14.上分专题（三） 二次函数与几何变换-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（湘教版·新教材）

该初中数学单元复习课件聚焦二次函数与几何变换，系统梳理线段、角度、面积、存在性四大类型问题，通过目录分类和真题解析，构建“问题类型-解题方法-核心素养”的知识网络，帮助学生明晰知识点内在逻辑。 其亮点在于以真题为载体，如江苏南通期中线段最值题通过坐标表示与配方转化，培养抽象能力和运算能力，存在性问题分类讨论渗透推理意识。分层设计满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升知识巩固效果。

数 学 九年级全一册 湘教版 1 2 3 上分专题（三） 二次函数与几何变换 重难上分 攻克难点 4 类型1 线段问题 类型2 角度问题 类型3 面积问题 类型4 存在性问题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 线段问题 1.[2026江苏南通期中]如图，抛物线与轴正半轴交于点，点 是 抛物线在第一象限部分上的一动点，连接并延长交轴于点，过点作 轴，垂足为，连接，则 的最大值为__. 1 2 3 4 5 6 6 【解析】对于，令，则，解得 或8， 点是抛物线在第一象限部分上的一动点， 设 ，直线的表达式为，将, 两 点坐标代入，得解得 直线 的表达式为 ，当时，，， 轴， ，，， ， 1 2 3 4 5 6 7 ， ， .， 当 时，有最大值，为，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 2.[2026湖南湘潭质检]如图（1），抛物线的顶点为，与 轴交 于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点， . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 9 （1）求抛物线的表达式； 【解】 直线与抛物线交于点，， 易得点， 的坐标分别为 ，.将,两点坐标分别代入，得 解得 抛物线的表达式为 . 1 2 3 4 5 6 10 （2）在直线上方的抛物线上有一动点（不与点， 重合）. 【解】, . ①点的纵坐标 的取值范围为___________； 【解析】 点在直线上方的抛物线上运动，且不与点,重合， 点 的纵坐 标的取值范围为，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 11 ②过点作轴的平行线，交直线于点，求 的最大值； 【解】如图，设点，对于直线 ，令 ,则， ， .， 当 时， 有最大值，为 . 1 2 3 4 5 6 12 （3）如图（2），当点在抛物线上运动时（不与点，，重合），过点作 轴的垂线，交直线于点，交轴于点，当时，求点 的坐标. 【解】设，则， ， ， ， 或,解得（舍去）或2或 ， 故点的坐标为或 ． 1 2 3 4 5 6 13 类型2 角度问题 3.[2026湖北武汉月考]如图，抛物线与轴分别交于, 两点，与 轴交于点，且 . 备用图 1 2 3 4 5 6 14 （1）求抛物线的表达式； 【解】把代入可得， , ，,，，.把 ， 代入，得解得 抛物线的表 达式为 . 1 2 3 4 5 6 15 （2）点为抛物线上一点，且 ，求点 的坐标； 图（1） 【解】将绕点顺时针旋转 得到，连接，取的中点 ， 连接并延长交抛物线于点，则 ，如图（1）.∵AO=1， ， 易得 . ，，即.设直线的表达式为 ， 把，分别代入，得解得 直线 1 2 3 4 5 6 16 的表达式为，联立得解得 或 . 1 2 3 4 5 6 （3）点为抛物线在第一象限部分上的一点，连接，，若 ， 求点 的坐标. 图（2） 【解】当时，延长交轴于点 ，如图（2）. ，，,则点 在的垂直平分线上，.设 ， 直线的表达式为，把， 代 入，得解得 直线 的表 达式为.把代入 ，得 1 2 3 4 5 6 18 ，解得，. ， ，解得或 （舍去）， ， ． 1 2 3 4 5 6 类型3 面积问题 4.[2025四川成都三模]如图，二次函数的图象与轴、 轴 分别交于点,，，连接，点为直线 下方抛物线上一点. 1 2 3 4 5 6 20 （1）若点,的坐标分别为, . ①求二次函数的表达式； 【解】把点,代入中，得 解得 二次函数的表达式为 ． 1 2 3 4 5 6 21 ②当与的面积相等时，求点 的坐标； 1 2 3 4 5 6 22 【解】将代入,得 ， ， 易得直线的表达式为 .如图， 过点作直线的平行线，设直线的表达式为，将 代入得， 直线的表达式为， 易得直线与 轴交 于点 ． ，故将直线向下平移6个单位得到直线，直线 与抛物线的交点 即为点.易知直线的表达式为 ，联立得 解得或故点的坐标为 或 . 1 2 3 4 5 6 （2）设点,,的横坐标分别为，，，当 的面积最大时，求证： . 【证明】设直线的表达式为.将, 代入，得 解得 直线的表达式为.当过点的直线 与 平行且与抛物线有且只有一个交点时，的面积最大，设直线 的表达式为 ，联立得整理可得 ， 1 2 3 4 5 6 24 易知此方程有两个相同的根，， 点 在抛物线上， ，.将代入 ，得 ,, ． 1 2 3 4 5 6 类型4 存在性问题 5.[2026湖南郴州调研]如图，已知抛物线与轴交于， 两点，与 轴交于点，顶点为点，已知点的坐标为，经过点 的直线与抛物线另一 个交点的坐标为，连接 . 1 2 3 4 5 6 26 （1）求抛物线及直线 的表达式； 【解】将和代入，得 解得 抛物线的表达式为.设直线的表达式为 ， 将,两点代入，得解得 直线 的表达式为 . 1 2 3 4 5 6 27 （2）若点在轴上，则当的值最小时，求点 的坐标； 【解】在中，当时， ， ， 顶点 的坐标为 .如图所示，作点关于轴的对称点，连接， ，则 ，，， 当，， 三 点共线时，有最小值，即 有最小值. 设直线的表达式为，将, 两点坐标代入，得 解得 直线的表达式为 .在 中，令，则， 点的坐标为 . 1 2 3 4 5 6 28 （3）点是轴上的一个动点，是否存在点使得 为等腰三角形？若存在， 直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由. 【解】存在.点的坐标为或或或 .在 中，令，则,解得 或1， ，， .当 时，易得点的坐标为或；当 时，易得点的坐标为；当时，设点的坐标为 ， ，解得， 点的坐标为 . 综上所述，点的坐标为或或或 ． 1 2 3 4 5 6 29 6.[2026广东深圳期末]如图（1），抛物线与 轴交于点 ，，与轴交于点 . 图（1） 图（2） 备用图 1 2 3 4 5 6 30 （1）求抛物线的表达式. 【解】把，，代入得 解得 抛物线的表达式为 . 1 2 3 4 5 6 31 （2）点 是抛物线上的一个动点. ①如图（1），若点在第一象限内，连接交直线于点，连接, ,设 的面积为，面积为，若，求点 的坐标. 1 2 3 4 5 6 32 图（1） 【解】设直线的表达式为，把， 代 入得解得 直线 的表达式 为．如图（1）.过作轴交于，过 作 轴交于，， ， .设，则 ， ， 将代入，得， ， ，， 或2， 点的坐标为或 1 2 3 4 5 6 33 ②如图（2），抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点 是对 称轴上的一个动点，是否存在以点，，， 为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，直接写出点 的坐标.若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 34 【解】存在，点的坐标为或或．过点作于 ，如图 （2）.对于，， 抛物线对称轴为直线 ，，，.又 ， 是等腰直角三角形，, ， 是等腰直角三角形.,， 点 的 坐标为.当为平行四边形的边时，由题易得， 轴， 点的横坐标与点的横坐标相同，为2，当 时， ， 点的坐标为，， 点 的坐标为.根据对称性可知，当，时，四边形 也是平行四边形． 1 2 3 4 5 6 35 当 为平行四边形的对角线时，如图（3）. 四边形为平行四边形，，轴，同理求得点 的坐标 为，，点的坐标为 . 综上，点的坐标为或或 ． 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 36 $