2025-2026学年北师大版数学七年级下册自编综合测试题（1）

**基本信息** 北师大版七年级下册期末综合卷，以航天科技、生活实践为情境，通过基础-提升-创新三级设问，融合代数、几何、统计知识，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|科学记数法、轴对称图形、随机事件|第1题结合航天零件尺寸考查科学记数法，体现科技情境| |填空题|5/20|完全平方公式、动点面积关系、垂直平分线|第12题以动点运动构建面积关系式，培养函数观念| |解答题|10/90|整式化简、几何证明、统计分析、新定义|25题通过倍长中线思想解决线段范围问题，强化推理能力；23题定义“增项/完美多项式”，考查创新应用|

北师大版数学七年级下册 自编综合测试题 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题4分 ，共计40分 ）   1.2026年太原航天产业取得新突破，某机密零件尺寸为，用科学记数法表示为（        ） A. B. C. D.  2.下列各环保标志中，是轴对称图形的是（     ） A. B. C. D. 3.下列说法正确的是（        ） A.“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B.“汽车累计行驶10000 km，从未出现故障”是随机事件 C.“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 D.明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨  4.如图，直线、交于点，于点，若，则的度数是（     ） A. B. C. D. 5.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间有下面的关系（在弹性限度内），下列说法不正确的是（       ） A.与都是变量，且是自变量，是因变量 B.弹簧不挂重物时的长度为 C.物体质量每增加，弹簧的长度增加 D.所挂物体质量为时，弹簧的长度为  6.如图，是的中线，点E，F分别在和的延长线上，且，连接，，则下列说法错误的是（       ）         A. B.和周长相等 C. D.和面积相等  7.已知单项式满足，则（     ） A. B. C. D. 8.如图，在中，，，分别平分和，且相交于点F，，交于点E，于点G．则下列结论不正确的是（       ） A. B. C. D. 9.如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长点距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处，若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（       ） A. B. C. D. 10.如图，在中，，点为中点，连接，点、点分别为上两动点，过点作于点，当取最小值时，则的面积是（       ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题 ，每题4分 ，共计20分 ）   11.若是完全平方式，则常数a的值是________． 12.如图，在中，，且，，点P是线段上一个动点由B向C以2移动，运动至点C停止，则的面积S随点P的运动时间x之间的关系式为________．   13.如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为________（用、表示）．   14.消防云梯其示意图如图所示，其由救援台，延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成．在作业过程中，救援台，车身及地面三者始终保持水平平行，为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图，使得延展臂与支撑臂所在直线互相平行，且，，则这时________°．  15.如图，在中，和的角平分线，相交于点，于点 ，连接． 下列结论： 平分 ； ；若，则 ；若 的周长为， ， 则 其中正确的是___________．（请填写序号） 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(9分) 计算： （1） （2） （3）  17.(5分) 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点均在格点上． （1）画出关于直线对称的，点，，的对应点分别为，，； （2）点在直线上，则的面积为________． 18.(8分) 初中学生带手机上学，给学生带来了方便，同时也带来了一些负面影响．针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图： （1）这次调查的家长总人数为_______人，表示“无所谓”的家长人数为_______人； （2）随机抽查一个接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是_______； （3）求扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数. 19.(8分) 先化简，再求值： （1），其中； （2），其中，． 20.(8分) 如图，直线，相交于点O，过点作，在内部作射线． （1）若，求证：； （2）若，，求的度数．  21.(10分) 小明在暑期社会实践活动中，以每千克元的价格从批发市场购进若干千克荔枝到市场上去销售，在销售了千克之后，余下的荔枝，每千克降价元，全部售完．销售金额（元）与售出荔枝的重量（千克）之间的关系如图所示．请你根据图象提供的信息完成以下问题： （1）在这个变化关系中，自变量是________，因变量是________； （2）①降价前售出荔枝的单价为________元/千克，②降价前销售金额（元）与售出荔枝的重量（千克）之间的关系式为________； （3）小明从批发市场上共购进了多少千克的荔枝？ （4）小明这次卖荔枝共赚了多少钱（不计其它成本）？  22.(10分) 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，边的垂直平分线分别交于点． （1）若，求的度数． （2）已知的周长是12，的长为______． （3）若，，，求的面积． 23.(10分) 定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则，一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“增项多项式”，如果，则称是的“完美多项式”，如果，则称B是A的“减项多项式”， （1）若，均是关于的多项式，则多项式__________，且是的“__________多项式”（从“增项”、“完美”、“减项”中选一个填入）； （2）若，均是关于x的多项式，是不是的“增项多项式”？请判断并说明理由； （3）若，均是关于x的多项式，且是的“完美多项式”，则__________； （4）若，均是关于x的多项式，且是的“完美多项式”，求的值．  24.(10分) 如图1，已知三角形，点在的延长线上，，点，分别是边，上的点，． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数； （3）如图2，若平分，平分，试说明． 25.(12分) 【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图，中，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长到点E，使．请根据小聪的方法解决以下问题： （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，P为的中点． （2）如图1，若A，C，D共线，，，求四边形的面积； （3）如图2，若A，C，D不共线，，求证：； （4）如图3，若点C在上，记锐角，且，则的度数是______．（用含α的代数式表示） 参考答案 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1.A 2.D. 3.B. 4.C. 5.B. 6.B. 7.C 8.C. 9.D． 10.． 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.4或 . 12.． 13.3a+2b 14.121 15.． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(1) 解：原式 ; (2) 解：原式 ; (3) 解：原式 ; 17.（1）如图： 即为所求， (2) 解：如图：连接 、 的面积为 18.（1）解：（人），（人）． 故答案为：； （2）“很赞同”的家长人数为：（人）， 抽到“很赞同”的家长的概率是 故答案为： （3）， 扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数为 19.（1）解：原式 ， 因为， 所以原式． （2）原式 ， 因为，， 所以原式． 20.（1）证明：∵ OM⊥AB， ∴ ∠1+∠COA=90°， ∵ ∠1=∠2， ∴ ∠2+∠COA=90°， ∴ ∠CON=90°，即ON⊥CD； （2）解：∵ OM⊥AB， ∴ ∠1+∠COA=90°， ∵ COA=∠BOD， ∴ ∠BOD+∠COA=90°， ∵ 2∠1=7∠BOD， 设∠1=7x，则∠COA=∠BOD=2x， ∴ 2x+7x=90°，解得x=10°， ∴ ∠COA=∠BOD=20°， ∵ ∠2=64°， ∴ ∠CON=20°+64°=84°. 21.（1）解：销售金额随售出荔枝的重量的变化而变化， ∴ 在这个变化过程中，自变量为售出荔枝的重量，因变量为销售金额. 故答案为：售出荔枝的重量；销售金额. （2）①由图象可知降价前销售金额为元，销售千克， ∴ 降价前售出荔枝的单价为（元/千克）. 故答案为：. ②降价前销售金额（元）与售出荔枝的重量（千克）之间的关系式为. 故答案为：. （3）由图象可知降价后的销售金额为（元）， 又降价后的价格为（元/千克）， 降价后的销售量为（千克）， （千克）， ∴ 小明从批发市场上共购进了千克的荔枝. （4）降价前的利润为（元）， 降价后的利润为（元）， （元）， ∴ 小明这次卖荔枝共赚了元． 22.（1）解：∵ ME和NF分别垂直平分AB和AC， ∴ AE=BE，AF=CF， ∴ ∠B=∠BAE，∠C=∠CAF． ∵ ∠BAC=120°， ∴ ∠B+∠C=60°， ∴ ∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=60°， ∴ ∠EAF=∠BAC-（∠BAE+∠CAF）=60°； （2）①∵ ME和NF分别垂直平分AB和AC， ∴ AE=BE，AF=CF， ∴ C_{ΔAEF}=AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC． 的周长是12， ∴ BC=12． （3）解：∵ ME和NF分别垂直平分AB和AC， ∴ BE=AE=3，AF=CF=4， ∴ ∠B=∠BAE，∠C=∠CAF． ∵ ∠B+∠C=45°， ∴ ∠BAC=180°-（∠B+∠C）=135°，∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=45°， ∴ ∠EAF=∠BAC-（∠BAE+∠CAF）=135°-45°=90°； ∴ S_{ΔAEF}=\frac{1}{2}\cdot AE\cdot AF=\frac{1}{2}\times3\times4=6． ``` 23.（1）解：， 的项数比A的项数少1项， $\therefore B是A的减项多项式； （2）略 （3）解：， ， ， ，中和是固定项， ，， 解得； （4）解： 当m=0时，，，，此时， 符合题意， 当m≠0时，，，要使，则， 而，，其中，， 必须使， ， 解得， 综上所述，，或，B是A的“完美多项式”． 24.（1）证明：CEAB， 又∠1+∠2=180°， （2）解：∠1+∠2=180°，∠1=110°， CE平分∠ACD， ABCE， （3）解：由(1)知FGAC， FGD+∠FGB=180°，∠ACD+∠ACB=180°， CE平分∠ACD，GH平分∠FGD， ，， ABCE 25. 【答案】 ； ； 证明见解析； (2) DP交AB延长线于点F，证 即可； 【解析】 （1） 先证明 根据三角形三边之间的关系即可进行解答； (3) 连接BF、AF、AD，证 及 即可； (4) 过点C作CM BC交AP于点M，由（3）可得 ，证 ，用含 的代数式表示出即可. （1）延长AD至点E，使得AD连接BE， 是BC边的中线， （2）解：如下图，延长DP交AB延长线于点F， （同旁内角互补，两直线平行） 为BE的中点， （3）延长DP至点F，使得 ，连接BF、AF、AD， （4）过点C作CM BC交AP于点M，如图， 学科网（北京）股份有限公司 $