专题02 统计与概率（期末复习讲义）高二数学下学期人教B版

专题02 统计与概率（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 计算条件概率 题型二 条件概率性质的计算 题型三 利用全概率公式求概率 题型四 利用贝叶斯公式求概率 题型五 独立事件的乘法公式 题型六 由随机变量的分布列求概率 题型七 求二项分布分布列及期望与方差 题型八 服从二项分布的随机变量概率最大问题 题型九 求超几何分布分布列及期望与方差 题型十 均值方差在决策中的应用 题型十一 利用正态分布3σ原则求概率 题型十二 正态分布与直方图的结合 题型十三 相关系数的计算及意义 题型十四 线性回归方程 题型十五 相关指数、残差的计算及意义 题型十六 非线性回归方程 题型十七 独立性检验 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 条件概率与事件独立性 能准确辨析条件概率的适用情境，熟练运用定义公式、缩小样本空间法求解条件概率，正确判断事件独立性并完成综合概率计算。 选择填空高频考点，常结合摸球、抽样、工序等情境命题，易错点为条件概率分母选错、独立与互斥概念混淆。 全概率公式与贝叶斯公式 能合理划分互斥事件构成完备事件组，规范使用全概率公式求解总概率，熟练运用贝叶斯公式完成逆概率推理与计算。 中档解答题必考，命题贴近实际决策场景，易错点为事件划分不清晰、公式结构记混。 离散型随机变量分布列及性质 能完整列举随机变量所有可能取值，准确计算各取值对应概率，规范列出分布列，并利用概率和为1的性质进行检验。 解答题第一问必考，是整道概率题的得分基础，易错点为概率计算遗漏、分布列性质未验证。 两点分布、二项分布、超几何分布 能快速识别放回与不放回抽样情境，准确区分二项分布与超几何分布模型，熟练套用公式计算对应概率。 小题、大题全覆盖，命题强调模型识别，易错点为二项分布与超几何分布混用、参数定位错误。 离散型随机变量的均值与方差 能依据分布列规范计算数学期望与方差，熟练运用线性变换性质快速求解，掌握特殊分布的期望方差公式直接应用。 概率大题核心设问，常与分布列、实际决策结合，易错点为方差公式记错、展开计算粗心失误。 正态分布 能理解正态曲线的对称性、峰值与平移特征，熟练运用对称轴与3σ原则计算特殊区间概率，完成简单实际应用。 选择填空必考基础点，题型固定、难度低，易错点为对称轴判断错误、对称区域不会转化。 线性回归方程 能根据样本数据计算回归系数，正确写出线性回归方程，利用样本中心点必在回归直线上解题，会判断线性相关强弱与拟合效果。 选择、填空、解答均会出现，常结合图表信息命题，易错点为公式计算错误、忽略样本中心性质。 独立性检验 能根据题意正确填写2×2列联表，准确计算卡方统计量，依据临界值做出独立性判断并规范表述结论。 解答题固定考点，属于简单必得分内容，易错点为卡方公式计算错误、结论表述不规范 知识点01 条件概率与事件的独立性 1．条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则 ·示例： 袋中3红2白，不放回取2次，已知第一次取红，求第二次取红概率。 缩小样本空间：剩2红2白，。 2．全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 3．贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 4．相互独立 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立． 如果与相互独立,则与，与，与也相互独立． 知识点02 随机变量及其分布列 1．随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列． X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1） (i＝1，2，…，n)；（2）． 知识点03 三大分布 1．两点分布的分布列 若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率． 2．二项分布 定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率． 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ·示例： 投篮5次，命中率0.6，命中数。 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 3．超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 4．二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 知识点04 随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： ·示例： 已知随机变量的分布列为： 1 2 3 0.2 0.5 0.3 求：、。 解： 2．均值与方差的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 则 3．特殊分布的均值与方差 （1）两点分布 若,则; （2）二项分布 若,则; （3）超几何分布 若离散型随机变量x服从超几何分布，则有若，则 ·示例： 已知随机变量，求与。 解：由二项分布公式： 知识点05 正态分布 1．正态分布 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 2．正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 3．三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ①；； ． ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0．0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 ·易错： ①把当成；②不会用对称性求概率。 知识点06 线性回归方程 1．变量的相关关系 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度 正相关与负相关 如果从整体上看， 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，则称这两个变量正相关； 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关 线性相关 如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关 非线性相关 如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关 2．样本相关系数 ①样本相关系数r的计算公式：． ②样本相关系数r的性质： 当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关 |r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于0，表明两个变量的线性相关性越弱． 通常|r|大于0．75时，认为两个变量有很强的线性相关关系 3．一元线性回归模型 ①最小二乘法：即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小． 若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程中，． 其中，称为样本点的中心． ②线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量 4．判断回归模型的拟合效果 方法 决定系数法 残差图 残差平方和 公式 称为相应于点的残差， 刻画效果 越接近于1，表示回归的效果越好 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高． 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 5．建立非线性回归模型的基本步骤： ①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； ②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）； ③由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）； ④通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型； ⑤按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； ⑥消去新元，得到非线性回归方程； ⑦得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等． 常见的非线性回归方程的转化： 曲线方程 变换公式 变换后的线性关系式 知识点07 独立性检验 1．2×2列联表 设X，Y为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下： 总计 a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d 2．独立性检验 ①利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验； ②基于小概率值的检验规则： 当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立 题型一 计算条件概率 解｜题｜技｜巧 方法一：利用定义计算条件概率的步骤：(1)分别计算概率和． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 方法二：利用缩小样本空间法求条件概率的方法（1）缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB；（2）数：数出A中事件AB所包含的基本事件；（3）算：利用求得结果 例1．甲、乙两名网球选手进行网球比赛，比赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束.甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率是，每局比赛结果相互独立，记事件A为四局结束比赛，则___________；又记事件B为甲获得比赛胜利，则__________. 【答案】 【详解】四局比赛结束共有两种情况，甲获胜或乙获胜，所以， 比赛进行四局且甲获胜的概率，∴. 变式1-1．在一个不透明的口袋中装有大小､形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，经过5次摸球停止摸球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设A事件为“经过3次摸球没有能停止摸球”， B事件为“经过5次摸球停止摸球”. 则 选择前4次涉及的2个编号：从3个中选2个，共种选法， 前4次摸球的情况数：这2个编号需至少各出现1次（否则前4次仅1个编号，无法满足“恰好2个编号”）， 因此前4次的情况数为（减去“全选第1个”和“全选第2个”的2种无效情况）， 第5次摸球：必须选第3个未被前4次摸到的编号，仅1种选法， 因此，事件B的情况数为，总摸球可能数为， 所以​，由题意， 所以. 变式1-2．某数学答题闯关游戏，共5道题，若答对2道题就结束游戏，否则一直答完5道题．甲同学每道题答对的概率都为，且各题是否答对互不影响．在答完4题就结束游戏的条件下，第2题答对的概率为_____． 【答案】 【详解】设事件为“答完4题就结束游戏”，事件为“第2题答对”， 则所求为条件概率 ， ， ， 所以. 变式1-3．2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记事件: 甲游览机场跑道无人机灯区，事件: 甲与乙不到同一赏灯区，则， 因为每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区，则先将4个人分为3组，再将这三组分配给三个赏灯区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若游览机场跑道无人机灯区有2人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的游览情况种数为， 若游览机场跑道无人机灯区只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个赏灯区， 此时，不同的游览情况种数为， 因此，， 由条件概率公式可得. 题型二 条件概率性质的计算 解｜题｜技｜巧 条件概率的性质：设，则（1）； （2）如果和是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则 例2．已知事件、满足．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由概率的乘法公式可得， 因为，即，故， 所以事件、相互独立，故事件、相互独立， 故， 因此. 变式2-1．已知，是随机事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，则， 又因，，且事件与事件互斥， 则，可得，从而. 故，解得. 变式2-2．（多选）已知随机事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A ：根据条件概率公式 ，得​，A正确； 对于B：根据概率加法公式 ，得：​，B正确； 对于C：​，C错误； 对于D： 根据对立事件概率，​， 因此 ​，D正确. 变式2-3．（多选）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 题型三 利用全概率公式求概率 解｜题｜技｜巧 某一事件的发生可能有各种的原因,如果是由原因所引起,则发生的概率是,每一原因都可能导致发生,故A发生的概率是各原因引起发生概率的总和 例3．甲同学准备去A、B两地游玩，去A地的概率为，去B地的概率为，在A地去爬山的概率为，在B地去爬山的概率为，则甲同学爬山的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件 ：甲同学去 A 地游玩，设事件 ：甲同学去 B 地游玩， 设事件 ：甲同学去爬山, 根据题意：，，，， 根据全概率公式得, 因此，甲同学爬山的概率为 . 变式3-1．某知识过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为__________ 【答案】 【详解】设小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件， 则， 而，，， 由全概率公式得： . 变式3-2．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品，若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为______. 【答案】 【详解】设从甲中取出的2个产品为一正品一次品为事件A，从甲中取出的2个产品为两正品为事件B， 从甲中取出的2个产品为两次品为事件C，从乙箱中任取一个产品是正品为事件D. 由题意得：，， ，， ，， 则由全概率公式得：. 变式3-3．某学校组织数学、物理学科答题竞赛活动，该学校准备了 个相同的箱子，其中第 个箱子中有 个数学题， 个物理题. 规则如下: 任选一个箱子， 依次抽取三个题目（每次取出不放回），若第三次抽取的题目恰为物理题的概率是 ，则 的值为_____. 【答案】50 【详解】设表示“选到第个箱子” ，则， 设表示“第三次抽取得题目恰为物理题”，则， 不放回抽样中，每次抽到物理题的概率与抽样顺序无关， 因此第个箱子中第三次抽到物理题的概率为： ，由全概率公式可得：， ， 即，求解可得：. 题型四 利用贝叶斯公式求概率 解｜题｜技｜巧 若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知,那么如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率. 例4．某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算： (1)求小李第2天选择书法社的概率． (2)求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件分别表示第1天选择书法社、围棋社、绘画社，事件表示第2天选择书法社. 由题意，两两互斥且构成完备事件组，且 由全概率公式： ∴小李第2天选择书法社的概率为. （2） ∴在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率为. 变式4-1．据统计，某校有高一、高二、高三共三个年级，喜欢打羽毛球的学生分别占各年级学生的，且这三个年级的学生数之比为，若从该校抽取一名喜欢打羽毛球的学生，则该学生是高二年级学生的概率为______. 【答案】 【详解】设高一、高二、高三的学生数分别为， 则所求概率为 变式4-2．某学校有两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．已知王同学第2天去餐厅用餐，则第1天去餐厅的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设 ：第1天去A餐厅，：第1天去B餐厅，：第2天去A餐厅， 由题意，第1天随机选餐厅， 因此 ； 由题意 ， ， ， 又 ， 因此： . 变式4-3．有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数的比为，任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”（），事件“零件为次品”.求： (1)的值； (2)求的值； (3)求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）已知，，. ，，. 由全概率公式：. （2）由题意直接得：. （3）由贝叶斯公式：. 题型五 独立事件的乘法公式 例5．某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进入决赛，他们获一等奖的概率分别为，，，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为________． 【答案】 【详解】设事件甲、乙、丙获奖分别为A，B，C，至少两位员工获奖有如下情况： 甲、乙获奖丙未获奖，甲、丙获奖乙未获奖，乙、丙获奖甲未获奖，甲、乙、丙三人均获奖， 则． 变式5-1．小王、小李玩闯关游戏，该游戏一共有5关，小王、小李每关闯关成功的概率均为，小王和小李闯关成功相互独立．若事件A为“在完成闯关游戏后，小王闯关成功的次数恰好比小李多3”，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设小王、小李闯关成功的次数分别为X，Y，则X，Y均服从二项分布． 由题意，得事件， 且事件，，互斥， X与Y相互独立． 因为， 所以． 变式5-2．甲抛掷质地均匀的硬币2次，乙抛掷质地均匀的硬币3次，则甲得到的正面向上的次数比乙得到的正面向上的次数少的概率是______． 【答案】/0.5 【详解】设事件表示甲抛掷后正面朝上次，， 事件表示乙抛掷后正面朝上次，， 所以，， 设事件表示甲得到的正面朝上的次数比乙得到的正面朝上的次数少， 所以. 变式5-3．某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道. (1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； (2)假设从第二关的20道灯谜中任选一道，甲猜对该题的事件与乙猜对该题的事件相互独立，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率. 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）设事件“任选2道灯谜，甲都猜对”，用1，2，3，4，5表示第一关的5道灯谜，其中1，2，3，4表示甲猜对的4道， 则样本空间为，， 所以，， 根据古典概型的计算公式， 得． （2）设事件“任选一道灯谜，甲猜对”，事件“任选一道灯谜，乙猜对”， 事件“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”， 根据题意可得， ，，，． 因为，且，互斥， 由已知相互独立，所以，相互独立，，也相互独立． 所以 ． 即甲、乙两人恰有一个人猜对的概率为． 题型六 由随机变量的分布列求概率 解｜题｜技｜巧 求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）理解的意义,写出可能取的全部值；（2）求取每个值的概率；（3）写出的分布列. 例6．某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为；乙车间第一、二道加工工序合格的概率分别为，．若对个来自甲车间，个来自乙车间的零件进行质检． (1)若从这个零件中随机抽取个零件，设其中来自甲车间的零件数为，求的分布列； (2)若从这个零件中随机抽取个，求该零件可以出厂销售的概率． 【答案】(1)X的分布列为: X 0 1 2 P (2) 【详解】（1）的所有可能取值为． ，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 P （2）用事件表示“抽取的零件来自甲车间”，用事件表示“抽取的零件来自乙车间”， 用事件表示“抽取的零件可以出厂销售”，则，， ，． . 变式6-1．将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排. (1)求2个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记为2个白球之间红球的个数，求的分布列. 【答案】(1)36 (2) 0 1 2 3 P 【详解】（1）先从中间的3个空位中选出2个空位排2个白球，再把3个红球全排放入剩下的3个空位，共（种）， 所以2个白球均不排在两端的所有排法种数为36. （2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3， 则 所以的分布列为 0 1 2 3 P 变式6-2．某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间（小时） 收费标准 免费 50元／人 100元／人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人健身的时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量，求的分布列. 【答案】(1) (2) 0 50 100 150 200 【分析】 【详解】（1）依题意，两人都付0元的概率； 两人都付50元的概率； 两人都付100元的概率， 则甲、乙两人所付的健身费用相同的概率为. （2）由题意知，的所有可能取值为0，50，100，150，200， ， 所以的分布列为 0 50 100 150 200 变式6-3．现有一口袋内有4个黑球，3个白球和2个灰球，这些球除颜色外完全相同，现随机抽取球并进行记录，每次只抽取一个球. (1)若抽完球记录后放回口袋，进行n次抽取（），求摸到黑球的次数不超过次的概率； (2)若抽完球记录后不放回口袋. （ⅰ）若抽完所有球时抽取结束，求第二次抽到灰球且第三次抽到黑球的概率； （ⅱ）若当抽到灰球时抽取结束，记抽取次数为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【分析】 【详解】（1）易知抽到黑球次数服从二项分布， 于是，   ，   故所求概率； （2）（ⅰ）事实上，只需考虑前三次抽取. 记事件M：第二次抽到灰球且第三次抽到黑球， N1：第一次抽到白球，N2：第一次抽到灰球，N3：第一次抽到黑球， 则，   ， ， 可得； （ⅱ）由题意X的取值可以是， 则， ， ， ， 故可得分布列为 X 1 2 3 4 5 6 7 8 P 题型七 求二项分布的分布列及期望与方差 解｜题｜技｜巧 1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了次； 2.当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 3. 若服从二项分布，则 例7．某电子器件生产厂要生产一种标准规格为的电子器件，定义误差为产品实际规格减去标准规格.已知质检部抽检了某批次的件该产品，经统计得下表： 产品实际规格 频数 (1)若以频率估计概率，从该电子器件生产厂生产的该批次产品中随机抽取件，其中至少有件是标准规格产品的概率是多少？ (2)以频率估计概率，求该批次产品规格的误差绝对值的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列 【详解】（1）由表可知，产品是标准规格产品的概率为． 设随机抽取的件产品中至少有件是标准规格产品为事件， 则． （2）的可能取值为，，， 用频率估计概率，，，， 所以的分布列为 所以的数学期望． 变式7-1．（浙江省桐浦富兴教研联盟2025-2026学年高二下学期5月调研测试数学试题）连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，每次正面向上得分，反面向上得分，记总得分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正面向上的次数为，则，所以反面向上的次数为， 由题意可得， 由二项分布的期望和方差公式可得，， 由期望和方差的性质可得， ，ABC错，D对. 变式7-2．某游戏有“通关升星”机制：每次通关有的概率获得1张卡片，每集齐2张卡片可升1颗星，每次通关结果相互独立．若小张连续通关6次，则他升星颗数的期望为______． 【答案】/ 【详解】设小张获得的卡片数为，升星的颗数为，则， ， ， ， ， 故． 所以他升星颗数的期望为. 变式7-3．现有四人参加摄影作品有奖大赛，规定每人只能选取一幅作品参加比赛．每一幅作品都要通过三次评审，三次评审都通过才可获奖．每一幅作品第一次评审被淘汰的概率为，第二次评审被淘汰的概率为，第三次评审被淘汰的概率为，每次评审是否被淘汰相互独立． (1)求送审的每幅作品被淘汰的概率． (2)每幅送审作品，若能够通过三次评审，则该幅作品可获奖金9000元；若被淘汰，则该幅作品要亏损3000元的报名费．求这四幅作品所获奖金的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列如下表． Y P           期望为20000 【分析】 【详解】（1）设事件分别为“一幅送审作品在第一、二、三次评审时通过”， 事件A为“一幅送审作品通过了三次评审”， 事件B为“一幅送审作品被淘汰”，则． 由题意，得． 因为， 所以， 所以送审的每幅作品被淘汰的概率为． （2）设四幅作品中，获奖的作品数为随机变量X． 由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，4，且． 设这四幅作品所获奖金为随机变量Y（单位：元）， 则， Y的对应可能取值为． 因为， ， ， ， 所以Y的分布列如下表． Y P           所以期望为：. 题型八 服从二项分布的随机变量概率最大问题 解｜题｜技｜巧 二项分布的概率为，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加； 当时，，随值的增加而减少. 如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值. 如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 例8．某学校鼓励学生周末使用人工智能平台进行探究性学习，现从全校学生中抽取了容量为100的样本，得到某周末学生线上学习的时间，经统计绘制成如下频率分布直方图． (1)试估计该校学生周末线上学习时间的中位数及学习时间不小于3小时的频率； (2)从该校学生中随机抽取8人，周末线上学习时间不小于3小时的人数记为，以样本中周末线上学习时间不小于3小时的频率作为该事件的概率，当（）最大时，求的值． 【答案】(1)，0.6 (2) 【分析】 【详解】（1）因为每组小矩形的面积之和为1． 学习时间小于3小时的频率为， 学习时间小于3.5小时的频率为， 所以中位数在内，由， 解得小时． 由频率分布直方图可知， 学习时间不小于3小时的频率为． 所以估计该校学生周末线上学习时间的中位数为3.125小时，学习时间不小于3小时的频率为0.6． （2）从全部高三年级学生中随机抽取8人，线上学习时间不小于3小时的人数为， 所以，． 因为． 所以当时，； 当时，． 所以最大． 故当时，最大． 变式8-1．一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球9个，其余为黑球．参与者从盒子中有放回的随机取次球，若其中取到白球的个数为，（，，），当概率（，，）时，则______． 【答案】13或14 【详解】由题可得每次取到白球的概率为， 参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，则， 所以， 若概率最大，则有， 所以，解得，又，故或14， 所以或14时，概率的值最大 变式8-2．某学校组织了一次数学建模比赛，本次比赛满分为100分，得分在80分以上为优秀，从中随机抽取100名学生的成绩得到如下所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计该校学生比赛成绩的中位数（精确到0.1）； (2)以样本数据中各区间的频率作为该区间的概率，若从全校学生中随机抽取30人，记其中获得优秀的人数为，求使取得最大值时的值． 【答案】(1)，中位数为70.4 (2)7 【分析】 【详解】（1）由题知：，解得 设中位数为，则， 解得，故中位数为70.4； （2）因为样本中80分以上的频率为， 故随机变量 所以（，1，2，…，30）， 当最大时，， 得 得 得，所以 ，得 又因为，所以当最大时的值为7． 变式8-3．在近期的中东冲突中，某武装力量的一种精准制导导弹的命中率为，各枚导弹是否命中相互独立． (1)若对某一处军事设施同时发射3枚导弹，记事件A为“恰有两枚导弹命中目标”，事件B为“第二枚导弹命中目标”，判断A与B是否相互独立； (2)若对某一处军事设施同时发射10枚导弹，记随机变量X为导弹命中的数量，求使取最大值时k的值； 【答案】(1)与不相互独立 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得， 因为， ，所以，所以与不相互独立． （2）由题意可得，，所以， 令， 即，解得， 且，解得， 又因为，所以； 时，有最大值． 题型九 求超几何分布的分布列及期望与方差 解｜题｜技｜巧 判断一个随机变量是否服从超几何分布,需看①总体是否可分为两类明确的对象；②是否为不放回抽样；③随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布,并确定数的值；②根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布列 例9．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为． (1)求的值； (2)若一次抽取3个城市，设取出小城市的个数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】 【详解】（1）由题意一次抽取2个城市，全是小城市的概率为， 因为，所以，得或（舍），故． （2）由题知的可能取值为0，1，2，3 ， . 故的分布列为： 0 1 2 3 变式9-1．某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司n名员工，通过专用系统进行综合评级得出优秀有3人，良好有a人，及格有b人，若从中任选两人则两人都是优秀的概率为．现从中任选3人，记其中优秀的人数为，则的期望________ 【答案】 / 【详解】从名员工中任选2人，共有种等可能的选法；其中2人均为优秀的选法共种. 由古典概型的概率公式可得，代入组合数表达式化简得. 因为，解得（负根舍去）. 为从6人中任选3人中的优秀人数，总体中优秀共3人，非优秀共人， 故服从参数为（总体容量）、（总体中优秀个体数）、（抽取样本量）的超几何分布. 由超几何分布的期望公式，代入参数得. 变式9-2．端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中2盒是豆沙粽，4盒是鲜肉粽，从中任取3盒粽子，记取到的豆沙粽有盒，则______. 【答案】1 【详解】由题意知服从超几何分布， 则，，， 所以. 变式9-3．一个彩票盒中装有15张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有4张，奖金为300元的二等奖彩票有5张，奖金为100元的三等奖彩票有6张，从中随机抽出3张彩票. (1)求抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率； (2)记表示抽出3张彩票中三等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元，可能的情况有：3张100元，或2张100元，1张300元；或2张100元，1张500元；或1张100元，2张300元. 所以抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率为. （2）的可能取值为0，1，2，3，则， ， ， . 故的分布列为 0 1 2 3 所以或. 题型十 均值方差在决策中的应用 解｜题｜技｜巧 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定. 例10．某公司研发了一款新产品，生产1件该产品需要经过三道相互独立的工序．已知第一道工序的合格率为0.99，第二道工序的合格率为0.9，第三道工序的合格率为0.9，若某道工序不合格，即视为该件产品不合格，并且不再进入后续工序． (1)求生产1件产品不合格的概率； (2)若1件产品合格则可获利润100元，否则损失150元，从生产线上随机抽取了10件产品，求这10件产品利润的数学期望． (3)公司要在国庆节开展新产品发布会，发布会可以在酒店会议厅举行，也可以在户外广场举行．有以下3种方案： 方案1：在酒店会议厅举行，无论天气如何，公司因售卖产品可获得利润3万元； 方案2：在户外广场举行，如果不遇到雨天，公司因售卖产品可获得利润10万元；如果遇到雨天，公司则会因设备损坏和观众减少而损失4万元； 方案3：在户外广场举行，公司需要花费3万元提前准备好临时雨棚．若有雨，公司因售卖产品可获得利润4万元；若无雨，公司因售卖产品可获得利润10万元． 根据天气预报，国庆节当天的降水概率为40%．公司应该选择哪个方案？请通过计算说明理由． 【答案】(1)0.1981 (2)504.75 (3)应选择方案3，理由见解析 【分析】 【详解】（1）记“生产1件产品为合格品”为事件A，则， 则生产1件产品不合格的概率为． （2）设这10件产品中合格品的个数为X，这10件产品的利润为Y， 则， 由题知， 则． （3）根据题意，下雨的概率和各种方案在不同状态下的净利润如下表所示． 天气状况 有雨 没雨 概率 0.4 0.6 净利润/万元 方案1 3 3 方案2 -4 10 方案3 1 7 方案2和方案3的净利润都是随机变量，可以采用期望净利润最大的方案． 设方案1、方案2、方案3的净利润分别为万元，万元，万元． 采用方案1，无论天气如何，都获得利润3万元．因此，； 采用方案2，若遇上下雨，净利润为－4万元；若没有下雨，净利润为10万元． 因此，； 采用方案3，若遇上下雨，净利润为万元；若没有下雨，净利润为万元． 因此，； 于是，，． 因此，从期望净利润最大的角度，应选择方案3． 变式10-1．在一个计算机网络服务器系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度. (1)若该系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，该网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为0.9，它们之间相互不影响.求能正常工作的设备数X的分布和数学期望； (2)若该网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能带来约50万的经济损失.为减少经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)应选择方案2 【分析】 【详解】（1）解：为正常工作的设备数，由题意可知. 所以， ， ， ， 从而的分布列为： 0 1 2 3 由，则； （2）解：设方案1、方案2的总损失分别为，， 采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到，由（1）可知计算机网络断掉的概率为，不断掉的概率为， 所以元； 采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在， 可知计算机网络断掉的概率为， 故元. 因此，从期望损失最小的角度，决策部门应选择方案2. 变式10-2．2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】(1) (2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算 【分析】 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 设顾客享受到免单优惠为事件，则. 所以两位顾客均享受免单优惠的概率为. （2）若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，500，700，1000. ，， ，. 所以（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由题意知，，故. 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 变式10-3．据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中． (1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率； (2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围． 【答案】(1)该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀概率为；该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀概率为； (2). 【分析】 【详解】（1）设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则； 该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则． （2）该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为， 依题意，，则， 该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3． ， ，， 随机变量的分布列： 0 1 2 3 ， 因为该考生更希望进入甲大学的面试，则，即，解得， 所以的范围为：. 题型十一 利用正态分布3σ原则求概率 解｜题｜技｜巧 1.会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 2.充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 例11．某地区组织了一次高三模拟考试，对该地区3000名考生的考试成绩进行统计分析发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于105分的人数与低于65分的人数相同，据此可以估计本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为（   ） （参考数据：若，有，，） A．580 B．480 C．380 D．280 【答案】B 【详解】由题设，结合正态分布的对称性知，而， 所以， 所以本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为，故大约人. 故选：B 变式11-1．某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数） 参考数据：若，则， 【答案】23 【详解】因为高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布, 所以男生身高不低于190cm的概率为, 所以估计可以备选的男生人数约为人. 变式11-2．（多选）大量临床数据显示，某年龄段人群空腹血糖检测值（单位：）近似服从正态分布，则（    ） 参考数据：若，则，0.9973． A．该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2 B．该年龄段人群空腹血糖检测值的方差为0.3 C．该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为 D．该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为 【答案】AC 【详解】由题意知，， 所以该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2，方差为0.09. 所以A正确，B错误. 该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为， 所以C正确. 因为， 所以该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为，所以D错误. 变式11-3．（多选）模型构建常需要进行正态检验.记随机变量服从标准正态分布，给定区间，若，则称区间具有较好构建度.则（   ） 附：若随机变量服从正态分布，则，，. A． B． C．区间具有较好构建度 D．区间具有较好构建度 【答案】ABC 【详解】对于A选项，根据标准正态分布的图象性质可知，正态分布关于对称， 所以，故A正确； 对于B选项，由正态分布的对称性可得， 故，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D错误. 综上所述，选项ABC正确. 题型十二 正态分布与直方图的结合 例12．某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图： (1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值） (2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值作为估计值． （i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标： 0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83 利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备． （ⅱ）若设备状态正常，记表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及的数学期望． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则， 【答案】(1) (2)（i）需停止生产并检查设备；（ii）， 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图，得． ． （2）（i）由（1）可知，， 所以，， 显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备． （ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为， 所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为， 故，所以， X的数学期望． 变式12-1．某公司生产一种产品，为检测生产的某批产品质量是否达标，现从中随机抽取若干件，测量这些产品的质量指标值，得到频率分布直方图如下： 根据测量经验，这种产品的质量指标值近似服从正态分布，其中近似为样本平均值．记质量指标值内的产品为优等品，内的产品为一等品，公司规定一等品或者优等品为合格品，以各组数据的中间值为代表，以频率估计概率，下列说法正确的是（    ） （参考数据：，） A． B．该公司生产的产品为优等品的概率为13.59% C．该公司生产10000件这种产品，记表示这10000件产品中一等品的件数，则的数学期望为6827 D．若该公司计划销售该产品，一等品每件定价为2元，优等品每件定价为3元，则该公司生产该产品10000件并售出全部合格品的收入约为17731元 【答案】BCD 【详解】对于A，由题意可知样本均值的估计值 ， 所以，故A错误； 对于B，由题意可知，，， ，则优等品的概率为 ，故B正确； 对于C，已知，所以抽到一等品的概率， 随机变量服从二项分布，所以，故C正确； 对于D，由题意知收入约为元，故D正确； 故选：BCD． 变式12-2．某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的内径进行测量，统计绘制了如下图所示的频率分布直方图.    (1)求a的值以及这批零件内径的平均值和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记内径在区间内的零件个数为，求的分布列以及数学期望； (3)已知这批零件的内径（单位：mm）服从正态分布，现以频率分布直方图中的平均数作为的估计值，频率分布直方图中的标准差作为的估计值，则在这批零件中随机抽取200个，记内径在区间上的零件个数为，求的方差. 参考数据：，若，则，，. 【答案】(1)，， (2)的分布列见解析， (3) 【分析】 【详解】（1）由，则， 这批零件内径的平均值： ， ， 这批零件内径的方差： ， （2）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，4， 则， ， ， ， ， 因此可得的分布列： 0 1 2 3 4 0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016 则的数学期望. （3）由题意知，，， 又，， 则， 由二项分布的定义知, 由二项分布的方差公式知，. 变式12-3．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．    (1)求这4000名考生的竞赛平均成绩．（同一组中数据用该组区间中点作代表）； (2)由直方图可认为考生竞赛成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求（精确到0.001）． 附：①，； ②，则，； ③． 【答案】(1)70.5 (2)人 (3) 【分析】 【详解】（1）由题意知：， 4000名考生的竞赛平均成绩为70.5． （2）依题意服从正态分布，其中，，， 服从正态分布， 而， ． ∴竞赛成绩超过84.81的人数估计为（人）人． （3）全市参赛考生成绩不超过84.81的概率．而， ． 题型十三 相关系数的计算及意义 例13．网购是现代年轻人重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与年份代码进行了统计，得如下数据： x 1 2 3 4 5 y 2.5 3.3 4.5 6.2 8.5 则x与y的样本相关系数（   ） 参考公式：，参考数据：，． A．0.99 B．0.98 C．0.97 D．0.96 【答案】B 【详解】由题意，得，，， ，所以． 变式13-1．已知A，B，C，D四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，，，，则样本数据中变量间呈负相关且线性相关程度最强的是（   ） A．A组 B．B组 C．C组 D．D组 【答案】B 【详解】当时，变量之间呈负相关；越接近于1，变量的线性相关程度越强. 由已知条件得，，，， 因此负相关的为A组、B组，排除C、D选项； 计算得，，可知更接近1，即B组的负相关线性程度最强. 变式13-2．对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】由图知，C、D中各点都非常分散无法判断正负相关性，显然它们的相关系数无法比较大小， 而A、B中各点相对比较集中，其中A中散点的正相关，而B中散点的负相关， 所以A中样本点相关系数为正，且最大. 变式13-3．为了研究人体的脂肪含量和年龄之间的线性强弱，科研人员随机抽取了14个样本点（代表年龄，代表脂肪含量，，2，……，14．由统计软件得，，，，，且相关系数公式，由以上数据计算得_____． 【答案】0.97 【详解】因为. ， 故. ， 故. 所以，. 题型十四 线性回归方程 例14．某市开展“我心中的好老师”评选活动，现对评选出的五位候选人的工作年限和得票数进行了统计，得到如下数据： “我心中的好老师”编号 1 2 3 4 5 工作年限/年 4 6 8 10 12 得票数/百张 10 20 40 60 50 (1)若得票数与工作年限满足线性相关关系，试求经验回归方程，并就此估计“我心中的好老师”的工作年限为15年时的得票数； (2)若用表示统计数据时得票数的“即时均值”（四舍五入到整数），从5个“即时均值”中任选2个，求这2个数据之和小于8的概率. 【答案】(1)，78 (2) 【分析】 【详解】（1）由题可得， 则， . 所以. 当时，. （2）5个“即时均值”分别为3，3，5，6，4. 从5个“即时均值”中任选2个，共有（种）情况， 其中2个数据之和小于8的有，，共3种情况， 所以这2个数据之和小于8的概率为. 变式14-1．现有10个样本数据，，，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】根据题意可知，经验回归方程为，且， 因回归直线过样本中心点，可得， 所以原个样本数据的的值总和为， 去掉后，剩余个样本的的值总和为，的值总和为， 因此新的样本中心点为，依题意新的经验回归直线经过点， 故得，解得. 变式14-2．（多选）已知某软件公司开发了一款新型智能解题软件，现将该软件上市后的月份以及当月获得的利润（单位：万元）统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（     ） 月份 1 2 3 4 5 利润 6 7 9 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润平均提高万元 C．可以估计上市后的第7个月的利润为万元 D．上市后的第4个月的利润的残差为万元 【答案】AC 【详解】由统计表可知： ，， 则回归直线过样本中心点，代入回归方程得， ，解得，故A正确； 回归方程为，斜率为，则每增加1个月份，月利润平均提高万元， 故B错误； 时，万元，故C正确； 由统计表知，第4个月，预测值， 残差万元，故D错误． 变式14-3．近年来，我国新能源汽车市场持续扩容，某市为研究新能源汽车市场增长规律，统计了连续6年的年度销售数据，设年份编码为（第1年､第2年……第6年），年度总销量为（单位：千辆），对应数据如下： 年份编码 1 2 3 4 5 6 销售量 276 312 354 386 418 450 (1)求这6年销售量数据的极差与第75百分位数； (2)从这6年销售量数据中随机抽取2个数据，已知其中一个数据不小于400（千辆），求另一个数据也不小于400（千辆）的概率； (3)销售量与年份编码具有较强的线性相关关系，试求关于的经验回归方程，并预测第8年该市新能源汽车的年度销售量（单位：千辆，结果保留小数后两位）. 参考公式及数据： （1）（2）. 【答案】(1)极差为174，第75百分位数为418； (2) (3) ，522.87千辆或，千辆 【分析】 【详解】（1）由题意得极差为， 而，向上取整可得第75百分位数为418. （2）设事件表示：其中一个数据不小于400（千辆）， 事件表示：另一个数据不小于400（千辆）， 则， （3）由题意得 ， 法一：可得， ， 则关于的经验回归方程为 ， 将代入回归方程，得到 ， 故预测第8年新能源车的年销量为522.87千辆. 法二：可得， 此时， 此时回归方程为，将代入回归方程，得到 ， 故预测第8年新能源车的年销量为千辆. 题型十五 相关指数、残差的计算及意义 例15．已知变量、满足线性相关关系，经验回归方程为且，．现有一对观测数据为，若该数据的残差为0.6，则__________． 【答案】11.6 【详解】由题意，经验回归方程经过点， 则得，解得，所以． 当时，， 则． 变式15-1．（多选）对两个变量与进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据：则下列说法正确的是（   ） A．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 B．由样本数据利用最小二乘法得到的经验回归方程表示的直线必过样本点的中心 C．若变量与之间的相关系数，则变量与之间具有很强的线性相关性 D．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好 【答案】ABC 【详解】对两个变量与进行线性相关性和回归效果分析， 得到一组样本数据．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故A正确； 由样本数据利用最小二乘法得到的经验回归方程表示的直线必过样本点的中心，故B正确； 若变量与之间的相关系数，则变量与之间具有很强的线性相关性，故C正确； 用决定系数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故D错误． 故选：ABC. 变式15-2．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为_______． 【答案】 【详解】将代入，， 去除两个样本点和后，所以，，， 故去除样本点和后的回归直线方程为， 当时，，则样本的残差为． 变式15-3．现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本（单位：万元）和企业利润的数据（单位：万元）如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 物流成本 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5 利润 114 116 106 122 132 114 132 残差 0.2 0.6 1.8 -3 -1 -4.6 根据最小二乘法公式求得经验回归方程为. (1)求的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值； (2)请先求出线性回归模型的决定系数（精确到0.0001），若根据非线性模型求得解释变量（物流成本）对于响应变量（利润）的决定系数，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好. 参考公式及数据：，，. 【答案】(1)，； (2)，拟合程度更好. 【分析】 【详解】（1）因为，，， 则，解得； 8月份对应的残差值. （2）因为， 所以， 所以， 所以线性回归模型拟合程度更好. 题型十六 非线性回归方程 解｜题｜技｜巧 非线性经验回归问题的解题步骤 （1）根据原始数据作出散点图；（2）根据散点图选择恰当的拟合函数； （3）作恰当的变换,将其转化成线性经验回归方程求解； （4）在上面的基础上通过相应的变换,即可得非线性经验回归方程. 例16．某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）的散点图，其中t为正整数． (1)利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ⅱ）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由． 参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 45.07 3.42 参考公式：． 【答案】(1)更适宜作为回归模型，理由见解析 (2)（i）；（ⅱ）会报警提示，理由见解析 【分析】 【详解】（1）更适宜作为回归模型，理由如下： 从散点图可以看出，剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）不呈线性变化， 减小速度越来越慢， 呈线性变化，不适宜作为回归模型，故更适宜作为回归模型； （2）（i）两边取对数得， 由于， 故， ， 即，故， （ⅱ）会报警提示，理由如下： 中，令得 ， 故会报警提示. 变式16-1．某市公交公司统计了二月份到六月份使用支付宝或微信扫码支付乘车的人次，用表示月份，表示每月使用扫码支付的人次（单位：千人次）．已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 则（    ） A．0.596 B． C．-6.92 D． 【答案】B 【详解】因为，，所以， ，，所以样本中心点为， 根据最小二乘公式，， 所以线性回归方程为，将样本中心点代入得 ，所以， 所以线性回归方程的截距对应，即，所以. 变式16-2．椰树集团为确定下一年度投入椰树椰汁的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 298.8 1.6 1469 108.8 表中 (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (2)已知椰树椰汁的年利润与的关系为.根据（1）的结果求年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 【答案】(1) (2)644.6；258.3 【分析】 【详解】（1）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型， 令，先建立关于的线性回归方程， 由于 ， 则， 所以关于的线性回归方程为， 因此关于的回归方程为. （2）当时，年销售量的预报值， 年利润的预报值. 变式16-3．设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足关系式，其中为大于0的常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】(1) (2)分布列见详解； 【分析】 【详解】（1）令，则，根据已知数据表得到如下表： x y 则，， 可得， ， 通过上表计算可得：， 因为回归直线过点，则， 所以y关于的回归方程. （2）由题意可知：7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天， 从散点图中任取4个点，即从这7天中任取4天， 所以这4个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为1，2，3，4，则有： ；； ；； 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 4 随机变量的期望值. 题型十七 独立性检验 解｜题｜技｜巧 应用独立性检验解决实际问题的步骤 （1）提出零假设与相互独立,并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出列联表,计算的值,并与临界值比较. （3）根据检验规则得出推断结论: 当时,推断不成立,即认为和不独立,该推断犯错误的概率不超过； 当时,没有充分证据推断不成立,可以认为和独立. 例17．台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表： 白光 黄光 近视 80 60 不近视 40 60 (1)根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关； (2)用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关 (2) 【分析】 【详解】（1）零假设：学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关. （2）使用发射白光的台灯的学生患近视的概率为， 记近视人数为，显然该类学生近视情况服从二项分布， 可得. 变式17-1．某研究机构为调查“高中生睡眠质量与经常使用电子设备是否有关”，分别去两个学校调查.甲校随机抽取300名学生，乙校随机抽取600名学生，分别得到以下数据： 甲校（300人）                          睡眠好 睡眠差 合计 经常使用电子设备 60 40 100 不经常使用电子设备 140 60 200 合计 200 100 300 乙校（600人） 睡眠好 睡眠差 合计 经常使用电子设备 120 80 200 不经常使用电子设备 280 120 400 合计 400 200 600 记由甲校、乙校上述数据计算的卡方统计量分别为 .下列说法正确的有（   ） A．甲乙两校样本中经常使用电子设备的学生比例均为 B．甲乙两校样本经常使用电子设备的学生中睡眠差的比例均为 C．相比甲校数据，乙校数据更容易得出“睡眠质量与使用电子设备有关”的结论 D．若将甲、乙两校合并为一个容量为 900 人的样本，则合并后的卡方统计量 【答案】ABC 【详解】对于选项A，样本中甲校学生经常使用电子设备的比例为， 样本中乙校学生经常使用电子设备的比例为，A正确， 对于选项B，样本中甲校经常使用电子设备的学生中睡眠差的比例为， 样本中乙校经常使用电子设备的学生中睡眠差的比例为，B正确， 对于选项C，分别计算甲，乙校的卡方统计量， 甲校：， 乙校：， 而越大，越有把握认为“睡眠质量与使用电子设备有关”，因此乙校更容易得出该结论，C正确， 对于选项D，合并两校数据后的列联表为： 睡眠好 睡眠差 合计 经常使用电子设备 180 120 300 不经常使用电子设备 420 180 600 合计 600 300 900 计算得合并后卡方，D错误. 变式17-2．某外卖平台为响应“绿色餐饮”的号召，研究顾客备注“无需餐具”与订单是否获得好评之间的关联，根据样本数据进行独立性检验，计算得．若将原列联表中的所有数据均扩大为原来的倍，则在相同检验标准下重新计算，得到的的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设原列联表对应数据为，样本容量， 则原卡方统计量满足： ， 将所有数据扩大为原来的 倍后， 新数据为 ，新样本容量 ，代入卡方公式得： ， 由 ，可知： 选项A的1.96、选项D的0.212均小于2.12，不符合要求，错误， 选项C的2.12对应，与的约束矛盾，排除，错误 选项B的 ，对应，满足所有约束条件，正确. 变式17-3．在一项“人机协作”的心理学实验中，研究人员让20名志愿者和20个AI语言模型分别完成同一项“情感强度打分”任务.志愿者组根据自己的主观感受打分，AI组则根据AI模型内置的情感词典计算打分. 志愿者组的评分如下表： 15.2 16.5 18.8 19 20.2 20.8 21.3 22 22.5 23.2 23.5 24.1 25.8 26 26.5 27 27.5 28.5 30.1 31.2 AI组的评分如下表： 7.8 8.5 9.2 10 11.4 11.8 12.4 13 13.2 14.2 15.5 16 16.2 16.5 17.2 18 18.5 19.2 19.5 20.5 (1)求AI组20个评分的极差与第20百分位数. (2)设这40个评分的中位数为m. （i）求m的值，并统计两组(人类组即志愿者组)样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成下面的列联表： 评分小于m 评分不小于m 合计 人类组 AI组 合计 （ii）根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析AI的情感量化结果与人类的主观感知是否存在差异. 