2025-2026学年高二下学期数学期末仿真模拟试卷01（江苏专用，测试范围：苏教版选择性必修第二册+导数及其应用）

**基本信息** 2025-2026高二数学期末仿真卷，涵盖向量、概率、导数等核心知识，以冬奥会体能测试、射击比赛等真实情境设计解答题，注重基础巩固与创新应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量共线、概率分布、导数几何意义|基础概念辨析，如向量垂直求参数| |多选题|3/18|二项式系数、正态分布、正三棱柱性质|多维度考查，如立体几何动态点轨迹| |填空题|3/15|空间向量共面、函数单调性、随机游走概率|跨知识点综合，如向量共面参数计算| |解答题|5/77|独立性检验与线性回归、四棱锥二面角、概率分布与条件概率、函数极值、射击比赛概率模型|情境化设计，如抢分赛制创新概率题，体现数学建模与数据分析|

2025-2026学年高二数学下学期期末仿真模拟试卷01 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.向量，，若，则实数m的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【分析】利用向量共线列式求解. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：D 2.已知随机变量X的概率分布如下 X 0 P a 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由概率之和为1可求. 【详解】由分布列可知，解得. 故选：C. 3. 已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【分析】由导数的概念即可求，最后由导数的几何意义即可求解. 【详解】由有， 所以. 故选：A． 4.展开式中的常数项为（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 【答案】B 【分析】由二项式定理写出括号展开式的通项公式，利用赋值法，可得答案. 【详解】由的展开式通项为， 则令，即，常数项为. 故选：B. 5.已知变量x，y线性相关，其一组样本数据（，2，3，4，5），满足，用最小二乘法得到的线性回归方程是．现增加一个数据，重新计算得到的回归直线斜率是，时，y的估计值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【分析】根据已知求原数据的样本中心，再确定增加数据后的样本中心，进而得到修正后的回归直线方程，估计的对应值， 【详解】由题设，则， 增加数据后，，且回归直线为， 所以，得，则， 所以时，有 故选：B. 6. 已知随机事件、，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用条件概率公式可得出的值，进而可求得的值，再由可求得结果. 【详解】因为，，，所以， 由条件概率公式可得， 因此. 故选：C. 7. 一排座位共有7个，现有6位同学来坐，每人只能坐一个座位，其中甲乙两人不能坐在相邻的两个座位上，则不同的坐法有（ ） A. 4320种 B. 3600种 C. 2880种 D. 2520种 【答案】B 【分析】先求出所有可能的排列数；再减去甲乙相邻的情况. 【详解】当一排座位共有7个，现有6位同学来坐，每人只能坐一个座位时， 不同的坐法有种； 当一排座位共有7个，现有6位同学来坐，每人只能坐一个座位，其中甲乙两人坐在相邻的两个座位上时， 不同的坐法有种； 综上可得：甲乙两人不能坐在相邻的两个座位上时，不同的坐法有种. 故选：B. 8.甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】设出事件，根据全概率公式得到，，再利用条件概率公式计算得到答案. 【详解】设第一次取出红球的事件为，第二次取出的球是白球的事件为， 取到甲袋，乙袋的事件分别为，， 则， ， 则. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知，下列选项中正确的有（ ） A. B. ，，，…，中，最大 C. D. 【答案】ABC 【分析】根据二项式定理，求出指定项的系数，和系数最大的项的系数，再根据展开式，赋特殊值，求出所有系数之和以及所有系数绝对值的和，判断各选项正误. 【详解】由题意知的展开式为，则当时，，所以，所以A正确. 所有项的系数，可知所有系数正负交替出现，可知在中，最大的是，其中，所以最值为，所以B正确. 令，则，所以C正确. 令，则，所以D错误. 故选：ABC. 10.设随机变量，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递增 【答案】BD 【分析】由正态分布的性质判断ABC，结合函数单调性的定义判断D. 【详解】对于A，随机变量，则随机变量的方差为1，均值为0， 所以正态分布曲线关于轴对称，则，错误； 对于B，， ， 所以，即，正确； 对于C，， ，错误； 对于D，，且随机变量， 则函数在上是单调增函数，正确． 故选：BD 11.在正三棱柱中，底面ABC是边长为2的等边三角形，，D为BC中点，则（ ） A. 平面⊥平面 B. 异面直线与BC所成角的余弦值为 C. 点M在内（包括边界）且，则CM与平面ABC所成的角的正弦值的最大值为 D. 设P，Q分别在线段，上，且，则PQ的最小值为 【答案】ACD 【分析】在正三棱柱中，如图建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量可判断A；求出直线与BC的方向向量，通过异面直线所成角的向量公式可判断B；因为点M在内，所以设可表示出的坐标，由可求出的范围，再求出CM与平面ABC所成的角的正弦值可判断C；设，求出，，表示出可判断D. 【详解】对于A，在正三棱柱中，为的中点，所以， 如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设平面，所以，则平面⊥平面，所以A正确； 对于B，，，设直线与BC所成角为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为，故B不正确. 对于C，设平面，因为点M在内（包括边界）且， 所以设，则四点共面，则， 所以， 则，所以，所以， 因为，所以化简得：， 所以，解得：， 设CM与平面ABC所成的角为，所以 ， 所以CM与平面ABC所成的角的正弦值的最大值为，故C正确. 对于D，设，则、，因为，，所以，，则，，所以，所以当时有最小值，所以，所以，故D正确； 故选: ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为___________． 【答案】10 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】因为向量共面，所以存在实数使得， 即 所以，解得，. 故答案为：10 13.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】对求导并化简，由单调递减得，换元转化不等式，用均值不等式求最值，确定实数的取值范围. 【详解】， ， 因为函数在区间上单调递减， 所以在上恒成立， 令，当时，， 则在上恒成立可转化为： 在上恒成立， 在上恒成立，即， 根据均值不等式，，当且仅当时等号成立， 因此在上的最小值是4，所以. 故答案为：. 14. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则______，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“”的概率是______． 【答案】 ①. 6 ②. ##0.25 【分析】第一个空，假设为向右的次数，因为服从二项分布，易得，根据和的关系，可得； 第二个空，假设“有且仅有一次经过1”为事件，“质点仅在第1秒位于1”为事件，“质点仅在第3秒位于1”为事件，“质点仅在第5秒位于1”为事件，根据题干可得，由条件概率可得. 【详解】假设为向右的次数，则服从二项分布，故； 此时质点对应的数，所以. 假设“有且仅有一次经过1”为事件，“质点仅在第1秒位于1”为事件，“质点仅在第3秒位于1”为事件，“质点仅在第5秒位于1”为事件，则两两互斥，则， “质点仅在第1秒位于1”则质点的走法为（第六步不受影响），（第五六步不受影响），（第六步不受影响），（第五六步不受影响），； “质点仅在第3秒位于1” 则质点的走法为（第六步不受影响），（第六步不受影响），； “质点仅在第5秒位于1” 则质点的走法为（第六步不受影响），（第六步不受影响），； 则. 因为，所以，所以三种情况下, 事件“”的情况有：，，，，，则， 则. 故答案为：6；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.飞机与高铁是人们远距离出行的两种方式，交通大学某班学生为了调查人们选择的远距离出行方式是否与年龄相关，随机抽取该市1000名市民进行调查，得到如下列联表： 低于40岁 不低于40岁 总计 选择飞机出行 100 选择高铁出行 300 总计 500 1000 （1）补全表中数据，依据小概率值的独立性检验，是否能够认为市民选择的远距离出行方式与年龄有关联? （2）调查小组统计高铁站某处今天的客流量，从7：00开始，每小时作为一个时间段（为第1个时间段，为第2个时间段，……），得到如下数据： 时间段 1 2 3 4 5 客流量（千人） 1 1.5 2.5 3 3.5 若与线性相关，建立每个时间段客流量与时间段的经验回归方程，并预测的客流量. 附：，其中. 0.010 0.001 6.635 10.828 对于一组数据，，…，，其经验回归方程的斜率，. 【答案】（1）表格见解析，与年龄有关联 （2） ，客流量约为4.25千人 【分析】（1）根据数据完成表格，求出的值即可判断； （2）根据数据求出回归方程，再代入，即可得答案. 【解析】（1）列联表如下： 低于40岁 不低于40岁 总计 选择飞机出行 100 200 300 选择高铁出行 400 300 700 总计 500 500 1000 零假设为：市民选择的远距离出行方式与年龄没有关联. 由列联表中的数据， 得. 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以能够认为市民选择的远距离出行方式与年龄有关联. （2），， 所以 ， ， 所以每个时间段客流量与时间段的经验回归方程为 . 当时， ， 所以预测12：00~13：00的客流量约为4.25千人. 16.如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱上一点，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）方法一：根据线面平行的判定定理证明即可；方法二：建立空间直角坐标系，由空间向量法证明线面平行； （2）方法一：由线面角向量法计算即可；方法二：作出二面角的平面角，计算即可求解. 【解析】（1）方法一：如图，连接交与点，连接， 因为，所以， 又，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 方法二：（1）在中，过点作，因为平面， 所以，， 如图，以点为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，． 则，，． 设平面的法向量，则， 令得 此时，又平面，所以平面． （2）方法一：由（1）知平面的法向量 设平面的法向量为，则， 令得 设二面角的大小为，则 所以二面角的正弦值为． 方法二：因为平面，平面，所以平面平面， 所以二面角大小与二面角大小互余， 所以二面角的正弦值就等于二面角的余弦值， 如图，在中，过点作，过点作，连接， 则，所以即为二面角的平面角 ，在中，， 所以，所以， 所以二面角的正弦值为． 17. 冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼. （1）已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列和期望； （2）为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）.假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率. 【答案】（1） 1 2 （2） 【分析】（1）使用超几何分布计算出随机变量各取值对应的概率，进而列出分布列并使用均值公式即可求解； （2）分别计算“至少打四局并最终获胜”的总概率以及“前两局获胜且至少打四局并获胜”的交事件概率，最后代入条件概率公式即可求解. 【解析】（1）由题意的可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 ． （2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”， 所以， 所以， ， 所以． 18.已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极小值点，求实数的取值范围； （3）当时，若，求实数的最大值． 【答案】（1） （2） （3）2 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率即可求解. （2）求出导函数，按照、、和分类讨论研究函数的单调性，结合极小值点的概念求解即可. （3）按照和分类讨论研究函数的单调性，利用单调性求出函数值域即可求解. 【解析】（1）当时，， 所以，故， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）因为，所以， 因为是的极小值点，所以，得， 所以， 当时，， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点. 当时，由得或. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极小值点. 当时，，不合题意. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不合题意． 综上，实数的取值范围为． （3）当时，， 当时，因为（当且仅当时等号成立），所以， 所以在上单调递增，故，符合题意. 当时，令，解得， 因为，，所以，故， 所以当时，，故在上单调递减， 所以，不符合题意． 综上，实数的最大值为2． 19.某射击比赛决赛阶段，甲、乙两名选手争夺金牌，比赛无平局，每局比赛结果相互独立.决赛采用全新的“抢赛制”：每局比赛胜者得3分，负者得1分；若某选手连续2局获胜，或积分率先达到分，则该选手获得冠军，比赛结束.设决出冠军时的比赛总局数为． （1）请在①②两个问题中选择一个作答： ①若甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为，求的分布列与数学期望； ②由于心理素质差异，甲在单局比赛中获胜的概率为．试求出平均比赛总局数关于的函数解析式，并求当为何值时，达到最大； （2）经赛后数据分析，甲在该项目单局比赛的实际胜率为．在某训练赛中，甲乙共进行了局比赛，试求为何值时，甲获胜局的概率最大？ 【答案】（1）①的分布列 2 3 4 5 期望；② ，时达到最大； （2） 【分析】（1）①按比赛结束条件，分类讨论每一局数的概率，进而求出分布列及期望； ②用p表示各局数概率，构造函数分析单调性，求达到最大值； （2）用比值法分析概率数列的单调性，求出最大值点，进而求出概率最大值． 【解析】（1）①比赛结束的条件为：（I）某选手连续2局获胜；（II）积分率先达到分， 由赛制规则分析可得，， ：前2局连胜（甲甲或乙乙），总积分8分未达分，满足条件（I）， ， ：前2局交替，第3局与第2局连胜（甲乙乙或乙甲甲），满足条件（I）， ， ：前3局交替，第4局与第3局连胜（甲乙甲甲或乙甲乙乙），此时胜者积分分， 满足条件（I），， ：前4局交替（甲乙甲乙或乙甲乙甲），两人各得8分，第5局无论谁胜， 胜者积分必达分，满足条件（II），， 的分布列如下： 2 3 4 5 ， ②设乙在单局比赛中获胜的概率为， （甲甲）（乙乙）， （乙甲甲）（甲乙乙）， （甲乙甲甲）（乙甲乙乙）， （甲乙甲乙）（乙甲乙甲）， 令，由且，可得： ， 由基本不等式，，故， 则， ， 设 ，其在区间上单调递增， 当（即）时，取得最大值， ， 故 ， 当时，比赛的平均总局数达到最大． （2）由已知，， 设， ， 令， 当时，，即随增大而增大； 当时，，即随增大而减小； ， 故是最大值，即的估计值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末仿真模拟试卷01 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.向量，，若，则实数m的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 2.已知随机变量X的概率分布如下 X 0 P a 则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（ ） A. B. 2 C. D. 1 4.展开式中的常数项为（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 5.已知变量x，y线性相关，其一组样本数据（，2，3，4，5），满足，用最小二乘法得到的线性回归方程是．现增加一个数据，重新计算得到的回归直线斜率是，时，y的估计值是（ ） A. 3 B. C. D. 6. 已知随机事件、，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 一排座位共有7个，现有6位同学来坐，每人只能坐一个座位，其中甲乙两人不能坐在相邻的两个座位上，则不同的坐法有（ ） A. 4320种 B. 3600种 C. 2880种 D. 2520种 8.甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知，下列选项中正确的有（ ） A. B. ，，，…，中，最大 C. D. 10.设随机变量，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递增 11.在正三棱柱中，底面ABC是边长为2的等边三角形，，D为BC中点，则（ ） A. 平面⊥平面 B. 异面直线与BC所成角的余弦值为 C. 点M在内（包括边界）且，则CM与平面ABC所成的角的正弦值的最大值为 D. 设P，Q分别在线段，上，且，则PQ的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为___________． 13.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______． 14. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则______，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“”的概率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.飞机与高铁是人们远距离出行的两种方式，交通大学某班学生为了调查人们选择的远距离出行方式是否与年龄相关，随机抽取该市1000名市民进行调查，得到如下列联表： 低于40岁 不低于40岁 总计 选择飞机出行 100 选择高铁出行 300 总计 500 1000 （1）补全表中数据，依据小概率值的独立性检验，是否能够认为市民选择的远距离出行方式与年龄有关联? （2）调查小组统计高铁站某处今天的客流量，从7：00开始，每小时作为一个时间段（为第1个时间段，为第2个时间段，……），得到如下数据： 时间段 1 2 3 4 5 客流量（千人） 1 1.5 2.5 3 3.5 若与线性相关，建立每个时间段客流量与时间段的经验回归方程，并预测的客流量. 附：，其中. 0.010 0.001 6.635 10.828 对于一组数据，，…，，其经验回归方程的斜率，. 16.如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱上一点，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 17. 冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼. （1）已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列和期望； （2）为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）.假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率. 18.已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极小值点，求实数的取值范围； （3）当时，若，求实数的最大值． 19.某射击比赛决赛阶段，甲、乙两名选手争夺金牌，比赛无平局，每局比赛结果相互独立.决赛采用全新的“抢赛制”：每局比赛胜者得3分，负者得1分；若某选手连续2局获胜，或积分率先达到分，则该选手获得冠军，比赛结束.设决出冠军时的比赛总局数为． （1）请在①②两个问题中选择一个作答： ①若甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为，求的分布列与数学期望； ②由于心理素质差异，甲在单局比赛中获胜的概率为．试求出平均比赛总局数关于的函数解析式，并求当为何值时，达到最大； （2）经赛后数据分析，甲在该项目单局比赛的实际胜率为．在某训练赛中，甲乙共进行了局比赛，试求为何值时，甲获胜局的概率最大？ 学科网（北京）股份有限公司 $