专题01 平面直角坐标系（期末复习知识清单，8个考点梳理+14题型解读）八年级数学下学期新教材冀教版

专题01 平面直角坐标系 （8个考点梳理+14题型解读） 清单01 点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 清单02 坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 清单03 坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 清单04 关于x轴、y轴对称的点坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 清单05 坐标与图形变化—对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 清单06 坐标与图形变化—平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 清单07 关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 清单08 坐标与图形变化—旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 【考点题型一】用有序数对表示位置（） 【例1】（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”，若用有序数对表示第m排从左到右第n个数，如表示正整数2，表示正整数3，则表示的正整数是（    ） A．7 B．21 C．23 D．35 【变式1-1】（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）小明用如图所示的密码表玩听声音猜单词的游戏，如“咚－咚”表示，即O，“咚－咚咚”表示，即W．当听到“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”时，表示的单词是 ． 【变式1-2】（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（________，________）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程； (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P，请在图中标出点P的位置． 【考点题型二】写出直角坐标系中点的坐标（） 【例2】（24-25八年级下·河北保定·期中）淇淇在水平地面上画了一个平面直角坐标系，他站在如图所示的位置，他要沿与y轴平行的方向往前走，则他不可能经过点（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）盲道方便了盲人的通行，一般由带有凸起的方形地砖铺设而成（图1），在部分盲道建立如图2所示的平面直角坐标系．已知每个正方形的边长都为相同的整数个单位长度，则点的坐标为 ． 【变式2-2】（24-25八年级下·河北廊坊·期中）某历史文化街区中有4处历史建筑，为了更好地开展历史建筑的系统保护工作，工作人员利用坐标确定了位置，并且定期巡视． (1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得建筑，的位置分别表示为，，并直接写出点和点的坐标． (2)在（1）中建立的平面直角坐标系中，将四边形先向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到四边形，画出四边形，并写出点的坐标． 【考点题型三】求点到坐标轴的距离（） 【例3】（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）点P在x轴上原点的左侧，且它到y轴的距离为4，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级下·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定于：若点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为． ①在点中，为点的“等距点”的是 ； ②若点的坐标且两点为“等距点”，则点的坐标 ； 【变式3-2】（24-25八年级下·河北沧州·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 【考点题型四】判断点所在的象限（） 【例4】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，与点在同一象限的点为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）若，，则点在第 象限． 【变式4-2】（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)当点P在x轴上时，求点P的坐标； (2)若点P在过点且与y轴平行的直线上时． ①求点P的坐标； ②点P到x轴的距离为______； (3)已知点P的横坐标比纵坐标大4，请通过计算判断点P所在的象限． 【考点题型五】已知点所在的象限求参数（） 【例5】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（22-23八年级下·河北秦皇岛·期末）若在x轴上，则m的值是 ． 【变式5-2】（24-25八年级下·河北邢台·期中）已如点，根据下列条件分别求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的纵坐标比横坐标大； (3)点在象限的角平分线上． 【考点题型六】实际问题中用坐标表示位置（） 【例6】（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用表示，“帅”所在的位置用表示，则“車”所在的位置可以表示为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是 ． 【变式6-2】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）某旅游村把游客中心，稻田酒店，东邻西舍，桃花岛，房车营地5个景点分别用点A，B，C，D，E来表示，为引导游客观光，在正方形网格中建立平面直角坐标系后，点A，B的位置可以用和来表示． (1)按要求在正方形网格中画出坐标系的轴，轴和原点的位置，并直接写出点的坐标； (2)已知点D，E的坐标分别为； ①在坐标系中画出点D，E的位置； ②直线与的位置关系为______，线段可以看作线段向右平移______个单位长度得到的． 【考点题型七】坐标系中的动点问题（不含函数）（） 【例7】（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）在平面直角坐标系中，有，，三点，P为直线上的一点．当点A恰好落在y轴上，且点P与点C的距离最小时，点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两个点之间的距离的最小值称为点，，的“近距”，如：点，，的“近距”是． (1)已知点，，． ①若点，，的“近距”是，则的值为 _； ②点，，的“近距”的最大值为_； (2)已知点，，点为线段上一动点，当点，，的“近距”最大时，求此时点的坐标． 【考点题型八】求点沿x轴、y轴平移后的坐标（） 【例8】（八年级下·河北唐山·期中）在直角坐标系中，将点沿轴向左平移4个单位，再沿轴向上平移4个单位，所得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24·河北保定·期中）在平面直角坐标系中点A的坐标为． (1)若点A在x轴上，求点A的坐标； (2)若点A在过点B且与x轴平行的直线上，求点A的坐标； (3)若将点A沿与x轴平行的直线上运动，平移2个单位后得到的点A恰好落在y轴上，求x的值． 【考点题型九】由平移方式确定点的坐标（） 【例9】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正三角形的顶点B的坐标为，点A在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标为3，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）平面直角坐标系中一个点的坐标是先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，它的坐标是 ． 【变式9-2】（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． (1)在平面直角坐标系中画出，并求的面积； (2)如果将向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到．画出，并写出的，，坐标； (3)若点、的位置不变，当点在轴上时，且，求点的坐标． 【考点题型十】已知点平移前后的坐标，判断平移方式（） 【例10】（24-25八年级下·河北邢台·期中）【教材变式】下面是点的平移过程：将平面直角坐标系中的点向右平移个单位长度，再向平移2个单位长度到点的位置，但是部分内容缺失，则以下补充正确的是（    ） A．表示3，表示上 B．表示，表示上 C．表示3，表示下 D．表示，表示下 【变式10-1】（八年级下·河北石家庄·阶段练习）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)在图中画出关于轴对称的，并直接写出点的对应点的坐标； (2)若平移后得，点A的对应点的坐标为． 点的对应点的坐标为___________； 在图中画出． 【考点题型十一】已知图形的平移，求点的坐标（） 【例11】（八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且AC=2．将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为(  )    A． B． C． D． 【变式11-1】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出关于轴对称的； (2)画出向下平移个单位长度得到的； (3)在的内部有一点，其坐标为，请直接写出点经过以上变换后的对应点的坐标． 【考点题型十二】坐标与图形变化——轴对称（） 【例12】【变式11-2】（24-25八年级·河北廊坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点…按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25八年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将先关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，……，则按照这样的规律继续对称下去，第2025次对称后，点的坐标为 ． 【变式12-2】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，规定在网格内（包括边界）横、纵坐标都是整数的点称为格点，已知的三个顶点都是格点． (1)的顶点坐标分别是A______，B______，C______； (2)与关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是，则______； (3)点D是格点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D坐标为______． 【考点题型十三】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标（） 【例13】（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点顺时针旋转90°至，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)与关于原点对称，画出； (2)是绕点顺时针旋转得到的，写出、、的坐标． 【考点题型十四】求关于原点对称的点的坐标（） 【例14】（24-25八年级下·河北沧州·期中）点关于原点的对称点是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点处开始依次关于点作循环对称跳动，即第一次跳到点P关于点A的对称点M处，接着跳到点M关于点B的对称点N处，第三次再跳到点N关于点C的对称点处，…，如此下去． （1）点M、N的坐标分别是 、 ； （2）经过第2022次跳动之后，棋子所在位置的坐标 ． 【变式14-2】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)分别写出以下顶点的坐标：A______；B______；C______； (2)顶点A关于x轴的对称点坐标______，顶点C关于原点的对称点坐标______； (3)作与关于y轴成轴对称的. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面直角坐标系 （8个考点梳理+14题型解读） 清单01 点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 清单02 坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 清单03 坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 清单04 关于x轴、y轴对称的点坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 清单05 坐标与图形变化—对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 清单06 坐标与图形变化—平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 清单07 关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 清单08 坐标与图形变化—旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 【考点题型一】用有序数对表示位置（） 【例1】（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”，若用有序数对表示第m排从左到右第n个数，如表示正整数2，表示正整数3，则表示的正整数是（    ） A．7 B．21 C．23 D．35 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、用有序数对表示位置 【分析】本题主要考查了有序实数对确定位置，根据数列的排列规律得出第7、8行的数字，再依据题干规定的有序数对的定义得出答案，熟练掌握其变化规律是解决此题的关键． 【详解】解：由题意知，第7行的数字为1、6、15、20、15、6、1， 第8行的数字为1、7、21、35、35、21、7、1， ∴表示的正整数是35， 故选：D． 【变式1-1】（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）小明用如图所示的密码表玩听声音猜单词的游戏，如“咚－咚”表示，即O，“咚－咚咚”表示，即W．当听到“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”时，表示的单词是 ． 【答案】CAT 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了坐标与规律．横坐标表示表格下方的数字；纵坐标表示表格左方的数字；据此求解即可． 【详解】解：根据题意，“咚咚－咚”表示，即C； “咚咚咚－咚咚”表示，即A； “咚－咚咚咚”表示，即T； 故答案为：CAT． 【变式1-2】（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（________，________）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程； (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P，请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)， (2)10 (3)见解析 【知识点】用有序数对表示位置、用有序数对表示路线 【分析】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键. （1）B到D向右走3个格，向下走2个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据题意，画出路线图即可. 【详解】（1）解：根据题意，B到D的路线为， 故答案为：，， （2）解：，， 甲虫爬行的路程为； （3）解：点P如图所示． 【考点题型二】写出直角坐标系中点的坐标（） 【例2】（24-25八年级下·河北保定·期中）淇淇在水平地面上画了一个平面直角坐标系，他站在如图所示的位置，他要沿与y轴平行的方向往前走，则他不可能经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标，根据淇淇站在第二象限，横坐标为负值，结合他要沿与y轴平行的方向往前走，则他的横坐标仍为负数，即可作答． 【详解】解：观察平面直角坐标系，得淇淇站在第二象限，横坐标为负值， ∵他要沿与y轴平行的方向往前走， ∴他的横坐标仍为负数， 观察四个选项的点的坐标，他不可能经过点， 故选：D 【变式2-1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）盲道方便了盲人的通行，一般由带有凸起的方形地砖铺设而成（图1），在部分盲道建立如图2所示的平面直角坐标系．已知每个正方形的边长都为相同的整数个单位长度，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形，一元一次不等式组的实际应用，设正方形的边长为个单位长度，由图可得：，求出不等式组的整数解即可． 【详解】解：设正方形的边长为个单位长度． 由图可知，，解得． 为整数， ， 则点的横坐标为，纵坐标为， 即点． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级下·河北廊坊·期中）某历史文化街区中有4处历史建筑，为了更好地开展历史建筑的系统保护工作，工作人员利用坐标确定了位置，并且定期巡视． (1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得建筑，的位置分别表示为，，并直接写出点和点的坐标． (2)在（1）中建立的平面直角坐标系中，将四边形先向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到四边形，画出四边形，并写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)见详解； 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图) 【分析】此题考查了平面直角坐标系、平移作图，建立正确的平面直角坐标系是解题的关键． （1）按照要求建立平面直角坐标系即可； （2）按照平移的性质，作点A，B，C，D的对应点，然后依次连接即可得到四边形，然后根据点的位置写出坐标． 【详解】（1）建立平面直角坐标系如图所示． 点，点； （2）四边形如上图所示 点的坐标为． 【考点题型三】求点到坐标轴的距离（） 【例3】（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）点P在x轴上原点的左侧，且它到y轴的距离为4，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的坐标特征是解题的关键． 根据点P在x轴原点的左侧，可得纵坐标为0，由点P到y轴的距离为4，可得纵坐标为，即可解答． 【详解】解：∵P在x轴上原点的左侧， ∴点P的纵坐标是0， ∵点P到y轴的距离为4， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为， 故选：C． 【变式3-1】（24-25八年级下·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定于：若点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为． ①在点中，为点的“等距点”的是 ； ②若点的坐标且两点为“等距点”，则点的坐标 ； 【答案】 E， 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力． ①找到x、y轴距离最大为3的点即可；②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可. 【详解】解：①点到x、y轴的距离中最大值为3， 与A点是“等距点”的点是E、F． ②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有， 这些点中与A符合“等距点”的是． 故答案为①E、F；②； 【变式3-2】（24-25八年级下·河北沧州·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数、坐标与图形综合 【分析】（1）根据题意得：点在轴上，得到，解出的值，由此得到答案． （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，，故，解出的值，由此得到答案． 本题考查了坐标与图形，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得： ∵点在轴上， ， 解得：， 则， 点的坐标为：； （2）解：直线轴， 直线上所有点的纵坐标都相等， ， 解得：， 则， 即点的坐标为； （3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，， ， 即， 解得： 【考点题型四】判断点所在的象限（） 【例4】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，与点在同一象限的点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题主要考查的是各象限内点的坐标特点，各象限内点的坐标特点：第一象限点的坐标为，第二象限点的坐标为，第三象限点的坐标为，第四象限点的坐标为，据此回答即可．坐标轴上点的坐标特点：点在x轴上，，点在y轴上，． 【详解】解：在第四象限， ．在第二象限，故该选项不符合题意； ．在y轴上，故该选项不符合题意； ．在第四象限，故该选项符合题意； ．在第二象限，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式4-1】（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）若，，则点在第 象限． 【答案】二 【知识点】不等式的性质、判断点所在的象限 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点．牢记四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限，本题根据这些进行解答即可解决. 【详解】解：∵，， ∴，， ∴点在第二象限， 故答案为：二 【变式4-2】（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)当点P在x轴上时，求点P的坐标； (2)若点P在过点且与y轴平行的直线上时． ①求点P的坐标； ②点P到x轴的距离为______； (3)已知点P的横坐标比纵坐标大4，请通过计算判断点P所在的象限． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)①点P的坐标为；②12 (3)点P在第四象限 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，点到坐标轴的距离，掌握相关知识并熟练使用，同时注意在解题过程中需注意的相关事项是解题的关键． （1）因为点在轴上，所以纵坐标为，解得值并代入横坐标的代数式中即可得到答案； （2）因为点在过点且与轴平行的直线上，所以、两点的横坐标相同，令点横坐标为，解得的值并代入纵坐标的代数式中即可； （3）根据题意列出方程，即可得到答案． 【详解】（1）解： 点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标为； （2）①∵点P在过点且与y轴平行的直线上， ∴点P的横坐标为， ∴，解得， ∴， ∴点P的坐标为； ②由点P的坐标知，点P到x轴的距离为12， 故答案为：12； （3）由题意得， 解得， ,， 点的坐标为， 点在第四象限． 【考点题型五】已知点所在的象限求参数（） 【例5】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了轴上的点的坐标特征，理解“轴上的点的坐标特点是纵坐标为0”是解题的关键．根据轴上的点的坐标特点纵坐标为0，即求得的值，进而求得点的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得， ， 故选：A． 【变式5-1】（22-23八年级下·河北秦皇岛·期末）若在x轴上，则m的值是 ． 【答案】2 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0，列式计算即可． 【详解】解：∵在x轴上， ∴， ∴； 故答案为：2． 【点睛】本题考查求坐标轴上点的坐标．熟练掌握x轴上的点的纵坐标为0，是解题的关键． 【变式5-2】（24-25八年级下·河北邢台·期中）已如点，根据下列条件分别求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的纵坐标比横坐标大； (3)点在象限的角平分线上． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】实数的混合运算、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查点的坐标，实数的混合运算，熟练掌握特殊点的特征，是解题的关键： （1）根据轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可； （3）根据第一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， 点的纵坐标为0，即，解得， ， 点的坐标为； （2）解：∵点的纵坐标比横坐标大， ，解得， ，， 点的坐标为． （3）解：当点在第一、三象限的角平分线上， 点的横坐标与纵坐标相同， ，解得， ，， 点的坐标为． 当点在第二、四象限的角平分线上， 点的横坐标与纵坐标互为相反数， ，解得 ，， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【考点题型六】实际问题中用坐标表示位置（） 【例6】（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用表示，“帅”所在的位置用表示，则“車”所在的位置可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了根据位置确定坐标，解题关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系． 根据已知点的坐标建立平面直角坐标系，观察坐标系可得答案． 【详解】如图所示，“車”所在的位置可以表示为， 故选：C． 【变式6-1】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是 ． 【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应．根据白棋①的坐标画出直角坐标系，然后写出黑棋②的坐标． 【详解】解：如图， 黑棋②的坐标为． 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）某旅游村把游客中心，稻田酒店，东邻西舍，桃花岛，房车营地5个景点分别用点A，B，C，D，E来表示，为引导游客观光，在正方形网格中建立平面直角坐标系后，点A，B的位置可以用和来表示． (1)按要求在正方形网格中画出坐标系的轴，轴和原点的位置，并直接写出点的坐标； (2)已知点D，E的坐标分别为； ①在坐标系中画出点D，E的位置； ②直线与的位置关系为______，线段可以看作线段向右平移______个单位长度得到的． 【答案】(1)见详解； (2)①见详解；②，2 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平面直角坐标系在实际问题中的应用，正确的建立坐标系是解题关键． （1）根据平面直角坐标系即可求解；根据，即可求解； （2）①在直角坐标系中画出点D，E，②连接，即可判断； 【详解】（1）解：坐标系的轴，轴和原点的位置如图所示： 由图可知：景观C的坐标为 （2）解：D，E的位置如下图： 由图可知：直线与的位置关系为：． 线段可以看作线段向右平移2个单位长度得到的． 【考点题型七】坐标系中的动点问题（不含函数）（） 【例7】（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）在平面直角坐标系中，有，，三点，P为直线上的一点．当点A恰好落在y轴上，且点P与点C的距离最小时，点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特征，垂线段最短等知识点．先根据点A在y轴上求出m，从而可得，，，结合数轴可知当轴时，长度最小，求出点P的坐标即可． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， 解得， ∴，，， 如图所示，∵点P是直线上的动点， ∴当轴时，长度最小， ∴点P的坐标是． 故选：B． 【变式7-1】（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两个点之间的距离的最小值称为点，，的“近距”，如：点，，的“近距”是． (1)已知点，，． ①若点，，的“近距”是，则的值为 _； ②点，，的“近距”的最大值为_； (2)已知点，，点为线段上一动点，当点，，的“近距”最大时，求此时点的坐标． 【答案】(1)①或；② (2) 【知识点】数轴上两点之间的距离、求一元一次不等式的解集、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】（1）①根据坐标的特点．判定轴，轴，根据斜边大于直角边，判定，，，，列出等式计算即可．②根据坐标的特点．判定轴，轴，根据斜边大于直角边，判定，，，，再讨论即可得解． （2）法一：过点作交于于，根据，求出 ，当时，，重合，则近距为；当时，则，．得出此时近距为．当点与点重合时，即时，近距最大值为； 当时，则，即，推出此时近距的最大值小于．即可得出． 法二：连接，根据得出 ，根据题意得出，则，，然后进行分类讨论：①当时，②当时，即可解答． 【详解】（1）解：①，，， 轴，轴，，， 斜边大于直角边， ，， 点，，的“近距”是， ， 或， 解得或， 故答案为：或． ②，，， 轴，轴，，， 斜边大于直角边， ，， 当点，，的“近距”为时，点，，的“近距”为，且， 当点，，的“近距”为时，点，，的“近距”为，且， 综上：点，，的“近距”的最大值为． 故答案为：． （2）解：法一：过点作交于于， ， ， ， ， 当时，，重合，则近距为； 当时，则，． ，此时近距为． 当点与点重合时，即时，近距最大值为； 当时，则，即， ①若，则近距为； ②若，则近距为； ③若，则近距为； 此时近距的最大值小于． 综上：近距最大值为，此时． 法二：连接， ， ， ， ， ， 点为线段上一动点， ， ，， ①当时，， 若时，近距为， 则，得， ， 此时不合题意舍去； 若时，近距为， 则，得， 又， ， 此时近距的最大值为， ②当时，， 若时，近距为， 则，得， 又， ， ， 则近距的最大值为； 若时，近距为， ，得， 又， ， ， 则近距小于， 当时，近距的最大值为， 综上：近距的最大值为，此时，，即． 【点睛】本题考查的知识点是新定义，数轴上两点之间的距离，直角三角形的性质，平面直角坐标系，解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握题目所给新定义． 【考点题型八】求点沿x轴、y轴平移后的坐标（） 【例8】（八年级下·河北唐山·期中）在直角坐标系中，将点沿轴向左平移4个单位，再沿轴向上平移4个单位，所得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意：将点向左平移即沿轴的负方向4个单位，再向上平移即沿轴正方向4个单位，得到点的坐标是即为． 【变式8-1】（23-24·河北保定·期中）在平面直角坐标系中点A的坐标为． (1)若点A在x轴上，求点A的坐标； (2)若点A在过点B且与x轴平行的直线上，求点A的坐标； (3)若将点A沿与x轴平行的直线上运动，平移2个单位后得到的点A恰好落在y轴上，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题主要考查了点的坐标特征以及点的平移等知识． （1）根据点A在x轴上，则点A的纵坐标为0，进而可求出x的值以及点A的坐标． （2）点A在过点B且与x轴平行的直线上，则点A的纵坐标为，进而可求出x的值以及点A的坐标． （3）根据平移得特点，分两种情况当点A在x轴负半轴时以及当点A在x轴正半轴时，分别解出x即可． 【详解】（1）解：∵若点A在x轴上， ∴， 解得：， ∴， 故． （2）∵点A在过点B且与x轴平行的直线上， ∴， 解得：， ∴， 故． （3）当点A在x轴负半轴时，， 解得：． 当点A在x轴正半轴时，， 解得：． 故x的值为：或． 【考点题型九】由平移方式确定点的坐标（） 【例9】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正三角形的顶点B的坐标为，点A在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标为3，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标与图形、含30度角的直角三角形、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到平移规律是解题关键.作轴，根据等边三角形的性质得出，，利用含角的直角三角形的性质求出，即可求出的长，进而可得A点坐标，通过平移可得点的坐标，由一对对应点A与的移动规律即可求出点的坐标. 【详解】如图，作轴于点M， ∵等边的顶点B坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得时，， ∴， ∴将A点向右平移个单位，再向上平移个单位后得到点， ∴将向右平移个单位，再向上平移个单位后可得到点， ∴点的坐标为， 故选C 【变式9-1】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）平面直角坐标系中一个点的坐标是先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，它的坐标是 ． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 根据平移的性质，向左平移横坐标减去平移长度，向下平移纵坐标减去平移长度，然进行求点的坐标即可． 【详解】解：根据平移的性质可得，点先向左平移2个单位坐标为，再向下平移3个单位坐标为， 故答案为：． 【变式9-2】（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． (1)在平面直角坐标系中画出，并求的面积； (2)如果将向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到．画出，并写出的，，坐标； (3)若点、的位置不变，当点在轴上时，且，求点的坐标． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析；，，； (3)或； 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了坐标系中的平移变换，掌握坐标的平移规律是解题的关键. （1）根据题意描点连线即可画出，由图形可知，把作为底，点B到的距离为高即可求出三角形的面积； （2）根据平移规律画出图形，写出点的坐标即可； （3）根据点P到的距离与是点B到的距离的两倍列方程并解方程即可； 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：如图所示，，，； （3）解：设点的坐标为，由得到，， 解得：或， ∴点的坐标为或. 【考点题型十】已知点平移前后的坐标，判断平移方式（） 【例10】（24-25八年级下·河北邢台·期中）【教材变式】下面是点的平移过程：将平面直角坐标系中的点向右平移个单位长度，再向平移2个单位长度到点的位置，但是部分内容缺失，则以下补充正确的是（    ） A．表示3，表示上 B．表示，表示上 C．表示3，表示下 D．表示，表示下 【答案】C 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查了点的平移与坐标变换，熟记坐标平移变化规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 由题意得，，，再结合坐标平移变化规律，根据题意写出答案即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度到点的位置， ∴表示3，表示下， 故选：C． 【变式10-1】（八年级下·河北石家庄·阶段练习）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)在图中画出关于轴对称的，并直接写出点的对应点的坐标； (2)若平移后得，点A的对应点的坐标为． 点的对应点的坐标为___________； 在图中画出． 【答案】(1)见解析， (2)①，②见解析 【知识点】平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）先作出顶点A、B、C关于y轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）①根据点A的对应点确定平移方式，然后求出点的坐标即可； ②先作出顶点A、B、C平移后的对应点、、，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，作出顶点A、B、C关于y轴的对称点、、，顺次连接，则为所作，点的坐标为． （2）解：①∵点A的对应点的坐标为， ∴向左平移4个单位，向下平移6个单位，得到， ∴点的坐标为； 故答案为：． ②如图，作出点A、B、C平移后的对应点、、，顺次连接，则为所作． 【点睛】本题考查了作图轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点，也考查了平移变换． 【考点题型十一】已知图形的平移，求点的坐标（） 【例11】（八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且AC=2．将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为(  )    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A的对应点坐标，根据平移的性质解答即可． 【详解】解：∵点C的坐标是(1,0)，点A在x轴正半轴上，且AC=2， ∴点A的坐标为(3,0)， 如图所示，将Rt△ABC先绕点C逆时针旋转90°， 则点A´的坐标为(1,2)， 再向左平移3个单位长度，则变换后点A´的对应点坐标为(-2,2)． 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变换——旋转与平移．掌握旋转变换，平移变换的性质是解题的关键． 【变式11-1】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出关于轴对称的； (2)画出向下平移个单位长度得到的； (3)在的内部有一点，其坐标为，请直接写出点经过以上变换后的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】平移(作图)、已知图形的平移，求点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查的是画轴对称图，平移作图，坐标与图形． （1）根据关于轴对称的两点的坐标特征分别找出点、、关于轴对称的对应点，顺次连接即可； （2）分别找出点、、向下平移后的对应点，顺次连接即可； （3）先得出点关于轴对称的对应点坐标，再根据“左减右加，上加下减”的平移规律得出的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： （3）解：点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为， 点向下平移个单位长度的点的坐标为． 【变式11-2】（24-25八年级·河北廊坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点…按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化对称、点的坐标变化规律及关于坐标轴对称的点的坐标，根据题意，依次求出点，，，，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意得出从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环是解题的关键． 【详解】解：如图， 因为点的坐标为， 所以点关于直线对称的点的坐标为， 依次类推，点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环，即6个一循环， 因为， 所以点的坐标为． 故选：D． 【考点题型十二】坐标与图形变化——轴对称（） 【例12】（24-25八年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将先关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，……，则按照这样的规律继续对称下去，第2025次对称后，点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查关于轴、轴对称的点的坐标，先求出点的坐标，再求出，，，，，，进而得出答案，找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵点，点在第一象限内，，， ∴点的坐标为， ∵将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，， ∴，，，，，， ∵， ∴的坐标与的坐标一样， ∴的坐标为， 故答案为：． 【变式12-1】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，规定在网格内（包括边界）横、纵坐标都是整数的点称为格点，已知的三个顶点都是格点． (1)的顶点坐标分别是A______，B______，C______； (2)与关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是，则______； (3)点D是格点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D坐标为______． 【答案】(1)；； (2) (3)或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标、作图—轴对称变换、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据图形写出坐标即可得解； （2）根据轴对称的性质作出，再写出的坐标即可得解； （3）根据轴对称的性质画出图形，结合图形即可得解． 【详解】（1）解：由图可得：，，； （2）解：如图：即为所作， 由图可得：； （3）解：如图，点、即为所求， 所有符合条件的点D坐标为或． 【考点题型十三】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标（） 【例13】（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点顺时针旋转90°至，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，求平面直角坐标系内点的坐标， 先作轴，轴，根据题意可知，可得，再证明，可得，即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 过点A，B作轴，轴，交x轴于点D，E， ∵点， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点． 故选：A． 【变式13-1】（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)与关于原点对称，画出； (2)是绕点顺时针旋转得到的，写出、、的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)；； 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查了原点对称作图及旋转作图，熟悉掌握作图方法是解题的关键． （1）根据原点对称的定义，直接作图即可； （2）根据旋转的性质作出图形，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示即为所求： （2）解：根据题意作图可得： ∴由图可得：，，． 【考点题型十四】求关于原点对称的点的坐标（） 【例14】（24-25八年级下·河北沧州·期中）点关于原点的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特征， 根据关于原点对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，解答即可． 【详解】解：点关于原点对称点是． 故选：A． 【变式14-1】（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点处开始依次关于点作循环对称跳动，即第一次跳到点P关于点A的对称点M处，接着跳到点M关于点B的对称点N处，第三次再跳到点N关于点C的对称点处，…，如此下去． （1）点M、N的坐标分别是 、 ； （2）经过第2022次跳动之后，棋子所在位置的坐标 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、求关于原点对称的点的坐标 【分析】（1）点M与点关于点对称，那么点A为的中点，据此求出M的坐标，同理求出点N的坐标； （2）根据题意可以发现从第一次跳动开始，每3次跳到后回到起始为止，据此规律求解即可． 【详解】解：（1）∵点M与点关于点对称， ∴点M的坐标为， ∵点N与点关于点对称， ∴点N的坐标为， 故答案为：， （2）∵点关于点对称的点的坐标为， ∴从第一次跳动开始，每3次跳到后回到起始位置， ∵， ∴第2022次跳动之后所在位置的坐标与第3次跳动之后所在位置的坐标相同，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，坐标与图形变化——中心对称，正确理解题意找到规律是解题的关键． 【变式14-2】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)分别写出以下顶点的坐标：A______；B______；C______； (2)顶点A关于x轴的对称点坐标______，顶点C关于原点的对称点坐标______； (3)作与关于y轴成轴对称的． 【答案】(1)，， (2)， (3)见解析 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查了写出坐标系中点的坐标，关于x轴对称，关于原点对称的点，画轴对称图形等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三个点在坐标系中的位置写出其坐标即可； （2）根据关于x轴对称和关于原点对称的点的坐标特征求解即可； （3）根据关于y轴对称的点的坐标特征分别找到A、B、C的对应点，然后顺次连接三个对应点即可． 【详解】（1）解：根据题意得：点A，B，C的坐标分别为，，； 故答案为：，，； （2）解：∵点A，C的坐标分别为，； ∴点A关于x轴的对称点坐标，顶点C关于原点的对称点坐标； 故答案为：， （3）解：如图，即为所求． 3 / 3 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