精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度下学期3月月考 一、单选题 1. 为等差数列的前项和，已知，则为（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 55 【答案】D 【解析】 【分析】由题意及等差数列的性质可得的值，而，代值计算即可． 【详解】由题意及等差数列的性质可得，解得， . 故选：． 2. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解出的值，即可得出的值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 上述两个等式相除得，整理可得， 因为，解得，故. 故选：B. 3. 在等差数列中，前七项之和为30，最后七项之和为110，前项之和是230，则项数为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由题意及等差数列的性质可得的值，再利用等差数列的前项和公式求出项数的值. 【详解】由题意易得， 两式相加得，即， 所以，所以， 故选：C. 4. 数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系可判断数列为周期数列，进而求得. 【详解】在数列中，， 则， 因此数列是周期数列且周期为3，由，得， 所以. 故选：D 5. 在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质有，易知是方程的两个根，再由已知及等比数列的通项公式求公比. 【详解】由题设，易知是方程的两个根， 又为递增的等比数列，所以，故公比. 故选：B 6. 已知数列的前n项和为，满足，则=（ ） A. 11 B. 31 C. 61 D. 121 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用公式，判断数列是等比数列，再代入公式，即可求解. 【详解】令，得，得， 由， 当时，，两式相减得， ，即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故选：D. 7. 在数列中，，（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合递推关系，利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求结论. 【详解】因为（，）， 所以当，时，， 则，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即，所以（，）， 又，所以， 所以. 故选：A. 8. 已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，即可得到的横坐标，结合焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 由于，直线方程为， 联立方程，消去得， 显然，得， 所以，即. 故选：D. 二、多选题 9. 已知数列的通项公式为则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】计算即可判断AB选项，计算出即可判断CD选项. 【详解】因为以， ，所以A错误，B正确； ，故C正确； 因为，所以，所以，故D错误． 故选：BC. 10. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支相交于M，N两点，则（ ） A. 直线l：与C恰有两个公共点 B. 若，则的面积为 C. 双曲线E：的焦点在以为直径的圆上 D. 若，则的周长为28 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，求出渐近线方程，由直线l与渐近线平行得到A正确；B选项，设，，由双曲线定义和余弦定理得到，由三角形面积公式得到B正确；C选项，求出以为直径的圆的方程，焦点坐标在圆上，C正确；D选项，由双曲线定义和得到，求出三角形周长. 【详解】对于A，双曲线C：的一条渐近线的方程为， 故直线l：与该渐近线平行，故直线l与C恰有一个公共点，A错误； 对于B，设，，由可知点M在C的右支上， 由双曲线定义得，又，故， 在中，由余弦定理得， 解得，所以的面积为，B正确； 对于C，由已知得，，以为直径的圆的方程为， E：的焦点为，很显然，在圆上，C正确； 对于D，由双曲线定义知，， 所以，又， 所以，所以的周长为，D错误． 故选：BC． 11. 已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（   ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 若，则数列的前项和 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等比数列的定义可判断AB选项；求出数列的通项公式，利用分组求和法可判断C选项；利用错位相减法结合分组求和法可判断D选项. 【详解】因为数列的前项和为，且满足，，， 对于A选项，由已知等式变形可得，且， 所以，，所以，数列是首项和公比均为的等比数列， 故，A错； 对于B选项，由已知等式变形得，且， 所以，数列是首项和公比均为的等比数列，则，B对； 对于C选项，由可得， 所以， ，C对； 对于D选项，， 记， 则， 这两个等式作差得 ， 所以，， 故 ，D对. 故选：BCD. 三、填空题 12. 已知各项为正数的数列是等比数列，且其前n项和为.若，，则公比______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用等比数列的前项和公式与通项公式即可求得结果. 【详解】若，，则， ， 所以，由，解得. 故答案为：. 13. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知可得，再由的周长为10，可得，求出，从而可求出离心率. 【详解】由椭圆方程可得，得， 因为是上一点，所以， 因为的周长为10， 所以，得， 所以的离心率为. 故答案为： 14. 若数列的通项公式为，则数列的前项和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分组求和法，结合等比数列求和公式和等差数列求和公式求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以． 故答案为：. 四、解答题 15. 已知数列为等差数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得等差数列的首项和公差，从而求得. （2）由以及等差数列的单调性求得数列前项和的最大值． 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 由，解得， 而，数列是单调递减数列， 所以等差数列的前项为正数，从第项起为负数， 所以时，数列前项和的最大值为. 16. 如图所示，在四棱锥中，平面为上一点，且. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 以点为坐标原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. ，设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，则. 又，可得，因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用空间向量研究线面关系即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设平面与平面夹角为， 则 故平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且． （1）求抛物线的方程； （2）试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，和 【解析】 【分析】（1）由在抛物线上，代入求出，即可求出抛物线的方程； （2）设，求出直线并与抛物线的方程联立，求出点坐标，将转化为，求出并检查是否符合题意即可. 【小问1详解】 由在抛物线上，则，解得， 因此可得抛物线的方程为. 【小问2详解】 存在点在抛物线上， 设点， 由直线的斜率为，且过， 则直线的方程为：，即， 联立，可得，解得，或， 即可得点的纵坐标为，代入，得，即， 若，则，即， 又， 则可得， 整理得，，解得，或，或，或， 当时，与重合，舍去， 当时，与重合，舍去， 当时，， 当时，， 综上知，抛物线上存在点，为和时，. 18. 已知为数列的前n项和，，且且. （1）证明：是等比数列，并求数列的通项公式; （2）若，记为数列的前n项和，求证：. 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，可得，进而两式相减，可得，进而可得是等比数列，可求通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，进而可证结论. 【小问1详解】 当时，；当时，； 当时，，可得， 两式相减并整理得，所以. 又，所以，又，满足上式， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； 【小问2详解】 由（1）知=， 所以 . 因为，所以递增，所以，即. 19. 某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立． （1）若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为．求甲乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望； （2）若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．已知甲乙进行了n局比赛且甲胜了13局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）． （3）若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明． 【答案】（1） X 2 3 4 5 P ； （2）21 （3）单调递增，证明： 在场比赛中甲获胜概率为，则在场比赛中甲获胜概率为， 记乙在每场比赛是获胜概率为， 则 由已知，所以单调递增. 【解析】 【分析】（1）讨论极端情况，若刚开始连胜，则局结束，若一直没有连胜，则最多比赛局，再具体讨论每种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可解决； （2）每场比赛是相互独立的，则服从二项分布 ，求出，再求最值即可； （3）该模型符合马尔科夫链，得出和之间的递推关系即可判断. 【小问1详解】 （1）由比赛规则可知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束， 则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分， 故比赛次数不会超过5； 由比赛规则可知，若比赛共进行了n局，（）， 即随机事件“第i局比赛中甲获胜”， ， ， ， ． 于是X的分布列为： X 2 3 4 5 P 故； 【小问2详解】 （2）易得，，， 记，则， 由，得，即，；，， 故时，最大，所以n的估计值为21． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期3月月考 一、单选题 1. 为等差数列的前项和，已知，则为（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 55 2. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 在等差数列中，前七项之和为30，最后七项之和为110，前项之和是230，则项数为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 4. 数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 5. 在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知数列的前n项和为，满足，则=（ ） A. 11 B. 31 C. 61 D. 121 7. 在数列中，，（），则（ ） A. B. C. D. 8. 已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多选题 9. 已知数列的通项公式为则（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支相交于M，N两点，则（ ） A. 直线l：与C恰有两个公共点 B. 若，则的面积为 C. 双曲线E：的焦点在以为直径的圆上 D. 若，则的周长为28 11. 已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（   ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 若，则数列的前项和 三、填空题 12. 已知各项为正数的数列是等比数列，且其前n项和为.若，，则公比______. 13. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为______. 14. 若数列的通项公式为，则数列的前项和为_______． 四、解答题 15. 已知数列为等差数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和的最大值． 16. 如图所示，在四棱锥中，平面为上一点，且. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且． （1）求抛物线的方程； （2）试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 18. 已知为数列的前n项和，，且且. （1）证明：是等比数列，并求数列的通项公式; （2）若，记为数列的前n项和，求证：. 19. 某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立． （1）若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为．求甲乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望； （2）若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．已知甲乙进行了n局比赛且甲胜了13局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）． （3）若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $