第4章 二次函数 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（湘教版·新教材）

89器号.h=号0G=48cm:72+48=120<126,小红的连衣裙会碰到地面。 23.解：(1)过点A作AF⊥BC,交CB的延长线于点F,则AF∥MN∥MN'.∴∠BAF =∠ABM=30°，∠CAF=∠ACM=60°.：AF=6m,.BF=AF·tan∠BAF= 2V3m,CF=AF·tan∠CAF=6√3m..BC=CF-BF=4√3m.(2)设水池内的水深 为xm,则BN=CN'=xm.由题意可知∠DBN=22°，∠ECN'=40.5°，NN=BC= 4V5m,.DN-BN·tan∠DBN≈0.4xm,N'E=CN'·tan∠ECN'≈0.85xm. DN+DE=NN+NE,.0.4x+8.72=4√3+0.85x,解得x=4.∴.水池内的水深 约为4m. 24.解：(1)E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”.理由如下：：∠BED=∠A十 ∠ADE=∠BEC+∠CED,∠A=∠CED,∴∠ADE=∠BEC.:∠A=∠B,∴·△ADE ∽△BEC.∴.E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”.(2)如图，点E,E即为所求. (画出一个即可)(3)E是四边形ABCM的边AB上的一个“强相似点”，∴△BCE∽ △ECM.∴.∠BCE=∠ECM.由折叠的性质，得∠ECM=∠DCM,CE=CD,'.∠BCE =∠ECM=∠DCM.四边形ABCD是矩形，.AB=CD,∠B=∠BCD=90°.∴CE= AB,∠BCE=了∠BCD=0S-器-ms∠BcE-9. E'B 第3章综合评价 1.B2.B3.D4.A5.B6.B7.D8.D9.B 10.C【解析】x2-x-1=0,∴x2=x+1.x3=x·x2=x(x+1)=x2+x=x+1+ x=2x+1,x=x·x3=x(2x+1)=2x2+x=2(x+1)+x=3x+2..x4-2x3+3x= 3x+22(2z+1)+3x=2x解方程r-工1=0，得五-1，w=,5>0, 2 x=1+5.x-2x+3x=2×1+5=1+5.故选C. 2 2 11.x1=3,x2=912.x2-2x=0(答案不唯一)13.n≥-114.115.-1 16.(1)(5-2)(2)5+g 4 17.解：将=次项系数化为1，得2-3z=子配方，得2-3x+()广'-冬+（是）， 因此(：一）”=4由此得x一号-2或x一是-=一2解得名=名函=-合 18.解：，关于x的方程(a-3)x2-5a+8+(a十2)x十5=0是一元二次方程，a2-5a十 8=2,且a-3≠0，解得a1=2,a2=3(舍去).∴.a=2. 19.解：(1)一(2)移项，得(2x-1)2一5(2x一1)=0.将方程左边因式分解，得(2x 1)(2x-1-5)=0.由此得2x-1=0或2x-6=0,解得x=2z2=3. 20.解：(1)设平均每天植树棵数的增长率为x.根据题意，得25(1十x)2=49,解得x1= 0.4=40%,x2=一2.4（不合题意，舍去）.答：平均每天植树棵数的增长率为40%. (2)25十25×(1十40%)+49=109（棵.答：此次活动三个年级种植树苗的总棵数为109. 21.(1)证明：，a=1,b=-(k+3),c=2k+2,.△=b-4ac=[-(k+3)]-4×1× (2k十2)=(k一1)2≥0.此方程总有两个实数根.(2)解：由(1)，得△=(-1)2，∴.x= +3-卫，即=k+1,x2=2.“方程有一个根小于2，∴+1<2，解得<1. 2×1 一 40 2.解：(1)当AB=AD时，四边形ABCD是菱形，即方程2-m十受-冬-0有两个 相等的实数根.∴△=m-4(受-）=0，解得m=m:=1.:当m=1时，四边形 ABCD是菱形.(2)由根与系数的关系，得十=，西=受-子：(a一3)( 3)=-3(a+z)+9=5m,∴受-子-3m+9=5m,解得m=日 7 23.解：(1)(150-2x)(100-4x)(2)符合要求.理由如下，根据题意，得(150一 2x)(100-4x)=11200,解得x1=95(不合题意，舍去)，x2=5.道路宽度x不超过 7m,且不小于3m,∴.x=5符合要求，即道路设置的宽度x符合要求.(3)设每平方米 草莓的月利润应该下调y元.根据题意，得(40-y)(800+50y)-1000=35000,解得 y1=20,y2=4.让客户得到实惠，.每平方米草莓的月利润应该下调20元. 24.解：(1)倍根方程(2)由方程x2一6x+c=0是“倍根方程”，设x1=3x2.由根与系 数的关系，得五十=6函=c,3十=6,3=c,解得。=号，c=翠的 值为翠.(3)方程2十x十c=0既是“倍根方程”又是“方根方程”，∴西=3，- x或x=x2.由根与系数的关系，得x十x2=一b,xx2=c.分两种情况讨论：①当x =3x2,号=x1时，x号=3.x2,解得x2=3或x2=0(舍去)..x1=9.b=-12,c=27. ∴26十c=2×(-12)+27=3.②当4=3=时，1=3，解得=号或4=0 (合去.=日6=一号c=726+=2X(-号)十7器综上所述，2b 十：的值为3或一器 第4章综合评价 1.C2.B3.A4.B5.D6.D7.B8.C9.B10.C 11.(0,-3)12.y=-2(x+2)2+513.m>214.1715.220 16.a不是(2)a>号或a<-号 17.解：(1)由题意，得m2-3m-2=2,m-3≠0，解得m1=4,m2=-1.,该函数图象的 开口向下，.m一3<0，解得m<3.∴.m=一1.(2)当m=一1时，二次函数的表达式为y =一4x2,.这个二次函数图象的对称轴为y轴. 8.解：(1)由题意，得一221，解得a=1.(2)由(1)可知，抛物线的函数表达式为y归 x2一2x十1=(x一1)2.结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，点距离对称轴越远， 值越大，yh>y2 19.解：(1)5(2)如图所示.(3)-1<x<3 20.解：(1)由题意，设该抛物线的函数表达式为y=a(x-1)2-2.把(0,0)代入，得a-2 =0,解得a=2.∴.该抛物线的函数表达式为y=2(x-1)2一2.(2)联立 (y=2(x-1)2-2, y=x-n, 得22-5z十n=0.由题意，得△=（一59-4X2m=0,解得n-复。 一 41 21.解：(1)=(x十100一90)(100一4x)=一4x2+60x+1000.由题意，得100一4x 80,解得x≤5.x>0,.0<x≤5.(2)由(1)，得w=-4x2+60x十1000=-4(x-7. 5)2十1225.-4<0,0<x≤5，.当x=5时，w有最大值，最大值为-4×(5-7.5)2 +1225=1200.答：水果商每周销售冰糖橙可获得的最大利润为1200元. 9+3b+c=1,. 22.解：(1)把A(3,1),B(0,-2)代入y=x2+bx+c,得 c2,解得 b=一2：己 c=-2. 次函数的表达式为y=x2-2x-2.(2)由(1)，得y=x2-2x一2=(x-1)2-3,∴.新函 数的表达式为y=(x-1十n)2-3..它的对称轴为直线x=1一n,最小值为-3.n> 0,.1一n<1.,当0≤x≤3时，新函数的最小值是一2，.新函数的图象的对称轴在y 轴左侧，当x=0时，新函数取得最小值一2.∴.一2=(0一1十n)2一3，解得1=0（舍 去)，n2=2..n的值为2. 23.解：（任务1）如图，以地面为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则 N(0,9),Q(12,3).设抛物线的函数表达式为y=ax2+k.将N(0,9),Q(12,3)代入，得 1k=9, 解得 144a+k=3, 0一方'：抛物线的函数表达式为y=一立+9.（任务2）由题 k=9. 意，得点B的横坐标为-12+3=-9.当x=-9时，y=一立×(-9)+9=智≈ 5.6(m).答：机动车道一的限高高度约为5.6m y/m N M 9m Q 0 A 24m P x/m 24.解：(1)C(0,4),.OC=4.OA=OC=4OB,.OA=4,OB=1..A(4,0), B(-1,0).设抛物线的函数表达式为y=a(x十1)(x一4).把C(0,4)代入，得-4a=4, 解得a=一1.∴抛物线的函数表达式为y=一(x十1)(x一4)=一x2+3x十4.（2)存在. 过点P作PD∥y轴，交AC于点D.易得直线AC的函数表达式为y=一x十4.设P(m, -m2+3m+4)(0<m<4),则D(m,-m+4).∴.PD=-m2+3m+4-(-m+4)= -m2+4m.∴5aMc=号0A·PD=号×4(-m2+4m)=-2m+8m=-2(m-2)2+ 8.:一2<0，.当m=2时，S△ac有最大值，最大值为8，此时点P的坐标为(2,6). (3)存在.点Q的坐标为(0,0)或(-4,0)或(4+4√2,0)或(4一4√2,0).【解析】，OA= OC=4,∴.AC=√OA2+OC=4√2.分三种情况讨论：①当QA=QC时，点Q与原点重 合，即Q(0,0);②当CQ=CA时，点Q与点A关于y轴对称，则Q(-4,0);③当AQ= AC=4√2时，点Q的坐标为(4十4√2,0)或(4-4√2,0).综上所述，点Q的坐标为(0,0) 或(-4,0)或(4+4√2,0)或(4-4√2,0). 期末综合评价 1.D2.D3.A4.A5.B6.D7.D8.D9.A10.D 1.DE/BC(答案不唯-）2.kK-113.75°14915.只 16.(1)-10(2)m<2 17.解：整理，得2y2一6y+2=0.这里a=2,b=-6,c=2.因而b-4ac=（-6)2-4×2 X2=20>0,3生因此原方程的根为为=3，%=35 2 2 18.解：(1)如图，△A'B'C'即为所求.(2)(-2m,-2n) 42第4章综合评价 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 2 5 6 8 10 答案 1.下列函数是二次函数的是 A.y=2x+1 B.y=(x-1)2-x2 C.y=1-x2 Dy是 2.抛物线y=一3(x十2)2一3的顶点坐标是 A.(2,-3) B.(-2,-3)C.(2,3) D.(-2,3) 3.如果将抛物线y=x2十3先向左平移1个单位长度，再向下平 移1个单位长度，那么所得新抛物线的函数表达式是() A.y=(x+1)2+2 B.y=(x-1)2+2 C.y=x2+2 D.y=(x+1)2-1 4.二次函数y=ax2十x+c(a≠0)的自变量x与函数y的部分对 应值如下表，则关于x的方程ax2十x+c=0的一个根的近似 值是 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.49 0.04 0.59 1.16 A.1.08 B.1.18 C.1.28 D.1.38 5.已知抛物线y=一 2x2-x十1，下列说法错误的是 A.开口向下 D.对称轴是直线x=一1 C.点(2，一3)在抛物线上 D.当x>一1时，y随x的增大而增大 6.若点P1(-4,y1),P2(一3，y2),P3(1,y3)均在二次函数y= 螂 x2+4x-m的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是 () A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y3>y1>y2 7.已知二次函数y=(k一3)x2十2x+1的图象与x轴有两个不同 的交点，则的取值范围是 A.≤4且k≠3 B.k<4且≠3 C.k<4 D.k≤4 8.多人花样跳绳形式多样、对场地要求低、操作简单、健身效果明 显，受到同学们的喜爱.如图，绳被甩至最高处时的形状满足抛 25 物线y=一+，甩绳的两名同学两手之间的距离AB=4, 两人甩绳的手距地面的高度均为1.6m,则绳的最高点C与地 面之间的距离为 A.1 m B.1.6m C.2.6m D.3.6m 9.函数y=ax2-2x十1和y=ax-a(a是常数，且a≠0)在同一 平面直角坐标系中的图象可能是 人， 10.如图，二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象与x轴的一个 交点坐标为(1,0)，对称轴为直线x=一1.有下列结论：①abc< 0;②4a-2b+c<0;③3a+c=0;④当-3<x<1时，a.x2+ bx十c≤0.其中正确结论的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 ↑P/W 165 011 4/A 220 Vo- 图① 图② (第10题图) (第15题图) 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.抛物线y=2x2+5x一3与y轴的交点坐标为 12.已知一个二次函数图象的形状、开口方向与抛物线y=一2x2 3相同，且它的顶点坐标为（一2,5），则这个二次函数的表达 式为 13.已知二次函数y=(m一2)x2,当x<0时，y随x的增大而减 小，则实数m的取值范围是 14.若抛物线y=x2一8x十m一1的顶点在x轴上，则m的值为 15.某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图①， 将滑动变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出滑动变阻 器R消耗的电功率P(W)随电流I(A)变化的关系图象如图 ②所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则滑动变 阻器R消耗的电功率P最大为 W. 16.在平面直角坐标系中，某函数的自变量的取值范围为a≤x≤ b(b>a),函数值的取值范围为c≤y≤d(d>c),定义：若b -26 a<d一c,称该函数为“纵型函数”. (1)函数y=x2(一1≤x≤1) “纵型函数”；（填“是”或 “不是”) (2)已知y关于x的二次函数y=a.x2-2ax-3a(0≤x≤4)是 “纵型函数”，则a的取值范围是 三、解答题：本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 17.(6分)已知y=(m-3)xm-3m-是关于x的二次函数，且该函 数图象的开口向下. (1)求m的值； (2)写出这个二次函数图象的对称轴. 18.(8分)已知抛物线y=ax2一2x十1的对称轴为直线x=1. (1)求a的值； (2)若点M(x1,y1),N(x2y2)都在此抛物线上，且一1<x1< 0,1<x2<2,比较y1与y2的大小. 19.(8分)已知二次函数y=ax2十bx十c的自变量x与函数y的 部分对应值如下表， x -2 -10 2 3 4 50 -3 -4-30 (1)m的值为 (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当y<0时，x的取值范围是 2 024x 27 20.(9分)如图，已知抛物线的顶点坐标为(1，一2)，且经过原点. (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若抛物线与直线y=x一n只有一个交点，求n的值. 21.(9分)每年10月至12月是永兴冰糖橙上市的最好季节.某水 果商以90元/箱的价格从果园进货，再以100元/箱的价格卖 出，每周可以卖出100箱.该水果商想涨价销售，发现每箱每 涨价1元，每周销量减少4箱.设每周销售冰糖橙获利®元， 每箱涨价x(x>0)元（水果商每周至少卖出80箱冰糖橙）. (1)求w与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围； (2)求水果商每周销售冰糖橙可获得的最大利润. 22.(10分)如图，二次函数y=x2十bx十c的图象经过A(3,1), B(0,一2)两点. (1)求二次函数的表达式； (2)将二次函数y=x2十bx十c的图象沿x轴方向向左平移n (>0)个单位长度得到一个新函数的图象，当0≤x≤3 —28— 时，新函数的最小值是一2，求n的值. 23.(10分)根据以下素材，探索完成任务， 某高架桥是一段抛物线结构，它 素材1 的示意图如图①所示.经测量，抛3m 9m 物线跨度24m,顶点离地面9m, 24m 桥的两端，点M,Q距离地面3m 图① 如图②，某道路规划部门计划在 桥下左侧公路分非机动车道、机 B 动车道一、机动车道二及绿化带 机 四部分，计划设计非机动车道宽 非机 素材2 动车道 动车道 3m,每条机动车道宽均为3.5m. 动车 道 绿化带 为了保证车辆的行驶安全，高架 A 下方需要设置限高标志以警示 图② 车辆驾驶员（限高即图中BC的高度） 问题解决 在图①中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的 任务1确定模型 函数表达式 任务2探究限高 计算确定机动车道一的限高（结果精确到0.1m) 29 24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知C(0,4),点A,B在 x轴上，且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物 线上 (1)求抛物线的函数表达式， (2)在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P,使得△PAC 的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PAC面积的 最大值；若不存在，请说明理由 (3)在x轴上是否存在点Q,使得△ACQ是等腰三角形？若 存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. BO 备用图 30