专题04 四边形（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材冀教版

专题04 四边形 多边形基础概念与定理 1.多边形相关概念 组成多边形的线段叫做多边形的边，相邻两边的公共端点为顶点，相邻两边在内部形成的角是内角。多边形一边与邻边延长线组成的角为外角，连接不相邻两个顶点的线段叫做对角线。多边形的边数、顶点数、内角个数完全相等，连接对角线是把多边形问题转化为三角形问题的常用方法。 2.多边形对角线规律 从边形的一个顶点可引出条对角线，这些对角线能将多边形分割成个三角形；边形对角线总条数公式为。 3.正多边形性质 正边形一共有条对称轴。当边数为奇数时，正多边形仅为轴对称图形；当边数为偶数时，它既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称中心为多边形的中心。 4.内角和与外角和定理 边形的内角和公式为；任意多边形的外角和恒为，外角和大小与边数没有关系。 平行四边形 1.平行四边形性质 两组对边平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分，解题时可结合以上性质进行线段、角度的推导与计算。 2.平行四边形判定方法 可以依据定义判定，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；也可使用推论，两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分的四边形，均为平行四边形。 矩形 1.矩形性质 矩形属于特殊的平行四边形，具备平行四边形全部性质。它的两组对边平行且相等，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等。 2.矩形判定方法 有一个角是直角的平行四边形为矩形；有三个内角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形，也可判定为矩形。 菱形 1.菱形性质 菱形是特殊的平行四边形，四条边全部相等，对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 2.菱形面积计算 第一种计算方式为底×高；第二种可利用对角线求解，面积等于两条对角线长度乘积的一半。 3.菱形判定方法 四条边都相等的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形为菱形；对角线互相垂直的平行四边形，同样可以判定为菱形。 正方形 1.正方形性质 正方形同时具备平行四边形、矩形、菱形的所有性质，四条边相等，四个角都是直角，对边互相平行。对角线相等、互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角。一条对角线可将正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线可将其分成四个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角为。正方形面积既可以用边长的平方计算，也等于对角线长度平方的一半。 2.正方形判定方法 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形、对角线互相垂直的矩形都是正方形；有一个角是直角的菱形、对角线相等的菱形也都是正方形。 三角形中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半，该定理常用来证明线段平行、推导线段数量关系。 梯形 1.梯形基本概念 只有一组对边平行的四边形叫做梯形。互相平行的两边分为上底和下底，长度较短的为上底，较长的为下底；不平行的两边叫做腰，两底之间的垂线段为梯形的高。区分梯形与平行四边形的关键：平行四边形两组对边都平行，梯形仅有一组对边平行。 2.等腰梯形定义与性质 两腰相等的梯形是等腰梯形，它拥有梯形的全部性质。等腰梯形同一底上的两个内角相等，两条对角线长度相等。 3.等腰梯形判定方法 按照定义，两腰相等的梯形为等腰梯形；同一底上两个内角相等的梯形、对角线相等的梯形，均可判定为等腰梯形。 4.梯形中位线 连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两条底边，且长度等于两底长度和的一半。 题型1 多边形相关计算与概念辨析 【例1】正边形的一个外角为，那么（     ） A． B． C． D． 【例2】如图，直线，分别经过正五边形的顶点，，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在五边形中，若，则的度数为___________． 【变式1-2】如图是某古建筑地板上的花纹图案，用正六边形地砖铺成，抽象出如下图形，图中的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，已知四边形是正方形，O是对角线的中点，以为边作一个正五边形，求α的度数． 题型2 平行四边形基础计算题 【例3】已知的周长为，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【例4】如图，是中国邮政与西班牙邮政联合发行的平行四边形邮票，若其中一个锐角约为，则其一个钝角的度数约为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图在中，对角线，交于点O，且，，则的周长是_______． 【变式2-2】如图，在中，交对角线于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知平行四边形相邻两边长的比是，其中较长的边长是．求这个平行四边形的周长． 题型3 平行四边形性质与判定证明题 【例5】如图，在中，E、F分别是、的中点，连接、．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【例6】如图，在中，⊥，⊥，垂足分别为点，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 【变式3-1】如图，在四边形中，是边的中点，互相平分并交于点．求证：且． 【变式3-2】如图，四边形ABCD中，，，点、是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求证：． 【变式3-3】如图，在四边形中，，，E是上一点，且． (1)求证：． (2)连结，若，，求的长． 题型4 特殊四边形边长、角度及面积计算 【例7】如图，由五个部分组成：两个面积都是的等腰直角三角形，两个面积都是的直角三角形，一个面积为的正方形，则四边形的面积一定可以表示为（     ） A． B． C． D． 【例8】如图所示，将矩形纸片沿对角线对折，使得点落在点处，交于点，若平分，，则的长是________ 【变式4-1】如图，在菱形中，，对角线交于点．则线段的长为________． 【变式4-2】位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【变式4-3】如图，是边长为4的正方形的对角线，平分交于点E，延长到点F，使，连接，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)求的长． 题型5 特殊四边形性质与判定证明题 【例9】如图，在四边形中，，，，交于点．从①②选项中选择一个作为条件，再从③④选项中选择一个作为结论，使之成立．你选择的条件是 ，结论是 （填序号），并证明你的结论． ①；②； ③四边形是矩形；④ 四边形是菱形． 【例10】如图，在平行四边形中，O为对角线与的交点，M、N分别是的中点， (1)证明：； (2)若，证明：． 【变式5-1】如图，矩形的对角线，相交于点． (1)尺规作图：在平面内确定一点，使得四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，四边形的面积为，求的长． 【变式5-2】如图，在中，平分交于点，过作，交于点．试问： (1)四边形ABEF是什么图形吗？请说明理由． (2)若，四边形是什么图形？请说明理由． 【变式5-3】如图①，在正方形中，点P为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过P点作，交射线于点E．求证：；（提示：过点P作于点M，作于点N）． 题型6 三角形中位线与重心综合应用 【例11】如图，在中，，D，E分别是，的中点，连结，，过点E作交的延长线于点F，若，，则______． 【例12】物体重心是物体受力的平衡点，物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有．如图，若，以点为坐标原点，“”为一个单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系，则此“”形图形的重心坐标为（       ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，为的边的中点，，，于点，连接．若为的平分线，则的长为____________． 【变式6-2】如图，F是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E．若的面积是，则四边形的面积是______． 【变式6-3】如图，，两点，都在边上，且，，动点在上，连接，点是的中点，连接，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 题型7 特殊四边形综合压轴题（折叠、动点、最值问题） 【例13】如图，在正方形中，，其外部有一个正方形，对角线的延长线经过点，．连接，点是的中点，点是边的中点，则线段的长为________． 【例14】如图1，四边形为平行四边形，E是边上一点，将四边形沿直线折叠，点B的对应点恰好落在边上． (1)猜想四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，连接，，若，，四边形的面积为54，求的长． (3)如图3，连接，若，，，求的长． 【变式7-1】如图，正方形中，，，分别是边，上的点，满足，连接，交于点，以、为边作，连接，是的中点，连接，则的最小值是__________． 【变式7-2】综合与实践 在菱形中，，点M是菱形内一点，平分，作射线，连接，过点D作于点N，． (1)【初步探究】如图1，若，，则的度数为________；与的数量关系是________ (2)【类比探究】如图2，若，，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，将沿直线平移得到，连接．若，，请直接写出的长． 【变式7-3】如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发向终点运动，同时动点从点出发沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)若点的运动速度为个单位每秒，点的运动速度为个单位每秒，当时， ， ；（用含的式子表示） (2)在（1）条件下，当四边形是平行四边形时，求的值； (3)若点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位，当点在线段上时，直线把四边形分成两个四边形，且其中一个四边形为菱形，求的值． 易错点1：混淆多边形内角和、外角和计算公式 1．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（   ） A．五 B．六 C．七 D．八 2．若一个四边形的四个内角之比为1∶2∶3∶4，则这四个内角中最小内角的外角度数是（     ） A． B． C． D． 易错点2：多边形对角线条数公式记忆错误 3．一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（    ）条 A．5 B．6 C．7 D．8 4．（1）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这个多边形是________边形． （2）从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于_______． 易错点3：平行四边形判定定理运用不当 5．如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 6．如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，．求证：四边形是平行四边形． 易错点4：遗漏菱形多种面积计算方法 7．在菱形中，对角线，，则菱形的面积为______． 8．如图所示，在中，于，于，且． (1)求证：为菱形； (2)若，，求的面积． 易错点5：三角形中位线定理应用出错 9．如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为(     ) A．4 B．3 C．2 D．不确定 10．已知直角三角形的两边长分别为，则这两边的中点之间的距离可能为（     ） A． B． C． D．或 易错点6：对梯形定义理解不透彻 11．一个高为的直角梯形面积是70，若该梯形的上底增加，它就变成一个矩形，则梯形的下底是__________． 12．四边形为直角梯形，其中，腰，且P是的中点，，则四边形的面积的最小值是（   ） A．4 B． C． D． 易错点7：忽略等腰梯形重要性质 13．唐代数学家王孝通所撰《缉古算经》记载了古人“筑龙尾堤”．堤截面为如图所示的等腰梯形，原文记“堤头上下广差六尺”（古算称梯形上下边为“上广”“下广”），即该堤截面的“上广”比“下广”多6尺．已知该堤的深度为4尺，则该龙尾堤截面的一侧斜高（即等腰梯形腰长）为______尺． 14．如图，梯形中，，，，，则______． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 四边形 多边形基础概念与定理 1.多边形相关概念 组成多边形的线段叫做多边形的边，相邻两边的公共端点为顶点，相邻两边在内部形成的角是内角。多边形一边与邻边延长线组成的角为外角，连接不相邻两个顶点的线段叫做对角线。多边形的边数、顶点数、内角个数完全相等，连接对角线是把多边形问题转化为三角形问题的常用方法。 2.多边形对角线规律 从边形的一个顶点可引出条对角线，这些对角线能将多边形分割成个三角形；边形对角线总条数公式为。 3.正多边形性质 正边形一共有条对称轴。当边数为奇数时，正多边形仅为轴对称图形；当边数为偶数时，它既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称中心为多边形的中心。 4.内角和与外角和定理 边形的内角和公式为；任意多边形的外角和恒为，外角和大小与边数没有关系。 平行四边形 1.平行四边形性质 两组对边平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分，解题时可结合以上性质进行线段、角度的推导与计算。 2.平行四边形判定方法 可以依据定义判定，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；也可使用推论，两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分的四边形，均为平行四边形。 矩形 1.矩形性质 矩形属于特殊的平行四边形，具备平行四边形全部性质。它的两组对边平行且相等，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等。 2.矩形判定方法 有一个角是直角的平行四边形为矩形；有三个内角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形，也可判定为矩形。 菱形 1.菱形性质 菱形是特殊的平行四边形，四条边全部相等，对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 2.菱形面积计算 第一种计算方式为底×高；第二种可利用对角线求解，面积等于两条对角线长度乘积的一半。 3.菱形判定方法 四条边都相等的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形为菱形；对角线互相垂直的平行四边形，同样可以判定为菱形。 正方形 1.正方形性质 正方形同时具备平行四边形、矩形、菱形的所有性质，四条边相等，四个角都是直角，对边互相平行。对角线相等、互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角。一条对角线可将正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线可将其分成四个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角为。正方形面积既可以用边长的平方计算，也等于对角线长度平方的一半。 2.正方形判定方法 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形、对角线互相垂直的矩形都是正方形；有一个角是直角的菱形、对角线相等的菱形也都是正方形。 三角形中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半，该定理常用来证明线段平行、推导线段数量关系。 梯形 1.梯形基本概念 只有一组对边平行的四边形叫做梯形。互相平行的两边分为上底和下底，长度较短的为上底，较长的为下底；不平行的两边叫做腰，两底之间的垂线段为梯形的高。区分梯形与平行四边形的关键：平行四边形两组对边都平行，梯形仅有一组对边平行。 2.等腰梯形定义与性质 两腰相等的梯形是等腰梯形，它拥有梯形的全部性质。等腰梯形同一底上的两个内角相等，两条对角线长度相等。 3.等腰梯形判定方法 按照定义，两腰相等的梯形为等腰梯形；同一底上两个内角相等的梯形、对角线相等的梯形，均可判定为等腰梯形。 4.梯形中位线 连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两条底边，且长度等于两底长度和的一半。 题型1 多边形相关计算与概念辨析 【例1】正边形的一个外角为，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，正边形的所有外角都相等， 而正边形的一个外角为 ， ∴． 【例2】如图，直线，分别经过正五边形的顶点，，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图： ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则． 【变式1-1】如图，在五边形中，若，则的度数为___________． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴． 【变式1-2】如图是某古建筑地板上的花纹图案，用正六边形地砖铺成，抽象出如下图形，图中的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设正六边形的顶点为，，， 正六边形的一个内角为， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴． 【变式1-3】如图，已知四边形是正方形，O是对角线的中点，以为边作一个正五边形，求α的度数． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵以为边作一个正五边形， ∴， ∵， ∴． 题型2 平行四边形基础计算题 【例3】已知的周长为，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵四边形是平行四边形 ∴， ∵的周长为 ∴ ∵， ∴. 【例4】如图，是中国邮政与西班牙邮政联合发行的平行四边形邮票，若其中一个锐角约为，则其一个钝角的度数约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 该图形为平行四边形， 其中一个锐角约为， 其一个钝角的度数约为． 【变式2-1】如图在中，对角线，交于点O，且，，则的周长是_______． 【答案】18 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵ ∴ ∴的周长是． 【变式2-2】如图，在中，交对角线于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是的外角， ． 【变式2-3】已知平行四边形相邻两边长的比是，其中较长的边长是．求这个平行四边形的周长． 【答案】 【详解】解：设平行四边形相邻两边长分别为 和 ， ∵较长的边长是， ∴， 解得， ∴较短边长为 ∴平行四边形周长． 题型3 平行四边形性质与判定证明题 【例5】如图，在中，E、F分别是、的中点，连接、．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∴， 在和中，， ∴. （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形. 【例6】如图，在中，⊥，⊥，垂足分别为点，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形； (2)11 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴在中，， 由（1）可得 ∴， 在中，， ∴， ∴． 【变式3-1】如图，在四边形中，是边的中点，互相平分并交于点．求证：且． 【答案】见详解 【详解】证明：连接， ∵互相平分并交于点，即， ∴四边形为平行四边形， ， 又 ∵为的中点， ， ， ∴四边形为平行四边形， ，． 【变式3-2】如图，四边形ABCD中，，，点、是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）可知四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，， ， ． 【变式3-3】如图，在四边形中，，，E是上一点，且． (1)求证：． (2)连结，若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ∴四边形是平行四边形， ， ， ； (2)6 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点C作于点F， ，， ． ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ． 题型4 特殊四边形边长、角度及面积计算 【例7】如图，由五个部分组成：两个面积都是的等腰直角三角形，两个面积都是的直角三角形，一个面积为的正方形，则四边形的面积一定可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示： 依题意得：和是等腰直角三角形，且面积为，四边形是正方形， ∴设，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积一定可以表示为． 【例8】如图所示，将矩形纸片沿对角线对折，使得点落在点处，交于点，若平分，，则的长是________ 【答案】 【详解】解：由折叠可知， 平分， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式4-1】如图，在菱形中，，对角线交于点．则线段的长为________． 【答案】 【详解】解：在菱形中，，，则是等边三角形， 即， 菱形的对角线相互垂直平分， ，， 在中，，，则由勾股定理得， ∴． 【变式4-2】位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：作于点E， ∴， 又， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴（m）； （2）解：（）． 【变式4-3】如图，是边长为4的正方形的对角线，平分交于点E，延长到点F，使，连接，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵正方形， ∴，， 在和中， ∴； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴，， ∴， ∴． 题型5 特殊四边形性质与判定证明题 【例9】如图，在四边形中，，，，交于点．从①②选项中选择一个作为条件，再从③④选项中选择一个作为结论，使之成立．你选择的条件是 ，结论是 （填序号），并证明你的结论． ①；②； ③四边形是矩形；④ 四边形是菱形． 【答案】解：选择的条件是②，结论是④， 证明：∵， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 【详解】略 【例10】如图，在平行四边形中，O为对角线与的交点，M、N分别是的中点， (1)证明：； (2)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点M，N分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 即． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴． 【变式5-1】如图，矩形的对角线，相交于点． (1)尺规作图：在平面内确定一点，使得四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，四边形的面积为，求的长． 【答案】(1)解：方法不唯一： 如：分别以B、C为圆心，长为半径作弧，交于点E，点E即为所求． 理由：∵矩形， ∴， 由作图可得：，， ∴， ∴四边形为菱形． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵，四边形的面积为，四边形是菱形， ，．， ∵， ． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 四边形是平行四边形． ． 【变式5-2】如图，在中，平分交于点，过作，交于点．试问： (1)四边形ABEF是什么图形吗？请说明理由． (2)若，四边形是什么图形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰梯形，证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：如下图所示∶ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形． （2）∵四边形是菱形， ∴， 又∵ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． 【变式5-3】如图①，在正方形中，点P为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过P点作，交射线于点E．求证：；（提示：过点P作于点M，作于点N）． 【答案】(1)证明：∵正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)证明：过点P作于点M，作于点N，如图② 则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型6 三角形中位线与重心综合应用 【例11】如图，在中，，D，E分别是，的中点，连结，，过点E作交的延长线于点F，若，，则______． 【答案】2 【详解】解：∵D，E分别是，的中点，， ∴是的中位线，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴． 【例12】物体重心是物体受力的平衡点，物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有．如图，若，以点为坐标原点，“”为一个单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系，则此“”形图形的重心坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：在矩形和矩形中，，则， 若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有， ，，， 则， 此“”形图形的重心坐标为， 故选：B． 【变式6-1】如图，为的边的中点，，，于点，连接．若为的平分线，则的长为____________． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点． 为的平分线，， ∴，， 又∵， ∴， ，， ∵， ∴ 为的中点，为的中点， ． 【变式6-2】如图，F是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E．若的面积是，则四边形的面积是______． 【答案】8 【详解】解：如图，延长到H，使，连接，，延长交于点E， ∴， ∵F是的重心， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， ∵，的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∴， 又∵的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 故答案为：8． 【变式6-3】如图，，两点，都在边上，且，，动点在上，连接，点是的中点，连接，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在上取点M，使，连接，如图所示， ∵点C为的中点，点Q为的中点， ∴为的中位线， ∴． 过点M作的垂线，垂足为N， 则当点P在点N处时，取得最小值，即为的长． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 则的最小值为， ∴的最小值为． 题型7 特殊四边形综合压轴题（折叠、动点、最值问题） 【例13】如图，在正方形中，，其外部有一个正方形，对角线的延长线经过点，．连接，点是的中点，点是边的中点，则线段的长为________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，交于点H， ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵H是正方形的对角线交点， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵点M是的中点，点N是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【例14】如图1，四边形为平行四边形，E是边上一点，将四边形沿直线折叠，点B的对应点恰好落在边上． (1)猜想四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，连接，，若，，四边形的面积为54，求的长． (3)如图3，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形． 理由：∵四边形是平行四边形， ， ． 由折叠的性质得，， ， ， ． ，， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形． (2)； (3)． 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图，设与交于点F． ，，四边形的面积为54， ． 由（1）可知，四边形是菱形， ． 设，则，． ， ∴在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴． ，， ，即． ， ∴四边形是平行四边形， ，， ∴在中，由勾股定理得， ． （3）如图，连接，交于点G，过点C作于点H． ，， ，． 由（1）可知，四边形是菱形， ，，． ， ， ， ． ，， ． ， ， ， ， ． ，， ， ， ． ，， ， ， ． 【变式7-1】如图，正方形中，，，分别是边，上的点，满足，连接，交于点，以、为边作，连接，是的中点，连接，则的最小值是__________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，设， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， 又∵点是的中点， ∴点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值， ∴的最小值为． 【变式7-2】综合与实践 在菱形中，，点M是菱形内一点，平分，作射线，连接，过点D作于点N，． (1)【初步探究】如图1，若，，则的度数为________；与的数量关系是________ (2)【类比探究】如图2，若，，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，将沿直线平移得到，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)不成立； 理由：∵在菱形中，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵平分， ， 又， ， ，， ∵． ∴， ， ， ∴在中，， ，， ∵， ，． (3)的长为或 【分析】 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ， ∵平分， ， 又， ， ，， ∴， ， ， 在中，，， ； （2）略 （3）解：如图，过点B作于点O， 则， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 解得， 由（2）可知，， ，， 分两种情况： ①如图，当点在线段上时， ， ∴由平移的性质可知，点与点N重合，则， 在中，； ②如图，当点在射线上时， ， ， 在中，． 综上所述，的长为或． 【变式7-3】如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发向终点运动，同时动点从点出发沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)若点的运动速度为个单位每秒，点的运动速度为个单位每秒，当时， ， ；（用含的式子表示） (2)在（1）条件下，当四边形是平行四边形时，求的值； (3)若点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位，当点在线段上时，直线把四边形分成两个四边形，且其中一个四边形为菱形，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：设当运动秒时，， ， ， ， 运动秒时点到达点， 当时，； （2）解：当时，点在上， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：； （3）解：当四边形为菱形时， 则有， 此时，， 可得：，， 解得：，， ； 当四边形是菱形时， 则有， 此时，， 如下图所示，过点作于点， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ， ， ， ， ，， 解得：，， ； 综上所述，当或时，直线把四边形分成两个四边形，且其中一个四边形为菱形． 易错点1：混淆多边形内角和、外角和计算公式 1．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（   ） A．五 B．六 C．七 D．八 【答案】B 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵ 任意多边形的外角和为，该多边形内角和是外角和的倍，且边形内角和为， ∴ 列方程得 解得 ， 因此这个多边形的边数是六． 2．若一个四边形的四个内角之比为1∶2∶3∶4，则这四个内角中最小内角的外角度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设四个内角的度数分别为、、、， ∵四边形内角和为， ∴，解得， ∴四个内角中最小内角的度数为， 又∵任意内角与它的相邻外角和为， ∴最小内角的外角度数为． 易错点2：多边形对角线条数公式记忆错误 3．一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（    ）条 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵一个多边形的内角和与外角和的和是，多边形的外角和等于， ∴， 解得， ∴以这个多边形的一个顶点为端点的对角线条数为（条）． 4．（1）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这个多边形是________边形． （2）从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于_______． 【答案】 十三 11 【分析】 【详解】（1）设这个多边形是边形， 根据边形从一个顶点出发最多可引条对角线，可得， 得， 即这个多边形是十三边形． （2）根据边形从一个顶点出发作对角线，可将多边形分成个三角形， 可得， 得， 即等于11． 易错点3：平行四边形判定定理运用不当 5．如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形为平行四边形，不符合题意； B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形为平行四边形，不符合题意； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形为平行四边形，不符合题意； D、无法判断四边形为平行四边形，符合题意 6．如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵，且， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 易错点4：遗漏菱形多种面积计算方法 7．在菱形中，对角线，，则菱形的面积为______． 【答案】 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴． 8．如图所示，在中，于，于，且． (1)求证：为菱形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ∴， ， 是菱形； (2) 【分析】 【详解】（1）略； （2）解：在菱形中，， ∴，， 在中，， ∴，， ． 易错点5：三角形中位线定理应用出错 9．如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为(     ) A．4 B．3 C．2 D．不确定 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴． 10．已知直角三角形的两边长分别为，则这两边的中点之间的距离可能为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：∵ 题目未说明边长为和的两边是否均为直角边， ∴ 分两种情况计算： 根据三角形中位线定理，已知两边的中点连线长度等于第三边长的， 情况一：和均为直角边，由勾股定理得，第三边，即斜边，长为， ∴中点距离为； 情况二：边长为的边是斜边，边长为的边是直角边，由勾股定理得，第三边，即另一条直角边，长为， ∴中点距离为； 综上，两边中点距离为或. 易错点6：对梯形定义理解不透彻 11．一个高为的直角梯形面积是70，若该梯形的上底增加，它就变成一个矩形，则梯形的下底是__________． 【答案】17 【详解】设梯形的下底为， 因为上底增加后梯形变为矩形，矩形对边相等， 因此梯形上底为， 已知梯形的高，面积， ∴， 解得， 故梯形的下底是． 12．四边形为直角梯形，其中，腰，且P是的中点，，则四边形的面积的最小值是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点D作于点F， 设直角梯形的上底为、下底为， 是的中点，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 则， 解得， 梯形的面积为：， 由于， 则， 即四边形的面积的最小值是4． 易错点7：忽略等腰梯形重要性质 13．唐代数学家王孝通所撰《缉古算经》记载了古人“筑龙尾堤”．堤截面为如图所示的等腰梯形，原文记“堤头上下广差六尺”（古算称梯形上下边为“上广”“下广”），即该堤截面的“上广”比“下广”多6尺．已知该堤的深度为4尺，则该龙尾堤截面的一侧斜高（即等腰梯形腰长）为______尺． 【答案】5 【详解】如解图，过点作，垂足为， 根据题意可知，，， 在中，（尺）． 14．如图，梯形中，，，，，则______． 【答案】11 【分析】 【详解】解：作交于点E，则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $