基本功专练(1) 解一元二次方程（阶段小测）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

基本功专练（一） （时间：40分钟 1.(60分)用适当的方法解下列方程： (1)4x2-25=0; (2)x2+6x-1=0; (3)(x-1)2-4=0: (4)9x2+2=-7x; (5)5.x2-3x=x+1; ·1 解一元二次方程 满分：100分) (6)4x2-5x=1+3x; (7)2x(x+2)-x=2; (8)x2-6x+9=(5-2x)2; (9)(x-2)2=2x-4; (10)(y-2)(y-3)=12. 2.(8分)小明同学解方程x2十8x一9=0的 过程如下： 解：x2十8x=9.…第一步 (x+4)2=9. … 第二步 ∴.x十4=3，或x十4=一3.…第三步 ∴.x1=一1，x2=一7.…第四步 (1)小明同学是用 (填“配方法” “公式法”或“因式分解法”)来解方程 的，从第 步开始出现错误； (2)请你用不同于(1)中的方法解该方程. 3.(10分)若一元二次方程(a十2)x2+x十a2 2a一9=0的一个根是x=1,求a的值. 4.(10分)已知关于x的一元二次方程x2十 bx十c=0,在下列关于b,c的四组值中选 择其中一组，使这个方程有两个不相等的 实数根，并解这个方程， ①b=2,c=1;②b=3,c=1; ③b=3,c=-1;④b=2,c=2. 5.(12分)规定：对于任意实数a,b,c,d有 [a,b]*[c,]=ac-bd,其中等式右边是 乘法和减法运算.如：[3,2]￥[5,1]=3× 5-2×1=13. (1)已知[x,3]*[x一1,4]的值为0，求x 的值； (2)若关于x的方程[x,2x一1]*[mx+ 1,m]=0有两个实数根，求m的取值 范围.期末综合评价 1.B2.C3.D4.C5.C6A7D8.C9.C10.A1.y=-12.- 13.814。-2<<315.8164r17.得18219.解：移项，得-6红=3 配方，得x2-6x十32=3十3，即(x-3)=12.由此可得x-3=士2√5，解得x1=3十 2√3，x2=3-2√3.20.解：(1)点A与点B(-1,2)关于y轴对称，∴A(1,2).把A （1,2代人n-经得=1X2=2把A1,2)代人为=，得2-为×1，解得k=2 (2)由图象可知，当y<y时，x>1,21.解：(1)如图，△AOB即为所求. A1(0,1),B1(-2,2).(2)由题意，得OB1=OB=√/2+2=2√2， “点B所经过的路径长为90πX22=2元22.1)证明：由旋转的性质，得AE=AC, 180 ∠AED=∠C,∴.∠AEC=∠C.∴∠AED=∠AEC..EA平分∠CED.(2)解：由旋转 的性质，得∠BAD=∠CAE,AD=AB,∴∠ADB=∠ABD.:'∠AEC=∠C,∴∠ABD =∠C.∠C+∠ABC=90°，∠ABD十∠ABC=90°，即∠DBE=90°，23.解：(1)由 题意，得A(一30,4)，H(0,22).设经过A,B,H三点的抛物线的函数解析式为y=ax2十 22.把A(-30,4)代入，得4=900a+22,解得a=一0·经过A,B,H三点的抛物线 1 的函数解析式为y=一0x十22.(2)由(1)可得两车同时后退10m后，y轴右侧的抛 物线的函数解析式为y=一品（红一10）2+2.当x=0时y=一品×0一10)十22 1 20.答：两条水柱的相遇点距离地面20m.24.解：（任务一），四边形ABCD为矩形， ∴∠A=90°.∴BG为经过A,B,G三点的圆的直径.，BG=√AG十AB=√5cm, ·该圆的半径为子BG=写。 气cm.(任务二)①直线PN与⊙O相切.理由如下：连接OP :四边形ABCD是矩形，AD∥BC,∴.∠NAD=∠1.∴∠NOP=2∠NAD=2∠1. MN⊥BC,∴.∠BNM=90.∴∠1+∠2+∠ANP=90°.：∠1=∠2，∠ANP+ 2∠1=90°，即∠ANP+∠NOP=90°.∴∠OPN=90°，即OP⊥PN.:OP为圆的半径， ∴.PN与⊙O相切.②由题意，得AB=2cm,.AM=2AB=4cm易知∠AMN=90°， MN=AB=2cm,∴.PN=√PM+MN产=√5cm,AN=√AM+MNr=2√5cm.设 OP=OA=rcm,则ON=AN-OA=(2√5-r)cm.在Rt△OPN中，OP2+PN2= 0N.即+(5)=(2后-ry,解得r=35.⊙0的半径为3cm25,解： (1)直线y=kx十3与y轴交于点B,∴.B(0,3).把A(-3,0),B(0,3),C(1,0)代入 9a-3b十c=0, a=-1, y=a.x2+bxr十c,得c=3, 解得)b=一2，∴.抛物线的函数解析式为y=一x a十b十c=0,c=3. -2x十3.(2)由(1)，得y=-x2-2x十3=-(x十1)2+4，∴.抛物线的对称轴为直线x =-1.-1<0,一2x≤1，.当x=-1时，y取得最大值为4；当x=1时，y取得最 小值为0.∴.当-2≤x≤1时，抛物线中y的最大值与最小值的差为4一0=4.(3)把A (一3,0)代入y=kx十3，得-3k十3=0，解得k=1,∴.直线AB的函数解析式为y=x十 3.过点D作DE∥y轴，交AB于点E.设D(m,-m2-2m十3)(-3<m<0),则 E(m,m十3).∴.DE=-m2-2十3-(m十3)=-m2-3m.由题意，得S十S2=S△4B +(SADA+SAM -SADAG )=2SAm+SAAMC-SAmC.SAD2 DE:OA= 号(-m-3m)X3=-号m-号m,Sae=合AC·0B=子X4X3=6,Sac 号4C·o=号×4(-m-2m+3)=-2m-4m+6,s+s=2(-号i-号m） 6-(-2m-m+6)=-(m+号)'+空”-1<0，-3<m<0,当m=-号时，s+ S有最大值，最大值为空，此时点D的坐标为（一号·子） -82 周测小卷答案 基本功专练（一）解一元二次方程 1解：)整理，得-5由此可得x=士号即=号=一号.(2)移项，得十 6x=1.配方，得x2十6x十3=1十3，即(x十3)=10.由此可得x十3=士√10.∴x1= -3+√10，x2=-3-√10.(3)因式分解，得(x-1十2)(x-1-2)=0,即 (x+1)(x-3)=0.于是得x十1=0，或x-3=0..x1=-1,x2=3.(4)方程化为9x2十 7x十2=0.a=9,b=7,c=2,.△=b2-4ac=72-4×9×2=-23<0.∴.原方程无实 数根.(5)方程化为5x2-4x-1=0..a=5,b=-4,c=-1,∴.△=b2-4ac=(-4)2-4 X5×(-1)=36>0.·.方程有两个不相等的实数根.x=二b士64ac 2a 二《若压-信=1=分(6)移项，合并同类项，得-8=1. 2×5 次项系数化为1，得-2x=子配方，得2-2x十1=号+1，即(x一1=号.由此可 得x-1=±9=25a=25.(0)整理，得2xx十2》-x十2》=0.左边因 2 式分解，得(x十2(2x-1)=0.x十2=0，或2x-1=0.=-2,4=分(8)整理， 8 得(x-3)2=(5-2x).x-3=5-2x,或x-3=2x-5.=分，x=2.(9)整理， 得(x-2)2-2(x-2)=0.左边因式分解，得(x-2)(x-2-2)=0,即(x-2)(x-4)= 0.于是得x-2=0,或x-4=0..x1=2,x2=4.(10)方程化为y2-5y-6=0..a=1, b=-5,c=-6,.△=-4ac=(-5)2-4×1×(-6)=49>0..方程有两个不相等 的实数根.y=二b生4a匹=二（一)生四-5专.1=6，=-1.2.解： 2a 2×1 2 (1)配方法二(2)公式法：a=1,b=8,c=-9,∴.△=b2-4ac=82-4×1×(-9) =10>0.方程有两个不相等的实数根.x=二800=二810.=1， 2×1 2 -9.3.解：将x=1代入(a十2)x2十x+a2-2a-9=0,得a十2+1十a2-2a-9=0, 即a2-a-6=0,解得a1=-2,a2=3.又：a十2≠0，即a≠-2，∴a=3.4.解：方程 有两个不相等的实数根，∴△=b2-4>0,即b>4c.∴.选择②③均可.选择②，则这个 方程为x2+3x十1=0，解得1=二35，=二3,5.选择③，则这个方程为x+ 2 2 3x-1=0,解得1=二3压，=-3，压.（②③任选一个作答即可）5.解：1)由 2 2 题意，得x(x一1)一3×4=0，解得x1=4,x2=一3.(2)由题意，得x(mx十1)一m(2x 1)=0.整理，得mx2十(1-2m)x十m=0..△=(1-2m)2-4m·≥0且m≠0，解得 m≤子且m≠0， 阶段微测试（一） 1.C2.C3.C4.C5.D6.C7.-38.49.1210.711.解：(1)整理，得 (2x-1)2=9.由此可得2x-1=±3，.2x-1=3,或2x-1=-3..x1=2,x2=-1. (2):a=2,b=-7,c=4,∴.△=b2-4ac=（-7)2-4×2×4=17>0.∴.方程有两个不 相等的实数根告罗=士严。-严（8)整星，得8x(3x十2》 4 4 一4(3x十2)=0.左边因式分解，得(3x十2)(3x一4)=0.于是得3x十2=0，或3x一4= 0.∴.x1=- 号=手12.解：1)不正确不正确(2)整理，得-2x=子配 方，得2-2x1=号+1，即（一1=是由此可得一1=±=1+9 13.解：由题意，得△=2-4ac=(-8)2-4×1×(3m十1)=60-12m=0,解 得m=5..原方程为x2-8x十16=0，解得x=x2=4.14.(1)证明：4=(2m十1)2 一4×1×(m一2)=4m十9>0，∴.无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根. (2)解：由(1)得当m=0时，判别式的值最小.把m=0代入原方程，得x2十x-2=0,解 得x1=一2，x2=1,15.解：(1).方程x2一4x十m=0的根的判别式的值为4，.△= (-4)2-4m=16-4m=4,解得m=3.(2)由根与系数的关系，得x1十x2=4,x1x2=m. :x2十m=x1十x2∴.m十m=4,解得m=2.(3),x1,x2是直角三角形两条直角边 的长，该直角三角形斜边长为3，x十x号=9.∴.(1十x2)2-2x1x2=9..42-2m=9, 解得m=2· 基本功专练（二）一元二次方程的实际应用 1.解：设单台服务器运行成本的月平均降低率为x.根据题意，得2500(1-x)2= 1600,解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不符合题意，舍去).答：单台服务器运行成本的 一 83 月平均降低率为20%.2.解：(1)(x+2)(x十0.4)(2)根据题意，得之[(x十2)十 (x十0.4)]x=1.6,解得x1=一2（不符合题意，舍去），x2=0.8.,x十2=2.8，x十0.4 1.2.答：渠道的上口宽是2.8m,渠底宽是1.2m.3.解：设每束鲜花应降价x元.根 据题意，得(80-一50一x)(30十2x)=1000,解得x1=10,x2=5..尽量减少库存， ∴·x=10.答：每束鲜花应降价10元.4.解：不能，理由如下：假设存在，设最小数为y, 则另外三个数分别是y十1，y十7，y十8.根据题意，得y(y十8)十y十(y+1)十(y十7)十 (y十8)=80，解得y1=-16,y2=4.当y=一16时，不符合题意，舍去；当y=4时，方框 不存在，舍去.方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80.5.解： (1)小诚的说法有道理.理由如下：设有x人报名参赛，根据题意，得()=32，解得 2 x1=1士，冠，=1一2阿.：x1,,都不是整数，“方程的解不符合实际.小诚 2 2 的说法有道理.(2)设原来有x人参加比赛.根据题意，得工一1)x一2+4=32，解得 2 x1=9,x2=一6（不符合题意，舍去）.答：原来有9人参加比赛，6.解：(1)设剪去的小 正方形的边长为xcm.根据题意，得(100-2x)(40-2.x)=1600,解得x1=10,x2=60 (不符合题意，舍去).答：剪去的小正方形的边长为10cm.(2)设该收纳盒的高为acm, 则收纳盒底面的长为100,2a=(50一a)cm,宽为(40-2a)cm.根据题意，得(50-a)(40 -2a)=608,解得a1=12,a2=58(不符合题意，舍去).答：该收纳盒的高为12cm. 阶段微测试（二） 1.D2.B3.D4.A5.A6.C7.-38.49.-610.30%11.解：(1)整 理，得x2-4x=10.配方，得x2-4x十4=10十4，即(x-2)2=14.由此可得x-2= 士√14..1=2十√14，x2=2-√/14.(2)整理，得x2-8x-20=0.a=1,b=-8,c =-20,∴4=(-8)2-4×1×(-20)=144>0.∴.方程有两个不相等的实数根.∴.x= 8±144=8±12 2×1 2 .x1=10,x2=-2.(3)左边因式分解，得(x-3)(x-3十4x)=0.于 是得x-3=0,或5x-3=0.=3,x=号.12.解：(1)由题意，得△=32-4X (m-1DX2=17-8m>0,解得m<号“m-1≠0m1.m的取值范围是m<号 且m≠1.(2)由(1)知m<号且m≠1心m的最大正整数值为2.当m=2时，该方程为 x2+3x十2=0，.x1十x2=-3,x1x=2.∴.x1x2十x1x号-5=x1x2(x十x2)-5=2X (一3)一5=一11.13.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx十b,则 日30+久二50？解得180y与工之何的函数关系式为y文十180，(2)积据题 意，得(x-100)(-x十180)=700，解得x1=110,x2=170.:100≤x≤160，.x=110. 答：当售价定为110元/件时，每天可获利润700元.14.解：(1)设P,Q两点的运动时 间为ts(0<t3.5).根据题意，得AQ=tcm,BP=2tcm,则BQ=AB一AQ= (5-t)cm.当S△mQ=4时，方(5-t)X2t=4,解得t=1,=4(舍去).1s后， △PBQ的面积等于4cm.(2)△PBQ的面积不能等于7cm.理由如下：当△PBQ的面 积等于7cm时，2(5-)×2t=7.整理，得-5t+7=0.△=(-5)2-4X1X7= 一3<0，∴.该方程无实数根..△PBQ的面积不能等于7cm. 阶段微测试（三） 1.D2.B3.D4.D5.B6.C7.y=x2-3(答案不唯一)8.29.-410.① ②③11.解：把(5,0)代入y=-x2十(k十1)x-k,得0=-52十5(k十1)-k,解得k= 5..抛物线的函数解析式为y=一x十6x一5，.抛物线的对称轴为直线x= 6 2X(-1)=3. 12.解：(1)把(3,0)，(4,3)代入y=ax2十bx十3，得 9a十3b十3=0，解得a二，.二次函数的解析式为y=x-4红十3.(2)如图所示. 16a+4b+3=3, b=-4. (3)一1≤y<313.解：(1)(1,1)(2)不经过，理由如下：y=2x2- 3 2 -四2乃45末 -2 4x十3=2(x一1)2+1.由题意，得抛物线C的函数解析式为y=2(x一1十1)+1十2 2x2+3.令x=2,则y=2×22+3=11≠3，.抛物线C不经过点P(2,3).14.解： (1)-1-1(2)由(1)知y=-x2.将(b,-4)代入，得-b=-4,解得b=2(负值已 舍去)，.点B的坐标为(2，一4).设直线y=一x一2与y轴的交点为G,易得 G0,-2).Saw=Sm十Sa=号×2X1+号×2X2=3,15,解：(1)5 84