期末高频考点突破训练2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级下册（36考点）

**基本信息** 聚焦期末高频36个考点，覆盖不等式、相交线与平行线、三角形等模块，通过基础辨析、综合计算与证明题，构建从概念到应用的递进式训练，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式|7考点|性质应用、含参计算、应用题|从基本性质到解集，再到含参问题与实际应用，层层递进| |相交线与平行线|9考点|角识别与计算、平行判定与性质综合|从对顶角、垂直等基础到平行判定与性质的综合推理| |三角形|6考点|边与角计算、三线（中线/高/角平分线）综合|从定义分类到边、角关系及三线性质的综合应用| |全等三角形|7考点|全等判定与性质综合|从全等图形概念到判定方法，再到性质应用与综合证明| |等腰与等边三角形|5考点|性质与判定综合|从等腰性质到判定，延伸至等边三角形的特殊性质应用| |垂直平分线|2考点|性质与判定应用|从垂直平分线性质到判定，结合三角形进行综合应用|

期末高频考点突破训练2025-2026学年沪教版（五四制） 七年级下册（36考点） 考点1：不等式的基本性质 1.已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2.如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（　　） A．D＜B＜A＜C B．B＜D＜C＜A C．B＜A＜D＜C D．B＜C＜D＜A 3．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（ ） A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0 考点2：不等式及不等式的解集 1.在下列数学表达式中，不等式的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 3．不等式的正整数解是（    ） A．1，2 B．0，1，2 C．1，2，3 D．0，1，2，3 4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 考点3：一元一次不等式与一元一次不等式的解集 1.下列式子是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的非负整数解有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 3．如果是关于x的一元一次不等式，则m=_______ 考点4：一元一次不等式组与一元一次不等式组的解集 1．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 考点5：解一元一次不等式与一元一次不等式组 1.解不等式--x≤-1，去分母，得（    ） A．3（2x-1）-5x+2-6x≤-6 B．3（2x-1）-（5x+2）-6x≥-6 C．3（2x-1）-（5x+2）-6x≤-6 D．3（2x-1）-（5x+2）-x≤-1 2．不等式组的所有整数解的和为 ． 3.解不等式: ，并把它的解集在数轴上表示出来. 4．解不等式组：． 考点6：一元一次不等式组含参问题 1．若不等式组有解，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若不等式组的解集为3≤x≤4，则a+b＝ ． 4．若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 ． 5.若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 考点7：一元一次不等式（组）应用题 1．某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为(　　) A．3×5+3×0.8x≤27 B．3×5+3×0.8x≥27 C．3×5+3×0.8(x﹣5)≤27 D．3×5+3×0.8(x﹣5)≥27 2.将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 3．某景点摊位要购进不倒翁和折扇两种纪念品，不倒翁的单价为20元，折扇的单价为10元．已知购买折扇的件数比购买不倒翁的件数的2倍少3件，如果购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少于35件，且购买这两种商品的总费用少于560元，设购买不倒翁x件，依题意可列不等式组得（    ） A． B． C． D． 4.某校组织开展了“读书立志，强国有我”的知识竞赛，共20道竞赛题，选对得6分，不选或错选扣2分，得分不低于80分获奖，那么同学们要获奖至少应选对 道题． 5．为贯彻落实教育部《关于推进中小学生研学旅行的意见》，我市某中学组织七年级师生到爱莲湖开展研学活动，学校计划租用两种不同型号的客车前往爱莲湖，两种客车的载客量与租金如下表所示： 中型客车 大型客车 载客量（人/辆） 18 30 租金（元/辆） 800 1200 若共有172名师生参加此次研学活动，学校计划租用这两种客车共8辆，租金总费用不超过8000元，要使全部师生均有座位，则怎样租车更划算？ 考点8：对顶角、邻补角的识别 1.如图，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 2.下列图形中，与互为邻补角的是（    ） A．   B．   C．   D．   3.如图，直线，，相交于一点，则的对顶角是（    ） A． B． C． D． 考点9：对顶角、邻补角的相关计算 1.如图，直线与相交于点，若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 2．如图所示：O为直线上一点，是的平分线，在的内部，，则的度数= ． 3.如图，直线相交于点．平分，． (1)的度数为___________．； (2)若，则是否平分？并说明理由． 考点10：垂直的定义与性质 1．如图，，垂足为D，则下面说法中不正确的是（    ） A．点B到的垂线段是线段 B．与互相垂直 C．与互相垂直 D．线段的长度是点A到的距离 2．如图，于点，于点，，，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 3.如图所示，点A到直线的距离是线段　　　　的长度（  ） A． B． C． D． 考点11：同位角、内错角、同旁内角的识别 1.如图，直线a、b被直线c所截，∠1的同位角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．以上都不是 2.如图，直线a，b被直线c所截，∠1的内错角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 3.如图所示，将木条a，b的一端钉在一起，再将木条a，b与木条c钉在一起，则图中∠2的同旁内角是（　　） A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5 考点12：探究两直线平行的条件 1．