附： α 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)极差为，第百分位数为； (2)（i）中位数， 评分小于m 评分不小于m 合计 人类组 3 17 20 AI组 17 3 20 合计 20 20 40 （ii）认为AI的情感量化结果与人类的主观感知存在差异. 【分析】 【详解】（1）AI组20个评分已按从小到大排序，最大值为，最小值为， 因此：极差 计算第20百分位数：，为整数， 因此第20百分位数为第4项和第5项的平均数：； （2）（i）40个数据从小到大排序后，中位数为第20项和第21项的平均数. 则第20项为，第21项为， 因此： . 补充列联表如下： 评分小于m 评分不小于m 合计 人类组 3 17 20 AI组 17 3 20 合计 20 20 40 （ii）零假设：AI的情感量化结果与人类的主观感知无差异. 代入卡方公式计算：， 已知对应的临界值，由于，因此拒绝零假设. 即认为AI的情感量化结果与人类的主观感知存在差异. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·26高二下·河南郑州·期中）设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（   ） 0 1 2 A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，即， 所以， 则. 2．（2025·26高二下·江西萍乡·期中）（多选）在一项关于学生体能测试的研究中，某研究小组随机选取了100名学生作为研究对象．他们记录了每位学生的日常锻炼时间（记为变量，单位：小时）与体能测试得分（记为变量，单位：分）的数据．通过对这100组成对数据进行统计分析，某学生计算出回归直线方程为，则下列说法正确的是（    ） A．体能测试得分与日常锻炼时间正相关 B．该样本数据的相关系数为4.8 C．该样本数据中的所有点都可以不在该回归直线方程上 D．某学生的日常锻炼时间为2小时，则他的体能测试得分一定为82分 【答案】AC 【详解】对于A，在回归直线方程中，由，得与日常锻炼时间正相关，A正确； 对于B，该样本数据的相关系数在内，B错误； 对于C，该样本数据中的所有点都可以不在该回归直线方程上，C正确； 对于D，当时，，即时间为2小时，体能测试得分约为82分，D错误. 3．（2025·26高一下·江苏扬州·阶段检测）一名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取，在一轮答题中，能够通过测试的概率是，若该同学答题两轮，则恰有一轮通过测试的概率为______.（结果以既约分数表示） 【答案】 【详解】由题设，该同学能通过测试的轮数为，则， 所以该同学答题两轮，则恰有一轮通过测试的概率为. 4．（2026·江苏·模拟预测）袋中装有标有数字1到6的6个大小、形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．用表示取出的3个小球标号的最小数字． (1)求随机变量的分布列及数学期望； (2)已知取出的3个小球的标号和为奇数，求的概率． 【答案】(1)的分布列为： 1 2 3 4 (2) 【详解】（1）随机变量的所有可能取值为． ， ， 的分布列为： 1 2 3 4 ∴ （2）记事件为“取出的3个球的标号和为奇数”，事件为“”． 则事件为“和为奇数，且最小标号为1”. 由题意得，，， 由条件概率公式，得． 5．（2026·西藏拉萨·二模）某公司的生产车间有3台核心加工设备，分别为成型机（记为设备A）、调试机（记为设备B）、测试机（记为设备C），三台设备各自独立工作，设同时发生故障的设备数为随机变量． (1)若三台设备同时运行，每台设备发生故障的概率均为，求“至少有1台设备发生故障的条件下，恰好有1台设备发生故障”的概率；（结果保留三位有效数字） (2)为验证设备A与设备B的工作独立性，该公司随机抽取了次设备运行记录，得到如下列联表（单位：次）： 设备A 设备B 合计 故障 正常 故障 30 70 100 正常 60 40 100 合计 90 110 200 根据小概率值的独立性检验，分析设备A的故障与设备B的故障是否有关． 附：， 【答案】(1) (2)设备A的故障与设备B的故障有关. 【详解】（1）设“至少有1台设备发生故障的条件下”为事件， “恰好有1台设备发生故障”为事件， 则，而， 故. （2）设设备A的故障与设备B的故障无关， 则， 故依据小概率值的独立性检验否定， 即设备A的故障与设备B的故障有关. 6．（2024·25高二下·湖北黄冈·期末）某4名射击手进行射击训练，他们互不影响地同时对同一目标进行射击，每人击中的概率均为. (1)设4名射击手击中目标的人数为，当时，求的数学期望与方差； (2)若目标被一人击中不会被摧毁，被2人击中而被摧毁的概率为，被3人击中而被摧毁的概率为，被4人击中则肯定被摧毁.设目标被摧毁的概率为，当时，求的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）四人互不影响地同时对同一目标进行射击，可以看成4次独立重复试验，且， . （2）依题意有 又.所以在区间上单调递增， 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 7．（2025·26高二下·河北沧州·期中）将个编号为的小球放入个编号为的盒子中，若一个球的号码与放入该球的盒子的号码恰好相同，我们称之为一个“完美归位”，设“完美归位”的个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的可能取值为， ，， ，， 所以， 则， 所以，故D正确． 8．（2026·上海虹口·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果精确到0.0001） 参考数据：若，则，． 【答案】(1)②①③； (2)； (3) 【分析】 【详解】（1）相关系数绝对值越大，相关性越强，因此从强到弱的排序为：②①③； （2）由题意的值可能为：， ，，， 所以，， 所以； （3）由已知，，，， ，则， ， 记“从生产的零件中随机取出10个，至多有一个零件直径小于”为事件， 则. 9．（2024·25高二下·四川德阳·期末）近期，高中周末双休引起热议，为调查在校高中学生对国家双休政策的支持情况，某中学数学社团在校园内对学生展开随机调查，得到下表．（数据单位：人） 支持 不支持 成绩优秀 60 30 成绩不优秀 90 30 (1)根据该数学社团的调查结果判断，有无90%把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关？ 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：． (2)若该数学社团的调查结果可靠，某文学社团按相同方式在该校园内另随机调查了14位同学．其中成绩优秀且支持双休的人数为，请参考数学社团的调查数据，估算和； (3)该校准备从数学社团调查的210名同学中用“按比例分层抽样”的方法抽取7位同学座谈、并准备在参与座谈的同学中选取5人组成新的调查小组．假设新的调查小组中支持双休但成绩不优秀的人数为，求的分布列． 【答案】(1) 没有90%的把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关 (2) ， (3) 答案见解析 【详解】（1）由列联表可得(成绩优秀支持人数)，(成绩优秀不支持人数)，(成绩不优秀支持人数)，(成绩不优秀不支持人数)，则， 所以， 由题可知，把握对应的临界值为，因为， 所以没有把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关. （2）随机抽取一名学生，该学生为成绩优秀且支持双休的概率， 由题意得， 所以，. （3）分层抽样的抽样比为，则抽取的7人中支持双休但成绩不优秀的共人，其余共4人， 因此的可能取值为， ；；， 因此的分布列为 . 10．（2023·福建泉州·模拟预测）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据. 73.5 3.85 表中：， (1)根据散点图判断: ①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的经验回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的经验回归方程 (3)已知该茶水温度降至口感最佳，根据（2）中的经验回归方程，求在相同条件下，刚泡好的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感. 附：（1）对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， （2）参考数据：，，，，. 【答案】(1)②更适宜 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由散点图知，点的分布呈现出曲线的趋势，因此更适宜的回归方程为②，即. （2）由，得，对等式两边取自然对数，得， 令，则， ， ， 结合表中数据，得， 结合参考数据可得，由，得结合参考数据可得， 所以茶水温度y关于时间x的回归方程为. （3）依题意，室温下，茶水温度降至口感最佳， 即，整理得， 于是，解得， 所以在相同条件下，刚泡好的茶水大约需要放置7.5min才能达到最佳饮用口感. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为__________. 【答案】1250 【详解】连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的,那么， ， 由得，即， 由切比雪夫不等式可得 可知 为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，则 ，解得. 12．（2026·重庆渝中·三模）一随机变量服从正态分布，则， _____.已知一粒子在数轴上从原点出发，每一步等可能向左或向右移动，随机变量表示走完8步后，粒子向右移动的总步数，与相互独立，则_____. 【答案】 / 【详解】①已知，正态曲线图像关于对称， 故， 因此. ②由题意，，满足，且与独立， 由全概率公式：  (1) 令，则, 即等价于  (2) (1)(2)两式相加 结合第一空的结论， 得. 13．（2023·24高三下·贵州贵阳·阶段检测）每年12月4日是全国普法宣传日，某校对高三年级600名学生法治素养现状进行调查研究，举行了一次“普法知识”竞赛.从中随机抽取60名学生，统计结果如下：获奖人数占总人数的，其中获奖人数中，男生占，不获奖人数中，女生占． (1)现从这60名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率； (2)对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动.若从这8人中随机选取2人. ①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率； ②记X为入选的2人中的女生人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)①；②分布列见详解、数学期望为 【分析】 【详解】（1）获奖人数：人，不获奖人数：人， 获奖男生：，获奖女生：， 不获奖女生：，不获奖男生：， 女生总人数：，则随机抽取到一名学生是女生的概率为：. （2）按性别分层随机抽取人，则： 抽取男生为人， 抽取女生为人， ①设事件为“人中有女生入选”，事件为“恰好选到名男生和名女生”， 依据条件概率公式，其中， ，，则； ②表示入选的人中的女生人数，其可能的取值为， ， ， ， 分布列： 数学期望：. 14．（2025·26高三上·山西晋中·期末）甲、乙两人进行一局羽毛球比赛，约定比赛规则如下：比赛中两人轮流发球（每次只发一球），由甲先发球，每赢一球得1分，输球不得分，达到15分且至少领先2分者获胜（当打成后，先多得2分的一方获胜）.甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，已知比赛目前激战至. (1)若已知比赛结果为，求这局比赛是乙获胜的概率； (2)求这局比赛甲获胜的概率； (3)记为这局比赛结束时甲的总发球个数，求的数学期望. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题意知，再打两球这局比赛结束，所以只有可能是甲连赢两球或乙连赢两球， 记事件：甲发球甲赢，事件：乙发球乙赢，事件：比赛结果为16：14，事件：乙这局比赛获胜. 所求为， ， ， 所以. 所以在已知比赛结果为的条件下，这局比赛是乙获胜的概率为. （2）方法一（全概率公式）：由（1）知，之后，有3种情况： ①甲连赢两球，甲胜，比赛结束，记作事件，则； ②乙连赢两球，乙胜，比赛结束，记作事件，则； ③甲与乙各赢一球，再次打平，比分为15：15，记作事件，则. 设事件：这局比赛甲获胜. 由全概率公式有， 由于比分为与比分为比赛的状态完全相同，所以， 所以，解得， 故这局比赛甲获胜的概率为. 方法二（分类分步与极限思想）：由（1）知再打2球甲获胜的概率，打平的概率为， 则再打4球后甲获胜的概率为，打平的概率为， 再打6球甲获胜的概率为，打平的概率为. 依此类推，打个球后甲获胜，则需前个球每两个球都打平，此时. 故甲获胜的概率为， 当时，，，故这局比赛甲获胜的概率为. （3）比分为平时甲已经发球14个，设之后甲继续发球个数的期望为，由（1）可得： ①若结束比赛，此时甲继续发球数为1，概率为； ②若比赛没有结束，比分为平，概率为，甲继续发球数的期望为. 从而，解得. 所以甲的总发球个数的期望为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 统计与概率（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 计算条件概率 题型二 条件概率性质的计算 题型三 利用全概率公式求概率 题型四 利用贝叶斯公式求概率 题型五 独立事件的乘法公式 题型六 由随机变量的分布列求概率 题型七 求二项分布分布列及期望与方差 题型八 服从二项分布的随机变量概率最大问题 题型九 求超几何分布分布列及期望与方差 题型十 均值方差在决策中的应用 题型十一 利用正态分布3σ原则求概率 题型十二 正态分布与直方图的结合 题型十三 相关系数的计算及意义 题型十四 线性回归方程 题型十五 相关指数、残差的计算及意义 题型十六 非线性回归方程 题型十七 独立性检验 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 条件概率与事件独立性 能准确辨析条件概率的适用情境，熟练运用定义公式、缩小样本空间法求解条件概率，正确判断事件独立性并完成综合概率计算。 选择填空高频考点，常结合摸球、抽样、工序等情境命题，易错点为条件概率分母选错、独立与互斥概念混淆。 全概率公式与贝叶斯公式 能合理划分互斥事件构成完备事件组，规范使用全概率公式求解总概率，熟练运用贝叶斯公式完成逆概率推理与计算。 中档解答题必考，命题贴近实际决策场景，易错点为事件划分不清晰、公式结构记混。 离散型随机变量分布列及性质 能完整列举随机变量所有可能取值，准确计算各取值对应概率，规范列出分布列，并利用概率和为1的性质进行检验。 解答题第一问必考，是整道概率题的得分基础，易错点为概率计算遗漏、分布列性质未验证。 两点分布、二项分布、超几何分布 能快速识别放回与不放回抽样情境，准确区分二项分布与超几何分布模型，熟练套用公式计算对应概率。 小题、大题全覆盖，命题强调模型识别，易错点为二项分布与超几何分布混用、参数定位错误。 离散型随机变量的均值与方差 能依据分布列规范计算数学期望与方差，熟练运用线性变换性质快速求解，掌握特殊分布的期望方差公式直接应用。 概率大题核心设问，常与分布列、实际决策结合，易错点为方差公式记错、展开计算粗心失误。 正态分布 能理解正态曲线的对称性、峰值与平移特征，熟练运用对称轴与3σ原则计算特殊区间概率，完成简单实际应用。 选择填空必考基础点，题型固定、难度低，易错点为对称轴判断错误、对称区域不会转化。 线性回归方程 能根据样本数据计算回归系数，正确写出线性回归方程，利用样本中心点必在回归直线上解题，会判断线性相关强弱与拟合效果。 选择、填空、解答均会出现，常结合图表信息命题，易错点为公式计算错误、忽略样本中心性质。 独立性检验 能根据题意正确填写2×2列联表，准确计算卡方统计量，依据临界值做出独立性判断并规范表述结论。 解答题固定考点，属于简单必得分内容，易错点为卡方公式计算错误、结论表述不规范 知识点01 条件概率与事件的独立性 1．条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件_______发生的条件下，事件_______发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 _______第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则_______ ·示例： 袋中3红2白，不放回取2次，已知第一次取红，求第二次取红概率。 缩小样本空间：剩2红2白，。 2．全概率公式 一般地，设是一组两两_______的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 3．贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两_______的事件，，且，则对任意的事件，,有_______ ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，_______，之间的内在联系． 4．相互独立 对任意两个事件与,如果_______成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立． 如果与相互独立,则与，与，与也相互独立． 知识点02 随机变量及其分布列 1．随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一_______的随机变量，称为离散型随机变量 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列． X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1） (i＝1，2，…，n)；（2）_______． 知识点03 三大分布 1．两点分布的分布列 _______ 若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率． 2．二项分布 定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从_______，记作，并称p为成功概率． 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为_______ ·示例： 投篮5次，命中率0.6，命中数。 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为_______ 3．超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则_______， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 4．二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是_______抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是_______的 超几何分布是_______抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是_______的 不需要知道总体的容量 需要知道_______的容量 当总体的容量_______时，超几何分布近似于二项分布 知识点04 随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称_______为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称_______为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： ·示例： 已知随机变量的分布列为： 1 2 3 0.2 0.5 0.3 求：、。 解： 2．均值与方差的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 则______________ 3．特殊分布的均值与方差 （1）两点分布 若,则; （2）二项分布 若,则;______________ （3）超几何分布 若离散型随机变量x服从超几何分布，则有若，则_______ ·示例：_______已知随机变量，求与。 解：由二项分布公式： 知识点05 正态分布 1．正态分布 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的_______，σ是正态分布的_______) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为_______．特别地，当时，称随机变量X服从_______正态分布． 2．正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为_______ 曲线是单峰的，它关于直线_______对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近_______ 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“_______”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“_______”，表示随机变量的分布比较分散， 3．三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ①；； ． ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间_______内，而在此区间以外取值的概率大约只有0．0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 ·易错： ①把当成；②不会用对称性求概率。 知识点06 线性回归方程 1．变量的相关关系 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度 正相关与负相关 如果从整体上看， 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，则称这两个变量_______； 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量_______ 线性相关 如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条_______附近，我们称这两个变量线性相关 非线性相关 如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量_______ 2．样本相关系数 ①样本相关系数r的计算公式：． ②样本相关系数r的性质： _______ 当r>0时，表明两个变量_______；当r<0时，表明两个变量_______ |r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越_______；|r|越接近于0，表明两个变量的线性相关性越_______ 通常|r|大于_______时，认为两个变量有很强的线性相关关系 3．一元线性回归模型 ①最小二乘法：即使得样本数据的点到回归直线的距离的_______最小． 若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程中，． 其中______________，_______称为样本点的中心． ②线性回归模型，其中称为随机_______，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量 4．判断回归模型的拟合效果 方法 决定系数法 残差图 残差平方和 公式 称为相应于点的残差， 刻画效果 越接近于_______，表示回归的效果越好 残差点比较_______地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越_______，说明模型拟合精确度越高． 残差平方和越_______，模型的拟合效果越好 5．建立非线性回归模型的基本步骤： ①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； ②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）； ③由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）； ④通过_______，将非线性回归方程模型转化为_______回归方程模型； ⑤按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； ⑥消去_______，得到非线性回归方程； ⑦得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等． 常见的非线性回归方程的转化： 曲线方程 变换公式 变换后的线性关系式 _______ _______ 知识点07 独立性检验 1．2×2列联表 设X，Y为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下： 总计 a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d 2．独立性检验 ①利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验； ②基于小概率值的检验规则： 当时，我们就推断H0_______，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们_______充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立 题型一 计算条件概率 解｜题｜技｜巧 方法一：利用定义计算条件概率的步骤：(1)分别计算概率和． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 方法二：利用缩小样本空间法求条件概率的方法（1）缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB；（2）数：数出A中事件AB所包含的基本事件；（3）算：利用求得结果 例1．甲、乙两名网球选手进行网球比赛，比赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束.甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率是，每局比赛结果相互独立，记事件A为四局结束比赛，则___________；又记事件B为甲获得比赛胜利，则__________. 变式1-1．在一个不透明的口袋中装有大小､形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，经过5次摸球停止摸球的概率是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．某数学答题闯关游戏，共5道题，若答对2道题就结束游戏，否则一直答完5道题．甲同学每道题答对的概率都为，且各题是否答对互不影响．在答完4题就结束游戏的条件下，第2题答对的概率为_____． 变式1-3．2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A． B． C． D． 题型二 条件概率性质的计算 解｜题｜技｜巧 条件概率的性质：设，则（1）； （2）如果和是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则 例2．已知事件、满足．若，，则（   ） A． B． C． D． 变式2-1．已知，是随机事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 变式2-2．（多选）已知随机事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 变式2-3．（多选）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 题型三 利用全概率公式求概率 解｜题｜技｜巧 某一事件的发生可能有各种的原因,如果是由原因所引起,则发生的概率是,每一原因都可能导致发生,故A发生的概率是各原因引起发生概率的总和 例3．甲同学准备去A、B两地游玩，去A地的概率为，去B地的概率为，在A地去爬山的概率为，在B地去爬山的概率为，则甲同学爬山的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3-1．某知识过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为__________ 变式3-2．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品，若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为______. 变式3-3．某学校组织数学、物理学科答题竞赛活动，该学校准备了 个相同的箱子，其中第 个箱子中有 个数学题， 个物理题. 规则如下: 任选一个箱子， 依次抽取三个题目（每次取出不放回），若第三次抽取的题目恰为物理题的概率是 ，则 的值为_____. 题型四 利用贝叶斯公式求概率 解｜题｜技｜巧 若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知,那么如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率. 例4．某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算： (1)求小李第2天选择书法社的概率． (2)求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率． 变式4-1．据统计，某校有高一、高二、高三共三个年级，喜欢打羽毛球的学生分别占各年级学生的，且这三个年级的学生数之比为，若从该校抽取一名喜欢打羽毛球的学生，则该学生是高二年级学生的概率为______. 变式4-2．某学校有两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．已知王同学第2天去餐厅用餐，则第1天去餐厅的概率（   ） A． B． C． D． 变式4-3．有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数的比为，任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”（），事件“零件为次品”.求： (1)的值； (2)求的值； (3)求的值 题型五 独立事件的乘法公式 例5．某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进入决赛，他们获一等奖的概率分别为，，，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为________． 变式5-1．小王、小李玩闯关游戏，该游戏一共有5关，小王、小李每关闯关成功的概率均为，小王和小李闯关成功相互独立．若事件A为“在完成闯关游戏后，小王闯关成功的次数恰好比小李多3”，则（     ） A． B． C． D． 变式5-2．甲抛掷质地均匀的硬币2次，乙抛掷质地均匀的硬币3次，则甲得到的正面向上的次数比乙得到的正面向上的次数少的概率是______． 变式5-3．某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道. (1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； (2)假设从第二关的20道灯谜中任选一道，甲猜对该题的事件与乙猜对该题的事件相互独立，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率. 题型六 由随机变量的分布列求概率 解｜题｜技｜巧 求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）理解的意义,写出可能取的全部值；（2）求取每个值的概率；（3）写出的分布列. 例6．某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为；乙车间第一、二道加工工序合格的概率分别为，．若对个来自甲车间，个来自乙车间的零件进行质检． (1)若从这个零件中随机抽取个零件，设其中来自甲车间的零件数为，求的分布列； (2)若从这个零件中随机抽取个，求该零件可以出厂销售的概率． 变式6-1．将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排. (1)求2个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记为2个白球之间红球的个数，求的分布列. 变式6-2．某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间（小时） 收费标准 免费 50元／人 100元／人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人健身的时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量，求的分布列. 变式6-3．现有一口袋内有4个黑球，3个白球和2个灰球，这些球除颜色外完全相同，现随机抽取球并进行记录，每次只抽取一个球. (1)若抽完球记录后放回口袋，进行n次抽取（），求摸到黑球的次数不超过次的概率； (2)若抽完球记录后不放回口袋. （ⅰ）若抽完所有球时抽取结束，求第二次抽到灰球且第三次抽到黑球的概率； （ⅱ）若当抽到灰球时抽取结束，记抽取次数为X，求X的分布列. 题型七 求二项分布的分布列及期望与方差 解｜题｜技｜巧 1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了次； 2.当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 3. 若服从二项分布，则 例7．某电子器件生产厂要生产一种标准规格为的电子器件，定义误差为产品实际规格减去标准规格.已知质检部抽检了某批次的件该产品，经统计得下表： 产品实际规格 频数 (1)若以频率估计概率，从该电子器件生产厂生产的该批次产品中随机抽取件，其中至少有件是标准规格产品的概率是多少？ (2)以频率估计概率，求该批次产品规格的误差绝对值的分布列和数学期望. 变式7-1．连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，每次正面向上得分，反面向上得分，记总得分为，则（    ） A． B． C． D． 变式7-2．某游戏有“通关升星”机制：每次通关有的概率获得1张卡片，每集齐2张卡片可升1颗星，每次通关结果相互独立．若小张连续通关6次，则他升星颗数的期望为______． 变式7-3．现有四人参加摄影作品有奖大赛，规定每人只能选取一幅作品参加比赛．每一幅作品都要通过三次评审，三次评审都通过才可获奖．每一幅作品第一次评审被淘汰的概率为，第二次评审被淘汰的概率为，第三次评审被淘汰的概率为，每次评审是否被淘汰相互独立． (1)求送审的每幅作品被淘汰的概率． (2)每幅送审作品，若能够通过三次评审，则该幅作品可获奖金9000元；若被淘汰，则该幅作品要亏损3000元的报名费．求这四幅作品所获奖金的分布列和数学期望． 题型八 服从二项分布的随机变量概率最大问题 解｜题｜技｜巧 二项分布的概率为，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加； 当时，，随值的增加而减少. 如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值. 如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 例8．某学校鼓励学生周末使用人工智能平台进行探究性学习，现从全校学生中抽取了容量为100的样本，得到某周末学生线上学习的时间，经统计绘制成如下频率分布直方图． (1)试估计该校学生周末线上学习时间的中位数及学习时间不小于3小时的频率； (2)从该校学生中随机抽取8人，周末线上学习时间不小于3小时的人数记为，以样本中周末线上学习时间不小于3小时的频率作为该事件的概率，当（）最大时，求的值． 变式8-1．一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球9个，其余为黑球．参与者从盒子中有放回的随机取次球，若其中取到白球的个数为，（，，），当概率（，，）时，则______． 变式8-2．某学校组织了一次数学建模比赛，本次比赛满分为100分，得分在80分以上为优秀，从中随机抽取100名学生的成绩得到如下所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计该校学生比赛成绩的中位数（精确到0.1）； (2)以样本数据中各区间的频率作为该区间的概率，若从全校学生中随机抽取30人，记其中获得优秀的人数为，求使取得最大值时的值． 变式8-3．在近期的中东冲突中，某武装力量的一种精准制导导弹的命中率为，各枚导弹是否命中相互独立． (1)若对某一处军事设施同时发射3枚导弹，记事件A为“恰有两枚导弹命中目标”，事件B为“第二枚导弹命中目标”，判断A与B是否相互独立； (2)若对某一处军事设施同时发射10枚导弹，记随机变量X为导弹命中的数量，求使取最大值时k的值； 题型九 求超几何分布的分布列及期望与方差 解｜题｜技｜巧 判断一个随机变量是否服从超几何分布,需看①总体是否可分为两类明确的对象；②是否为不放回抽样；③随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布,并确定数的值；②根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布列 例9．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为． (1)求的值； (2)若一次抽取3个城市，设取出小城市的个数为，求的分布列． 变式9-1．某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司n名员工，通过专用系统进行综合评级得出优秀有3人，良好有a人，及格有b人，若从中任选两人则两人都是优秀的概率为．现从中任选3人，记其中优秀的人数为，则的期望________ 变式9-2．端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中2盒是豆沙粽，4盒是鲜肉粽，从中任取3盒粽子，记取到的豆沙粽有盒，则______. 变式9-3．一个彩票盒中装有15张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有4张，奖金为300元的二等奖彩票有5张，奖金为100元的三等奖彩票有6张，从中随机抽出3张彩票. (1)求抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率； (2)记表示抽出3张彩票中三等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望. 题型十 均值方差在决策中的应用 解｜题｜技｜巧 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定. 例10．某公司研发了一款新产品，生产1件该产品需要经过三道相互独立的工序．已知第一道工序的合格率为0.99，第二道工序的合格率为0.9，第三道工序的合格率为0.9，若某道工序不合格，即视为该件产品不合格，并且不再进入后续工序． (1)求生产1件产品不合格的概率； (2)若1件产品合格则可获利润100元，否则损失150元，从生产线上随机抽取了10件产品，求这10件产品利润的数学期望． (3)公司要在国庆节开展新产品发布会，发布会可以在酒店会议厅举行，也可以在户外广场举行．有以下3种方案： 方案1：在酒店会议厅举行，无论天气如何，公司因售卖产品可获得利润3万元； 方案2：在户外广场举行，如果不遇到雨天，公司因售卖产品可获得利润10万元；如果遇到雨天，公司则会因设备损坏和观众减少而损失4万元； 方案3：在户外广场举行，公司需要花费3万元提前准备好临时雨棚．若有雨，公司因售卖产品可获得利润4万元；若无雨，公司因售卖产品可获得利润10万元． 根据天气预报，国庆节当天的降水概率为40%．公司应该选择哪个方案？请通过计算说明理由． 变式10-1．在一个计算机网络服务器系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度. (1)若该系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，该网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为0.9，它们之间相互不影响.求能正常工作的设备数X的分布和数学期望； (2)若该网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能带来约50万的经济损失.为减少经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？ 变式10-2．2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 变式10-3．据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中． (1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率； (2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围． 题型十一 利用正态分布3σ原则求概率 解｜题｜技｜巧 1.会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 2.充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 例11．某地区组织了一次高三模拟考试，对该地区3000名考生的考试成绩进行统计分析发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于105分的人数与低于65分的人数相同，据此可以估计本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为（   ） （参考数据：若，有，，） A．580 B．480 C．380 D．280 变式11-1．某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数） 参考数据：若，则， 变式11-2．（多选）大量临床数据显示，某年龄段人群空腹血糖检测值（单位：）近似服从正态分布，则（    ） 参考数据：若，则，0.9973． A．该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2 B．该年龄段人群空腹血糖检测值的方差为0.3 C．该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为 D．该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为 变式11-3．（多选）模型构建常需要进行正态检验.记随机变量服从标准正态分布，给定区间，若，则称区间具有较好构建度.则（   ） 附：若随机变量服从正态分布，则，，. A． B． C．区间具有较好构建度 D．区间具有较好构建度 题型十二 正态分布与直方图的结合 例12．某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图： (1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值） (2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值作为估计值． （i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标： 0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83 利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备． （ⅱ）若设备状态正常，记表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及的数学期望． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则， 变式12-1．某公司生产一种产品，为检测生产的某批产品质量是否达标，现从中随机抽取若干件，测量这些产品的质量指标值，得到频率分布直方图如下： 根据测量经验，这种产品的质量指标值近似服从正态分布，其中近似为样本平均值．记质量指标值内的产品为优等品，内的产品为一等品，公司规定一等品或者优等品为合格品，以各组数据的中间值为代表，以频率估计概率，下列说法正确的是（    ） （参考数据：，） A． B．该公司生产的产品为优等品的概率为13.59% C．该公司生产10000件这种产品，记表示这10000件产品中一等品的件数，则的数学期望为6827 D．若该公司计划销售该产品，一等品每件定价为2元，优等品每件定价为3元，则该公司生产该产品10000件并售出全部合格品的收入约为17731元 变式12-2．某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的内径进行测量，统计绘制了如下图所示的频率分布直方图.    (1)求a的值以及这批零件内径的平均值和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记内径在区间内的零件个数为，求的分布列以及数学期望； (3)已知这批零件的内径（单位：mm）服从正态分布，现以频率分布直方图中的平均数作为的估计值，频率分布直方图中的标准差作为的估计值，则在这批零件中随机抽取200个，记内径在区间上的零件个数为，求的方差. 参考数据：，若，则，，. 变式12-3．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．    (1)求这4000名考生的竞赛平均成绩．（同一组中数据用该组区间中点作代表）； (2)由直方图可认为考生竞赛成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求（精确到0.001）． 附：①，； ②，则，； ③． 题型十三 相关系数的计算及意义 例13．网购是现代年轻人重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与年份代码进行了统计，得如下数据： x 1 2 3 4 5 y 2.5 3.3 4.5 6.2 8.5 则x与y的样本相关系数（   ） 参考公式：，参考数据：，． A．0.99 B．0.98 C．0.97 D．0.96 变式13-1．已知A，B，C，D四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，，，，则样本数据中变量间呈负相关且线性相关程度最强的是（   ） A．A组 B．B组 C．C组 D．D组 变式13-2．对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（    ） A．   B．   C．   D．   变式13-3．为了研究人体的脂肪含量和年龄之间的线性强弱，科研人员随机抽取了14个样本点（代表年龄，代表脂肪含量，，2，……，14．由统计软件得，，，，，且相关系数公式，由以上数据计算得_____． 题型十四 线性回归方程 例14．某市开展“我心中的好老师”评选活动，现对评选出的五位候选人的工作年限和得票数进行了统计，得到如下数据： “我心中的好老师”编号 1 2 3 4 5 工作年限/年 4 6 8 10 12 得票数/百张 10 20 40 60 50 (1)若得票数与工作年限满足线性相关关系，试求经验回归方程，并就此估计“我心中的好老师”的工作年限为15年时的得票数； (2)若用表示统计数据时得票数的“即时均值”（四舍五入到整数），从5个“即时均值”中任选2个，求这2个数据之和小于8的概率. 变式14-1．现有10个样本数据，，，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 变式14-2．（多选）已知某软件公司开发了一款新型智能解题软件，现将该软件上市后的月份以及当月获得的利润（单位：万元）统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（     ） 月份 1 2 3 4 5 利润 6 7 9 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润平均提高万元 C．可以估计上市后的第7个月的利润为万元 D．上市后的第4个月的利润的残差为万元 变式14-3．近年来，我国新能源汽车市场持续扩容，某市为研究新能源汽车市场增长规律，统计了连续6年的年度销售数据，设年份编码为（第1年､第2年……第6年），年度总销量为（单位：千辆），对应数据如下： 年份编码 1 2 3 4 5 6 销售量 276 312 354 386 418 450 (1)求这6年销售量数据的极差与第75百分位数； (2)从这6年销售量数据中随机抽取2个数据，已知其中一个数据不小于400（千辆），求另一个数据也不小于400（千辆）的概率； (3)销售量与年份编码具有较强的线性相关关系，试求关于的经验回归方程，并预测第8年该市新能源汽车的年度销售量（单位：千辆，结果保留小数后两位）. 参考公式及数据： （1）（2）. 题型十五 相关指数、残差的计算及意义 例15．已知变量、满足线性相关关系，经验回归方程为且，．现有一对观测数据为，若该数据的残差为0.6，则__________． 变式15-1．（多选）对两个变量与进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据：则下列说法正确的是（   ） A．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 B．由样本数据利用最小二乘法得到的经验回归方程表示的直线必过样本点的中心 C．若变量与之间的相关系数，则变量与之间具有很强的线性相关性 D．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好 变式15-2．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为_______． 变式15-3．现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本（单位：万元）和企业利润的数据（单位：万元）如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 物流成本 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5 利润 114 116 106 122 132 114 132 残差 0.2 0.6 1.8 -3 -1 -4.6 根据最小二乘法公式求得经验回归方程为. (1)求的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值； (2)请先求出线性回归模型的决定系数（精确到0.0001），若根据非线性模型求得解释变量（物流成本）对于响应变量（利润）的决定系数，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好. 参考公式及数据：，，. 题型十六 非线性回归方程 解｜题｜技｜巧 非线性经验回归问题的解题步骤 （1）根据原始数据作出散点图；（2）根据散点图选择恰当的拟合函数； （3）作恰当的变换,将其转化成线性经验回归方程求解； （4）在上面的基础上通过相应的变换,即可得非线性经验回归方程. 例16．某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）的散点图，其中t为正整数． (1)利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ⅱ）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由． 参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 45.07 3.42 参考公式：． 变式16-1．某市公交公司统计了二月份到六月份使用支付宝或微信扫码支付乘车的人次，用表示月份，表示每月使用扫码支付的人次（单位：千人次）．已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 则（    ） A．0.596 B． C．-6.92 D． 变式16-2．椰树集团为确定下一年度投入椰树椰汁的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 298.8 1.6 1469 108.8 表中 (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (2)已知椰树椰汁的年利润与的关系为.根据（1）的结果求年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 变式16-3．设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足关系式，其中为大于0的常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 题型十七 独立性检验 解｜题｜技｜巧 应用独立性检验解决实际问题的步骤 （1）提出零假设与相互独立,并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出列联表,计算的值,并与临界值比较. （3）根据检验规则得出推断结论: 当时,推断不成立,即认为和不独立,该推断犯错误的概率不超过； 当时,没有充分证据推断不成立,可以认为和独立. 例17．台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表： 白光 黄光 近视 80 60 不近视 40 60 (1)根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关； (2)用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 变式17-1．某研究机构为调查“高中生睡眠质量与经常使用电子设备是否有关”，分别去两个学校调查.甲校随机抽取300名学生，乙校随机抽取600名学生，分别得到以下数据： 甲校（300人）                          睡眠好 睡眠差 合计 经常使用电子设备 60 40 100 不经常使用电子设备 140 60 200 合计 200 100 300 乙校（600人） 睡眠好 睡眠差 合计 经常使用电子设备 120 80 200 不经常使用电子设备 280 120 400 合计 400 200 600 记由甲校、乙校上述数据计算的卡方统计量分别为 .下列说法正确的有（   ） A．甲乙两校样本中经常使用电子设备的学生比例均为 B．甲乙两校样本经常使用电子设备的学生中睡眠差的比例均为 C．相比甲校数据，乙校数据更容易得出“睡眠质量与使用电子设备有关”的结论 D．若将甲、乙两校合并为一个容量为 900 人的样本，则合并后的卡方统计量 变式17-2．某外卖平台为响应“绿色餐饮”的号召，研究顾客备注“无需餐具”与订单是否获得好评之间的关联，根据样本数据进行独立性检验，计算得．若将原列联表中的所有数据均扩大为原来的倍，则在相同检验标准下重新计算，得到的的值可能是（    ） A． B． C． D． 变式17-3．在一项“人机协作”的心理学实验中，研究人员让20名志愿者和20个AI语言模型分别完成同一项“情感强度打分”任务.志愿者组根据自己的主观感受打分，AI组则根据AI模型内置的情感词典计算打分. 志愿者组的评分如下表： 15.2 16.5 18.8 19 20.2 20.8 21.3 22 22.5 23.2 23.5 24.1 25.8 26 26.5 27 27.5 28.5 30.1 31.2 AI组的评分如下表： 7.8 8.5 9.2 10 11.4 11.8 12.4 13 13.2 14.2 15.5 16 16.2 16.5 17.2 18 18.5 19.2 19.5 20.5 (1)求AI组20个评分的极差与第20百分位数. (2)设这40个评分的中位数为m. （i）求m的值，并统计两组(人类组即志愿者组)样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成下面的列联表： 评分小于m 评分不小于m 合计 人类组 AI组 合计 （ii）根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析AI的情感量化结果与人类的主观感知是否存在差异. 附： α 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·26高二下·河南郑州·期中）设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（   ） 0 1 2 A．1 B． C． D． 2．（2025·26高二下·江西萍乡·期中）（多选）在一项关于学生体能测试的研究中，某研究小组随机选取了100名学生作为研究对象．他们记录了每位学生的日常锻炼时间（记为变量，单位：小时）与体能测试得分（记为变量，单位：分）的数据．通过对这100组成对数据进行统计分析，某学生计算出回归直线方程为，则下列说法正确的是（    ） A．体能测试得分与日常锻炼时间正相关 B．该样本数据的相关系数为4.8 C．该样本数据中的所有点都可以不在该回归直线方程上 D．某学生的日常锻炼时间为2小时，则他的体能测试得分一定为82分 3．（2025·26高一下·江苏扬州·阶段检测）一名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取，在一轮答题中，能够通过测试的概率是，若该同学答题两轮，则恰有一轮通过测试的概率为______.（结果以既约分数表示） 4．（2026·江苏·模拟预测）袋中装有标有数字1到6的6个大小、形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．用表示取出的3个小球标号的最小数字． (1)求随机变量的分布列及数学期望； (2)已知取出的3个小球的标号和为奇数，求的概率． 5．（2026·西藏拉萨·二模）某公司的生产车间有3台核心加工设备，分别为成型机（记为设备A）、调试机（记为设备B）、测试机（记为设备C），三台设备各自独立工作，设同时发生故障的设备数为随机变量． (1)若三台设备同时运行，每台设备发生故障的概率均为，求“至少有1台设备发生故障的条件下，恰好有1台设备发生故障”的概率；（结果保留三位有效数字） (2)为验证设备A与设备B的工作独立性，该公司随机抽取了次设备运行记录，得到如下列联表（单位：次）： 设备A 设备B 合计 故障 正常 故障 30 70 100 正常 60 40 100 合计 90 110 200 根据小概率值的独立性检验，分析设备A的故障与设备B的故障是否有关． 附：， 6．（2024·25高二下·湖北黄冈·期末）某4名射击手进行射击训练，他们互不影响地同时对同一目标进行射击，每人击中的概率均为. (1)设4名射击手击中目标的人数为，当时，求的数学期望与方差； (2)若目标被一人击中不会被摧毁，被2人击中而被摧毁的概率为，被3人击中而被摧毁的概率为，被4人击中则肯定被摧毁.设目标被摧毁的概率为，当时，求的最大值. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 7．（2025·26高二下·河北沧州·期中）将个编号为的小球放入个编号为的盒子中，若一个球的号码与放入该球的盒子的号码恰好相同，我们称之为一个“完美归位”，设“完美归位”的个数为，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·上海虹口·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果精确到0.0001） 参考数据：若，则，． 9．（2024·25高二下·四川德阳·期末）近期，高中周末双休引起热议，为调查在校高中学生对国家双休政策的支持情况，某中学数学社团在校园内对学生展开随机调查，得到下表．（数据单位：人） 支持 不支持 成绩优秀 60 30 成绩不优秀 90 30 (1)根据该数学社团的调查结果判断，有无90%把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关？ 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：． (2)若该数学社团的调查结果可靠，某文学社团按相同方式在该校园内另随机调查了14位同学．其中成绩优秀且支持双休的人数为，请参考数学社团的调查数据，估算和； (3)该校准备从数学社团调查的210名同学中用“按比例分层抽样”的方法抽取7位同学座谈、并准备在参与座谈的同学中选取5人组成新的调查小组．假设新的调查小组中支持双休但成绩不优秀的人数为，求的分布列． 10．（2023·福建泉州·模拟预测）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据. 73.5 3.85 表中：， (1)根据散点图判断: ①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的经验回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的经验回归方程 (3)已知该茶水温度降至口感最佳，根据（2）中的经验回归方程，求在相同条件下，刚泡好的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感. 附：（1）对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， （2）参考数据：，，，，. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为__________. 12．（2026·重庆渝中·三模）一随机变量服从正态分布，则， _____.已知一粒子在数轴上从原点出发，每一步等可能向左或向右移动，随机变量表示走完8步后，粒子向右移动的总步数，与相互独立，则_____. 13．（2023·24高三下·贵州贵阳·阶段检测）每年12月4日是全国普法宣传日，某校对高三年级600名学生法治素养现状进行调查研究，举行了一次“普法知识”竞赛.从中随机抽取60名学生，统计结果如下：获奖人数占总人数的，其中获奖人数中，男生占，不获奖人数中，女生占． (1)现从这60名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率； (2)对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动.若从这8人中随机选取2人. ①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率； ②记X为入选的2人中的女生人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 14．（2025·26高三上·山西晋中·期末）甲、乙两人进行一局羽毛球比赛，约定比赛规则如下：比赛中两人轮流发球（每次只发一球），由甲先发球，每赢一球得1分，输球不得分，达到15分且至少领先2分者获胜（当打成后，先多得2分的一方获胜）.甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，已知比赛目前激战至. (1)若已知比赛结果为，求这局比赛是乙获胜的概率； (2)求这局比赛甲获胜的概率； (3)记为这局比赛结束时甲的总发球个数，求的数学期望. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $