2026--2027学年浙教版七年级数学上册专题讲义 01：从自然数到有理数

本讲义聚焦“从自然数到有理数”核心内容，系统梳理自然数概念、正负数定义、相反意义的量表示、“0”的特殊性及有理数分类，构建从具体到抽象的知识支架，帮助学生逐步扩展数系认知。 资料以思维导图整合知识脉络，结合温度、海拔等生活实例设计即学即练与题型专练，培养抽象能力与应用意识。巩固练习中的零件质量检测等问题助力学生用数学语言表达现实，课中辅助教师教学，课后便于学生查漏补缺。

专题01 从自然数到有理数 思维导图 知识点梳理 自然数的概念 知识点一 自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等 正数与负数 知识点二 1）正数：像，，这样大于的数叫做正数．正数都大于． 2）负数：像，这样在正数前加上符号“”（负）号的数叫做负数．负数都小于． 3）符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号． 正数前面的“”号可以省略，注意与表示是同一个正数．负数前面的“” 号不可以省略． 注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别． 即学即练 1．下列各数中：，，，，， 负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2． 在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 用正数和负数表示具有相反意义的量 知识点三 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然． 比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为． “相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量． 即学即练 3．汽车向北行驶，记作，那么可以表示汽车（    ） A．向北行驶 B．向南行驶 C．向东行驶 D．向西行驶 4．下列不具有相反意义的量是（    ） A．前进9米和后退9米 B．气温上升5℃和气温下降5℃ C．向东走10米和向西走10米 D．盈利30元和支出30元 “0”的特殊性 知识点四 1）既不是正数，也不是负数； 2）是正数与负数的分界； 3）是自然数； 4）的意义：有时表示没有，比如文具盒中有支铅笔，表示没有铅笔；有时是一个数，比如是一个确定的温度；有时也作为基准，比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度． 即学即练 5．关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 6．下列语句中正确的有(   )个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 有理数的概念 知识点五 1）整数：正整数、、负整数统称为整数． 所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合． 2）分数：正分数、负分数统称为分数． 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数． 3）有理数：整数和分数统称为有理数． 4）有理数的分类： （1） （2） 注意： 1）会对整数和分数进行简单分类； 2）整数与分数都是有理数的范畴，有限小数、无限循环小数是有理数； 5）常用数学概念的含义 1）正整数：既是正数，又是整数；2）负整数：既是负数，又是整数 3）正分数：既是整数，又是分数；4）负分数：既是负数，又是分数 5）非正数：负数和0；6）非负数：正数和0 7）非正整数：负整数和0；8）非负整数：正整数和0 即学即练 7．把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{ }； 负分数：{ }； 正有理数：{ }． 8．把下列各数填在相应的大括号内： 4，，，，，，0，，． 整数集合{____________…}； 正分数集合{____________…}； 负有理数集合{____________…}； 非负整数集合{____________…}． 题型专练 【题型1 正负数的定义】 1．有下列各数：，，，0，，，11，其中正数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在这些数中，是负数的是（    ） A． B．0 C． D．4 3．在中，负数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知下列各数：，，，0，，，6，，其中正数有___________；负数有___________． 5．下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ ，，，，+2.009，，，81． 6．把下列各数填在相应的集合里： ，，，，，，，，，，． 正数集合： 负数集合： 整数集合： 正分数集合： ． 【题型2 相反意义的量】 1．魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反，要令正负以名之”．若规定向东走记作正数，向西走记作负数，如向东走300米记作米，则向西走800米可记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．中国是最早认识和使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负”．某人卖东西所得5钱可以表示为，则买东西付2钱可以记为（     ） A． B． C． D． 3．我国魏晋时期的数学家刘徽在为《九章算术》作注时指出：“今两算得失相反，要令正、负以名之．”意思是说，遇到具有相反意义的量时，要用正、负加以区别．某水库的正常水位为米，水文站将超过正常水位米记作米，那么低于正常水位米应记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．为响应“体重管理年”的有关倡议，小秦对自己的体重进行了统计，若体重增加记为，那么体重减少应记为________． 5．如盈利记为正，则亏本记为负，元表示______，元表示_______． 6．在下列横线上填上适当的词，构成相反意义的量． （1）收入10元，___________6元； （2）高出海平面500，___________海平面100； （3）减少60，___________80； （4）___________500元，节约700元； （5）向东走5米，___________走6米． （6）___________3，缩小4． 7．写出与下面各量具有相反意义的量，并用正负数表示． (1)气温是零上8℃，零上为正； (2)向南走200米，向南为负； (3)转动转盘，顺时针转动5圈，顺时针旋转为正； (4)高于海平面8米，高于海平面为正． 【题型3 正负数的实际应用】 1．在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里表示直径是和是指直径在到之间的产品都属于合格产品．现加工一批轴，尺寸要求是，请选出不合格的产品（    ） A．44.97 B．45.04 C．45.01 D．45 2．丽丽在超市买了一袋食品，外包装上印有“总净含量”的字样．丽丽去称了一下，称得结果是符合包装说明，这袋食品的净含量可能是（    ） A． B． C． D． 3．一种黄油手撕面包包装袋上有这样的标记：，妈妈买回6袋面包依次进行称重，和标准质量比较分别记录为：、、、、、．这6袋面包中有______袋是合格的． 4．世界上关于负数的最早应用出现在中国古代的《九章算术》中．《九章算术》中虽然使用了“正负术”一词，但并未给出负数的正式定义．刘徽在为《九章算术》作注时，才对负数的定义进行了明确的阐述．《九章算术》中有所记载，若在粮谷计算中，益实三斗（增加3斗）记为斗，那么损实十斗（减少10斗）记为（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 5．中国古代的算筹计数法可以追溯到公元5世纪，摆法有纵式和横式两种．并且可以在个位数画上斜线来表示负数．如表示，则表示的数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，以为分界点，向东为正，向西为负，图上格表示实际距离米．明明从出发先向东走米，再向西走米，此时明明距离芳芳米，若丽丽从“”出发走了米，则此时丽丽与芳芳距离______米． 6．生活情境·营业额某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示． 请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长% (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年 1 月和 4 月比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪个月？ 【题型4 有理数的定义】 1．下列各数：，，，0，，，其中有理数有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2．在，，0，，314159，，（每相邻两个1之间依次多一个）中，有理数的个数有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．在，5，，，，中，有理数有_____个 4．下列说法： ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数； ④非负数就是正数； ⑤不仅是有理数，而且是分数； ⑥是无限不循环小数，所以不是有理数； ⑦无限小数不都是有理数； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数． 其中正确的结论是___________． 5．把下列各数的序号分别填在相应的横线上： ①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦426． (1)正有理数：_________． (2)负分数：_________． (3)非负整数：_________． 【题型5 数字0的意义】 1．下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 2．下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列说法正确的是（   ） A．零既是正数，又是负数 B．零是最小的整数 C．零是绝对值最小的有理数 D．零是最大的负数 4．0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 5．下列四个选项中，不正确的是（    ） A．0是自然数 B．0是偶数 C．0没有倒数 D．0是最小的整数 6．有下列关于“0”的说法：①0是正数和负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义；④0是正数；⑤0是非负数；⑥某地海拔为0 m表示没有海拔．其中正确的有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型6 有理数的分类】 1．把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，． 正数集合{                       …} 负分数集合{                     …} 非负整数集合{                   …} 有理数集合{                     …} 2．把下列各数相应的序号填入相应的横线内： ；；；；；；；；；． 整数集合：__________；分数集合：__________； 非负数集合：__________；负有理数集合：__________． 3．把下列各数填在相应的横线上： ，，，，，，，，， 整数：________________ 分数：________________ 负有理数：________________ 4．把下列各数填在相应的横线上： ，，0，2025，，，，，，，，， 负数： ； 整数： ； 正分数： ； 负整数： ． 5．请把下列各数的序号填入它所属于的集合大括号里． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧． 正有理数集合：            ， 负整数集合：             ， 正分数集合：                    ， 非负整数集合：                  ． 【题型7 带“非”字的有理数】 1．下列各数：，，，，0，，，，6， ，其中非负有理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．已知下列各数：3.14，24，，，，，0，其中负分数有________个，非负数有________个． 3．在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在，2025，，0，，，中，非负数有_____________个． 5．把下列各数的序号分别填入相应的位置． ①，②，③0，④，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥；则是非正整数__________． 6．请把下列各数填在相应的集合内：，，，，，，． 正数集合{　　　　……}； 负整数集合{　　　　……}； 整数集合{　　　　……}； 分数集合{　　　　……}； 非正数集合{　　　　……}； 非负整数集合{　　　　……}． 巩固练习 1．中国古代数学著作《九章算术》正式引入负数，如果收入80元记作元，那么元表示（   ） A．支出元 B．支出75元 C．收入75元 D．收入25元 2．下列具有相反意义的量的是（    ） A．前进米和后退米 B．零上℃和下降℃ C．收入元和亏损元 D．向南走千米和向东走千米 3．某规格金华火腿的质量标识为“千克”，则下列火腿中合格的是（   ） A．4.70千克 B．4.85千克 C．5.25千克 D．5.30千克 4．下列说法正确的是（   ） A．一个数前面加上“﹣”号这个数就是负数 B．非负数就是正数 C．正数和负数统称为有理数 D．0既不是正数也不是负数 5．下列各数中，0，，，，有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．在，，，，中，非负数的个数是（   ） A． B． C． D． 7．某地提倡“节约用水，保护环境”的口号，如果节约的水记为，那么浪费的水记为_____． 8．下列8个数：，0，，（每两个2之间依次多一个6），1.010010001，，π，，其中有理数有__________个． 9．某厂加工了一批零件，质检员从中随机抽取10个零件检测了它们的质量（单位：），得到的数据如下：9.97，9.98，9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，10.02．当一个零件质量的范围满足时，评定该零件为一等品．根据以上数据，这10个零件中一等品的个数是______． 10．