下列图形中，已知，则能判定的是（     ） A． B． C． D． 2.如图，已知，要使，还需再添加一个条件： ． 3.如图，，平分，请说明：． 考点13：利用平行的性质求角的度数 1.如图，，，则的度数为（    ） A．160 B．140 C．50 D．40 2．如图所示，已知，，，则 °．    3．如图，已知，点E是上方一点，点M、N分别在直线上，连结平分交的反向延长线于点G，若，且，则度数为 ． 考点14：通过阅读推理过程填空 1.在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠1+∠2＝180°（ 　 　）， ∠2+∠3＝180°（平角的定义）， ∴　 ＝∠3（ 　 　）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4（ 　 　）， ∴c∥d（ 　　 ）． 2.把下面的证明过程补充完整： 如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（         ）． 又∵（已知）， ∴， ∴（    ）（____________）． 又∵（已知）， ∴， ∴（____________）． 3.完成下面的证明：已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD． 证明：∵DE平分∠BDC（已知）， ∴∠BDC＝2∠1（ 　 ）． ∵BE平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD＝　 （角的平分线的定义）． ∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ 　）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠ABD+∠BDC＝180°（ 　 　）． ∴AB∥CD（ 　 　）． 考点15：利用平行线的性质解决实际问题 1．一大门的栏杆如图所示，垂直于地面，垂足为A，平行于地面，若，则的度数为 ． 2．如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 3．光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且．，则 ． 4．一款手机支架的示意图如图所示，底座支架与桌面垂直，，固定连接杆，为固定值，是活动连杆，其可绕点B旋转，使的度数发生变化进而带动手机夹升降．当时， ；    考点16：平行线的判定与性质综合 1.如图，，的平分线交于点B，G是上的一点，的平分线交于点D，且．下列结论：①；②与互余的角有2个；③平分；④若，则．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB． 3．已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分 (1)如图1，当时， °； (2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求与的数量关系； ②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 考点17：三角形的定义与分类 1.如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 2.如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3．△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 考点18：三角形的边 1.以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（    ） A．2，3，6 B．4，4，8 C．5，6，10 D．7，8，16 2.有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 4．若a，b，c是△ABC的三边，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 5.三角形的三边长分别为2，，5，则的取值范围是 ． 考点19：三角形的中线 1能将任意一个三角形分成面积相等的两部分的是（   ） A．三角形的一条高 B．三角形的一条中线 C．三角形的一条角平分线 D．三角形一边的垂直平分线 2．如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3.如图，是的中线， E和F分别是和的中点，若的面积为，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 4．如图，是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若的面积为12，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．不能确定 考点20：三角形的高 1.如图，在△中，线段表示的边上的高的图是（   ） A．   B．   C．   D．   2．如图，在中，边上的高线是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 . 4.如图，中，，于E，，点D在上移动，则的最小值是 ． 考点21：三角形的中线、高、角平分线的综合 1.下列说法正确的有（   ） ①三角形的三条高在三角形内部； ②以三角形的顶点为端点，且平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线； ③三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形； ④三角形的三条角平分线和三条中线在三角形内部或外部． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.在直角三角形ABC中，，，则的三条高之和为（ ） A．8.4 B．9.4 C．10.4 D．11. 3．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 4.如图，中，是的角平分线，，是中点，连接，若，，，则为（    ）    A． B． C． D． 5.如图，已知、分别是的高和中线，，．试求： (1)的面积； (2)的长度； (3)与的周长的差． 考点22：三角形的内角与外角的相关计算 1.如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC等于（　　） A．95° B．120° C．135° D．无法确定 2．如图，△ABC的两条内角平分线BO，CO相交于点O，两条外角平分线BP，CP相交于点P．已知∠BOC＝120°，则∠P＝（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 3.如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E的度数为 ．    4.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数； （2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E． 考点23：全等图形 1.下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2.下列说法中正确的是（    ）． A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形面积一定相等 3.如图，有①～⑤5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有（　　） A．②③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③⑤ 4.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P＋∠Q＝__________度． 考点24：全等三角形的相关概念 1.下列说法正确的是（　　） A．全等三角形是指形状相同的三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．全等三角形的周长和面积相等 D．所有等边三角形是全等三角形 2.如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝∠DCA，则BC的对应边是（　　） A．CD B．CA C．DA D．AB 3.如图，△ABC≌△EFD，则下列说法错误的是（　　） A．FC＝BD B．EF平行且等于AB C．AC平行且等于DE D．CD＝ED 考点25：全等三角形的性质 1.边长都为整数的△ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边，AB＝2，BC＝4，若△DEF的周长为奇数，则DF的值为（　　） A．3 B．4 C．3或5 D．3或4或5 2.如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4 3.如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180° 5.如图所示，△ACD≌△ECD，△CEF≌△BEF，∠ACB＝90°． （1）求证：CD⊥AB； （2）求∠B的度数； （3）求证：EF∥AC． 考点26：全等三角形的判定条件 1.如图，点B、E在线段CD上，若∠A＝∠DEF，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是（　　） A．∠C＝∠D，AC＝DE B．BC＝DF，AC＝DE C．∠ABC＝∠DFE，AC＝DE D．AC＝DE，AB＝EF 2.如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是(    ) A．BC=BD； B．AC=AD； C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB 3.在△ABC和△DEF中，其中∠C＝∠F，则下列条件：①AC＝DF，∠A＝∠D；②AC＝DF，BC＝EF；③∠A＝∠D，∠B＝∠E；④AB＝DE，∠B＝∠E；⑤AC＝DF，AB＝DE．其中能够判定这两个三角形全等的是（　　） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 4.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE＝CF，请添加一个条件　 　，使△ABC≌△DEF． 考点27：证明两个三角形全等的判定方法判断 1.如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 2.如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是（　　） A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS 3．如图是小明用同一种材料制成的金属框架，已知，，，则 ，其依据是 ． 考点28：证明两个三角形全等 1.如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，CF＝BE，AF＝DE． 求证：△ACF≌△DBE． 2.如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE＝BF，求证：△ABF≌△CDE． 3.如图，点A，F，C，D在同一条直线上，AF＝DC，AB＝DE，∠A＝∠D．求证：△ABC＝△DEF． 4.如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：△BDE≌△CDF． 考点29：全等三角形的性质与判定综合 1.如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB＝∠COD＝α，直线AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2.如图，AD＝AC，AB＝AE，∠DAB＝∠CAE． （1）△ADE与△ACB全等吗？说明理由； （2）判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由． 3.已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点． （1）如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝　 　； （2）如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝ 　； （3）如图3，若∠DAB＝α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明． 考点30：等腰三角形的性质 1．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C．或 D．或 2.如图，在中，，点在上，且 ，则的度数是（  ）    A． B． C． D． 3.等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为 ． 3．若等腰三角形两边长为，，则周长可以是 cm． 4．如图，中，，，则的度数为 °． 考点31：等腰三角形的判定 1.已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 2．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）个． A．5 B．6 C．8 D．9 3.在平面直角坐标系中，，，C为第一象限内一点，若以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为 ． 4.如图，在中，点、在边上，，．求证：． 考点32：等腰三角形的性质与判定综合 1.如图，在中，分别为上的点，且满足． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，试判断与的位置关系，并证明． 2．（1）如图，在中，，，点 在的延长线上，且，点在 的延长线上，且 ，求 的度数； （2）若把（1）中“”的条件去掉，其余条件不变，则 的度数会改变吗?请说明理由； （3）若把（2）中“”的条件改为“”，其余条件不变，则 与之间的数量关系为 ． 考点33：等边三角形的性质 1．如图，等边三角形中，是上的高，点E，F分别在上，且，则图中与相等的线段（不包含）一共有（ ） A．4条 B．6条 C．7条 D．8条 2.如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.如图，在等边中，，平分交于点D，过D作于点E，则的长度为 ． 4.如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 5.如图，已知等边三角形的边长为，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ．    考点34：等边三角形的判定 1.如图，在中，为边延长线上的一点，已知，．求证：是等边三角形．    2.如图，点D在等边的外部，连接、，，过点D作交于点F，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)连接，若，，求的长． 考点35：垂直平分线的性质 1．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE的大小是（　　） A．24° B．30° C．32° D．36° 2.如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 3.已知MN是线段AB的垂直平分线，P、Q是直线MN上两点，且∠PAB＝35°，∠QBA＝60°，则∠QAP的度数为 ． 4．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为　 　． 5.如图， 在中，，的垂直平分线交于点 D， 交于点E，点F为的中点，点M为线段上一动点，若周长的最小值为， 则的面积是 ． 考点36：垂直平分线的判定 1.如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由． 2.如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末高频考点突破训练2025-2026学年沪教版（五四制） 七年级下册（36考点） 考点1：不等式的基本性质 1.已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（　　） A．D＜B＜A＜C B．B＜D＜C＜A C．B＜A＜D＜C D．B＜C＜D＜A 【答案】C． 3．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（ ） A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0 【答案】A 考点2：不等式及不等式的解集 1.在下列数学表达式中，不等式的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 2.下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 3．不等式的正整数解是（    ） A．1，2 B．0，1，2 C．1，2，3 D．0，1，2，3 【答案】A 4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 考点3：一元一次不等式与一元一次不等式的解集 1.下列式子是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2．不等式的非负整数解有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 3．如果是关于x的一元一次不等式，则m=_______ 【答案】1 考点4：一元一次不等式组与一元一次不等式组的解集 1．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 考点5：解一元一次不等式与一元一次不等式组 1.解不等式--x≤-1，去分母，得（    ） A．3（2x-1）-5x+2-6x≤-6 B．3（2x-1）-（5x+2）-6x≥-6 C．3（2x-1）-（5x+2）-6x≤-6 D．3（2x-1）-（5x+2）-x≤-1 【答案】C 2．不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】 3.解不等式: ，并把它的解集在数轴上表示出来. 【答案】，数轴见解析 【详解】解： 4．解不等式组：． 【答案】 【解析】解：， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为． 考点6：一元一次不等式组含参问题 1．若不等式组有解，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 2．已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3．若不等式组的解集为3≤x≤4，则a+b＝ ． 【答案】1 4．若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 5.若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 考点7：一元一次不等式（组）应用题 1．某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为(　　) A．3×5+3×0.8x≤27 B．3×5+3×0.8x≥27 C．3×5+3×0.8(x﹣5)≤27 D．3×5+3×0.8(x﹣5)≥27 【答案】C 2.将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 3．某景点摊位要购进不倒翁和折扇两种纪念品，不倒翁的单价为20元，折扇的单价为10元．已知购买折扇的件数比购买不倒翁的件数的2倍少3件，如果购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少于35件，且购买这两种商品的总费用少于560元，设购买不倒翁x件，依题意可列不等式组得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 4.某校组织开展了“读书立志，强国有我”的知识竞赛，共20道竞赛题，选对得6分，不选或错选扣2分，得分不低于80分获奖，那么同学们要获奖至少应选对 道题． 【答案】15 5．为贯彻落实教育部《关于推进中小学生研学旅行的意见》，我市某中学组织七年级师生到爱莲湖开展研学活动，学校计划租用两种不同型号的客车前往爱莲湖，两种客车的载客量与租金如下表所示： 中型客车 大型客车 载客量（人/辆） 18 30 租金（元/辆） 800 1200 若共有172名师生参加此次研学活动，学校计划租用这两种客车共8辆，租金总费用不超过8000元，要使全部师生均有座位，则怎样租车更划算？ 【答案】租用5辆中型客车，3辆大型客车更划算 【详解】解：设租用中型客车x辆，则租用大型客车辆， 根据题意，得 解得， ∵x为非负整数， ∴x取4，5 ∴当租用4辆中型客车，4辆大型客车时，租金总费用为： （元）； 当租用5辆中型客车，3辆大型客车时，租金总费用为： （元）： ∵， ∴租用5辆中型客车，3辆大型客车更划算． 考点8：对顶角、邻补角的识别 1.如图，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2.下列图形中，与互为邻补角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 3.如图，直线，，相交于一点，则的对顶角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 考点9：对顶角、邻补角的相关计算 1.如图，直线与相交于点，若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 2．如图所示：O为直线上一点，是的平分线，在的内部，，则的度数= ． 【答案】/72度 3.如图，直线相交于点．平分，． (1)的度数为___________．； (2)若，则是否平分？并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见详解； 【详解】（1）解：∵与互为对顶角, ∴ ∵平分 ∴， 故答案为：． （2）解：平分， 理由：由（1）得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 则平分． 考点10：垂直的定义与性质 1．如图，，垂足为D，则下面说法中不正确的是（    ） A．点B到的垂线段是线段 B．与互相垂直 C．与互相垂直 D．线段的长度是点A到的距离 【答案】A 2．如图，于点，于点，，，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3.如图所示，点A到直线的距离是线段　　　　的长度（  ） A． B． C． D． 【答案】D 考点11：同位角、内错角、同旁内角的识别 1.如图，直线a、b被直线c所截，∠1的同位角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．以上都不是 【答案】B． 2.如图，直线a，b被直线c所截，∠1的内错角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】B． 3.如图所示，将木条a，b的一端钉在一起，再将木条a，b与木条c钉在一起，则图中∠2的同旁内角是（　　） A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】B． 考点12：探究两直线平行的条件 1．下列图形中，已知，则能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 2.如图，已知，要使，还需再添加一个条件： ． 【答案】（答案不唯一） 3.如图，，平分，请说明：． 【答案】见解析 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 考点13：利用平行的性质求角的度数 1.如图，，，则的度数为（    ） A．160 B．140 C．50 D．40 【答案】B 2．如图所示，已知，，，则 °．    【答案】 3．如图，已知，点E是上方一点，点M、N分别在直线上，连结平分交的反向延长线于点G，若，且，则度数为 ． 【答案】/度 考点14：通过阅读推理过程填空 1.在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠1+∠2＝180°（ 　 　）， ∠2+∠3＝180°（平角的定义）， ∴　 ＝∠3（ 　 　）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4（ 　 　）， ∴c∥d（ 　　 ）． 【答案】已知；同角的补角相等；∠1；等量代换；内错角相等，两直线平行． 2.把下面的证明过程补充完整： 如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（         ）． 又∵（已知）， ∴， ∴（    ）（____________）． 又∵（已知）， ∴， ∴（____________）． 【答案】垂直的定义；，对顶角相等；同位角相等，两直线平行． 3.完成下面的证明：已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD． 证明：∵DE平分∠BDC（已知）， ∴∠BDC＝2∠1（ 　 ）． ∵BE平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD＝　 （角的平分线的定义）． ∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ 　）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠ABD+∠BDC＝180°（ 　 　）． ∴AB∥CD（ 　 　）． 【答案】角平分线的定义；2∠2；等式的性质；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 考点15：利用平行线的性质解决实际问题 1．一大门的栏杆如图所示，垂直于地面，垂足为A，平行于地面，若，则的度数为 ． 【答案】 2．如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 【答案】． 3．光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且．，则 ． 【答案】/55度 4．一款手机支架的示意图如图所示，底座支架与桌面垂直，，固定连接杆，为固定值，是活动连杆，其可绕点B旋转，使的度数发生变化进而带动手机夹升降．当时， ；    【答案】 考点16：平行线的判定与性质综合 1.如图，，的平分线交于点B，G是上的一点，的平分线交于点D，且．下列结论：①；②与互余的角有2个；③平分；④若，则．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 2.已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB． 【答案】证明：FH⊥AB（已知）， ∴∠BHF＝90°． ∵∠1＝∠ACB（已知）， ∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）． ∵∠2＝∠3（已知）， ∴∠3＝∠BCD（等量代换）， ∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行）， ∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等） ∴CD⊥AB． 3．已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分 (1)如图1，当时， °； (2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求与的数量关系； ②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1)55 (2)①，②或 【详解】（1）∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：55； （2）①过点P作，如图， 则 ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∵， ∴， ∴， ②当时，如图， ∵， ∴ ∴， ∵平分 ∴ ∵， ∴， 当时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ． 故∠PNF的度数为或． 考点17：三角形的定义与分类 1.如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 【答案】B 2.如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 3．△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 考点18：三角形的边 1.以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（    ） A．2，3，6 B．4，4，8 C．5，6，10 D．7，8，16 【答案】C 2.有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 3．如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 4．若a，b，c是△ABC的三边，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 5.三角形的三边长分别为2，，5，则的取值范围是 ． 【答案】 考点19：三角形的中线 1能将任意一个三角形分成面积相等的两部分的是（   ） A．三角形的一条高 B．三角形的一条中线 C．三角形的一条角平分线 D．三角形一边的垂直平分线 【答案】B 2．如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 3.如图，是的中线， E和F分别是和的中点，若的面积为，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 4．如图，是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若的面积为12，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．不能确定 【答案】B 考点20：三角形的高 1.如图，在△中，线段表示的边上的高的图是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 2．如图，在中，边上的高线是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 3．已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 . 【答案】28或8 4.如图，中，，于E，，点D在上移动，则的最小值是 ． 【答案】 考点21：三角形的中线、高、角平分线的综合 1.下列说法正确的有（   ） ①三角形的三条高在三角形内部； ②以三角形的顶点为端点，且平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线； ③三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形； ④三角形的三条角平分线和三条中线在三角形内部或外部． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 2.在直角三角形ABC中，，，则的三条高之和为（ ） A．8.4 B．9.4 C．10.4 D．11. 【答案】B 3．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 4.如图，中，是的角平分线，，是中点，连接，若，，，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 5.如图，已知、分别是的高和中线，，．试求： (1)的面积； (2)的长度； (3)与的周长的差． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：是直角三角形，，， ， 是上的中线， ， ， ； （2）解：，是上的高， ， ； （3）解：是边上的中线， ， 的周长－的周长= ， 即和的周长差是． 考点22：三角形的内角与外角的相关计算 1.如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC等于（　　） A．95° B．120° C．135° D．无法确定 【答案】C。 2．如图，△ABC的两条内角平分线BO，CO相交于点O，两条外角平分线BP，CP相交于点P．已知∠BOC＝120°，则∠P＝（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】A 3.如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E的度数为 ．    【答案】25° 4.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数； （2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E． 【答案】 （1）解：∵∠B＝35°，∠E＝25°， ∴∠ECD＝∠B+∠E＝60°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ECD＝60°， ∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝85°； （2）证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD＝∠ACE， ∵∠BAC＝∠E+∠ACE， ∴∠BAC＝∠E+∠ECD， ∵∠ECD＝∠B+∠E， ∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E， ∴∠BAC＝2∠E+∠B． 考点23：全等图形 1.下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2.下列说法中正确的是（    ）． A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形面积一定相等 【答案】D 3.如图，有①～⑤5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有（　　） A．②③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③⑤ 【答案】C． 4.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P＋∠Q＝__________度． 【答案】45 考点24：全等三角形的相关概念 1.下列说法正确的是（　　） A．全等三角形是指形状相同的三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．全等三角形的周长和面积相等 D．所有等边三角形是全等三角形 【答案】C。 2.如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝∠DCA，则BC的对应边是（　　） A．CD B．CA C．DA D．AB 【答案】C 3.如图，△ABC≌△EFD，则下列说法错误的是（　　） A．FC＝BD B．EF平行且等于AB C．AC平行且等于DE D．CD＝ED 【答案】D。 考点25：全等三角形的性质 1.边长都为整数的△ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边，AB＝2，BC＝4，若△DEF的周长为奇数，则DF的值为（　　） A．3 B．4 C．3或5 D．3或4或5 【答案】D． 2.如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4 【答案】D． 3.如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 4.如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180° 【答案】B． 5.如图所示，△ACD≌△ECD，△CEF≌△BEF，∠ACB＝90°． （1）求证：CD⊥AB； （2）求∠B的度数； （3）求证：EF∥AC． 【答案】（1）证明：∵△ACD≌△ECD， ∴∠ADC＝∠EDC． ∵点A，D，E，B共线， ∴∠ADC+∠EDC＝180°， ∴∠ADC＝∠EDC＝90°， ∴CD⊥AB； （2）解：设∠B＝α， ∵△ACD≌△ECD，△CEF≌△BEF， ∴∠A＝∠CED，∠B＝∠BCE＝α， ∵∠CED＝∠B+∠BCE，∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴2α+α+90°＝180°， ∴α＝30°， 即∠B＝30°； （3）证明：∵△CEF≌△BEF， ∴∠EFC＝∠EFB， 而∠EFB+∠EFC＝180°， ∴∠EFB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠EFB， ∴EF∥AC． 考点26：全等三角形的判定条件 1.如图，点B、E在线段CD上，若∠A＝∠DEF，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是（　　） A．∠C＝∠D，AC＝DE B．BC＝DF，AC＝DE C．∠ABC＝∠DFE，AC＝DE D．AC＝DE，AB＝EF 【答案】B． 2.如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是(    ) A．BC=BD； B．AC=AD； C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB 【答案】B 3.在△ABC和△DEF中，其中∠C＝∠F，则下列条件：①AC＝DF，∠A＝∠D；②AC＝DF，BC＝EF；③∠A＝∠D，∠B＝∠E；④AB＝DE，∠B＝∠E；⑤AC＝DF，AB＝DE．其中能够判定这两个三角形全等的是（　　） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】A． 4.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE＝CF，请添加一个条件　 　，使△ABC≌△DEF． 【答案】AB＝DE。 考点27：证明两个三角形全等的判定方法判断 1.如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【答案】B 2.如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是（　　） A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS 【答案】A。 3．如图是小明用同一种材料制成的金属框架，已知，，，则 ，其依据是 ． 【答案】 考点28：证明两个三角形全等 1.如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，CF＝BE，AF＝DE． 求证：△ACF≌△DBE． 【答案】证明：∵A，B，C，D四点共线，AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， ∵AC＝AB+BC，DB＝CD+BC， ∴AC＝DB， 在△ACF和△DBE中， ， ∴△ACF≌△DBE（SSS）． 2.如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE＝BF，求证：△ABF≌△CDE． 【答案】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEC＝∠BFA＝90°， 在Rt△ABF和Rt△CDE中，， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）． 3.如图，点A，F，C，D在同一条直线上，AF＝DC，AB＝DE，∠A＝∠D．求证：△ABC＝△DEF． 【答案】解：∵AF＝DC， ∴AF+FC＝DC+FC， 则AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 4.如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：△BDE≌△CDF． 【答案】证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）． 考点29：全等三角形的性质与判定综合 1.如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB＝∠COD＝α，直线AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B． 2.如图，AD＝AC，AB＝AE，∠DAB＝∠CAE． （1）△ADE与△ACB全等吗？说明理由； （2）判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由． 【答案】解：（1）全等，理由如下： ∵∠DAB＝∠CAE， ∴∠DAE＝∠CAB， 在△ADE与△ACB中 ∴△ADE≌△ACB（SAS） （2）DF＝CF，理由如下： 在△ADB与△ACE中 ， ∴△ADB≌△ACE（SAS）， ∴∠DBA＝∠CEA， ∵△ADE≌△ACB， ∴∠ABC＝∠AED， ∴∠DBF＝∠CEF， 在△DBF与△CEF中 ， ∴△DBF≌△CEF（AAS）， ∴DF＝CF． 3.已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点． （1）如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝　 　； （2）如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝ 　； （3）如图3，若∠DAB＝α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明． 【答案】解：（1）连接AG． ∵∠DAB＝∠CAE， ∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAE． 在△ADC和△ABE中，， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴DC＝BE，∠ADC＝∠ABE．AD＝AB． ∵G、F分别是DC与BE的中点， ∴DGDC，BFBE， ∴DG＝BF． 在△ADG和△ABF中，， ∴△ADG≌△ABF（SAS）， ∴AG＝AF，∠DAG＝∠BAF， ∴∠AGF＝∠AFG，∠DAG﹣∠BAG＝∠BAF﹣∠BAG， ∴∠DAB＝∠GAF． ∵∠DAB＝60°， ∴∠GAF＝60°． ∵∠GAF+∠AFG+∠AGF＝180°， ∴∠AFG＝60°； （2）∵∠DAB＝90°，∠DAB＝∠GAF，（已证） ∴∠GAF＝90°， ∵AG＝AF， ∴∠AFG（180°﹣90°）＝45°； （3）∵∠DAB＝α，∠DAB＝∠GAF，（已证） ∴∠GAF＝α， ∵AG＝AF， ∴∠AFG（180°﹣α）； 故答案为 60°，45°，（180°﹣α）． 考点30：等腰三角形的性质 1．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 2.如图，在中，，点在上，且 ，则的度数是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 3.等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为 ． 【答案】/50度 3．若等腰三角形两边长为，，则周长可以是 cm． 【答案】 4．如图，中，，，则的度数为 °． 【答案】38 考点31：等腰三角形的判定 1.已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 2．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）个． A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 3.在平面直角坐标系中，，，C为第一象限内一点，若以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为 ． 【答案】或或 4.如图，在中，点、在边上，，．求证：． 【答案】证明：作于点， ， ， ， ，即， ， ． 考点32：等腰三角形的性质与判定综合 1.如图，在中，分别为上的点，且满足． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，试判断与的位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2），证明如下： ∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又：，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（1）如图，在中，，，点 在的延长线上，且，点在 的延长线上，且 ，求 的度数； （2）若把（1）中“”的条件去掉，其余条件不变，则 的度数会改变吗?请说明理由； （3）若把（2）中“”的条件改为“”，其余条件不变，则 与之间的数量关系为 ． 【答案】（1）；（2）不变，理由见解析；（3） 【详解】解：（1），， ， ，， ，， ； （2）不变，． 理由如下：， ， ，， ，， ， ； （3），， ，， ， ． 故答案为：． 考点33：等边三角形的性质 1．如图，等边三角形中，是上的高，点E，F分别在上，且，则图中与相等的线段（不包含）一共有（ ） A．4条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】C 2.如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 3.如图，在等边中，，平分交于点D，过D作于点E，则的长度为 ． 【答案】2 4.如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 【答案】4 5.如图，已知等边三角形的边长为，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ．    【答案】 考点34：等边三角形的判定 1.如图，在中，为边延长线上的一点，已知，．求证：是等边三角形．    【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 2.如图，点D在等边的外部，连接、，，过点D作交于点F，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见详解 (2)6 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 考点35：垂直平分线的性质 1．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE的大小是（　　） A．24° B．30° C．32° D．36° 【答案】C 2.如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】B 3.已知MN是线段AB的垂直平分线，P、Q是直线MN上两点，且∠PAB＝35°，∠QBA＝60°，则∠QAP的度数为 ． 【答案】95°或25° 4．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为　 　． 【答案】6 5.如图， 在中，，的垂直平分线交于点 D， 交于点E，点F为的中点，点M为线段上一动点，若周长的最小值为， 则的面积是 ． 【答案】 考点36：垂直平分线的判定 1.如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)直线是线段的垂直平分线，理由见解析 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， （2）是线段的垂直平分线，理由如下： ∵，， ∴在的垂直平分线上， 即是线段的垂直平分线． 2.如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $