广东东莞高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

2025一2026学年第二学期东莞高级中学期中考试 高一数学 说明：本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟： 注意事项：1.考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答愿卡上对应题目选项的答茶信息点涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案。 一、途择愿：本大怎共8小怎，每小惠6分，共40分，在每小知给出的四个选项中，只有一项是符合愿目要求的. 1.MN-MB+NC+CA=( A.AB B.BA C.BC D.0 2.己知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=l,b=√5，A=30°，则B=( A.30° B.30°或150° c.60° D.60°或120° 3.己知复数：=a+bi满足-1=3-2a,beR),则a=( A分 C.2 D.4 4.己知1，m,n是三条不同的直线，0，B是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是( A.若mca.,n/1a,则m∥n B.若m/1a,n11B,a/1B,则m∥n C.若111a,1cB,a∩B=m,则l∥m D.若a∩B=m,ml∥n,则n/1a 5.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱A4=4.若侧面A4B,B水平放置时，液面恰好过 AC,BC,AG,RG的三等分点处， 号行：当熊面8C水平放置时，流面高为( A.3 4 C. 5-2 号 D. 6.已知向量ā-5)，-1，且向量a在向量6上的投影向最为-5，则+=( A号 8. c. D.2W5 4 第1页（共4页） 7.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于 山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°， 若CD=50m,山坡对于地平面的坡度为0，则cos0等于() A. 3 15o B.√5-1 3 0 E c.V6-2 D.√5-1 8.如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，PA=PB=PC.E,F分别是PA,AB的中点， EC.EF=0,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( A.6x 8.8 3 c.26 元 D.4W2π 3 二、选弄怎：本大题共3小怎，每小意6分，共18分.在每小惠给出的四个选项中，有多项符合惠目要求全部进 对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9.己知复数==1+3i,则下列说法正确的是( A.复数1=2+3i,则：< B.复数三的虚部为-3 c.= D.复数=是方程x2+2x+10=0在复数范围内的一个解 10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,则下列说法正确的是( A.若sinA>sinB>sinC,则A>B>C B.若a=9,b=8,A=30°，则三角形有一解 C.若a=2,b=3,c=4,则△ABC是锐角三角形 AB AC AB AC 1 ,若 -0.且园 则△ABC为等边三角形 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABGD中，M,N,P分别是A4,CC,CD的中点，则( A.存在点QE线段AD,使PQII平面BMN B.用经过点B,N,P的平面酸正方体，所得截面图形的面积为 2 C.异面直线BM与PW所成角的正弦值为 10 D.若点E满足BE=cos0BA+sin0BD（0eR).则'A-E与点E位置无关 第2页（共4页） 三、填空愿：本大愿共3小惠，年小惠5分，共15分，把答米填在答惠卡相应的位量上 12.复数：=1+0s(其中i是虚数单位)，则日= 13.记△ABC的内角A,B.C的对边分别为a,b,c,己知1a=√2，b=2,C=135°，则△ABC的外接圆的半径为 14.己知四边形ABCD是边长为4的正方形，点E满足B正=3EC,P为平面ABCD内一点，则(PA+PD)PE的最 小值为 四、解答惠：本大共5小愿，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过或演算步藻 15.(本小题满分13分) 己知复数：=2+ai（a∈R,i为虚数单位)，其共轭复数为三， (1)若复数(3+)三为纯虚数，求实数a的值： 2)若=合且复数在复平面内所对应的点位于第二象限求实数的取值范围， 16.(本小题满分15分) 已知向量ā.6满足同=2.-l,且a与6的夹角为受 (1)若(2a+b)1(a-2),求实数2的值： (2)求6与a+2b的夹角0， 17.（本小题满分15分) 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，其直观图为如图所示的四边形ABCD,己知'B=3,BC=1, A'D'=3,且AD'∥BC. (I)在直角坐标系xO吵中面出原平面图形ABCD,并求原平面图形ABCD的面积： (2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，请描述这个几何体的结构特征并求其表面积和体积. 3 2 -2-1 012 第3页（共4页） 18.（本小题满分17分) 正四梭锥S-ABCD,SA=√2AB=2,P为侧棱SD上一动点. (I)正四棱锥S-ABCD的表面积： (2)若P为棱SD的中点（如图1所示），求证：直线SB∥平面ACP: (3)若SP=3PD(如图2所示)，侧棱SC上是否存在一点E,使得BEI1平面PAC.若存在，诸写出证明过程，并 米必 的值：若不存在，说明理由. EC S S B B 图1 图2 19.(本小题满分17分) 在△1BC中，角A。8。C的对边分别为，b,6△46C的面积为5=9(e+r心-6) (1)求角B: (2)若△ABC为锐角三角形，且a=2,求△ABC的面积S的取值范围： 3)若D为△MBC外一点且在△4BC所在平面内，满足CD=BBC,∠C1D=云∠BCD=答，求∠BAC的大小 第4页（共4页）2025一2026学年第二学期东莞高级中学期中考试 高一数学参考答案 一、单项选择题 题号 1 2 3 5 6 8 答案 B D B C D c B A 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 BC ABD ACD 三、填空题 12.√5 13.√5 17 14. 2 四、解答题 15.【详解】(1)解：由复数-=2+i,可得：=2-i 则(3+i)z=(3+i)2-m)=6+aH2-3a)i …2分 6+a=0 因为复数(3+)z为纯虚数，则满足 2-3a≠0 …4分（若没有列出虚部不为0，扣1分） 解得a=-6. 6分 z2+i_(2+ai)(1+i)2-a,2+a (2)解：由复数名=1亡1-i(1-)1+) 2+ 2 9分 (2-<0 因为复数在复平面内所对应的点位于第二象限，可得 2 2+a 11分 >0 2 解得a>2,所以实数a的取值范围为(2，+o0).… 13分 16.【详解】(1)因为(2a+b⊥(a-),所以(2a+b)(a-历）=0…1分 由腿意可得a.b=6cos胥2×1k12分 2 即2-2a.6+a.b-6=2x4-21x1+1-1x1=9-31=0.5分 解得1=3 6分 B.(a+2b (2)由题意得：cos0= 5a+20 7分 b.(a+2b)=a.b+2b2=1+2×1=3 9分 由a+26=+4a-万+4仍2=4+4+4=12，得a+2万=25…11分 i-(a+2b)35 所以cos8= 5a+2b 1×252 13分 又因为日∈[0，元]. .14分 所以日= 6 .15分 17.【详解】(1)还原平面图形ABCD,如图， 456 3分 原平面图形4BCD为直角梯形，故Scp2十6X3=12.5分 2 (2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，7分 如图，其中圆柱的底面半径为3，高为6，圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5,8分 (第8分只要看到圆锥的母线就给，或者有些同学圆锥母线长度计算表面积过程中，都可以) 圆柱的下底面面积S元×32=9元.. 9分 D 圆柱的侧面积S2=2T×3×6=36元… .10分 圆锥的侧面积S3=TX3×5=15T11分 所以几何体的表面积为S=60元12分 圆柱的体积%=兀×32×6=54元13分 的体积元X3x4上12 几何体的体积为V=42π.… 15分 18.【详解】(1)因为S4=√2AB=2,所以底面积为2. 1分 由正四陵锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形，所以侧面积为4×号×5×4-号-2行3分 所以正四棱锥S-ABCD的表面积为2+2V厅4分 (2)连接BD交AC于O,则O为中点，连接OP5分 因为P为SD的中点，所以OP为△SBD的中位线，即SB/1OP6分 又因为SB丈平面ACP 7分 POC平面ACP.8分 所以SB//平面ACP D (3）在侧棱SC上存在一点B,满足阳-2，使得BB11平面ACP…9分 EC 证明如下：取SD的中点Q,连接BO,BE,OE,BD(交AC于O)10分（取SD的中点就给这1分） 因为SP=3PD,所以PQ=PD,即P为QD的中点11分 又O为BD的中点（由(2）知)，在△BD0中，BQ/1OP12分 又OPc平面PAC,BQI平面PAC,所以BQ11平面PAC.13分 (这一步两个条件少一个，这1分就不给) S8_S0=2, 因为gCOP 所以0B1/PC14分 S 又CPc平面PAC,QEL平面PAC,所以QE/1平面PAC15分 (这一步两个条件少一个，这1分就不给) 又BQ∩QE=2,BO,QPc平面BEQ, 所以平面BE0/平面PAC.16分 (这一1分给BQ∩QB=2,BQ,QEc平面BEQ可不写) B 又BEC平面BEO, 所以BE/平面PAC17分 所以侧棱SC上存在一点B,当满足S9=2时，8E1/平面PAC. EC 19.【详解】(1)在△ABC中，由余弦定理得：b2=c2+a2-2 ac cos B,即c2+a2-b2=2acc0sB,1分 所以aesin B= X2aCC0SB2分 4 化简得：SinB=√3c0SB,即tanB=√53分 因为B∈(0，m),所以B= 34分 2)因为B=,a=2,所以-1。 acsinB= 2e5分 由正弦定理可得： a- sinA sinc,解得：c= 2sin C sinA 因为B=骨所以C-A,则。 2sin π 2(3 -A 3 cosA+sin A3 3 7分 sin A sin A tan A 又因为△ABC为锐角三角形，则匹<A< 8分 6 则an43,0<-1<3,故1<c<49分 3 tan A 所以5S<25,即△ABC的面积S的取值范围为 2 9v 10分 (3)设∠BAC=0,则∠ADC=2π π5 π -0= 11分 366 AC BC 则在△ABC中，由正弦定理可得： BC sn乙ABCin日所以Ac=之 12分 ine AC DC 在△ADC中，由正弦定理可得：sin∠ADC $in灭，所以AC=2 DCsin(-6)…13分 3 6 则2 2 sine -=2 DC sin(5π-θ) 3 化筒得：血cs+5n0-} 2 2v3 sin Ocos +2sin2=1............ 15分 即√5s20=c0s20,即an20=y 3 16分 因为9(0,3 所以20=石或20-匹，解得：日=”或0=m 6 6 12 12 即∠BAC=或π 17分