精品解析：云南昆明市西南联大研究院附属学校2025-2026学年下学期九年级数学 中考考前模拟试卷

西联学校2026年初中学业水平第三次模拟考试 数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页，满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若水位下降用“”表示，那么水位上升就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果水位下降记作，那么水位上升记作， 故选：B． 2. “悟空”号全海深是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器，具备在米深海自主作业的能力，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方等整式运算的对应法则，逐一验证选项即可得到正确结果． 【详解】解：A、，选项运算正确； B、，选项运算错误； C、，选项运算错误； D、与不是同类项，不能合并，选项运算错误． 4. 若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数是非负数即可求解． 【详解】∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中． 5. 我国汉字博大精深，彰显美好意蕴．下列四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，逐一进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念，只有C选项中的汉字是轴对称图形． 6. 如图，，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵， ∴， ∴． 7. 如图所示的图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ） A. 正方体 B. 长方体 C. 圆锥 D. 圆柱 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的形状特征，主视图、左视图、俯视图均为正方形，结合常见几何体的三视图进行判断即可． 【详解】解：∵主视图、左视图、俯视图均为正方形， ∴该几何体是正方体． 8. 某小组8名学生的中考体育分数单位（分）如下：39，40，40，42，42，42，43，44，则该组数据的众数、中位数分别为（ ） A. 40，42 B. 42，43 C. 42，42 D. 42，41 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 先将数据按照从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解可得． 【详解】解：将这组数据排列为，，，，，，，， 所以这组数据的众数为，中位数为， 故选：． 9. 十边形的内角和为（ ） A. 1800° B. 1620° C. 1440° D. 1260° 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：根据多边形内角和公式，当时， 十边形的内角和为， 故选：C． 【点睛】本题考查多边形内角和公式，熟记多边形内角和公式是解决问题的关键． 10. 某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算．从2023年初到2025年初是两年时间，设年平均增长率为x，则两年后的数量为初始数量乘以的平方． 【详解】解：∵ 初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个，年平均增长率为x， ∴ 一年后数量为，两年后数量为， ∴ 可列方程：， 故选：B． 11. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的探究规律，解题的关键是根据单项式找到规律．通过观察单项式的系数发现：，则第n个单项式的系数为；由，发现第几个单项式的次数解是a的几次幂，得第n个为． 【详解】解：通过观察单项式的系数发现：，； 则第n个单项式的系数为； ，； 第几个单项式的次数即是a的几次幂， 第n个数为， 第n个单项式是， 故选：B． 12. 如图，在中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦的定义，计算即可． 【详解】解：在中，，，， 则． 13. 如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理．根据邻补角的定义求出的度数，根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半”求出的度数． 【详解】解：，， ， ， 故选：A． 14. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 15. 如图，已知，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 17. 若反比例函数的图象过点，则常数_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴； 故答案为：． 18. 在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：因为不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同， 所以从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为， 故答案为：． 19. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，以及扇形面积，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式．设侧面展开扇形的圆心角的度数为度，根据“圆锥的侧面积扇形面积”建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为度， 侧面展开扇形的面积为：， 解得， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分别计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、有理数乘方，再合并计算即可． 【详解】解： ． 21. 如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证，再根据“”证明即可． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ． 22. 云南大理，苍山洱海，风光如画．从大理港出发，乘船北行，可抵达湖中著名的小普陀——一座玲珑的石灰岩小岛，宛如碧玉盘中一颗青螺．这条经典航线全程约18千米，沿途可远眺苍山十九峰，近观白族渔村与海鸟翔集．某日，一艘常规游船与一艘观光快艇同时从大理港出发，驶向小普陀，已知快艇的平均速度是游船平均速度的2倍，结果快艇比游船早到0.5小时．求游船和快艇的平均速度分别是多少千米/小时？ 【答案】游船的平均速度为18千米/小时，则快艇的平均速度为36千米/小时 【解析】 【分析】设游船的平均速度为千米小时，则快艇的平均速度为千米小时，根据快艇比游船早到0.5小时列出方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设游船的平均速度为千米小时，则快艇的平均速度为千米小时， 根据题意，得： 解得： 经检验是所列分式方程的解，且符合题目要求， 此时 答：游船的平均速度为18千米/小时，则快艇的平均速度为36千米/小时． 23. 某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间（分钟）分为五个小组：A：；B：；C：；D：；E：．现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是___________，并将频数分布直方图补充完整； （2）若该校共有学生人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于分钟的学生有多少人？ 【答案】（1）； （2）人． 【解析】 【分析】（1）利用B组或E组学生人数及占比由频数样本容量占比列式计算即可（利用E组列式：），注意样本容量不带单位，求出D组学生人数补全频数分布直方图即可； （2）用样本估计总体，找到满足每天校外体育活动时间不少于分钟的学生的占比，列式计算即可． 【小问1详解】 解：由题中信息知，B组学生有人，占样本的， 本次调查的样本容量是， D组学生有人， 图略； 【小问2详解】 解：不少于分钟的学生属于E组，E组学生占样本的， 估计该校学生每天校外体育活动时间不少于分钟的学生有人． 24. 已知四边形为矩形，点F为上一点，过点E作，连接，且平分， （1）求证：四边形为菱形； （2）已知矩形的周长为22，四边形的周长为20，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形即可； （2）根据菱形的性质得出，根据矩形的周长为22，得出，从而求出，根据勾股定理得出，根据完全平方公式变形求出，最后根据三角形面积公式得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形的周长为20， ∴， ∵矩形的周长为22， ∴， ∴， ∴， 即， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴． 25. 中国象棋，在中国拥有广泛的群众基础，北宋晁补之《广象戏格·序》说：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱猛兽以为阵，象，兽之雄也．故戏兵以象戏名之．”这一下子将发明象棋的时间推到了5000多年前的黄帝时期．某商场花费4800元从厂家购买了A，B两种材质的中国象棋220件，每件中国象棋的批发价及零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） A材质中国象棋 25 45 B材质中国象棋 20 35 （1）商场购进两种材质的中国象棋各几件？ （2）若商场再次购进两种材质的中国象棋300件，其中A材质中国象棋的数量不多于B材质中国象棋数量的2倍，请设计一个方案：商场购进A材质中国象棋多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）商场购进A材质中国象棋80件，B材质中国象棋140件 （2）商场购进A材质中国象棋200件时获得最大利润，最大利润是5500元 【解析】 【分析】（1）设商场购进A材质中国象棋x件，B材质中国象棋y件，根据花费钱数和总件数列二元一次方程组，求出x、y的值； （2）设商场再次购进A材质中国象棋a件，则B材质中国象棋件，获得的利润为w元，列出一次函数，确定自变量a的取值范围，根据一次函数增减性确定a的值和最大利润． 【小问1详解】 解：设商场购进A材质中国象棋x件，B材质中国象棋y件， 依题意，得：， 解得：． 答：商场购进A材质中国象棋80件，B材质中国象棋140件； 【小问2详解】 设商场再次购进A材质中国象棋a件，则B材质中国象棋件，获得的利润为w元， 则， 由题意得， 解得， ，， w随a的增大而增大． 当时，利润最大，最大值为（元）． 故商场购进A材质中国象棋200件时获得最大利润，最大利润是5500元． 26. 已知，二次函数的图象经过点，抛物线对称轴为直线． （1）求该二次函数的解析式； （2）若是该二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知点坐标求出常数项，再根据二次函数对称轴公式求出，即可得到二次函数解析式； （2）根据是二次函数与轴交点横坐标，得到满足的方程，通过降次变形化简所求代数式，消去含的项后即可计算出结果． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， 将代入解析式得， ∵抛物线对称轴为直线，二次函数中，对称轴公式为， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵是二次函数图象与轴交点的横坐标， ∴， 当时，， ∴， 等式两边同时除以得，即， 由得， ， ∴， 代入得：， ∴， ∴， 代入得：， ∴． 27. 如图，为五边形的外接圆，为的直径，为延长线上一点，连接得，连接并延长交于点，连接交于点． （1）若，求证：为的切线； （2）若，求； （3）探究，发现与证明：若的半径为，设．请判断以下三个结论： ；；，你认为哪个结论正确，请说明理由． 【答案】（1）证明：为的直径， ， ， ，又， ， ，即， 为的切线 （2） （3），利用如下： 过作交于， 由（1）知， ，又， ， ，即， 同理可得， ，即， ， ． 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得，再证，进而得到即可； （2）由题可知，则可设，再利用勾股定理列方程求解即可； （3）过作交于，先证，得到，同理可得，进而得到，再代入计算的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为的直径， ， ，则可设， 又，即， 解得（负值已舍去）， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西联学校2026年初中学业水平第三次模拟考试 数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页，满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（　　） A. B. C. D. 2. “悟空”号全海深是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器，具备在米深海自主作业的能力，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 我国汉字博大精深，彰显美好意蕴．下列四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ） A. 正方体 B. 长方体 C. 圆锥 D. 圆柱 8. 某小组8名学生的中考体育分数单位（分）如下：39，40，40，42，42，42，43，44，则该组数据的众数、中位数分别为（ ） A. 40，42 B. 42，43 C. 42，42 D. 42，41 9. 十边形的内角和为（ ） A. 1800° B. 1620° C. 1440° D. 1260° 10. 某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 13. 如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 14. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 15. 如图，已知，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 因式分解：____________． 17. 若反比例函数的图象过点，则常数_______． 18. 在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为___________． 19. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为________°． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算： 21. 如图，，，．求证：． 22. 云南大理，苍山洱海，风光如画．从大理港出发，乘船北行，可抵达湖中著名的小普陀——一座玲珑的石灰岩小岛，宛如碧玉盘中一颗青螺．这条经典航线全程约18千米，沿途可远眺苍山十九峰，近观白族渔村与海鸟翔集．某日，一艘常规游船与一艘观光快艇同时从大理港出发，驶向小普陀，已知快艇的平均速度是游船平均速度的2倍，结果快艇比游船早到0.5小时．求游船和快艇的平均速度分别是多少千米/小时？ 23. 某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间（分钟）分为五个小组：A：；B：；C：；D：；E：．现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是___________，并将频数分布直方图补充完整； （2）若该校共有学生人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于分钟的学生有多少人？ 24. 已知四边形为矩形，点F为上一点，过点E作，连接，且平分， （1）求证：四边形为菱形； （2）已知矩形的周长为22，四边形的周长为20，求的面积． 25. 中国象棋，在中国拥有广泛的群众基础，北宋晁补之《广象戏格·序》说：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱猛兽以为阵，象，兽之雄也．故戏兵以象戏名之．”这一下子将发明象棋的时间推到了5000多年前的黄帝时期．某商场花费4800元从厂家购买了A，B两种材质的中国象棋220件，每件中国象棋的批发价及零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） A材质中国象棋 25 45 B材质中国象棋 20 35 （1）商场购进两种材质的中国象棋各几件？ （2）若商场再次购进两种材质的中国象棋300件，其中A材质中国象棋的数量不多于B材质中国象棋数量的2倍，请设计一个方案：商场购进A材质中国象棋多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 26. 已知，二次函数的图象经过点，抛物线对称轴为直线． （1）求该二次函数的解析式； （2）若是该二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标，求的值． 27. 如图，为五边形的外接圆，为的直径，为延长线上一点，连接得，连接并延长交于点，连接交于点． （1）若，求证：为的切线； （2）若，求； （3）探究，发现与证明：若的半径为，设．请判断以下三个结论： ；；，你认为哪个结论正确，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $