角形，直角边长都是4分米，把两个三角形的斜边拼接在一起，正好可以得到一个边长为4分米的正方形，符合要求。 3．（22-23二年级下·山东·单元测试）把一张正方形纸按下面的操作对折，可以验证（    ）。 A．正方形的四条边都相等 B．正方形的对边相等 C．正方形的邻边相等 【答案】A 【思路引导】图中是将正方形对折，再对折，对折后四条边互相重叠，即四条边都相等。 【规范解答】A．正方形的四条边都相等，说法正确； B．对边是指相对的边，对边相等，但与题中验证的不符； C．邻边是指相邻的边，邻边相等，但与题中验证的不符。 故答案为：A 【考点剖析】本题考查正方形的特征。 4．（25-26三年级上·河北邯郸·期末）数图形。 ( )条线段     ( )个长方形        ( )个角 【答案】 15 9 10 【思路引导】（1）单独的1条线段有5条，2条线段组成的有4条，3条线段组成的有3条，4条线段组成的有2条，5条线段组成的有1条，相加即可； （2）单独的小长方形有4个，2个小长方形组成的长方形有4个，4个小长方形组成的长方形有1个，相加即可； （3）单独的1个角有4个，2个角组成的有3个，3个角组成的有2个，4个角组成的有1个，相加即可。 【规范解答】 5＋4＋3＋2＋1 ＝9＋3＋2＋1 ＝12＋2＋1 ＝14＋1 ＝15（条） 4＋4＋1 ＝8＋1 ＝9（个） 4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 5．（25-26三年级下·江苏·单元复习）两组平行线中间组成一个长方形（如图），点O在长方形的正中间，如果点O到直线a的距离是5厘米，到直线c的距离是7厘米，那么这个长方形的长是( )厘米，宽是( )厘米。 【答案】 14 10 【思路引导】平行线之间的距离处处相等，点O在长方形正中间，到直线a的距离是宽的一半，到直线c的距离是长的一半，分别乘2就是长方形的长和宽。 【规范解答】长是7×2＝14（厘米） 宽是5×2＝10（厘米） 6．（25-26三年级上·陕西渭南·期末）在正确答案的下面或后面画“√”。 (1)下面哪个事件发生的年份是闰年？ 2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船成功发射。 2001年中国加入世界贸易组织。 2000年中国国内生产总值首次突破1万亿美元。 （    ）                            （    ）                            （    ） (2)用同样长的小棒摆图形，在图上继续摆，摆成长方形或正方形至少还需要几根小棒？（不改变小棒的位置，图中的小棒均在长方形或正方形上，没有多余的小棒） 在图1上摆长方形： 在图2上摆正方形： 【答案】(1)2000年√ (2)图1：3根√ 图2：6根√ 【思路引导】（1）闰年判断规则（小学）普通年份能被4整除是闰年，整百年份需要能被400整除才是闰年。 （2）长方形的两组对边分别相等；读图可知，这个长方形的长是2根小棒，宽是1根小棒，需要摆成一个完整的长方形，需要2根小棒摆长边（长），1根小棒摆短边（宽），即需要3根小棒；正方形的四条边长度都相等。这个正方形的边长是2根小棒，还需要3个2根，才能围成一个正方形。据此解答。 【规范解答】（1），2025不能被4整除； ，2001不能被4整除； ，2000能被400整除； 因此2000年是闰年； （2）2＋1＝3（根） 2×3＝6（根） 摆如图中的长方形还需要3根小棒；摆如图中的正方形还需要6根小棒。作答如下： 在图1上摆长方形： 在图2上摆正方形： 7．（25-26三年级上·陕西西安·期末）下图中两根铁丝分别沿各自的折痕弯折，可以围成正方形或长方形，( )围成的是正方形，( )围成的是长方形（填序号）。 【答案】 ① ② 【思路引导】两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形。四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形。根据正方形和长方形的特点答题即可。 【规范解答】下图中两根铁丝分别沿各自的折痕弯折，可以围成正方形或长方形，①围成的是正方形，②围成的是长方形（填序号）。 8．（24-25四年级上·重庆云阳·期末）数一数，下图中有( )个长方形。 【答案】60 【思路引导】要数图中的长方形数量，需先分别数横向的线段数和纵向的线段数，再将两者相乘。我们先来数横向的线段数（长的方向），题干中长的方向被分成了4段，那么线段总数为： 4 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 10 ；接着我们再来看纵向的线段数（宽的方向） ，题干中宽的方向被分成了3段，那么线段总数为： 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 6 ；  最后计算长方形总数 ，长方形总数 ＝ 横向线段数 × 纵向线段数 。 【规范解答】根据分析，横向线段数＝10，纵向线段数＝6； 所以长方形总个数＝10×6＝60 图中共有60个长方形。 【考点剖析】这题的解题关键是要数出横向线段数和纵向线段数，并且我们可以总结出数长方形个数的一个通用公式，即长方形个数 ＝（1＋2＋3＋…＋m）×（1＋2＋3＋…＋n），这里的m是指横列的长方形个数，这里的n是指竖列的长方形个数。 9．（24-25三年级上·江苏苏州·期中）把一个长方形的长减少2厘米，宽增加2厘米就变成了一个正方形，原来长方形的长比宽多( )厘米。 【答案】4 【思路引导】因为正方形的四边相等，根据题意可知，一个长方形的长减少2厘米，宽增加2厘米就变成了一个正方形，也就是长方形的长2＝宽＋2，根据被减数－减数＝差，被减数＝减数＋差，由此推断即可。 【规范解答】根据分析可知： 长－2＝宽＋2 被减数＝减数＋差 长＝宽＋2＋2 长＝宽＋4 把一个长方形的长减少2厘米，宽增加2厘米就变成了一个正方形，原来长方形的长比宽多4厘米。 【考点剖析】根据加减法各部分间的关系和各个边的变化找出长于宽的关系。 10．（25-26三年级下·陕西宝鸡·期中）如图，用一个长方形折出一个最大的正方形，正方形的边长与长方形的宽相等。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】在长方形中折最大正方形的条件：如果正方形边长大于长方形的宽，那么正方形的边无法与长方形的边重合，无法折出。要保证折出的正方形的边都在长方形范围内，所以最大的正方形的边长只能等于长方形的宽。 【规范解答】在图中的长方形中折出的正方形的边长正好等于长方形的宽，且这个正方形是能折出的最大正方形，故题干说法正确。 故答案为：√ 11．（25-26三年级下·河南周口·阶段检测）用8个1平方厘米的小正方形拼成的长方形，面积一定是8平方厘米。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】拼组图形时，虽然图形的形状可能发生变化，但面积的大小等于所有小图形面积之和，总面积保持不变。 【规范解答】1×8＝8（平方厘米） 用8个1平方厘米的小正方形拼成的长方形，面积等于8个小正方形面积的总和。所以面积一定是8平方厘米。 故答案为：√ 12．（25-26三年级上·辽宁营口·期末）图中长方形被挡住的角是直角。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据题意，明确长方形的四个角都是直角，即使有一个角被挡住，它仍然是直角，因此题意符合长方形的特征。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 图中长方形被挡住的角是直角。原题说法正确。 故答案为：√ 13．（25-26三年级下·全国·课后作业）分别量出下面正方形和长方形中∠1和∠2的度数，再算出∠3和∠4的度数。 【答案】正方形：∠1＝45°；∠2＝45°；∠3＝45°，∠4＝45°； 长方形：∠1＝30°；∠2＝30°；∠3＝60°；∠4＝60° 【思路引导】量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的0刻度线和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度，看刻度要分清内外圈。量出度数后，因为正方形和长方形的四个角都是直角，所以∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，据此可算出∠3和∠4的度数。 【规范解答】正方形：∠1＝45°，∠2＝45°，∠3＝90°－45°＝45°，∠4＝90°－45°＝45°； 长方形：∠1＝30°，∠2＝30°，∠3＝90°－30°＝60°，∠4＝90°－30°＝60°。 14．（25-26三年级上·河北石家庄·期末）在科技展区展示了机器人和无人机。 (1)机器人能够按照设定的程序自动前进和装卸货物。请你设计一条让机器人从A点走到装货区的最短路线，画在下图中。 (2)一款农业无人机，一分钟能喷洒农药4千克。喷洒完60千克农药，需要几分钟？ 【答案】(1) (2)15分钟 【思路引导】点到直线的所有线段中，垂直线段最短。机器人从A点走到装货区的最短路线，就是过A点画到装货区的垂直线段。画法：使三角板的一条直角边与装货区的边重合，另一条直角边通过A点，画出垂直线段，这条线段就是最短路线。喷洒完60千克农药需要的时间＝农药的总质量÷每分钟喷洒农药的质量，由此解答题目即可。 【规范解答】（1）略 （2）（分钟） 答：需要15分钟。 15．（25-26三年级下·河南周口·阶段检测）李奶奶有一个长36米、宽17米的长方形菜园。如果菜园的长不变，要把它扩建成正方形，菜园的宽要增加多少米？ 【答案】19米 【思路引导】长方形对边长度相等，正方形4条边长度相等；菜园的长不变，要把它扩建成正方形，只需把长方形菜园的宽增加到和长相等，所以计算出长方形菜园的长与宽的差，即可求出菜园的宽要增加的长度。 【规范解答】36－17＝19（米） 答：菜园的宽要增加19米。 16．（25-26三年级上·河北石家庄·期末）科技节共设置了两个竞赛项目。 (1)在蔬菜塔比赛中，三（1）班的5名同学准备搭成图这样的高塔，每层需要4块胡萝卜，他们每人制作了4层，再把它们连接起来。一共使用了多少块胡萝卜？ (2)小斌获得了魔方大赛的冠军，魔方的一个面上一共有( )个正方形。 【答案】(1)80块 (2)9 【思路引导】根据题意，已知学生人数、每人制作的层数以及每层需要的胡萝卜块数，求总块数。可以先计算5名同学一共制作了多少层，再计算一共需要多少块胡萝卜；也可以先计算每名同学需要多少块胡萝卜，再计算5名同学一共需要多少块。标准的魔方通常为正方形，其中每一个面都是由3行3列的小正方形组成的，根据乘法的意义计算即可。 【规范解答】（1） （块） 答：一共使用了80块胡萝卜。 （2）（个） 答：魔方的一个面上一共有9个正方形。 17．（25-26三年级下·江苏·单元复习）如图是两个部分重叠的长方形，如果，求的度数。 【答案】 【思路引导】长方形的角是直角，所以∠2＋∠3＝90°，已知∠1＋∠2＋∠3＝110°，用总和减去∠2与∠3的和就能求出∠1。 【规范解答】110°－90°＝20° 答：∠1的度数是20°。 18．（25-26三年级下·广东佛山·期中）张奶奶用48米长的篱笆靠墙围了一个正方形菜地。 (1)这个正方形菜地的边长是多少米？ (2)用同样长的篱笆围一个宽是9米的长方形花圃，花圃的长是多少米？（长方形花圃不靠墙） 【答案】(1)16米 (2)15米 【思路引导】（1）已知张奶奶用48米长的篱笆靠墙围了一块正方形菜地，篱笆的长度就是正方形三条边长之和。用48除以3就可以计算出正方形的边长； （2）用同样长的篱笆围长方形花圃，那么长方形的周长就是48米，又已知宽是9米，先用周长除以2计算出一组长加宽的长度，再减去宽，就可以计算出长方形的长。 【规范解答】（1）48÷3＝16（米） 答：这个正方形菜地的边长是16米。 （2）48÷2－9 ＝24－9 ＝15（米） 答：花圃的长是15米。 19．（25-26三年级下·江苏·课后作业）有一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸。 (1)在这张纸上剪一个最大的正方形，把你的剪法在图中画出来。剪出的正方形的边长是（    ）厘米。 (2)剩下的图形是一个长方形，这个长方形的长是( )厘米，宽是( )厘米。 【答案】(1)图见详解；4 (2) 4 2 【思路引导】（1）由题意得，在一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸上剪一个最大的正方形，那么正方形的边长就等于长方形的宽，即剪出的正方形的边长是4厘米。 （2）由（1）可知，剪出的正方形的边长是4厘米。由图可知，小长方形的长也等于正方形的边长。求小长方形的宽时，直接用6厘米减去4厘米即可解答。 【规范解答】（1）如图： 剪出的正方形的边长是4厘米。 （2）6－4＝2（厘米） 剩下的图形是一个长方形，这个长方形的长是4厘米，宽是2厘米。 20． （25-26三年级下·全国·课后作业） (1)用上面这种正方形和长方形拼一个边长3厘米的正方形，可以怎样拼？这两种图形各需要多少个？ (2)用上面这种正方形和长方形拼一个长4厘米、宽3厘米的长方形，又可以怎样拼？这两种图形各需要多少个？ 【答案】(1)正方形需要个，长方形需要个； 或正方形需要6个，长方形需要1个。 (2)正方形需要个，长方形需要3个； 或正方形需要6个，长方形需要2个。 【思路引导】根据题意可知：要拼成一个边长是厘米的正方形，使用边长厘米的小正方形需要个并排放置，此时保证长是厘米，而宽是厘米，需要再用个长厘米，宽厘米的长方形，即可拼成；也可以用6个边长为1厘米的正方形拼成2排和一个长厘米，宽厘米的长方形 要拼成一个长厘米，宽厘米的长方形，需要个边长1厘米的小正方形和一个长为厘米，宽为厘米的长方形并排放置，此时长厘米，宽厘米，再按照这样的方式再摆两排即可拼成；也可以6个正方形和一个长方形拼成，用据此解答。 【规范解答】（1） 答：正方形需要个，长方形需要个。 答：正方形需要6个，长方形需要1个。 （答案不唯一） （2） 答：正方形需要个，长方形需要个。 答：正方形需要6个，长方形需要2个。 （答案不唯一） 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏教版数学三升四年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学三升四年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 三年级/下册 小学数学 专题04 相交线与平行线、长方形与正方形 思维导图+知识回顾+九大考点讲练+真题强化 （共47题） 【原卷版】 苏教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习三年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 相交与平行 1.不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 2.下图中，直线a与直线b 互相平行，记作a//b,读作a平行于b。 易错：平行线是成组出现的， 不能单独说某一条线是平行线。 重点：平行线之间的距离处处相等。 垂直是相交的一种特殊情况，互相垂直的两条直线一定相交。 2. 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。这两条直线的交点叫作垂足。 易错：两条直线是互相垂直的，不能单独说明哪条直线是垂线。 3. 右图中，直线a与直线b 互相垂直，记作a⊥b, 读作a垂直于b。 提示：判断两条直线是否互相垂直的关键是看它们相 交所成的角是不是直角，与两条直线放置的方向无关。 知识点二 垂线的画法 1.方法：①用三角板画 ② 用量角器来画 重点：画已知直线的垂线可以画无数条，而过直线外一点画已知直线的垂线只能画 一 条。 知识点三 点到直线的距离 重点：点到直线的所有线段中，垂直线段最短。 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。 知识点四 长方形和正方形 1. 长方形 知识点五 正方形 知识点六 画长方形的方法 画长方形时，可以先画长也可以先画宽，但要保证相邻的两条线段是互相垂直的。 提示：画正方形的过程与画长方形的过程相似，不同之处是四条边的长度都相等。 考点一 平行的特征及性质 【典例精讲】（25-26三年级上·河北邢台·期末）如图中有( )个锐角，( )个直角，( )个钝角。图中AD与BC互相( )，AB与BC互相( )。 【变式训练1】（25-26三年级下·江苏·课后作业）按要求将序号填在括号里。 在上面的图形中，有互相平行的线段的图形是( )，有互相垂直的线段的图形是( )，既有互相平行又有互相垂直的线段的图形是( )。 【变式训练2】（25-26三年级下·全国·课后作业）下图中，点P可以在方格纸（每格高是1）上自由移动。 (1)当点P移动到什么位置时，它到直线的距离是2？ (2)画出几个表示这些位置的点。这些点在同一条直线上吗？ (3)这些点所在的直线与直线有什么关系？ 考点二 垂直的特征 【典例精讲】（25-26三年级下·河南周口·阶段检测）在括号里填上每组直线的位置关系。 ( )    ( )    ( )    ( )    ( ) 【变式训练1】（25-26三年级下·江苏·课后作业）按要求画图。 过点A先画已知直线的垂线，再画已知直线的平行线。量一量，画出的两条直线互相垂直吗？ 【变式训练2】（25-26三年级下·全国·随堂练习） (1)图中，哪些道路互相平行？哪些道路互相垂直？ (2)木材加工厂要将白龙湖的水引入厂内，怎样铺设管道能使它最短？把它画出来。 考点三 画垂线 【典例精讲】（25-26三年级上·河北保定·期末）某城市规划图（如下图），点A、B、C、D分别为四个居民区的位置。 （1）从A区出发共有①、②、③、④条路可以到C区。利用直尺和圆规作图的方法，分别在下面的横（虚）线上做出路线②和④，能清晰看出哪条路短。 ②●………………………………………… ④●………………………………………… （2）A区和D区之间正在铺设供暖主管道，想从这条主管道引出一条管道直通C区，怎样铺设管道最短？请在上图中画出来。 【变式训练1】（25-26三年级下·河南周口·阶段检测）过A点画已知直线的垂线。 【变式训练2】（25-26三年级下·江苏·课后作业）练习投掷沙包时，同学们站在起掷线后原地投掷。沙包落地点到起掷线的距离为同学们的成绩。如图是小江、小华、小军、小力投掷沙包的示意图，（    ）的成绩最好。请用画平行线或画垂线的方法解答。 考点四 点到直线的距离 【典例精讲】（25-26三年级下·江苏·课后作业）如图，三只蚂蚁同时朝箭头所指的方向爬行，同一时间到达米粒处，谁爬得最慢？说明你的理由。 【变式训练1】（25-26三年级下·江苏·周测）如图，两条直线分别表示两条天然气管道，点B为新建的天然气供给站，现在要将天然气供给站与两条天然气管道连通，并要使新铺设的天然气管道的长度最短。请你在图中画出天然气管道铺设的位置。 【变式训练2】（25-26三年级下·全国·课后作业）小船要从湖面西岸的点B划到东岸（如下图），怎样划才能使路线最短？把最短的路线画出来。 考点五 画平行线 【典例精讲】（25-26三年级上·河北邢台·期末）过A点画已知直线的平行线和垂线。 【变式训练1】（25-26三年级下·江苏·周测）学衡路和文澜路平行，栖霞区仙林办事处就在文澜路上，你能在图中画出文澜路吗？ 【变式训练2】（25-26三年级下·全国·课后作业） (1)请你设计一条航行路线，使游船A在下图这段河道上航行时总是平行于a岸。请在图中画出这条路线c。 (2)已知a岸平行于b岸，则路线c( )于b岸。（填“平行”或“相交”） (3)请给游船A设计一条路线，使其去b岸的路线最近。请在图中画出这条路线。 考点六 长方形的概念及特点 【典例精讲】（25-26三年级上·陕西咸阳·期末）按要求画一画。 (1)在下面左边的点子图上分别画出一个锐角和一个直角。 (2)在下面右边的点子图上按照提示画一个长方形和一个更大的钝角。 【变式训练1】（25-26三年级下·全国·课后作业）在下面的图形中，你能找到哪些不同的正方形和长方形？ 【变式训练2】（25-26三年级下·江苏·周测）选择图1的小棒（每根不能折断），摆出长方形和正方形。 (1)选择( )根( )厘米的小棒摆出一个正方形。 (2)选择（    ）根（    ）厘米和（    ）根（    ）厘米的小棒就能摆出一个长方形，并把这个长方形画在图2的方格纸上。（方格纸中每个小正方形的边长表示1厘米） (3)选择( )就能摆出一个边长是4厘米的正方形。 考点七 正方形的概念及特点 【典例精讲】（25-26三年级上·陕西咸阳·期末）如图所示，用1张长方形纸剪出1个最大的正方形，剩下的长方形刚好可以分成3个同样的小正方形。原来长方形纸的长为( )厘米，宽为( )厘米。 【变式训练1】（25-26三年级下·全国·课后作业）下面是乐乐没有画完的四边形，请你猜一猜。（填序号） (1)( )号图形一定是正方形。 (2)( )号图形一定是长方形。 (3)( )号图形可能是正方形，也可能是长方形。 【变式训练2】（25-26三年级下·全国·课后作业）爸爸选中一款正方形瓷砖铺设卫生间的地面，如下图。已知这种瓷砖由2个白色正方形和2个涂色长方形组成，2个涂色长方形长均为4分米，宽均为1分米，则正方形瓷砖的边长为( )分米。 考点八 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【典例精讲】（25-26三年级下·全国·课后作业）（1）画一个长6厘米、宽4厘米的长方形。 （2）画一个边长5厘米的正方形。 【变式训练1】（24-25三年级上·湖南永州·期末）在下面的方格纸上按要求画图形（共4分）。 （1）画一个长4厘米、宽2厘米的长方形。 （2）画一个边长为3厘米的正方形。 【变式训练2】（24-25三年级上·辽宁葫芦岛·期末）在下面边长是1厘米的方格纸上按要求画出图形。 （1）画一个边长为3厘米的正方形。 （2）画一个长是宽2倍的长方形。 考点九 数图形 【典例精讲】（25-26三年级下·全国·课后作业）乐乐一家经过商讨，最终决定用正方形瓷砖铺设厨房地面。下图是其平面示意图，图中有( )个正方形，有( )个长方形。 【变式训练1】（25-26三年级下·全国·课后作业）( )个长方形。 【变式训练2】（25-26三年级上·河北·单元测试）观察下列图形，则第12个图形中三角形的个数是（    ）。 A．52 B．44 C．48 1．（25-26三年级上·陕西西安·期末）下面选项中，顺次折叠各点（    ）能围成一个长方形。 A． B． C． 2．（25-26三年级上·陕西咸阳·期末）班级要布置“几何图形创意角”，需要用两个相同的图形拼成一个正方形装饰牌。以下（    ）选项里的两个图形，能正好拼成这个正方形装饰牌。（单位：dm） A． B． C． 3．（22-23二年级下·山东·单元测试）把一张正方形纸按下面的操作对折，可以验证（    ）。 A．正方形的四条边都相等 B．正方形的对边相等 C．正方形的邻边相等 4．（25-26三年级上·河北邯郸·期末）数图形。 ( )条线段      ( )个长方形         ( )个角 5．（25-26三年级下·江苏·单元复习）两组平行线中间组成一个长方形（如图），点O在长方形的正中间，如果点O到直线a的距离是5厘米，到直线c的距离是7厘米，那么这个长方形的长是( )厘米，宽是( )厘米。 6．（25-26三年级上·陕西渭南·期末）在正确答案的下面或后面画“√”。 (1)下面哪个事件发生的年份是闰年？ 2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船成功发射。 2001年中国加入世界贸易组织。 2000年中国国内生产总值首次突破1万亿美元。 （    ）                            （    ）                            （    ） (2)用同样长的小棒摆图形，在图上继续摆，摆成长方形或正方形至少还需要几根小棒？（不改变小棒的位置，图中的小棒均在长方形或正方形上，没有多余的小棒） 在图1上摆长方形： 在图2上摆正方形： 7．（25-26三年级上·陕西西安·期末）下图中两根铁丝分别沿各自的折痕弯折，可以围成正方形或长方形，( )围成的是正方形，( )围成的是长方形（填序号）。 8．（24-25四年级上·重庆云阳·期末）数一数，下图中有( )个长方形。 9．（24-25三年级上·江苏苏州·期中）把一个长方形的长减少2厘米，宽增加2厘米就变成了一个正方形，原来长方形的长比宽多( )厘米。 10．（25-26三年级下·陕西宝鸡·期中）如图，用一个长方形折出一个最大的正方形，正方形的边长与长方形的宽相等。( )（判断对错） 11．（25-26三年级下·河南周口·阶段检测）用8个1平方厘米的小正方形拼成的长方形，面积一定是8平方厘米。( )（判断对错） 12．（25-26三年级上·辽宁营口·期末）图中长方形被挡住的角是直角。( )（判断对错） 13．（25-26三年级下·全国·课后作业）分别量出下面正方形和长方形中∠1和∠2的度数，再算出∠3和∠4的度数。 14．（25-26三年级上·河北石家庄·期末）在科技展区展示了机器人和无人机。 (1)机器人能够按照设定的程序自动前进和装卸货物。请你设计一条让机器人从A点走到装货区的最短路线，画在下图中。 (2)一款农业无人机，一分钟能喷洒农药4千克。喷洒完60千克农药，需要几分钟？ 15．（25-26三年级下·河南周口·阶段检测）李奶奶有一个长36米、宽17米的长方形菜园。如果菜园的长不变，要把它扩建成正方形，菜园的宽要增加多少米？ 16．（25-26三年级上·河北石家庄·期末）科技节共设置了两个竞赛项目。 (1)在蔬菜塔比赛中，三（1）班的5名同学准备搭成图这样的高塔，每层需要4块胡萝卜，他们每人制作了4层，再把它们连接起来。一共使用了多少块胡萝卜？ (2)小斌获得了魔方大赛的冠军，魔方的一个面上一共有( )个正方形。 17．（25-26三年级下·江苏·单元复习）如图是两个部分重叠的长方形，如果，求的度数。 18．（25-26三年级下·广东佛山·期中）张奶奶用48米长的篱笆靠墙围了一个正方形菜地。 (1)这个正方形菜地的边长是多少米？ (2)用同样长的篱笆围一个宽是9米的长方形花圃，花圃的长是多少米？（长方形花圃不靠墙） 19．（25-26三年级下·江苏·课后作业）有一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸。 (1)在这张纸上剪一个最大的正方形，把你的剪法在图中画出来。剪出的正方形的边长是（    ）厘米。 (2)剩下的图形是一个长方形，这个长方形的长是( )厘米，宽是( )厘米。 20.（25-26三年级下·全国·课后作业） (1)用上面这种正方形和长方形拼一个边长3厘米的正方形，可以怎样拼？这两种图形各需要多少个？ (2)用上面这种正方形和长方形拼一个长4厘米、宽3厘米的长方形，又可以怎样拼？这两种图形各需要多少个？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $