3.2.2 公式法&3.2.3 因式分解法（随堂反馈）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（湘教版·新教材）

O 5解：：△AC与△DEF位似，六合祭-8是=号=子AC=4,DF=3AC= 12.(2由蜘哈架=吉小3-（传）广=日5am=95c=54 SADEF 第2课时平面直角坐标系中的位似 9 1.A2.D3.24.(2,1D 5.解：(1)如图，四边形A'B'CD'即为所求.(2)A'(-3,3),B(-4,1),C(-2,0), D(-1,2). 第2章锐角的正弦、余弦、正切 2.1锐角的正弦和余弦 第1课时锐角的正弦 1.A2B364g5.40 6舞：原式=2x号4×号-反-2度②原式-（停+号×夏吉+9 7.解：在R△ABC中，AB=8,sinA=令，BC=AB:sinA=5.AC=VAB-BC =V39.∴sinB=AC=3g AB-8· 第2课时锐角的余弦 1.A2.A3.C4.(1)0.6947(2)63.4°5.25 5 6解：1原式-（合）‘+()°=1.(2)原式=2×号-合= 7.解：四边形ABCD是菱形，AC⊥BD,OB=BD=3.∴∠AOB=90.在 R△A0B中，0A=VaAB-0B-万，o∠BAC-器-9 2.2锐角的正切 1.A2.11.4998(212”3.号 4解：1原式=×5+2×号=3+V巨.(2原式=8×()°+1-4×号=7-2. 5.解：(I)在R△ABC中，BC=4,sinB=?,∴AC=BC·SinB=万.∴AB VBC-AC=3.(2②在R△ABc中，AB=3,AC-7anC-是-39 —46 2.3解直角三角形 1.C2.C3.D 4解：1)在R△ABC中，b=6,e=2,csA=么=号.∠A=45:(2)在 R△ABC中，c=12,cosB=合a=c·cosB=6.∴b=V-a=6V5 5解：在R△ACD中，：∠C=90,AC=8,AD=165,as∠CAD=S- .∠CAD=30°.，AD平分∠CAB,∴.∠CAB=2∠CAD=60°..∠B=90°-∠CAB= 30.c 2.4解直角三角形的应用 第1课时与仰角、俯角有关的应用问题 1.A2.A3.D 4.解：过点D作DE⊥AB于点E,则四边形BCDE为矩形，.DE=BC=20m,BE= CD=1.6m.在Rt△ADE中，∠ADE=38.5°，∴.AE=DE·tan∠ADE≈15.9m. .AB=AE+BE≈18m.答：建筑物AB的高度约为18m. 第2课时与坡度、方位角有关的应用问题 1.C2.1003.6.934.4√5 5.解：过点P作PC⊥AB于点C.在Rt△ACP中，AP=40W2 n mile,∠APC=45°， .PC=AC=AP·sin∠APC=40 n mile.在Rt△BCP中，∠BPC=60°，.BC=PC· tan∠BPC=40W3 n mile..∴.AB=AC+BC=(40+40W3)n mile.答：航程AB为(40+ 40√3)n mile. 第3章一元二次方程 3.1一元二次方程的概念 1.D2.A3.2(答案不唯一) 4.解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为2x2+3x-1=0.它的二次项系数为2， 一次项系数为3，常数项为-1.(2)去括号，得3x2+3x-2x一2=2x2十x.移项、合并同 类项，得一元二次方程的一般形式为x2一2=0.它的二次项系数为1，一次项系数为0， 常数项为一2. 5.解：(1)设这两个数中较小的数为x.根据题意，得x(x十2)=120，化为一般形式为x2 十2x一120=0.(2)设充电桩区域的宽度为xm.根据题意，得(130-x)(80一x)= 5000.化成一般形式为x2-210x十5400=0. 3.2一元二次方程的解法 3.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 1.C2.B3.-1 4.解：(1)原方程可化为x2=16.根据平方根的意义，得x=4或x=一4.因此，原方程 的根为x1=4,x2=一4.(2)原方程可化为(x一1)2=9.根据平方根的意义，得x一1=3 或x一1=一3.因此，原方程的根为1=4，x2=一2. 第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 1.A2.B3.3 4.解：(1)配方，得x2-4x+22=-1+22,因此(x-2)2=3.由此得x-2=√3或x-2 =-√3，解得x1=2十√3，x2=2-√3.(2)移项，得x2一3x=-2.配方，得x2-3x十 —47 (侵)》°=-2+（名），因此(x一）°=子由此得红一昌=合或x一号=-合，解得 x1=2,x2=1. 第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1.D2.C3.C 4解：1)将二次项系数化为1，得2-受-是配方，得2-音+(）广=是+ (分）》”，因此(x-子)广=是由此得x-子=是或x-子=-，解得石=1，函 -合(2)将=次项系数化为1，得r-12x=14.配方，得士-12x十6=14+6，因此 (x-6)2=50.由此得x-6=5√2或x-6=-5√2，解得x1=6+5V2,x2=6-5√2. (3)移项，得5x-2x=3将二次项系数化为1，得广-号x=是配方，得文-号x十 ()》°-是+（号）》，因此(x-号)-由此得x一吉-号或x一吉=-吾，解得 x=1=-号.(4)整理，得2x-8x=10,将二次项系数化为1，得2-4x=5,配方， 得x2-4x十22=5十22，因此(x-2)2=9.由此得x-2=3或x-2=-3,解得x1=5, x2=-1. 3.2.2公式法 1.A2.C3.A 4.解：(1)移项，得x2-x-3=0.这里a=1,b=-1,c=-3.因而2一4ac=（-1)2-4 ×1×(-3)=13>0,x=1±，.因此，原方程的根为=1+)压，，=1二区 2 2 (2)这里a=4,b=-8,c=1,因而形-4ac=(-8)2-4X4X1=48>0,“x=8+y4s 2×4 =2生5.因此，原方程的根为-2生5-2(3)移项，得24-x十2=0这里 2 a=2,b=-1,c=2.因而6-4ac=(-1)2-4×2×2=-15<0,.原方程无实数根. (0这里a=6=-厄，c=子.因而8-4ac=(-②-4X号×分=1>0，∴x=厄 士1.因此，原方程的根为x1=√2+1，x2=√2-1. 3.2.3因式分解法 第1课时用因式分解法解一元二次方程 1.C2.B3.A4.x-1-2=0x1=-1,x2=3 5.解：(1)把方程左边因式分解，得x(x十5)=0.由此得x=0或x十5=0，解得x=0, x2=-5.(2)原方程可化为(x-1)2十（x-1)=0.把方程左边因式分解，得(x-1)(x 1十1)=0.由此得x-1=0或x=0,解得x1=1,x2=0.(3)原方程可化为3x(x-2)一 (x-2)=0.把方程左边因式分解，得(x-2)(3x-1)=0.由此得x-2=0或3x-1= 0,解得五=2，=子.()配方，得x-8x十4-4华-9=0，因而(x一42-5=0.把方 程左边因式分解，得(x-4十5)(x-4-5)=0,即(x十1)(x-9)=0.由此得x十1=0或 x-9=0,解得x1=一1，x2=9. 第2课时选择合适的方法解一元二次方程 1.A2.D3.B4.(1)直接开平方(2)配方(3)公式(4)因式分解 5.解：(1)根据平方根的意义，得x+1=3或x十1=一3.因此，原方程的根为x1=2,x2 =-4.(2)配方，得x2-4x十22=2十22，因此(x-2)2=6.由此得x-2=√6或x-2= —48 -√6，解得x1=2十√6，x2=2-√6.(3)这里a=-2,b=1,c=3.因而b2-4ac=12-4 ×(-2)×3=25>0,x=2x2 =1生因此，原方程的根为=一1， 号.（④）原方程可化为x(x-3)十2(x-3)=0,把方程左边因式分解，得(x-3)(x+2) =0.由此得x一3=0或x十2=0，解得x1=3,x2=2. 3.3一元二次方程根的判别式 1.B2.A3.A 4.解：(1)原方程可化为3x2-2x-1=0..△=(-2)2-4×3×（一1）=16>0，.方程 有两个不相等的实数根.(2)原方程可化为x2十4x+4=0.△=42一4×1×4=0，.方 程有两个相等的实数根 5.解：(1)把x=2代人方程2x2-5x-m=0,得2×22-5×2-m=0,解得m=-2. (2)由题意，得△=(-5)2-4×2×(-m)>0,解得m>-8· 25 3.4一元二次方程根与系数的关系 1.A2.B3.A4.-31 5.解：()十=0，=-号(2)山十=-号=-3，=是.(3)整理，得 -x-5=0..x1十x2=1,x1x2=-5. 6.解：(1)由题意，得△=22一4×1×(a一1)≥0，解得a2.(2)由根与系数的关系，得 x1十x2=-2,x1x2=a-1.2x1+2x2-x1x2=2(x1+x2)-x1x2=5,.2X(-2)- (a-1)=5,解得a=一8. 3.5一元二次方程的应用 第1课时平均变化率问题与利润问题 1.B2.(a一25)(400-10a)=50030或35 3.解：设该商场投入资金的月平均增长率为x.根据题意，得20(1十x)2=24.2,解得x1 =0.1=10%,x2=一2.1（不合题意，舍去）.答：该商场投人资金的月平均增长率为 10%. 4.解：(1)401800(2)设每件商品降价x元.根据题意，得(250-x-200)(30十2x) =2100,解得x=20,x2=15.为了让顾客得到更多的实惠，x=20.答：每件商品 降价20元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2100元. 第2课时图形面积问题与动，点问题 1.C2.A 3.解：设防滑垫的宽度为xm.根据题意，得(12十2x)(8十2x)=140,解得x1=1,x2= 一11（不符合题意，舍去）.答：防滑垫的宽度为1m. 4.解：设点P的运动时间为1s,则CP=1cm,CQ=(8-20cm根据题意，得宁4(8-2) =子×号×4×8.整理，得r-4红十4=0，解得=a=2.答：点P的运动时间为2 第4章二次函数 4.1二次函数 1.B2.B3.C4.15.y=100(1-x)2 6.解：(1)一般形式为y=一2x,.二次项系数为一2，一次项系数为0，常数项为0. (2)一般形式为y=2x2一2x十1，.二次项系数为2，一次项系数为一2，常数项为1. 7,解：(1)根据题意，得矩形的另一边长为20,2工=10一x(m).“y关于工的函数表达 2 式为y=x(10-x)=-x2+10x.(2)自变量x的取值范围是0<x<10. 49 4.2二次函数的图象与性质 4.2.1二次函数y=ax2的图象与性质 第1课时二次函数y=a.x2(a>0)的图象与性质 1.A2.D3.A4.> 第2课时二次函数y=ax2(a<0)的图象与性质 1.B2.A3.C4.2 4.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 第1课时二次函数y=a(x一h)2的图象与性质 1.C2.D3.A4.D5.D6.< 7.解：列表： 0 23 y=(x-2)2 0 描点、连线，如图所示.(1)上直线x=2(2,0)(2)将二次函数y=x2的图象向右 平移2个单位长度可以得到二次函数y=(x一2)2的图象. -4-2O■ 146*x 第2课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象与性质 1.B2.A3.B4.>5.1 6.解：(1)函数图象的开口向下，对称轴为直线x=一1，顶点坐标为(-1，一4).(2)当x =一1时，函数有最大值，最大值为-4.(3)当x>一1时，y随x的增大而减小.(4)将 函数y=一3x2的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到函数y =-3(x+1)2-4的图象. 4.2.3二次函数y=ax2十bx十c的图象与性质 1.C2.D3B4.D5.y-(x-40-261 7.解：(1)y=x2-4x十3=(x一2)2-1，对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2，一1)，最小 值为-1.(2)该函数的图象如图所示.(3)> 4.3二次函数的表达式的求法 1.D2.C3.y=x2-4x+5 a-b+c=-22, 4.解：把(-1，-22)，(0，-8)，(2,8)代入y=ax2+bx+c,得c=-8, 解得 4a+2b+c=8, 50 a=-2, b=12,.抛物线的函数表达式为y=一2x2十12x一8. (c=-8. 5.解：(1)，函数的对称轴为直线x=1,最小值为一4，∴.函数图象的顶点坐标为(1， 一4).设二次函数的表达式为y=a(x-1)2-4.把(0，-3)代入，得a-4=一3，解得a =1..二次函数的表达式为y=(x-1)2-4.(2)x>1 4.4二次函数与一元二次方程的关系 1.C2.A3.C4.m≥-1且m≠05.6 6.解：(1)x1=1,x2=3(2)由图象知，当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范 围是x>2.(3),关于x的方程ax2+bx十c=k有两个不相等的实数根，，.二次函数y =ax2十bx十c的图象与直线y=k有两个交点.由图象可知的取值范围是k<2. 4.5二次函数的应用 第1课时利用二次函数解决抛物线形建筑问题、面积问题 1.A2.C3.6 4.解：(1)根据题意，得S=x[31一(x+x-1)]=一2x2+32x..0<32一2x≤18，x>1, .7≤x<16..S=-2x2+32x(7≤x<16).(2)由(1)得S=-2x2+32x=-2(x-8)2 十128..当x=8时，S有最大值，最大值为128.答：苗圃的最大面积为128m2. 第2课时利用二次函数解决利润问题及其他问题 1.B2.C3.536004y=-(x-11+0.42.2 5.解：(1)由题意，得w与x之间的函数表达式为w=(x一50)（一2x十240）=一2x2十 340x-12000.(2)由(1)，得=-2x2+340x-12000=-2(x-85)2+2450,..当x =85时，w有最大值，最大值为2450.答：当销售单价为85元/kg时，销售利润最大，最 大利润是2450元. 周测小卷 阶段微测试（一） 7 1.B2.D3.B4.D5.B6.B7.48.(15-5⑤9.10105 3 aa兴安安买D = = 4 b 12.解：：四边形ABCD与四边形EFGH相似，∴，∠G=∠C=83°，∠A=∠E=118°， 20-铝：∠B=78,∠D=360-∠-∠B-∠C=8.AB=AD=15cm,EF =206m∴号-品BH=20m 13.解AB=2BC,瓷=2瓷=.：∥合祭-能=2GF=合AG= 2emAF-AG+GF=6m4/,票-架晤-音BF=号 3 cm. 14.I证明：四边形ABCD是平行四边形，AB/CD,AD∥BC:8-88,8E- 8器88-80c-0E·0G.(2)解：AB/cD,器-E-2.cE-6, ∴.GE=3. 15.解：(1)W2：1(2)A4纸与A5纸为相似图形.理由如下：，A4纸较长边与较短边 的比为v2：l,∴.设A4纸较短边的长为a,则较长边的长为√2a.由图②可知，A5纸的 —513.2.2公式法 1.用公式法解一元二次方程3x2十2x十3=0时，a,b,c的值分别是 ( A.3,2,3 B.-3,2,3 C.3,2,-3 D.3,-2,3 2.一元二次方程x2一2x一1=0的根是 () A.x1=x2=1 B.x1=1十√2，x2=-1-√2 C.x1=1十√2，x2=1-√2 D.x1=-1+√2，x2=-1-√2 3.用公式法解方程2x-5=一7，得=口±7,2X-5,则“口”处应填(） 2×2 A.-7 B.-5 C.5 D.7 4.解下列方程： (1)x2=x+3; (2)4x2-8x+1=0; (3)2x2-x=一2； (4)2x2-2x+2=0. ·23· 3.2.3因式分解法 第1课时) 用因式分解法解一元二次方程 1.一元二次方程x2=x的解为 A.x1=x2=1 B.x1=1,x2=-1C.x1=0,x2=1 D.x1=0,x2=-1 2.用因式分解法解一元二次方程x(x一3)十x一3=0，变形后正确的是 A.(x+1)(x+3)=0 B.(x+1)(x-3)=0 C.(x-1)(x-3)=0 D.(x-1)(x+3)=0 3.用因式分解法解方程时，下列过程正确的是 A.由(2x-1)(3x-4)=0,得2x-1=0或3x一4=0 B.由(x+4)(x-2)=1,得x+4=1或x-2=1 C.由(x-5)(x-6)=5×6,得x-5=5或x-6=6 D.由x(x+8)=0,得x+8=0 4.用因式分解法解一元二次方程(x一1)2一4=0时，要转化成两个一元一次方程求解，其 中的一个方程是x一1十2=0，则另一个方程是 ,因此一元二次方程(x一 1)2一4=0的解是 5.用因式分解法解下列方程： (1)x2+5x=0; (2)(x-1)2=1-x; (3)3x(x-2)=x-2; (4)x2-8x-9=0. ·24· 第2课时选择合适的方法解一元二次方程 1.解方程(5x-1)2=25最合适的方法是 A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 2.解下列一元二次方程时，最适合用公式法的是 A.(x+2)2-16=0 B.(x+1)2=4 C.2x2=1 D.x2-3x-5=0 3.下列一元二次方程不适合用因式分解法解方程的是 A.x2-4=0 B.x2+4x-4=0 C.x2-6.x+9=0 D.(x-1)2=2(x-1) 4.认真观察下列方程，指出使用哪种方法求解最合适， (1)4x2=5,应选用 法； (2)x2十16x=5,应选用 法； (3)2x2一3x一3=0，应选用 法； (4)x(x+1)=(4x十1)(x+1),应选用 法. 5.用合适的方法解下列方程： (1)(x+1)2=9; (2)x2-4x=2; (3)-2x2十x+3=0; (4)x(x-3)=6-2x. ·25·