黑龙江齐齐哈尔市第八中学校2025-2026学年高二下学期6月月考数学试卷

2025一2026学年度下学期5月月考考试 高二数学试卷 (本试卷满分150分) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合A={dx2-2x-3<0B={xx<2,则AUB=() A.x<2 B.x<3 C.{x|-1≤x<2}D.{x|-1<x<3} 2.幂函数f(x)=(m2--1)xm2m2在(0，+m)上递减，则实数m=（) A.-2 B.-1 C.2 D.2或-1 3.己知数列{a}的前n项和为Sn,满足3a.=2Sn+1,则a=() A.11 B.31 C.61 D.81 等式2x+:&0对一切实数x都成立，则k的取值范 A.(-3,0) B.(-n,0] C.(-0,-3)U(0,+0） D.(（-3,0] 5.设等差数列{a}的前n项和为S,公差为d,若a4+4,>0,a,<0,则下列结论不正确的是() A.d<0 B.当n=8时，S,取得最大值 C.4+4+42>0 D.使得S,n>0成立的最大自然数n是15 6.下列说法错误的是() A.函数f(x)=V1+xVM-x与g(x)=V1-x2是相同的函数 B.函数=2+16+，9的最小值为6 √x2+16 C.若f(x+1)=x,则f(x)=(x-1) D.已知函数f(2x+)的定义域为[-1，】]，则函数f(x)的定义域为[-1,3] 7.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金。一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的 砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘 中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡：最后将两次称得的黄金交给顾客。你认为顾 1/4 客购得的黄金是( A.小于10g B.等于10g C.大于10g D.无法确定 8.已知函数f(x)是定义在(-n,0)U(0,+∞)上的偶函数，f'(x)为f(x)的导函数，且f(-1)=0,且当x>0 时，f(x)+f'()<0,则f(x)>0解集是() A.(-∞，-1)U(0,1) B.(-1,0)(0,1) C.(-0,-1)U(1,+o) D.（-1,0)(1,+0) 二.多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分). 9.已知关于x的不等式ax+bx+c>0的解集为(-1,2)，则下列说法正确的是() A.a<0 B.a+b+c<0 C.不等式x+b<0的解集为(-o,1)D.不等式ar2+(c-1)x+2>0的解集为 10.函数(x)的导函数f"(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是() A.x=1是f(x)的极值点 B.x=-3是f(x)的极大值点 y=f(x) C.f(x)的单调递减区间是[-3，-1] D.f(0)>f(1) 11.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三 角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.第四层有10个球..设第层有4.个 球，从上往下层球的总数为Sn,则下列结论正确的是（) A.a-a=n B.S%=56 C.&-81="m+,n2D.L++1++12025 2 020251013 三.填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12.命题3r>1,x2-3x-6<0的否定是 13.设f(x)为定义在R上的奇函数，且f(1+x)-f1-x)=0,f(1)=2,则f(f(⑤)的值为 14.已知存在x∈(0，+o)使不等式xe-x≤nx+2m+3成立，则m的取值范围为 四.解答题：本小题共6小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 2/4 15.(本题13分)已知等差数列{a}的前n项和为Sn,4=3,S6-S3=45. (1)求{a}的通项公式： (2)若数列{a+bn}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列b}的前n项和T. 16.(木题15分)若函数f(=a-x+4,当x-2时，函数f(有极值-号 (1)求函数的极大值； (2)若关于x的方程∫(x)-k=0有三个零点，求实数k的取值范围， .(体题15分》已知通效)”口，函数是奇函数 (1)求实数a的值： (2)若对任意的t∈(0，+w),不等式ft2+1)+f-)>0恒成立，求实数k的取值范围： 3/4 18.(本题17分)若数列{a}的首项4=1，且满足4+1=2a+10∈N,令℃m=a.+1. (1)证明：{cn}是等比数列，并求{a}的通项公式： (2)若6-2m-1 G,，求6，}的前n项和x； (3)在cn与C之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d,n的等差数列，在数列{d}中是否存 在互不相同的3项d,m,d,d。(m,k,peN,且+p=2k)成等比数列？若存在，求出这样的 3项；若不存在，请说明理由. 19.(本题17分)已知函数f(x)=xe-ax. (1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(0，f(o)处的切线方程： (2)当xe(0,1]时，f(x)≥-e,求实数a的取值范围： (3)若a=0,且存在名，(：≠x),使得f(:)=f(s),证明：，+>2. 4/42025一2026学年度下学期6月月考考试 答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合A={xx2-2x-3<0,B={xx<2,则AUB=() A.{x|x<2} B.{xx<3} C.{x|-1≤x<2}D.{x-1<x<3} 【答案】B 【详解】A={xx2-2x-3<0}={x(x-3)(x+1)<0}=(-1,3),B={x|x<2}, 所以AUB=(-0,3) 2.幂函数f(x)=m2-m-xm2m2在(0，+)上递减，则实数m=() A.-2 B.-1 C.2 D.2或-1 【答案】C 【分析】根据条件，利用幂函数的定义及性质，即可求解 【详解】因为f(x)=(m2-m-1xm2为幂函数，则m-m-1=1, 即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1, 当m=2时，f(x)=x2在(0，+o)上递减，所以=2满足题意， 当m=-1时，∫(x)=x在(0，+o)上递增，所以m=-1不满足题意， 综上，实数l=2, 故选：C 3.已知数列{4}的前n项和为S,满足3a=2Sn+1,则a=() A.11 B.31 C.61 D.81 【答案】D 【分析】首先利用公式4= 8-8,≥2’判断数列a}是等比数列，再代入公式，即可求解 S,n=1 【详解】令n=1,得3a=2S+1=2a+1,得a=1, 由3a.=2Sn+1, 当n≥2时，3a-1=2S,-1+1,两式相减得， 30-3a=2③.-Si)）=2a,，即a=301,即及=3， 4-1 所以数列{4}是以4=1为首项，3为公比的等比数列， 所以a=34=81」 故选：D 4.若不等式2kx?+-<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为《) 8 A.（-3,0) B.(-0,0] C.(-m,-3)U(0,+w)D.(-3,0] 【答案】D 【分析】利用分类讨论，利用二次不等式恒成立求参数范围」 【详解】当k=0时，不等式-3<0恒成立， 8 当k≠0时，要使得不等式22+：-3 <0对一切实数x都成立， 8 「2k<0 则 △=K2-4×2k× )o 解得：-3<<0， 综上可得：k的取值范围为(-3,0]， 故选：D. 5.设等差数列{a}的前n项和为Sn,公差为d,若4+4，>0，，<0，则下列结论不正确的是() A.d<0 B.当n=8时，Sn取得最大值 C.a2+4+a2>0 D.使得S,>0成立的最大自然数n是15 【答案】D 【分析】根据等差数列定义及其通项可判断公差d<0,得出数列中各项的符号可得B正确，再由等差 数列性质可判断C正确，由等差数列前n项和公式可判断D正确. 【详解】对于A,因为等差数列{a}中，4+4>0,4<0， 所以>0，a,<0,d=,-g<0,A正确： 对于B,由题意可知数列{a}为递减数列，且当n≤8时，a.>0,当n≥9时，4<0； 所以可得n=8时，S,取得最大值，B正确： 对于C,由A知，数列前8项都大于0，所以4+4+42=4+2a,>0,C正确： 对于D,易知S6=8(a+46)=84+4)>0,S,=17a+4）=17a<0, 2 2 故Sn>0成立的最大自然数n=16,D错误. 故选：D 6.下列说法错误的是() A.函数f(w)=1+x-x与g()=-x2是相同的函数 B.函数f()=k2+16+9 的最小值为6 Vx2+16 C.若f(x+1)=x2,则f(x)=(x-1 D.已知函数f(2x+1)的定义域为[-1,1]，则函数f(x)的定义域为[-1,3] 【答案】B 1+x≥0 【详解】由-x之0解得-1≤≤1，所以了+-x的定义域为[1， 由1-x2≥0，解得-1≤x≤1，所以g(x)=V1-x2的定义域为[-1,1]， yf(x)=+x-x=-x=g(x), 故函数f(x)与g(x)是相同的函数，故A正确： -6+6 =6, 当且仅当2+16=一9 一时取等号，x2+16=9方程无解，等号不成立，故B错误； x2+16 因为f(x+1)=x2=[(x+1)-1],所以f(x)=(x-1,故C正确： 由x∈[-1，]，得2x+1∈[-1,3]，所以f(x)的定义域为[-1,3]，故D正确. 7.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金。一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放 在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一 些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客。你认为顾客购得的黄金是() A.小于10gB.等于10gC.大于10gD.无法确定 【答案】C 8.已知函数f(x)是定义在(-n,0)U(0,+n)上的偶函数，f'(x)为f(x)的导函数，且f(-1)=0,且当x>0 时，f(x)+xf'(x)<0,则(x)>0解集是() A.（-0,-1)U(0,1) B.(-1,0)(0,1) C.(-0,-1)U(1,+∞) D.（-1,0)U(1,+0) 【答案】B 【详解】令g(x)=(x),则g(x)=f(x)+'(x), 3 故当x>0时，g'(x)<0,即g(x)在(0，+o)上单调递减， 由函数f(x)是定义在(-∞，0)U(0,+∞)上的偶函数， 则g(-x)=-f(-x)=-(x)=-g(x), 故函数g(x)是定义在(-∞，0)U(0,+∞)上的奇函数， 则g(x)在(-∞，0)上单调递减， 由f(-1)=0,则g(-1)=-f(-1)=0,g(1)=-g(-1)=0, 则当x∈(-o,-1)时，g(x)=yf(x)>0,则f(x)<0, 当xe(-10)时，g(x)=xf(x)<0,则f(x)>0, 当x∈(0,1)时，g(x)=xf(x)>0,则f(x)>0, 当x∈(1，+o)时，g(x)=f(x)<0,则f(x)<0, 综上可得：f(x)>0的解集是(-1,0)U(0,1) 二.多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分). 9.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,2)，则下列说法正确的是() A.a<0 B.a+b+c<0 C.不等式ax+b<0的解集为(-n,1) D.不等式m+C-1x+2>0的解集为2 a 【答案】AD 【分析】由不等式的解集的特征判断A;利用解集可得a、b、c间关系，即可判断B;利用a、b、c间 关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A:由关于x的不等式ax2+br+c>0的解集为(-1,2)，可得a<0,故A正确： 对于选项B:由题意可得r2+bx+c=a(+1)k-2)=ax2-ax-2a>0, 故b=-,c=-2a,则a+b+c=a-a-2a=-2a>0,故B错误： 对于选项C:ar+b=-a=a(-1)<0,由a<0,故x-1>0,即x>1, 所以不等式ax+b<0的解集为(1，+o),故C错误； 对于选项D:ax2+(c-1)x+2=ar2+（2-1x+2=m-1)K-2少0， 由a<0,则该不等式解集为 1,2, 故D正确 10.函数f(x)的导函数'(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是() =fx) A.x=1是f(x)的极值点 B.x=-3是f(x)的极大值点 C.f(x)的单调递减区间是[-3，-1] D.f(0)>f(1) 【答案】BC 【分析】根据给定的函数图象，求出函数f(x)的单调区间，结合极值点的意义逐项判断. 【详解】观察导函数f'(x)的图象，当x<-3或x>-1时，f'(x)≥0，当且仅当x=1时取等号， 当-3<x<-1时，f"x)<0, 因此函数f(x)在(-0，-3)，(-1，+∞)上单调递增，在[-3，-1]上单调递减， 所以x=-3是f(x)的极大值点， 但∫'(x)在x=1两侧符号不变，所以x=1不是f(x)的极值点，所以A错误，B正确： f(x)的单调减区间是[-3，-1]，所以C正确； 函数f(x)在(-1，+o)上单调递增，所以∫(0)<∫(I),所以D错误 11.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为三角垛”.“三角垛” 最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.第四层有10个球..，设第层有4.个球，从上 往下n层球的总数为Sn,则下列结论正确的是() A.anti-an=n B.S=56 C.S-S-= +。++1=2025 nt,n22D.日4店+aas0B 11.1 2 11.BCD【详解】根据题意，4=1,4=3,43=6,44=10，…， 则有42-4=2,43-42=3，，am-44=n, 当n≥2时， a.=(a-a-1)+(a-1-a-2）++(4-4)+4 =n+(n-1)+m-2)++2+1=n0n+) 2 4=1也满足，所以a.=nn+), 2 a+1-4=n+1,A选项错误： S%=4+43+43+44+4,+4=1+3+6叶10415+21=56，B选项正确； 5 m≥2，.-S1=a=nn+9, 2 C选项正确； 1=2=211 a n(n+1)nn+1 1+L+1++1 2上223 111, +11） 4424 4025 20252026 =21- 1）2025 20261013,D选项正确 三.填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12.命题“3x>1,x2-3x-6<0”的否定是 【详解】存在量词命题（特称命题）的否定规则为：特称命题x∈M,p(x)的否定为全称量词命题 x∈M,p(x), 命题“3x>1,x2-3x-6<0”的否定是：“x>1,x2-3x-6≥0”. 13.设f(x)为定义在R上的奇函数，且f(1+x)-f1-x)=0,f(1)=2,则f(f(5)的值为 【详解】因为∫(x)为定义在R上的奇函数，所以∫(-)=-∫(x),且f(O)=0, 又f(1+x)-f(1-x)=0,即f(1+x)=f(1-x),则f(x)关于x=1对称， 所以f(-x)=f(2+x),所以-f(x)=f(2+x),则-f(x+2)=f(4+x), 所以f(x)=f(4+x),即f(x)的周期为4， 所以f(5)=f(1+4)=f(1)=2, 所以f(f(5)=f(2)=f(0+2)=-f(0)=0. 14.已知存在x∈(0，+o)使不等式xe-x≤lnx+2m+3成立，则m的取值范围为 【详解】xe*-x≤nx+2m+3台2+3≥xe-x-hx f(x)=xe*-x-Inx,xE(0,+oo), 则/=(+le-1*(e 设8()=e-,可得8'()=c+子>0，函数g四在(0，+o四）上为单调递增函数， 又由g[)-e-20e0=-0. 所以函数g()在(0+)上只有-个零点，设为，即g()=e-1=0,即e=1 当x∈(0，)时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减： 6 当x∈(，+o)时，f"(x)>0,函数∫(x)单调递增， 所以当x=x时，函数f(x)取得最小值， 其中设小值为f(af代)e-,nx×名-h。1, 要使得存在x∈(0，+o),2+3≥f(x)成立，所以2+3≥f()mn=1, 所以m2-1. 四.解答题：本小题共6小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知等差数列{g}的前n项和为Sn,4=3,S-S3=45. (1)求{a}的通项公式： (2)若数列{a,+bn}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列b}的前n项和工. 【答案】(1)a.=3n (2)2”-1-30n+1) 2 【分析】(1)设等差数列{a,}的公差为d,根据题意求出a,和d的值，利用等差数列的通项公式可求出 数列的通项公式： (2)根据题意得出4+bn=2-1，故b,=2-1-3,利用分组求和计算即可. 【详解】(1)方法1：设等差数列{a,}的公差为d,&=%+2,卫， 2 因为8-9=45，所以64+65a-3a+32d=45, 2 2“ 又4=3，所以6×3+6x5。 3×3+3二d=45,解得d=3, 因为4=4+01-1)×d=3+-1)×3=3,所以{a}的通项公式为a.=3n; 方法2：设等差数列{a}的公差为d,S。-S3=4+4+a,=3红=45 故4=15，d=44=3,所以4，=3+0m-10×3=3: 5-1 (2)因为数列{a。+b,}是首项为1，公比为2的等比数列，所以a+b=2-1, 因为a=3n,所以bn=2-3n, 则Tn=(1+2+4++2”-1(3+6+9++3)= 1-2”n3+3m 1-22 =2”-1-30+1) 2 所以数列}的前n项和为2”-1-3n+) 2 16、若函数(e)=心-bx+4,当=2时，函数()有极值号 (1)求函数的极大值； (2)若关于x的方程f(x)-k=0有三个零点，求实数k的取值范围. 【答案】(1) 428 33月 【分析】①)先对函数进行求导，然后根据了（②）=-专了2)0可求出ab的值，进而确定函数的解折 式，然后求导，令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定 单调性，进而确定函数的大值： (2)由(1)得到函数的单调区间进而确定函数的大致图象，然后根据数形结合确定k的范围. 【详解】（解：(1）f(x)=3x2-b, f(2)=12a-b=0 [a=i 由题意知 f(2)=8a-2b+4=-4,解得 3 3 b=4 故所求的解析式为f(x)=号x-4+4 3 可得f(x)=x2-4=(x-2)(x+2), 令f(x)=0,得x=2或x=-2, 由此可得 (-0,-2） -2 （-2,2) 2 (2,+∞) f'(x) 0 0 f(x) 7 极大值 极小值 所以当x=-2时， )有段大值2列=空 (2)由(1)知，得到当x<-2或x>2时，f(x)为增函数； 当-2<x<2时，f(x)为减函数， 西数)-红+4的图象大致如图。 8 28 3 y=f(x) y=k -2 .4 3 由图可知当- <k< 28 时，f()与y=k有三个交点， 3 所以实数k的取值范围为33) 428 【点评】本题主要考查导数在函数的单调性、极值中的应用，属于中档题 17.已知函数x)三9，口，函数/()是奇函数 (1)求实数a的值； (2)若对任意的t∈(0，+0)，不等式ft2+1)+f()>0恒成立，求实数k的取值范围： 【详解】(1) 因为网-，的定义装为R,具保数)是有两豪 由0=0，a-1.则)9，会龄=罗发奇漏藏满足题感。枚-1 2)f)-91-31 3x 3 易知f(x)在R上单调递增，且fx)为奇函数， .由ft+1+f-)>0恒成立，得f+1>-f()=fk), 所以P+1>k,t∈(0，+0)时恒成立，即t+>k在tE(0,+∞)上恒成立， 令r)=i+t∈(0，+w),则k<F0an 又0=1+中2日2，当且议当1-}月=1时取等号， 所以实数k的取值范围为k<2 18.若数列{a}的首项4=1，且满足a+=2a.+10n∈N),令Cn=4+1. (1)证明：{cn}是等比数列，并求{a}的通项公式： (2)若6=21 二，求{bn}的前n项和n: C, 9 (3)在Cn与CH之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d的等差数列，在数列{d}中是否存在互 不相同的3项dm,d,d。(m,k,p∈N,且m+p=2k)成等比数列？若存在，求出这样的3项； 若不存在，请说明理由， 【答案】(1)证明见解析，4=2”-1： (②)-3-2+3 20； (3)不存在，理由见解析 【详解】(1)由a+1=2an+1,得a1+1=2(a+1), 而Cn=0+1,则C+1=2Cn,又G1=4+1=2≠0， 所以数列{Cn}是等比数列，a+1=c=22-1=2”，4=2”-1. (2)由(1)知，b=2-1, 2”， 2” 2+1， 两武相碳海女子计+号， ,1a-1 22Σ++ 月31120-7）31-13+ 2-12+1 2 11 2+1 22+1 所以Z=3-2n+3 2 (3)依题意，c1=c+(n+2-)d,即2=2”+(+1)d,解得dn= 2 n+1 假设在数列{d,n}中存在不相同的3项d,d,d,（其中m,k,p成等差数列)成等比数列，则d=,ndn, 即2-2”29 k+1 m41p+1则2 2m+2 +)m+Dp+由m,p成等差数列，得m+p=2k, 因此(k+1)2=(m+1(p+1),整理得k2=p,则k=m=p,与m,k,p互不相等矛盾， 所以在数列{dn}中不存在三项d,d,d,（其中m,kp成等差数列)成等比数列 【点睛】方法点睛：错位相减求和适用于数列{a}是等差数列，b}是等比数列，求数列{a,bn}的前n 项和的问题，一般是和式两边同乘以等比数列私}的公比，然后作差求解. 19.己知函数∫(r)=e-r. (1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)当xe(0,1]时，f(x)≥-e,求实数a的取值范围： 10 (3)若a=0,且存在x,x(5≠)，使得f()=f(5),证明：x+x3>2. 【答案】(1)y=-x 1 (2)a≤e+ e (3)证明见解析 【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得： (2)由题意a≤+在r∈(01]上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得： er x (3)利用导数求出∫()单调性后，设：<，结合∫(x)正负性可得x、x范围，再利用比值换元法， 可得￥与=4-即时将证明为+场>2转化为运明(20在Lm)上扫成，构 Int t+1 造相应函数并借助导数研究其单调性即可得。 【详解】(1)若a=2,则f(x)=xex-2x,f'(x)=ex+xex.(-1)-2=(1-x)ex-2, f'(0)=(1-0)e0-2=1-2=-1,又f(0)=0e0-2×0=0, 故曲线y=∫(x)在点(0，∫(O)处的切线方程为y=-x; 2)由0训时)2-c,日e-之e,整理得a分月 令g)子年re0小，则g)=日÷<0， 故在Q)上单词运流，则()2g0)}片e即ac+片 e (3)若a=0,则f(x)=xe,f'(x)=e-xe"=(1-x)e, 故当x∈(-0,1)时，f'(x)>0,当x∈(1，+o)时，f'(x)<0, 故f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+o)上单调递减， 又x>0时，f(x)=xe">0,x≤0时，f(x)=e"≤0， 则f()=f()>0,不妨设<5，则0<x<1<x, 由f(:)=f(化)，则xe=e, 两边同取对数，可得nx一x=nx一x2, 故h点=名-，令i=点>1，则t=为-x=,-x, X Int tnt +1.Int, 即5片，名=，故+，7 要证为+巧>2，只需证 nt>2,即只需证lnt- 2-1>0, t-1 t+1 11 令a0=--,>, 则H()=1 2t+1)-2(t-）_(t+2-4t(t-)2 t(t+12 t(t+1)2 t+0, 故h在(L,+n)上单调递增，则hg)>h)=nl21-l=0, 1+1 即有h1-2-)0恒成立，即得证 t+1 12