某种零件的合格标准是表示直径，单位：，表示直径是毫米，与表示与合格产品的误差，那么合格产品的最小直径是 __最大直径是 __． 11．下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 12．算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，如下表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数，如“”表示-723，则“”所表示的数是_____． 13．下面哪对量是具有相反意义的量? (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 14．把下列有理数填入相应的数集内： ，，，，，，，， (1)正数集合｛ …｝ (2)负数集合｛ …｝ (3)整数集合｛     …｝ (4)非负有理数集合｛ …｝ 15．把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ 正数集合：{   …}； 分数集合：{   …}； 非负整数集合：{   …}． 16．把下列各数填在相应的大括号里（只填序号） ①；②0；③；④（两个1之间的6的个数依次增加1）；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩0.618 (1)非正整数集合{      }． (2)分数集合{      }． (3)正有理数集合{       }． 17．某电商在网上销售一种水果，其每箱的标准质量为．现抽取6箱样品进行检测，结果如下表： 每箱样品的质量/ 如果规定高于标准质量的部分记作正，请分别用带“”或“”的数表示样品质量与标准质量的差． 18.体育课上，七年级（1）班男生进行了引体向上测试．以能做5个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，其中8名男生的成绩（单位：个）如下：，，，0，，，0，． (1)这8名男生中达到标准的有______人； (2)这8名男生平均每人做了多少个引体向上？ 19．出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 从自然数到有理数 思维导图 知识点梳理 自然数的概念 知识点一 自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等 正数与负数 知识点二 1）正数：像，，这样大于的数叫做正数．正数都大于． 2）负数：像，这样在正数前加上符号“”（负）号的数叫做负数．负数都小于． 3）符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号． 正数前面的“”号可以省略，注意与表示是同一个正数．负数前面的“” 号不可以省略． 注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别． 即学即练 1．下列各数中：，，，，， 负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查负数的判断，熟记负数定义是解决问题的关键． 通过判断每个数的正负性，找出所有负数即可得到答案． 【详解】解：，，，，中负数有，共2个， 故选：B． 2．在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【答案】 ，， ， 0 【分析】本题主要考查了有理数的知识，熟练掌握相关概念是解题关键．比0大的数叫正数，正数前面常有一个符号“”，通常可以省略不写；比0小的数叫做负数，负数用负号“”和一个正数标记．利用正数、负数和0的意义可得出答案． 【详解】解：在，，，，，这些数中， 正数有，，； 负数有，； 0既不是正数也不是负数． 故答案为：，，；，；0． 用正数和负数表示具有相反意义的量 知识点三 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然． 比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为． “相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量． 即学即练 3．汽车向北行驶，记作，那么可以表示汽车（    ） A．向北行驶 B．向南行驶 C．向东行驶 D．向西行驶 【答案】B 【分析】本题考查正负数的实际意义，利用正负数表示具有相反意义的量，先确定正方向对应的行驶方向，再判断负号对应的相反方向即可． 【详解】解：∵向北行驶记作， ∴规定向北为正方向，其相反方向向南为负方向， ∴表示汽车向南行驶， 故选：B． 4．下列不具有相反意义的量是（    ） A．前进9米和后退9米 B．气温上升5℃和气温下降5℃ C．向东走10米和向西走10米 D．盈利30元和支出30元 【答案】D 【分析】本题考查相反意义的量的概念，判断相反意义的量需要满足同一属性、意义相反两个条件，据此分析各选项即可． 【详解】解：∵选项A中，前进与后退意义相反，均描述行走路程，是具有相反意义的量，不符合要求； 选项B中，上升与下降意义相反，均描述气温变化，是具有相反意义的量，不符合要求； 选项C中，向东与向西意义相反，均描述行走路程，是具有相反意义的量，不符合要求； 选项D中，盈利的相反意义是亏损，收入的相反意义是支出，盈利和支出不属于相反意义的量，符合要求． “0”的特殊性 知识点四 1）既不是正数，也不是负数； 2）是正数与负数的分界； 3）是自然数； 4）的意义：有时表示没有，比如文具盒中有支铅笔，表示没有铅笔；有时是一个数，比如是一个确定的温度；有时也作为基准，比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度． 即学即练 5．关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【答案】D 【分析】本题考查了关于0的认识，0是整数，自然数，是有理数，但不是正数，也不是负数，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 0是整数，也是有理数，故原选项正确，不合题意； B. 0既不是正数，也不是负数，故原选项正确，不合题意； C. 0是整数，也是自然数故原选项正确，不合题意； D. 0既是自然数，也是有理数，故原选项错误，符合题意﹒ 故选：D 6．下列语句中正确的有(   )个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查正数与负数的意义，根据正数与负数的性质及的意义可求解． 【详解】解：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数的数，故原说法错误； ④表示温度为℃，故原说法错误． 故正确的有1个． 故选：A． 有理数的概念 知识点五 1）整数：正整数、、负整数统称为整数． 所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合． 2）分数：正分数、负分数统称为分数． 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数． 3）有理数：整数和分数统称为有理数． 4）有理数的分类： （1） （2） 注意： 1）会对整数和分数进行简单分类； 2）整数与分数都是有理数的范畴，有限小数、无限循环小数是有理数； 5）常用数学概念的含义 1）正整数：既是正数，又是整数；2）负整数：既是负数，又是整数 3）正分数：既是整数，又是分数；4）负分数：既是负数，又是分数 5）非正数：负数和0；6）非负数：正数和0 7）非正整数：负整数和0；8）非负整数：正整数和0 即学即练 7．把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{ }； 负分数：{ }； 正有理数：{ }． 【答案】0，；，，； ，，，2.56 【详解】解：非正整数：{0，} 负分数：{，，} 正有理数：{，，，2.56} 8．把下列各数填在相应的大括号内： 4，，，，，，0，，． 整数集合{____________…}； 正分数集合{____________…}； 负有理数集合{____________…}； 非负整数集合{____________…}． 【答案】4，，0，；，，；，，；4，0， 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握整数、正分数、负有理数，非负整数的定义是解题的关键． 根据整数、正分数、负有理数，非负整数的定义即可解答． 【详解】解：整数集合； 正分数集合； 负有理数集合； 非负整数集合． 题型专练 【题型1 正负数的定义】 1．有下列各数：，，，0，，，11，其中正数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查正负数的定义．根据大于零的数是正数即可求解． 【详解】解：正数有，，11，共3个． 故选：C． 2．在这些数中，是负数的是（    ） A． B．0 C． D．4 【答案】A 【详解】本题考查负数的概念，负数是指小于0的数． 根据负数的概念判断即可． 【分析】解：在这些数中，是负数的是， 故选：A． 3．在中，负数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了负数的定义，根据负数的定义即可判断，熟练掌握负数就是小于0的数是解决此题的关键． 【详解】负数有：，，共3个， 故选：C． 4．已知下列各数：，，，0，，，6，，其中正数有___________；负数有___________． 【答案】 ，，6， ，， 【分析】本题主要考查正数与负数，属于基础题． 根据正数与负数的特征可判定求解． 【详解】解：在，，，0，，，6，中， 正数，，6，；负数有，，． 故答案为：，，6，，，， 5．下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ ，，，，+2.009，，，81． 【答案】正数有：3.2，，+2.009，，81；负数有：，， 【分析】根据正数，负数的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，正数有：3.2，，+2.009，，81；负数有：，，． 【点睛】本题考查了正数、负数．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 6．把下列各数填在相应的集合里： ，，，，，，，，，，． 正数集合： 负数集合： 整数集合： 正分数集合： ． 【答案】，，，，，； ，，，； ，，，，； ，，． 【分析】本题考查了正数概念，以及有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据有理数的分类进行求解，即可解题． 【详解】解：正数集合：，，，，，； 负数集合：，，，； 整数集合：，，，，； 正分数集合：，，． 故答案为：，，，，，；，，，；，，，，；，，． 【题型2 相反意义的量】 1．魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反，要令正负以名之”．若规定向东走记作正数，向西走记作负数，如向东走300米记作米，则向西走800米可记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】解：∵规定向东走记作正数，向西走记作负数， ∴向西走800米可记作米． 2．中国是最早认识和使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负”．某人卖东西所得5钱可以表示为，则买东西付2钱可以记为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干给出的正负规定即可直接判断求解． 【详解】解：由题意，得买东西付钱需要用负数表示，可记为． 3．我国魏晋时期的数学家刘徽在为《九章算术》作注时指出：“今两算得失相反，要令正、负以名之．”意思是说，遇到具有相反意义的量时，要用正、负加以区别．某水库的正常水位为米，水文站将超过正常水位米记作米，那么低于正常水位米应记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：∵题目规定超过正常水位米记作米，即超过正常水位记为正， ∴与“超过”意义相反的“低于”记为负， 因此低于正常水位米应记作米． 4．为响应“体重管理年”的有关倡议，小秦对自己的体重进行了统计，若体重增加记为，那么体重减少应记为________． 【答案】 【分析】本题考查相反意义的量，增加与减少是一对相反意义的量，规定增加用正数表示，减少就用负数表示． 【详解】解：体重增加记为，即增加用正数表示，增加与减少是相反意义的量， 体重减少应用负数表示，应记为． 5．如盈利记为正，则亏本记为负，元表示______，元表示_______． 【答案】 盈利3000元 亏本240元 【分析】本题考查正负数的意义，题目已规定盈利记为正，亏本记为负，只需根据规定判断正负数对应的实际意义即可． 【详解】解：根据正负数表示具有相反意义的量， 由题意得，盈利记为正，则正号表示盈利，负号表示亏本， 因此元表示盈利元，元表示亏本元． 6．在下列横线上填上适当的词，构成相反意义的量． （1）收入10元，___________6元； （2）高出海平面500，___________海平面100； （3）减少60，___________80； （4）___________500元，节约700元； （5）向东走5米，___________走6米． （6）___________3，缩小4． 【答案】 支出 低于 增加 浪费 向西 扩大 【分析】本题考查了正负数的知识，掌握正负数的定义是关键．根据题意，要构成相反意义，则关键词为“反义”，据此分析，找出其余小题中与关键词具有相反意义的词，再填空即可． 【详解】解：根据题意，收入10元，支出6元； 根据题意，高出海平面500m，低于海平面100m； 根据题意，减少60kg，增加80kg； 根据题意，浪费500元，节约700元； 根据题意，向东走5米，向西走6米； 根据题意，扩大3m2，缩小4m2． 故答案为：支出；低于；增加；浪费；向西；扩大． 7．写出与下面各量具有相反意义的量，并用正负数表示． (1)气温是零上8℃，零上为正； (2)向南走200米，向南为负； (3)转动转盘，顺时针转动5圈，顺时针旋转为正； (4)高于海平面8米，高于海平面为正． 【答案】(1)气温是零下 (2)向北走200米，米 (3)逆时针转动转盘5圈，圈 (4)低于海平面8米，米 【分析】正数和负数是用来表示具有相反意义的量；依据正数和负数的认识，结合相反数意义的量找出与零上相反的量是零下，同理解答其他小题．本题主要考查了正确的掌握正负数的概念，解答本题的关键就是读懂题意． 【详解】（1）解：依题意，气温是零下，即； （2）解：依题意，向北走200米，米 （3）解：依题意，逆时针转动转盘5圈，即圈 （4）解：依题意，低于海平面8米，即米 【题型3 正负数的实际应用】 1．在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里表示直径是和是指直径在到之间的产品都属于合格产品．现加工一批轴，尺寸要求是，请选出不合格的产品（    ） A．44.97 B．45.04 C．45.01 D．45 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数的应用，解题的关键是理解题意；根据尺寸要求，计算合格直径范围，并判断各选项是否在该范围内即可． 【详解】解：由题意得：合格直径范围为到， ∴选项中只有B选项是不合格产品； 故选B． 2．丽丽在超市买了一袋食品，外包装上印有“总净含量”的字样．丽丽去称了一下，称得结果是符合包装说明，这袋食品的净含量可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的应用．包装上“”表示净含量范围是到，符合说明的净含量应在此范围内，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵外包装上印有“总净含量”的字样． ∴净含量范围为至， ∴ 符合要求的净含量需满足净含量， ∵， ∴符合题意是B选项， 故选：B． 3．一种黄油手撕面包包装袋上有这样的标记：，妈妈买回6袋面包依次进行称重，和标准质量比较分别记录为：、、、、、．这6袋面包中有______袋是合格的． 【答案】4 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握相反意义的量，有理数大小比较，是解题的关键． 的意思是质量都是有浮动的，不都正好是．所以它的质量允许有的上下浮动，只要不超范围都是合格的． 【详解】解：指面包质量比100g多或少都是合格的． 其中指的是比标准质量多，是合格的； 指比标准质量少，是不合格的； 指正好等于标准质量，是合格的； 指比标准质量少，是合格的； 指比标准质量多，是合格的； 指比标准质量多，是不合格的． ∴这6袋面包中有4袋是合格的． 故答案为：4． 4．世界上关于负数的最早应用出现在中国古代的《九章算术》中．《九章算术》中虽然使用了“正负术”一词，但并未给出负数的正式定义．刘徽在为《九章算术》作注时，才对负数的定义进行了明确的阐述．《九章算术》中有所记载，若在粮谷计算中，益实三斗（增加3斗）记为斗，那么损实十斗（减少10斗）记为（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若益实用“”表示，那么损实就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若在粮谷计算中，益实三斗（增加3斗）记为斗，那么损实十斗（减少10斗）记为斗， 故选：C． 5．中国古代的算筹计数法可以追溯到公元5世纪，摆法有纵式和横式两种．并且可以在个位数画上斜线来表示负数．如表示，则表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数，根据题意即可求得答案． 【详解】 根据题意可知，表示的数为． 故选：C 5．如图，以为分界点，向东为正，向西为负，图上格表示实际距离米．明明从出发先向东走米，再向西走米，此时明明距离芳芳米，若丽丽从“”出发走了米，则此时丽丽与芳芳距离______米． 【答案】或 【分析】本题考查了正负数的意义，根据题意画出图形即可求解，掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：如图，当芳芳在小明东边时，此时丽丽与芳芳距离米， 如图，当芳芳在小明西边时，此时丽丽与芳芳距离米， 故答案为：或． 6．生活情境·营业额某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示． 请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长% (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年 1 月和 4 月比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪个月？ 【答案】(1)3月、5月、6月 (2)今年1月和4月的营业额与去年1月和4月的营业额相比降低 (3)1月，2月，4月 【分析】本题考查了正数和负数，解题的关键是： （1）根据正数表示增长，可得负数表示降低； （2）根据正数表示增长，可得负数表示降低； （3）根据正数表示增长，可得负数表示降低． 【详解】（1）解：由正数表示增长，得该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，3月、5月、6月是增长的． （2）解：由负数表示降低，得今年1月和4月的营业额与去年1月和4月的营业额相比降低． （3）解：今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的有1月、2月、4月． 【题型4 有理数的定义】 1．下列各数：，，，0，，，其中有理数有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查有理数的定义．有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数，据此求解即可． 【详解】解：，，0，，都是有理数，共有5个； 只有是无理数； 故选：D． 2．在，，0，，314159，，（每相邻两个1之间依次多一个）中，有理数的个数有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的定义． 根据有理数的定义（整数和分数，包括有限小数和无限循环小数）判断每个数是否为有理数即可． 【详解】解：有理数包括整数、分数、有限小数和无限循环小数， 是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 0是整数，是有理数； 含π，不是有理数； 314159是整数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数； （每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，不是有理数； ∴有理数有5个． 故选：C． 3．在，5，，，，中，有理数有_____个 【答案】4/四 【分析】本题考查有理数，包括有限小数与无限循环小数，熟知有理数的分类是解答的关键． 根据有理数是整数和分数的统称求解即可． 【详解】解：在中，有理数是，，共4个， 故答案为：4． 4．下列说法： ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数； ④非负数就是正数； ⑤不仅是有理数，而且是分数； ⑥是无限不循环小数，所以不是有理数； ⑦无限小数不都是有理数； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数． 其中正确的结论是___________． 【答案】⑦⑧/⑧⑦ 【分析】根据有理数的分类逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①0不是最小的整数，没有最小的整数，故①不正确； ②有理数不是正数就是负数和0，故②不正确； ③正整数、负整数、0、正分数、负分数统称为有理数，故③不正确； ④非负数就是正数与0，故④不正确； ⑤不是有理数，也不是分数，故⑤不正确； ⑥是无限循环小数，所以是有理数，故⑥不正确； ⑦无限小数不都是有理数，例如，故⑦正确； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑧正确． 故答案为：⑦⑧ 【点睛】本题考查了有理数的分类及其概念，掌握有理数的概念是解题的关键． 5．把下列各数的序号分别填在相应的横线上： ①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦426． (1)正有理数：_________． (2)负分数：_________． (3)非负整数：_________． 【答案】(1)②⑤⑦； (2)④⑥； (3)③ ⑦． 【分析】（1）根据大于0的有理数是正有理数可得答案； （2）根据小于0的分数是负分数可得答案； （3）根据0和正整数为非负整数可得答案； 【详解】（1）解：正有理数：②⑤⑦； （2）负分数：④⑥； （3）非负整数： ③⑦． 【点睛】本题考查的是有理数的分类，带非字的有理数，理解有理数的分类是解本题的关键． 【题型5 数字0的意义】 1．下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了0的意义，正负数的定义，在非正数面前加上“”号，那么这个数非负数，据此可判断A；表示有温度，据此可判断B；在正数面前加上“”号，那么这个数就是负数，据此可判断C；0既不是正数也不是负数，据此可判断D． 【详解】解：A、一个数前面加上“”号，这个数不一定是负数，例如前面加上“”号仍然为，原说法错误，不符合题意； B、表示有温度，原说法错误，不符合题意； C、若是正数，则一定是负数，原说法错误，不符合题意； D、0既不是正数也不是负数，原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． 【详解】①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个， 故选：B． 3．下列说法正确的是（   ） A．零既是正数，又是负数 B．零是最小的整数 C．零是绝对值最小的有理数 D．零是最大的负数 【答案】C 【分析】本题考查了0的意义，“0既不是正数也不是负数，0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数，关键是熟练掌握零的意义． 根据零的意义求解即可． 【详解】解：A、零不是正数，也不是负数，故A错误； B、零是最小的非负整数，故B错误； C、零是绝对值最小的有理数，故C正确； D、零是最大的非正数，故D错误． 故选：C． 4．0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数，0是有理数中的重要数字等知识点，根据0在不同问题中的实际含义解答即可，熟练掌握有理数0的性质是解决此题的关键． 【详解】A．是一个确定的温度，本选项说法正确，不符合题意； B．海拔表示与海平面一样的高度‌，原选项说法错误，符合题意； C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻，本选项说法正确，不符合题意； D．在二进制中，0是基本的数字表示，本选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 5．下列四个选项中，不正确的是（    ） A．0是自然数 B．0是偶数 C．0没有倒数 D．0是最小的整数 【答案】D 【分析】根据0的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、0是自然数，选项正确，不符合题意； B、0是偶数，选项正确，不符合题意； C、0没有倒数，选项正确，不符合题意； D、0不是最小的整数，选项错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查0的性质．熟练掌握0是自然数，是整数，是偶数，没有倒数，是解题的关键． 6．有下列关于“0”的说法：①0是正数和负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义；④0是正数；⑤0是非负数；⑥某地海拔为0 m表示没有海拔．其中正确的有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】根据0的意义逐个判断即可． 【详解】解：①0是正数和负数的分界，故①正确； ②0不只表示“什么也没有”，故②错误； ③0可以表示特定的意义，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误； ⑤0是非负数，故⑤正确； ⑥某地海拔为0 m表示其高度是0m，故⑥错误， ∴说法正确的有①③⑤，共3个， 故选：A． 【点睛】本题考查了0的意义，熟记0的意义是解题关键． 【题型6 有理数的分类】 1．把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，． 正数集合{                       …} 负分数集合{                     …} 非负整数集合{                   …} 有理数集合{                     …} 【答案】 正数集合{15，0.81，，171，3.14，…} 负分数集合{，，，…} 非负整数集合{15，171，0，…} 有理数集合{15，，0.81，，，，，171，0，3.14，，…} 【分析】本题考查了正数、负分数、非负整数、有理数的定义，正数是指大于零的数；负分数是指负的分数，包括负的有限小数和负的无限循环小数；非负整数包括零和正整数；有理数包括整数、分数（有限小数和无限循环小数）．根据定义对每个数进行分类即可． 【详解】解：正数集合{15，0.81，，171，3.14，…}； 负分数集合{，，，…}； 非负整数集合{15，171，0，…}； 有理数集合{15，，0.81，，，，，171，0，3.14，，…}． 2．把下列各数相应的序号填入相应的横线内： ；；；；；；；；；． 整数集合：__________；分数集合：__________； 非负数集合：__________；负有理数集合：__________． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解决本题的关键是有理数的分类情况，按照整数、分数、非负数、负有理数分类即可． 【详解】解：整数有：；；；； 整数集合：； 分数有：；；；；；； 分数集合：； 非负数有：；；；；；； 非负数集合：； 负有理数有：；；；； 负有理数集合：． 3．把下列各数填在相应的横线上： ，，，，，，，，， 整数：________________ 分数：________________ 负有理数：________________ 【答案】整数：，，，，； 分数：，，，，； 负有理数：，，，，． 【分析】本题考查了有理数的分类，熟悉理解有理数的分类是解题的关键． 根据有理数的分类划分解答即可． 【详解】解：由题意可得： 整数：，，，，； 分数：，，，，； 负有理数：，，，，． 4．把下列各数填在相应的横线上： ，，0，2025，，，，，，，，， 负数： ； 整数： ； 正分数： ； 负整数： ． 【答案】，，，，，；，0，2025，，，，；，，，；，，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，负数是小于0的数，正分数是大于0的分数，负整数是小于0的整数，据此求解即可． 【详解】解：负数：，，，，，； 整数：，0，2025，，，，； 正分数：，，，； 负整数：，，，． 5．请把下列各数的序号填入它所属于的集合大括号里． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧． 正有理数集合：            ， 负整数集合：             ， 正分数集合：                    ， 非负整数集合：                  ． 【答案】①②⑥⑧；③；②⑥⑧；①⑤ 【分析】本题考查了有理数的知识，掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据有理数的分类填写即可． 【详解】解：正有理数集合：， 负整数集合：， 正分数集合：， 非负整数集合：． 【题型7 带“非”字的有理数】 1．下列各数：，，，，0，，，，6， ，其中非负有理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，掌握非负有理数即为大于等于0的数是解题的关键． 根据非负有理数是大于等于0的数，据此逐一判断即可． 【详解】解：非负有理数有， 0，，6，共4个． 故选C． 2．已知下列各数：3.14，24，，，，，0，其中负分数有________个，非负数有________个． 【答案】 1 6 【分析】本题主要考查有理数的分类，根据有理数的分类标准解决此题． 【详解】解：负分数有，共1个；非负数有3.14，24，，，， 0，共6个． 故答案为：1，6． 3．在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数，理解有理数、非负整数的定义是正确解答的关键． 根据有理数，非负整数的定义进行判断即可． 【详解】解：在，，0，1.2，2，中，非负整数有0，2，共2个， 故选：B． 4．在，2025，，0，，，中，非负数有_____________个． 【答案】4 【分析】此题考查了有理数的分类，根据非负数包括正数和0进行解答即可． 【详解】解：在，2025，，0，，，中，非负数有2025，0，，，共4个， 故答案为：4 5．把下列各数的序号分别填入相应的位置． ①，②，③0，④，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥；则是非正整数__________． 【答案】①③ 【分析】本题考查有理数的分类，根据非正整数，包括0和负整数，进行判断即可． 【详解】解：①，②，③0，④，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥，中，是非正整数的是和0， 故答案为：①③． 6．请把下列各数填在相应的集合内：，，，，，，． 正数集合{　　　　……}； 负整数集合{　　　　……}； 整数集合{　　　　……}； 分数集合{　　　　……}； 非正数集合{　　　　……}； 非负整数集合{　　　　……}． 【答案】，，；，；，，，；，，；，，，；，． 【分析】根据有理数的分类逐个分析判断即可求解． 【详解】正数集合，，，； 负整数集合，，； 整数集合，，，，； 分数集合，，，； 非正数集合，，，，； 非负整数集合，，． 故答案为：，，；，；，，，；，，；，，，；，． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 巩固练习 1．中国古代数学著作《九章算术》正式引入负数，如果收入80元记作元，那么元表示（   ） A．支出元 B．支出75元 C．收入75元 D．收入25元 【答案】B 【分析】本题考查正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若收入用“+”表示，那么支出就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：∵收入80元记作元，即“+”代表收入， ∴“”代表与收入相反的支出， ∴元表示支出75元， 故选：B． 2．下列具有相反意义的量的是（    ） A．前进米和后退米 B．零上℃和下降℃ C．收入元和亏损元 D．向南走千米和向东走千米 【答案】A 【分析】本题考查了具有相反意义的量，明确什么是相反意义的量是解题的关键； 具有相反意义的量必须满足两个条件：①同一属性的量；②意义相反，据此分析各选项即可． 【详解】解：A、前进和后退是相反方向的移动，且都是距离，符合条件，故此选项正确； B、零上℃是温度值，下降℃是温度变化量，属性不同，不符合条件，故此选项错误； C、收入与亏损不是直接相反的财务概念（收入与支出相反），不符合条件，故此选项错误； D、向南和向东是不同方向，但不相反，不符合条件，故此选项错误； 故选：A． 3．某规格金华火腿的质量标识为“千克”，则下列火腿中合格的是（   ） A．4.70千克 B．4.85千克 C．5.25千克 D．5.30千克 【答案】B 【分析】根据质量标识计算出合格质量的取值范围，再判断各选项是否在该范围内即可得出答案． 本题主要考查了具有相反意义的量，正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【详解】解：∵质量标识为“千克”， ∴合格质量的最小值为（千克）， 最大值为（千克）， ∵，，，， ∴只有选项B的火腿质量在合格范围内； 故选：B． 4．下列说法正确的是（   ） A．一个数前面加上“﹣”号这个数就是负数 B．非负数就是正数 C．正数和负数统称为有理数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类的知识，根据负数的定义和有理数的分类判断即可． 【详解】解：A、一个负数前面加上“﹣”号，这个数就是正数，原说法错误，故选项A不符合题意， B、非负数就是正数和0，故选项B错误，不符合题意， C、有理数包括正数、0和负数，故选项C错误，不符合题意， D、0既不是正数也不是负数，正确，故选项D符合题意， 故选：D． 5．下列各数中，0，，，，有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的概念，有理数是包括分数、有限小数与无限循环小数；据此判断即可． 【详解】解：，0，，都是有理数； 故选：D． 6．在，，，，中，非负数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查非负数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．非负数即和正数，据此进行判断即可． 【详解】解：在，，，，中，非负数是，，，共有个， 故选：A． 7．某地提倡“节约用水，保护环境”的口号，如果节约的水记为，那么浪费的水记为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若节约用水用“”表示，那么浪费用水就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果节约的水记为，那么浪费的水记为， 故答案为：． 8．下列8个数：，0，，（每两个2之间依次多一个6），1.010010001，，π，，其中有理数有__________个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的概念，熟练掌握有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称（包括有限小数、无限循环小数）是解题的关键．根据有理数的定义（整数和分数统称有理数，包括有限小数、无限循环小数），逐一判断这8个数是否为有理数． 【详解】解：：分数，是有理数； ：整数，是有理数； ：分数，是有理数； （每两个2之间依次多一个6）：无限不循环小数，不是有理数； ：有限小数，是有理数； ：整数，是有理数； ：无限不循环小数，不是有理数； ：无限循环小数，是有理数． 有理数有，共6个． 故答案为：6． 9．某厂加工了一批零件，质检员从中随机抽取10个零件检测了它们的质量（单位：），得到的数据如下：9.97，9.98，9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，10.02．当一个零件质量的范围满足时，评定该零件为一等品．根据以上数据，这10个零件中一等品的个数是______． 【答案】7 【分析】本题考查了正负数的实际应用，根据题意，写出10个数据中的一等品，即可得出答案． 【详解】解：∵满足时，评定该零件为一等品， ∴抽取10个零件的一等品有9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，共计7个， 故答案为：7． 10．某种零件的合格标准是表示直径，单位：，表示直径是毫米，与表示与合格产品的误差，那么合格产品的最小直径是 __最大直径是 __． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义列式计算即可求解． 【详解】解：合格产品的最小直径是， 最大直径是． 故答案为：；． 11．下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 【答案】 13 【分析】本题考查了正整数、有理数、非正数的概念辨析，解题的关键是准确把握各类数的定义并逐一筛选判断． 先明确正整数是大于0的整数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，非正数是小于或等于0的数；再对所给数字逐一分析归类，分别确定a、b、c的值，最后计算的结果． 【详解】解： 正整数：、、，共3个，故； 有理数：、、、、、、0，共7个（为无理数，排除），故； 非正数：、、0，共3个，故； 则． 故答案为：． 12．算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，如下表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数，如“”表示-723，则“”所表示的数是_____． 【答案】 【分析】本题考查古代数学问题，读懂题意是解决问题的关键． 由算筹与数字的对应表，以及在个位数上划上斜线以表示负数即可得到答案． 【详解】 解：由算筹与数字的对应表，以及在个位数上划上斜线以表示负数，可知，“”所表示的数是， 故答案为：． 13．下面哪对量是具有相反意义的量? (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 【答案】(1)是 (2)是 (3)是 (4)否 【分析】本题主要考查相反意义的量的定义，掌握 “相反意义的量需同时具备‘相反意义’和‘同类量’两个条件” 是解题的关键．依据相反意义的量的定义判断即可． 【详解】（1）∵ 得20分表示分数增加，扣10分表示分数减少， ∴ 得分为正，扣分为负，具有相反意义． （2）∵ 蓄水量增加表示水量增加，减少表示水量减少， ∴ 增加为正，减少为负，具有相反意义． （3）∵ 下去10名乘客表示乘客减少，上来8名乘客表示乘客增加， ∴ 下去为负，上来为正，具有相反意义． （4）∵ 周长是长度量，面积是面积量， ∴ 两者无相反方向含义，故无相反意义． 14．把下列有理数填入相应的数集内： ，，，，，，，， (1)正数集合｛ …｝ (2)负数集合｛ …｝ (3)整数集合｛     …｝ (4)非负有理数集合｛ …｝ 【答案】(1)，， (2)，，，， (3)，， (4)，，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类， （1）根据正数的定义，逐一分析各数即可； （2）根据负数的定义，逐一分析各数即可； （3）根据整数的定义，逐一分析各数即可； （4）非负有理数是正有理数和零的统称，据此即可获得答案． 【详解】（1）解：正数集合｛，，，…｝ （2）负数集合｛，，，，，…｝ （3）整数集合｛，，，…｝ （4）非负有理数集合｛，，，，…｝ 15．把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ 正数集合：{   …}； 分数集合：{   …}； 非负整数集合：{   …}． 【答案】正数集合：{①⑤…} 分数集合：{③④⑤⑦…} 非负整数集合：{①⑥…} 【分析】本题考查有理数的分类，需明确正数、分数、非负整数的定义，逐一判断各数所属类别后完成归类，即可求解． 【详解】解：正数是大于的数和都大于所以正数集合：{①⑤…} 分数包含正分数、负分数，有限小数与百分数也属于分数范畴、、、都满足分数的定义所以分数集合：{③④⑤⑦…} 非负整数是正整数和0，是正整数，属于非负整数所以非负整数集合：{①⑥…} 16．把下列各数填在相应的大括号里（只填序号） ①；②0；③；④（两个1之间的6的个数依次增加1）；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩0.618 (1)非正整数集合{     }． (2)分数集合{     }． (3)正有理数集合{      }． 【答案】(1)②⑦⑧ (2)③⑤⑨⑩ (3)①⑤⑨⑩ 【分析】本题考查了数的分类（非正整数、分数、正有理数），解题的关键是明确各类数的定义，准确判断每个数的类型． ①根据非正整数的定义（包括0和负整数）筛选数； ②根据分数的定义（包括有限小数、无限循环小数、百分数）筛选数； ③根据正有理数的定义（正的整数、分数）筛选数． 【详解】（1）解：非正整数是指0和负整数 ②0是整数且是非正数，⑦是负整数，⑧是负整数 所以非正整数集合：②⑦⑧， 故答案为：②⑦⑧； （2）解：分数包括有限小数、无限循环小数、百分数 ③是有限小数，⑤是百分数，⑨是分数，⑩0.618是有限小数 所以分数集合：③⑤⑨⑩， 故答案为：③⑤⑨⑩； （3）解：正有理数是正的整数或分数 ①是正整数，⑤是正分数，⑨是正分数，⑩0.618是正分数 所以正有理数集合：①⑤⑨⑩， 故答案为：①⑤⑨⑩． 17．某电商在网上销售一种水果，其每箱的标准质量为．现抽取6箱样品进行检测，结果如下表： 每箱样品的质量/ 如果规定高于标准质量的部分记作正，请分别用带“”或“”的数表示样品质量与标准质量的差． 【答案】，， ， ， ， 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是掌握正数和负数的意义，利用正数和负数的意义解答即可． 【详解】解：样品质量与标准质量的差分别为，， ， ， ， ． 18.体育课上，七年级（1）班男生进行了引体向上测试．以能做5个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，其中8名男生的成绩（单位：个）如下：，，，0，，，0，． (1)这8名男生中达到标准的有______人； (2)这8名男生平均每人做了多少个引体向上？ 【答案】(1)5 (2)5个 【分析】本题重点考查了正负数、平均数的概念，理解正负数的意义是解题的关键． （1）以能做个为标准，当个数时，达到标准，统计个数即可完成求解； （2）标准个数加上所给数据的平均数，即为名男生平均每人做的个数． 【详解】（1）解：，，，，个成绩达到标准，故有人达到标准． 答：这名男生中达到标准的有人． （2）解：（个）． 答：这8名男生平均每人做了个引体向上． 19．出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 【答案】(1)出租车在公司的东方，距离公司千米 (2)共需要元油费 (3)司机这天下午运营是盈利，盈利了元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，分析题意从中获取相关信息是解题的关键． （1）把所给的行程数据相加分析即可； （2）运算出总路程，再运算油费即可； （3）求出出租车的总收入，再减去油费即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：（千米）， 答：出租车在公司的东方，距离公司3千米． （2）解：总路程（千米）， 油费（元）， 答：共需要33元油费． （3）解：超过千米的行程有9，，，，，，，，共次行程， 超过部分（千米）， 不超千米的行程有：，，共2次行程， 所以出租车的收入为：（元）， （元）， 答：司机这天下午运营是盈利，盈利了元． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $