基本功专练(3)解直角三角形的应用（周测小卷）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

基本功专练（三）解直角三角形的应用 (时间：40分钟满分：60分) 1.(8分)某临街店铺在窗户上方安装遮阳3.(10分)如图，一艘海轮位于灯塔P的北 棚，其侧面示意图如图所示，遮阳棚展开 偏东37°方向，距离灯塔100 n mile的A 长度AB=200cm,遮阳棚与墙面的夹角 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达 ∠BAD=72°，求遮阳棚前端B到墙面 位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处. AD的距离.（结果精确到1cm,参考数 这时B处距离A处有多远？（参考数据： 据：sin72°≈0.951，cos72°≈0.309， sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈ tan72°≈3.078) 0.75) 2.(8分)某超市利用一个带斜坡的平台装卸 货物，其截面ACFE如图所示，AE为台 面，AC垂直于地面，AB表示平台前方的 斜坡，斜坡的坡角∠ABC=43°，坡长 AB=2m.为保障安全，又便于装卸货物， 4.(10分)某大桥采用H型斜拉桥结构，平 面图如图所示，测得拉索AB与水平桥面 决定减小斜坡AB的坡角，AD是改造后的 的夹角是45°，拉索CD与水平桥面的夹 斜坡（点D在直线BC上），坡角∠ADC= 角是65°，两拉索顶端的距离AC为2m,两 31°，求斜坡AD底端D与平台的距离CD. 拉索底端的距离BD为10m,求立柱AH的 (结果精确到0.1m,参考数据：sin43°≈ 高.（结果精确到0.1m,参考数据：sin65°≈ 0.68,cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，sin31°≈ 0.91,cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 0.52,cos31°≈0.86，tan31°≈0.60) 人31人43° 652 、45>B D ·17· 5.(12分)如图，某地政府为解决当地农户网 6.(12分)我国古代在公元前2世纪就制成 络销售农产品物流不畅问题，计划打通一 了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的 条东西方向的隧道AB,无人机从点A的 《准南万毕术》中有这样的记载：“取大镜 正上方点C处沿正东方向以6m/s的速 高悬，置水盆于其下，则见四邻矣.”如图 度飞行15s到达点D,此时测得点A的 ①所示，其工作方法主要利用了光的反射 俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方 原理.在图②中，AB呈水平状态，AE,CD 向再飞行60s到达点E,测得点B的俯角 为法线，∠BCD=∠ACD=41°，∠CAE= 为37° 37°，AE⊥AB.已知AB=11√2m,求镜面 (1)求无人机的高度AC;(结果保留根号) 上点C到水盆A的距离.（结果精确到 (2)求隧道AB的长（结果精确到1m,参 0.1m,参考数据：sin82°≈0.99，cos82°≈ 考数据：sin37°≈0.60，c0s37°≈ 0.14,tan82°≈7.12) 0.80,tan37°≈0.75，√3≈1.73) 大镜 镜面 60D 377E →东 E 图① 图② ·18·有两个实数根，∴4=(1-2m)-4m·m≥0且m≠0，解得m<且m≠0. 阶段微测试（二） 1.A2.B3.C4.C5.D6.C7.08.没有9.-210.411.解：(1)移项，得 3(2x-1)2=27.方程两边都除以3，得(2x-1)2=9.直接开平方，得2x-1=士3，即x1 =2,x2=-1.(2)这里a=2,b=-7,c=4.:b2-4ac=(-7)2-4×2×4=17>0, x=生4@c=生厘=生亚，即=士亚，=7二亚.(3)方程 2a 2×2 4 4 4 左边分解因式，得(3x十2+2x)(3x+2-2x)=0,即(5x十2)(x十2)=0..5x十2=0或 x十2=0，得4=-子=-2.12.解：由题意知m≠04=6-4c=[-(3m-1D 4m(2m-1)=1,解得m1=0(舍去)，m2=2..原方程为2x2-5x十3=0，解得x1=1, =号.13.解：(1)配方法二(2)公式法：这里a=1,6=8=-9.8-4ac=8 -4X1×(-9=10>0,.x=二YB4ac=-80西=二810.即1=1， 2a 2×1 2 =一9.因式分解法：方程左边分解因式，得(x-1)(x十9)=0..x一1=0或x十9=0. 得x1=1,x2=-9.(选取其中一种方法即可)14.解：(1)由题意，得△=-4ac= (-4)-4(m十2)>0，解得m<2.(2):m<2,.m的最大整数值为1.当m=1时，方程 为x2-4x十3=0，解得x1=1,x2=3.15.解：(1)3(2)是一元二次方程.由题意，得 (t十2)2-(t十2)(2t十1)=0.整理，得t十t-2=0.∴.(t十2)￥(2t十1)=0是一元二次 方程.解方程P十t-2=0,得t1=-2,=1.(3)不是.理由如下：由题意，得(x十2)2一 (x十2)=3.整理，得x2+3x-1=0.这里a=1,b=3,c=-1.:-4ac=32-4×1× （-1D=13>0,x=生店@c=-3志=-3压方程(x十2》*1=3的 2a 2×1 2 根不是x=3巨 2 阶段微测试（三） 1.D2.A3.D4.A5.A6.C7.-38.49.一610.611.解：(1)移项，得 之2-2x=5两边都除以宁，得-4红=10，配方，得-2·c·2十2=10十2，即 (x-2)=14.直接开平方，得x-2=士√14.x1=2十√14，x2=2-√/14.(2)将方程 化为一般形式，得x2-8x-20=0.这里a=1,b=-8,c=-20.:b2-4ac=(-8)2-4 X1X(-20)=144>0,x=-b生4a_8厘=8告12.即x1=10,- 2a 2×1 2 -2.(3)方程左边分解因式，得(x-3)(x一3十4x)=0,即(x-3)(5x-3)=0..x一3= 0或5x-3=0,得x=3,x=号.(4)将方程化为一般形式，得3r2十5x-12=0.这里a= 3,b=5,c=-12.-4ac=52-4X3×(-12)=169>0,x=-b±YB=4a 2a 二5@-5.13.即x1=号x=-3.12.解：1)3x（60-)（2》根据题 2X3 6 意，得(30十3.x)(60-x)=3600.整理，得x2-50.x十600=0.解得x1=20,x2=30.:要 更有利于减少库存，.x=30.答：每件商品应降价30元.13.(1)证明：，△=(2m十 1)2一4×1×(m一2)=4m2十9>0，∴.无论m取何值，此方程总有两个不等的实数根. (2)解：由(1)得，当=0时，判别式的值最小.把m=0代入方程，得x2十x一2=0，解 得x1=一2，x2=1.14.解：(1)设P,Q两点的运动时间为ts(0<t3.5).根据题意， 得AQ=tcm,BP=2tcm,则BQ=(5-)cm.当S△me=4时，号(5-)×21=4.整理， 得-5t+4=0.解得t=1,t2=4(舍去)..1s后，△PBQ的面积等于4cm2, (2)△PBQ的面积不能等于7cm2.理由如下：由(1)知，当△PBQ的面积等于7cm2时， 2(5-)X21=7.整理，得-51+7=0.：△=(-5)2-4X1X7=-3<0,该方程 无实数根.∴.△PBQ的面积不能等于7cm. 阶段微测试（四） 1D2.A3.B4A5D6C7.25-28号9.135°101.2或3 -85 11.解：(1)48° 号(2)：四边形ABCD四边形ABC'D,0=光=品， AB BC CD 即号=C-0BC=12,CD=15、12解：AB=BC能=2，会C=8k/ ,架-0-2GF=号AG=2mAF=AG+6F=6cmah8器 DF =AC=3.∴EF=DF=；cm13.(1)解：对对错(2)证明：小星的证明： BC 3 ∠ACP=∠B,∠A=∠A,“△ACPn△ABC,小红的证明：北=S,∠A=∠A, .△ACP△ABC.14.(1)证明：：∠BCE=∠ACD,.∠BCE+∠ACE=∠ACDH ∠ACE,即∠ACB=∠DCE.又∠A=∠D,∴.△ABC∽△DEC.(2)解：△ABC △c器-()-是竖青：c=8亮-专∴c-18 15.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，.AB∥CD,∠A=∠BCD..∠FDG=∠AFD. 由折叠的性质，得∠DFG=∠BCD,∴.∠DFG=∠A,∴.△DFG△FAD.(2)解：由折 叠的性质，得DF=CD=5:△DFGn△FAD.S-既即G-号∴DG=号 3 CG-DG-CD-AB-5,AF-3.BF-AB-AF-2.CG/BFCGE 10 △BFE-器=了=号C=5BE=2BC=吕 基本功专练（二）与相似的性质和判定有关的计算与证明 1.证明：：∠BDC+∠ADC=180°，∠BDC+∠BCA=180°，.∠ADC=∠BCA. 又：∠A=∠A,∴△ADC∽△ACB.2.证明：：BD平分∠ABC,.∠DBE= ∠CBD.BD=BC·BES- .∴△BCDp△BDE.3.证明：根据勾股定理， 得AB=V公T=反.：BD=1,C=5能=怎，器=得能=器 又∠ABD=∠CBA,△ABD∽△CBA.4.证明：选择①∠E=∠A.DE∥BC, ÷∠EDB=∠ABC又：∠E=∠A,△EDB△ABC选择@R-肥.：DE/ BC.∠EDB=∠ABC,RE肥.△EDBO△ABC,(任选一个即可)5证明： CD平分∠ACB,∠BCD=∠ACD.:DE∥AC,∴.∠EDC=∠ACD..∠EDC= ∠BCD.DE=C.:DE∥AC△DBEO△ABC÷器-R÷器-e 6.(1)证明：：DE∥BC,DF∥AC,.∠ADE=∠B,∠A=∠BDF,∴.△ADE∽△DBF (@屏：渭-是小品号△ADE△DBF,黑-（品）=合 /AD2 2 4 AD 4 =号SAmF=4.DE∥BC,“.△ADE∽△ABC,.A元】=25.SaAc S△ABC 2克SADe=25.7.(I)证明：AF1DE,AG1BC,∠AFE=∠AGC=90.∠AED =90-∠EAF.∠C=90°-∠GAC.∠EAF=∠GAC,∴.∠AED=∠C.又：∠DAE =∠BACi△ADB△ABC.(2)解：号8.(1)证明：四边形ABCD是正方形. ∴.∠B=90,AD∥BC..∠AMB=∠EAF.:EF⊥AM,.∠AFE=90..∠B= ∠AFE..△ABMD△EFA.(2)解：在Rt△ABM中，AB=8,BM=6,.AM= AB于BF=-10.:F是AM的中点AF=AM=5.:△ABMD△EFA fA =兴即号-品AE=号 3 阶段微测试（五） 1.A2.B3.D4.C5.D6.B7.28.(2,-1)9.0.910.(3,300)或 (3,120°)11.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.(2)如图，△A2B2C2即为所求，点B2 的坐标为(10,4). y 12.解：(1)如图所示 86 北(2)点B在点C南偏西45°方向，距离点C5√2km处.13.解：设 DK交EM于点O.由题意，得MK=GM=45m,BC=DE=0.75m,AC=AB+BC= 2.25mBD=CE=3m:AC/DE,△0DE0△0AC÷瓷-.即O2 2装：0E=15a:DEK△0D8△0KM器-器即0成-9 .OM=9m..EM=OE+OM=10.5m.答：河宽EM为10.5m.14.证明：(1)：BE 平分∠ABC,.∠ABE=∠CBE.'∠BAC=90°，AD⊥BC,∴.∠ABC+∠BAD=90, ∠ABC+∠ACB=90°，∴.∠BAD=∠ACB,即∠BAM=∠ECB..△ABMD△CBE. ÷2￥BM:(E=AM,BE,(2):∠BAD=∠ACB,∠ADB=∠BAC=90 ∴△ADB△CAB小部-AB=BD·C:∠BAC=∠ADC=90,∠CA= ∠ACD△ACO△ADC∴S-CAC=CD·CAg-D:BC-80 AC=CD·B元=CD ADBC..FFC,EF∥AD.△CFB△CDA需需：BD=CF,器 器器船。 阶段微测试（六） 1.c2.c3.D4.D5.C6.C7,60°8.59.410.0 10 11.解：(1)原式= 4x号-×号=2-1=1.2)原式=高+=-源、12.解：过点A作 2+3=+_75 AH1BC于点H,在RAACH中，casC-是子AC=2CH=号AC=号 ∴AH=VAC-CF=号：在R△ABH中，∠B=30AB=2AH=913.解： 过点A作AC⊥BD,垂足为C.由题意，得CD=AE=3m,AC=12m,AB=20m.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√JAB-AC=16m..BD=BC+CD=16十3= 19(m)..发生火灾的住户窗口距离地面19m.14.解：(1)：∠ACB=90°，D是边AB 的中点，.AD=CD=BD..∠DCA=∠A=36°..∠BCD=∠ACB-∠DCA=54, (2)由(1)知CD=BD,∠DCA=∠A,∴.∠DCA=30°.∴.∠DCB=∠ACB-∠DCA= 60.△DCB是等边三角形.：DE⊥AC,∠DEC=90.∴DE=号CD.BC= CD=2DE.又：DE+DC=6,DE=2.CE=am25C=2E.15,解：1D在 DE R△AnC中，anB=二=是∴设AC=3C=4,:ACe+BC=AB()+ (4x)2=5,解得x=1(负值已舍去).∴.AC=3,BC=4.BD=1,.CD=BC-BD=3. .AD=√CD+AC=3√2.(2)过点D作DE⊥AB于点E.在Rt△BED中，tanB= 招E-设DE=3,则BE=4y.BE+DE=BD,(3)+(4y)=1P,解得 甘负价已余去以DE=号小如器后品 基本功专练（三）解直角三角形的应用 1.解：过点B作BE⊥AD于点E,则∠AEB=90°.：在Rt△AEB中，∠BAD=72°，AB =200cm,.BE=AB·sin∠BAD≈190cm.答：遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为 190cm.2.解：.'在Rt△ABC中，AB=2m,∠ABC=43°，.AC=AB·sin∠ABC≈ AC 1.36m.:在Ri△ADC中，∠ADC=31,CD=tan ZADC≈2.3m答：斜坡AD底端 D与平台的距离CD约为2.3m3.解：过点P作PC⊥AB于点C,则∠ACP=∠BCP 87 =90°..在Rt△APC中，∠A=37°，AP=100 n mile,.PC=AP·sinA≈60 n mile, AC=AP·cosA≈80 n mile.'在R△BPC中，∠B=45°，BC=PC tan B=60 n mile, .AB=AC+BC=140 n mile..答：这时B处距离A处约140 n mile..4.解：设AH= m则CH《一2》n:在△ABH中，∠B=5BH==mDH BH-BD=(x-l0)m.:在Rt△CDH中，∠CDH=65°，∴.CH=DH·tan∠CDH≈ 2.14(x一10)m.∴.x-2=2.14(x-10),解得x≈17.0.答：立柱AH的高约为17.0m. 5.解：(1)由题意，得CD=6×15=90(m).,在Rt△ACD中，∠ADC=60°，.AC CD·tan∠ADC=90W5m.答：无人机的高度AC为90√3m.(2)过点B作BF⊥CE 于点F,则四边形ABFC是矩形.∴.BF=AC=903m,AB=CF.:在Rt△BEF中， ∠BEF=37°，.EF= an∠BEF=120V5m.CE=6X(15+60)=450(m),AB= BF CF=CE-EF≈242m.答：隧道AB的长约为242m.6.解：过点A作AF⊥BC于点 F,则∠AFB=∠AFC=90°.AE⊥AB,.∠EAB=90°..∠CAE=37°，.∠CAB= ∠EAB-∠CAE=53°.：∠BCD=∠ACD=41°，∴.∠ACB=∠BCD+∠ACD=82 .∠B=180°-∠CAB-∠ACB=45°.在Rt△ABF中，∠B=45°，AB=11W2m, 六AF=AB·sinB=1m'在R△ACF中，∠ACB=82°，AC=AF sin∠ACB≈ 11.1m.答：镜面上点C到水盆A的距离约为11,1m 阶段微测试（七） 1.D2.C3.B4.C5.D6.C7.随机8.0.229.号10.号11解：1)随 机不可能 @)由愿意，得品号 3,解得m=8. 12.解：列表如下： 第一次 第二次和 1 2 3 2 3 4 共有4种等可能的结果，其中两次分数之和不大于3的结果有3种，.P(两次分数之 和不大于3)= 3 4 13.解：(1)之(2)画树状图如下： 由图可知共有12种等可能的结果，其中亮亮和 爸爸 亮亮CDF 爸爸邻座的结果有4种心P亮和爸爸被分配到相邻座位)专=了，14.解：()画树 状图如下： 所有(m,n)可能的结果有(1,2)，(1,3)，(1,4)， 2 (2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),共12种.(2)m,n都是方程x2 -7x十12=0的根，m=3,n=4或m=4,n=3.由树状图可知共有12种等可能的结果，m,n 都是方程x2一7x十12=0的根的结果有4种（包括m=n=3和m=n=4两种情况），同理m, n都不是方程-5十6=0的根的结果有2种，P小明获胜)=意一子，P小利获胜) 是>古心小明获驻的率大 新趋势题型拉分练（一）实际生活、跨学科情境问题 1.A2.A3.2√54.2645.解：(1)设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本是 /3x十2y=1650, y元.根据题意，得 解得/=150， 答：每顶精英型帐篷成本为150元，豪华 x=y-450, 1y=600. 型帐篷的成本为600元.(2)当降价m元时，则该公司精英型帐篷每天的销量为(60十5m)顶. 由题意，得(200-150-m)(60十5m)=4400,整理，得m2-38m十280=0，解得m1=10,= 88 28,.200-10=190(元)或200-28=172（元），∴.精英型帐篷的售价为190元或 172元.6.解：1号 (2)4种生物中，斑马鱼(C)和小鼠(D)是脊椎动物.根据题意列表 如下： 小丽 A B C D 小铭 A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 由表格可知，共有12种等可能的情况，其中他们二人均抽中脊椎动物的结果有2种，即 (C,D),(D,C他们二人均轴中脊稚动物的概率为是= ,7.解：任务一：如图， 过点E作EG⊥AB于点G,交CD于点H,.四边形EFDH和四 C 边形EFBG均为矩形.由题意，得EF=BG=DH=1.6m,CH=CD-DH=2.4-1.6 =0.8(m)EH DF=3 m,EG=BF BD+DF=32+3=35(m)..CH//AG, △ECHO△EAG,g-2,AG=CC=0.8X35≈9.3(m),AB EH 3 十BG=9.3十1.6≈11(m).答：龙角塔AB的高度约为11m.任务二：要写出一份完整 的活动报告，除上表的项目外，还需要补充：人员分工，指导教师，活动感受等（答案不 唯一). 新趋势题型拉分练（二）数学文化、新定义、规律探究试题 1.A2.B31046255空或116解：1√4+石=5√日(2√n+ =(n十1)√n十2 1 证明如下：左边-√-√受=a1√=有 1 边，.猜想成立.(3)20000√2 新趋势题型拉分练（三） 综合实践探究试题 解：(1)30° 2y5(2)如答图①，：四边形ABCD是矩 形，∴.AD=CB,AD∥CB,∴∠1=∠3.由折叠的性质，得 D'C AD=AD,∠1=∠2，.∠3=∠2，.AD=D'F,则AD= 答图① DF,四边形ADFD是平行四边形，∠DFC=∠DAD=3O.由，得D=2Y5 EC 31 ∴.设CE=3t,则DE=23t,∴.CD=EC+DE=(3十25)t.:四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD=(3+2√3)t,∴.AD=2AB=(6+4√3)t.'∠FEC=∠AED,∠1=∠3， △E80么AD器-品-6-6-么R正方形 D ABCD的边长为2a,:E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点， .AH=AE=BF=a,当点B'落在HF上时，如答图②.由折叠的性质，B 得AB=AB=2a,易得∠AB'H=30°，∠B'MF=30°，∴.B'H=√3a,B'F 答图② =2a-a.BM-B'M-2IF-2(2a-a)BM-22a5a) BC 2a 2十√3；当点B落在EG上时，如答图③.由折叠的性质，得AB'=AB,易 得∠ABE=30,则∠BAE=60,∠BAM=号∠BAE=30,B- ∠AMB=0器品=m∠AMB=如60-反.综上所述， BC 图③ 的值为2十√3或3. 89 随堂反馈答案 第20章二次根式 20.1认识二次根式 知识梳理 ①√a②a≥0非负数③aa 当堂练习 1B2.B3.D4x≤号5，号6解：1)被开方数3-4≥0，即x≥分当x之 号时，二次根式V3x有意义.(2)被开方数己≥0且4-x≠0，即<4.当x<4 时，二次根式√石有意义。7解：1)原式=是(2)原式=一3=3.（3)原式 1 . 20.2二次根式的乘除 20.2.1二次根式的乘法 20.2.2积的算术平方根 知识梳理 ①ab②√a·√b 当堂练习 1C2A3.C4.解：1)原式=x亚=丽=6.(2)原式=-√合×8=-厅 -2(8)原式=V写×=√后=票5解：少原式=-X石=-万X后 -3√5.(2)原式=√×√7=3√7.(3)原式=√16×√25=4×5=20.(4)原式= /32×4=3×2=6. 20.2.3二次根式的除法 知识梳理 0√分 eva 3分母小于2 6 当堂练习 区=4.(3)原式= 1.B2.B3.3+.解：1)原式5=25,2)原式三g=4 -57-5④到原式=√合×=-号 2· 5.解：25√2×16√3÷10√15 =40v5÷105=40√=40x四=8V而(cm乙的宽为8而cm 5 20.3二次根式的加减 知识梳理 目乘方乘除加减 当堂练习 1.A2.B3.-5y54.855.解：1)原式=3+32-25=62-2.(2)原 3 式=6-4√3+63-12=2√5-6.(3)原式=√24-√6=2√6-√6=√6.(4)原式=(5 -2√6)×(5+2√6)=25-24=1. 第21章一元二次方程 21.1认识一元二次方程 知识梳理 ①一2②卡二次项系数一次项系数常数项 当堂练习 1.C2.C3.D4.-15.解：(1)化为一般形式为2x2十3x-1=0.它的二次项系数 为2，一次项系数为3，常数项为-1.(2)化为一般形式为x2一7x=0.它的二次项系数 为1，一次项系数为-7，常数项为0.6.解：(1)依题意，得2y=3,是一元二次方程. (2)依题意，得x(x十1)=5，是一元二次方程. 一 90