新趋势题型拉分练(4)新定义、规律探究试题&新趋势题型拉分练(5)项目学习试题（周测小卷）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（湘教版·新教材）

新趋势题型拉分练（四） 1.定义新运算：规定cd a b =ad-bc,例如， 24 =2×8-4×6=-8.若 68 3x6-7x =0,则x的值为 1 x 2.定义：[a,b,c]为二次函数y=ax2+bx十c (a≠0，a,b,c为实数)的“图象数”，如：y= x2一2x十3的“图象数”为[1，一2,3].若 “图象数”是[m,2m+4,2m+4]的二次函 数的图象与x轴只有一个交点，则m的 值为 3.如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值 为黄金分割数（黄金数），那么称这个等腰 三角形为“精准三角形”.如图，△ABC是 “精准三角形”，AB=AC=2,CD⊥AB,垂 足为点D,那么BD的长为 （第3题图) (第4题图) 4.如图，a,b,c分别为△ABC的三边，其中 a≤b≤c,直线l是BC边的垂直平分线， 顶点A到直线L的距离为d,我们将￠定 义为△ABC的斜度，记作p=L 1)若△ABC的斜度p=0,则册巴的值 为； (2)若△ABC的三边满足关系式： (b十c)(c一b)=1,则斜度p= a 5.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2的图 象如图所示.已知点A的坐标为(1,1)，过 点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过 ·30 新定义、规律探究试题 点A1作A1A2∥OA交抛物线交于点A2, 过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3, 过点A3作A3A4∥OA交抛物线交于点 A4,…,依此规律进行下去，则点A2o2的坐 标为 A,A(1,1) (第5题图) (第6题图) 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC= 3.我们定义：“四个顶点都在三角形边上 的正方形是三角形的内接正方形”.如图， 四边形CDEF是△ABC的内接正方形； 四边形DGHI是△EDA的内接正方形； 继续在△HGA中作第3个内接正方形 GQSP,依此类推，第n个内接正方形的边 长an= .(n为正整数) 7.定义：若关于x的一元二次方程ax2十bx十 c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,且|x1一 x2|=1,那么称这样的方程为“邻根方 程”.例如，一元二次方程x2十x=0的两 个根是x1=0,x2=-1,0-(-1)|=1, 则方程x2十x=0是“邻根方程”. (1)判断方程2x2一3x+1=0是否为“邻 根方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程x2+3x十c=0(c是 常数)是“邻根方程”，求c的值， 8.定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相 等的点为“完美点”，图象的顶点是“完美 点”的二次函数为“完美函数” (1)若点(a2+1,2a)是“完美点”，求a的值； (2)已知某“完美函数”图象的顶点在直线 y=2x一3上，且与y轴的交点到原点的 距离为4，求该“完美函数”的表达式 ·31 9.定义：若两个三角形有一个公共顶点，且 将其中一个三角形绕公共顶点旋转一定 角度后能与另一个三角形构成位似图形， 我们称这两个三角形互为“旋转位似图形”. (1)【知识理解】 ①如图①，△ABC,△ADE都是等边 三角形，则△ABC △ADE的 “旋转位似图形”.（填“是”或“不是”） ②如图②，△ABC和△ADE互为“旋 转位似图形”.若∠B=100°，∠E= 30°，则∠DAE的度数为 ;若 AD=6,DE=8,AB=4,则BC的长 为 (2)【知识运用】如图③，在四边形ABCD 中，∠ADC=90°，AC,BD交于点O, AE⊥BD于点E,∠DAC=∠DBC. 求证：△ACD和△ABE互为“旋转位 似图形”. 图① 图② 图③ 新趋势题型拉分练（五） 项日学习试题 1.根据以下素材，完成探究任务. 项目主题 合理设置洒水车与绿化带之间的距离 如图①，一辆洒水车正沿着公路行驶（平行于绿化带）为绿 化带浇水.数学小组成员想了解洒水车要如何控制行驶路 问题背景 线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿 喷水口上边缘 化带 下边缘 利用图①实际测量数据建立如图②所示的平面直角坐标 图① 系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线 y/m 的部分图象，喷水口H离地面的竖直高度OH为1.6m, 素材1 上边缘抛物线最高，点A离喷水口的水平距离为3m,高出 喷水口0.9m,下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 》 BD E Cx/m 得到的 图② 素材2 把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=2.2m,竖直高度EF=2m 问题解决 任务1 (1)求出上边缘抛物线的函数表达式 任务2 (2)求出下边缘抛物线与x轴的交，点B的坐标 (3)若洒水车到绿化带的距离OD=2.8m,洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否浇灌到 任务3 整个绿化带？请说明理由 ·32·-立（红一22+3.(2②）当x=0时，y=一立×4+3=号>2.4球不能射进球门. 14.解：(1)=(3200-50m)m十3000×0.8(10-m)=-50m2+800m十24000.根据 160m+45(10-m)≥530 题意，得{ 0解得9≤m<8.(2w=-50n2+80m十2400= m≤8， -50(m-8)2+2720.:-50<0,9≤m<8,且m为正整数，“当m=6时，w取得最 小值，最小值为一50×(6一8)2+27200=27000.答：本次研学活动学校的最少租车费 用是27000元. 阶段微测试（九） 1.A2.A3.C4.B5.B6.B7.38.x1=-1,x2=59.0.610.5 11.解：(1)当m=一4时，y=x2+4x一4=(x十2)2一8，∴.该二次函数图象的顶点坐标 为(-2，-8).(2)令y=0,则x2-m.x十m=0.由题意，得△=（一m)2-4m=m2-4m= 0,解得m1=0,m2=4.∴.m的值为0或4. (c=4, 12.解：(1)4(2)把(0,4)，(1,1)，(2,0)代人y=ax2+bx+c,得a十b+c=1,解得 4a+2b+c=0, a=1, b=一4，.该二次函数的表达式为y=x2一4x十4.(3)0<x<4 c=4. 13.解：(1)=(x一6)（一20x+360)=一20x2+480x一2160(6<x≤14）.(2)由题意， 得-20x十360≥160，解得x≤10.，6<x≤14，.6<x≤10.由(1)得w=-20x2十 480x-2160=-20(x-12)2+720.:-20<0,6<x≤10，.当x=10时，w有最大值， 最大值为一20×(10一12)2+720=640.答：当售价定为10元/kg时，每天获取的利润 最大，最大利润为640元. 14.解：(1)设y=a(x十2)(x-1).将C(0,-2)代人，得-2=一2a,解得a=1..抛物线 的函数表达式为y=(x+2)(x一1)=x2+x一2.(2)△ACD的面积存在最大值.过点D 作DE∥y轴交AC于点E.由A(-2,0),C(0,-2)易得直线AC的函数表达式为y= -x-2.设D(m,m2+m-2),则E(m,-m-2).∴.DE=(-m-2)-(m2+m-2)= -m2-2mSam=号DE.(e-x)=号×(-m2-2m)X2=-m-2m=-(m 十1)2十1.∴当m=-1时，S△D有最大值，最大值为1. 新趋势题型拉分练（一）运用数学知识解决生活实际的情境题 1.解：过点C作CH⊥DE于点H,交AB于点F.易得∠CFB=90°，HF=BD= 33.1cm.在Rt△FBC中，∠CBF=50°，BC=28.2cm,.CF=BC·sin∠CBF=28.2 ×sin50°≈21.7(cm)..CH=CF+HF=21.7+33.1=54.8(cm).,54.8<55,.桶 盖完全打开不会碰到桌子下沿. 2.解：(1)设自行车车棚的宽为xm,则长为70十2-3x=72-3x(m).根据题意，得x (72-3x)=285,解得x1=5,x2=19.当x=5时，72-3x=57,5<57<60,符合题意；当 x=19时，72一3x=15,15<19,不符合题意，舍去.答：自行车车棚的长为57m,宽为 5m.(2)不能围成面积为450m2的自行车车棚.理由如下：假设能围成面积为450m2 的自行车车棚.设自行车车棚的宽为ym,则长为70十2-3y=72-3y(m).根据题意， 得y(72-3y)=450,整理得y2-24y+150=0.:△=(-24)2-4×1×150=-24<0， ∴.原方程没有实数解..假设不成立，即不能围成面积为450m2的自行车车棚 58 3.解：(1)由题意，得C(4,2),E(0,6).设抛物线的函数表达式为y=ax2+6.把C(4,2) 代人，得16a十6=2，解得a=一本∴抛物线的函数表达式为)=一子2十6.(2)当x =3时，y=一子×3+6=卓空-名-号(m.答：该隧道能通过宽为3m的货车的 最高高度为早m 4.解：（任务一）根据题意，AB⊥BF,CD⊥BF,BE=2m,DE=0.5m,∴.BD=BE-DE =1.5m,△PCD∽△FAB.六册-器且FB=FD+BD=FD+1.5D.5 FD 1.5FD=3m.检验，当FD=3时，原方程的分母不为零，∴.FD=3m.EF=FD DE=3-0.5=2.5(m).答：车头盲区EF的长度为2.5m.(任务二)过点M作MN⊥ FB交AF于点N.∴.FM=EF-ME=2.5-0.8=1.7(m).易得△FMN∽△FDC, 小念-器MN-BCD-上7X1≈0.57(m.0.57>0.5,驾获员不能观 FD 3 察到物体. 新趋势题型拉分练（二）过程、依据补充、半开放性试题 1.∠B=∠D(答案不唯一)2.一1（答案不唯一） 3.解：(1)等式的性质完全平方公式(2)二正确解法如下：移项，得x2十4x=5,配 方，得x2十4x+4=5+4,即(x+2)2=9,.x+2=±3.x1=1.x2=-5. 4.AFDF垂直平分线的性质∠B∠CAF∠AFB∠CFA有两组角分别相 等的两个三角形相似 5.解：(1)过点A作AD⊥BC于点D,则∠ADB=90°.在Rt△ABD中，AD=AB· sinB=12.(2)②③(3)答案不唯一，如：选②.在Rt△ABD中，BD=AB·cosB=16. 在Rt△ACD中，CD=an ACB=5.BC=BD+CD=2L, 新趋势题型拉分练（三）数学文化、跨学科试题 1.A 2解：当A0-3加时镜框不稳固，理由知下：在R△A0B中，sin∠AB0-铝号 血60=号，号<号∠AB0<0A0=3m时流框不稳固。 3.解：设AC=xm.,EC=4m,FG=6m,CG=60m,.EA=(4+x)m,FA=(6+60十 x)m=(66+x)m.,GH⊥AF,CD⊥AF,AB⊥AF,∴.∠FGH=∠ECD=∠FAB= 9O°.又.∠DEC=∠BEA,∠HFG=∠BFA,∴.△ECD∽△EAB,△FGH∽△FAB. 贤-器所温GH=cD器-器“产解得-120置 =CD-4 器-0品AB=62m答：塔AB的商为62m 4.解：(1)在Rt△ABC中，∠A=45°，AC=20cm,∴.BC=AC·tanA=20cm.(2)由题 意，易得ON=EC=合AC=10cm,NN∥AC.∠BON=∠A=45BN=ON· tan∠BON=l0cm.在Rt△DON中，∠DON=32°，∴.DN=ON·tan∠DON≈ 6.2cm.∴.BD=BN-DN=3.8cm.答：B,D两点之间的距离约为3.8cm. 5.解：(1)如图所示.(2)，抛物线经过(0,0)，.c=0.∴.二次函数的表达式为v=ax2十 (-6=10+40=25, 6如.由题意，得厂2a 2 a=-0.03, 解得 .a,b,c的值分别为-0.03， （b=1.5. 100a+10b=12, 59 1.5,0.(3)由(2)知0=-0.03x2+1.5x.当v=15时，-0.03x2+1.5x=15,解得x1= 25+5√5，x2=25一5√5.结合(1)中的图象可知，关键营养物质的浓度x的范围应是25 -5√/5≤x25+5W5. v/(个h) 18 12 010203040x/(mg/L) 新趋势题型拉分练（四）新定义、规律探究试题 1.-3或号 2.-2或23.-2E4.11(2)75.102102)6 2 2 7.解：(1)方程2x2-3x十1=0不是“邻根方程”.理由如下：解方程2x2-3x+1=0,得 五=合=1.：合-1-=合≠1，方程2-3z+1=0不是邻根方程”.(2)设方 程x2+3x十c=0的两个根为&，R.根据根与系数的关系，得α十=一3，明=c.,关于x 的方程x2十3x十c=0是“邻根方程”，∴.a-l=1..(a-)2=1..(a十)2-4a8=1, 即(-3)2-4c=1,解得c=2. 8.解：(1)：点(a2+1,2a)是“完美点”，.a2十1=2a,解得a1=a2=1..a的值为1. (2):某“完美函数”图象的顶点在直线y=2x一3上，x=2x一3，解得x=3.该“完 美点”的坐标为(3,3)..设该“完美函数”的表达式为y=a(x-3)2+3.该“完美函 数”与y轴的交点到原点的距离为4，.交点的坐标为(0,4)或(0，一4).将(0,4)代入y =a(x-3)2+3,得4=9a+3,解得a=号y=号(x-3)+3.将(0，-4)代人y= a(x-3)1+3,得-4=9a+3,解得a=-号y=-号(x-3)+3.综上所述，该“完 美函数”的表达式为y=号(x-3)+3或y=-子(x-3)+3. 9.(1)解：①是②50号(2)证明：∠DAC=∠DBC,∠A0D=-∠BOC,∴△A0D △B0C∴A8-品.：0-器又：∠A0B=∠D0C,△AOB∽△D0C ∴∠ACD=∠ABE.AE⊥BD,.∠AEB=90°=∠ADC..△ABE∽△ACD. .△ACD和△ABE互为“旋转位似图形”. 新趋势题型拉分练（五）项目学习试题 1.解：(1)：1.6+0.9=2.5(m),.点A的坐标为(3,2.5).由题意，得A(3,2.5)为上边 缘抛物线的顶点，.设上边缘抛物线的函数表达式为y=a(x-3)2十2.5.将H(0,1.6) 代入，得1.6=9a十2.5，解得a=一0.1..上边缘抛物线的函数表达式为y=-0.1(x 一3)2+2.5.(2)设下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移bm得到的，则下边缘抛 物线的函数表达式为y=-0.1(x-3+b)2+2.5.将H(0,1.6)代入，得-0.1(-3+ b)2+2.5=1.6,解得b,=6,b2=0(舍去).∴.b=6.∴.下边缘抛物线的函数表达式为y= -0.1(x十3)2+2.5.当y=0时，一0.1(x十3)2+2.5=0，解得x1=2,x2=-8(舍去). ∴点B的坐标为(2,0).(3)洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带.理由如下： DE=2.2m,OD=2.8m,∴.OD>OB,OE=OD+DE=5m.EF=2m,点F的 坐标为(5,2).在y=-0.1(x-3)2+2.5中，当x=5时，y=-0.1×(5-3)2+2.5= 2.1.:2.1>2,.洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带. 60