精品解析：2026年河北保定市高碑店市第八中学等校中考考前模拟数学试题

九年级数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 可以表示（ ） A. 2的相反数 B. 的绝对值 C. 的倒数 D. 比2小1的数 2. 在一个锐角三角形中，，线段，，分别是的角平分线、高、中线，则点A到直线的距离是（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长度 D. 线段的长度 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. 2 C. D. 没有符合要求的值 5. 如图，的顶点均在正方形网格的格点上，已知每一个小正方形的边长均为1，点M，N分别是和上的点，同时也在正方形网格的格线上，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四张完全相同的卡片正面分别写上一个实数，将其背面朝上摆放，洗匀后随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数都是无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 七巧板是由一个正方形切割而成的七块几何板，其中包括5个等腰直角三角形（2个相同的大三角形、1个中三角形、2个相同的小三角形）、1个正方形和1个平行四边形．如图3，将一个边长为8cm的大正方形切割成一副七巧板，用其拼出了以下四个作品，其中阴影部分的面积为的是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代有一道“换物”问题：用3件瓷器和2件漆器可换得1匹绸缎还多200文钱；用1件瓷器和4件漆器换1匹绸缎还少100文钱．已知1匹绸缎价值2000文钱．下列说法正确的是（ ） A. 设1件瓷器值x文，1件漆器值y文，可列方程为 B. 设1件瓷器值x文，1件漆器值y文，可列方程为 C. 1件瓷器值500文 D. 1件漆器值450文 10. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是y轴上一点，满足，当点A由高到低在图象上移动时，有下列结论：①的面积不变；②点C的纵坐标逐渐减小；③的长度逐渐增大．其中正确的结论有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 11. 已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（ ） A. B. C. 14 D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在轴上，，，，将四边形上下平移，得到四边形．记点的纵坐标为时，这两个四边形重合区域内部（不含边界）的整点（横、纵坐标都为整数）个数为．当时，关于的取值范围，甲认为，乙认为，则下列判断正确的是（ ） A. 只有甲的结论是正确的 B. 只有乙的结论是正确的 C. 甲和乙的结论合在一起才正确 D. 甲和乙的结论合在一起也不正确 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，写出图中比大的角：________．（写出一个即可） 14. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为3，2，则阴影部分的周长为________． 15. 如图1为某种水龙头关闭时的状态，其中，，侧面示意图如图2所示，其中，当抬起把手放水时，D，F分别到达点，处，且，则点到的距离约为________．（结果精确到，取0.98，取0.17，取5.7） 16. 如图，在平面直角坐标系中，有一段抛物线，记为L，它与x轴交于点O，M．第1次：将L向右平移d（）个单位长度，得到，与x轴交于点，；第2次：将向右平移d个单位长度，得到，与x轴交于点，；……每次将前一段抛物线向右平移d个单位长度，直至第n次，得到，与x轴交于点，．已知，每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点，则n的值是________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，数轴上的点M，N分别表示数，1． （1）求点M，N之间的距离； （2）数x对应此数轴上的点A，若点A，N之间的距离为2，求x的值． 18. 某班数学兴趣小组的同学在计算探究中发现：，，，，于是他们猜想：当两个正数的和一定时，这两个数的积在它们相等时取得最大值．事实上，这个猜想是正确的． （1）用代数式表述这一猜想：若，，且（k为定值），则当________时，________最大； （2）以下是对猜想的证明，请继续完成． 因为，所以． 因为，，所以． 因为，所以． 配方，得…… 19. 如图，在等边中，，点D，E分别是边，上的点，，将线段绕点D顺时针旋转，点E的对应点为F，射线交于点Q． （1）求证：； （2）当时，求的长． 20. 某校为了解八年级学生学习声乐的情况，开展了“音乐素养测评”活动，测评结束后，随机抽取了部分学生的成绩，将成绩分为A，B，C，D，E五个由高到低的等级，并根据统计结果绘制成下面两幅不完整的统计图： （1）抽取的学生总人数为________；补全条形统计图； （2）求在扇形统计图中E等级所在的扇形圆心角的度数； （3）校方又补充了一些学生的成绩放入样本中，其成绩均为A等级或B等级，若与之前的数据合并之后，中位数所在的等级没有变化，直接写出此次校方最多可增加的人数． 21. 如图，在矩形中，，．点M是边上的点（不与点C重合），以点D为圆心，长为半径在直线的下方作半圆D，交直线于P，Q两点（点P在点Q的左侧），与射线的另一个交点为点N． （1）当半圆D与相切时，求的长； （2）若，求扇形落在直线与射线之间部分的面积（参考数据：取）． 22. 如图1，线段表示一条长的直跑道，跑道上有一点M，嘉嘉操纵遥控机车，使机车从点A出发，到达点B时结束行驶，其中机车在段跑道上的速度为．图2为机车距点M的距离与其行驶时间之间的函数关系图象． （1）在图1的线段上直接标出点M的位置； （2）求s与t之间的函数关系式（写出自变量t的取值范围）； （3）若机车上安装有一款电子眼（可旋转），电子眼的可视距离，求机车的电子眼看到点M的总时长． 23. 如图，在四边形中，，，，．点E是折线上一点（不与点D，B重合），连接，点D和点关于对称，连接，，AE与交于点F． （1）尺规作图：过点C作于点G（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求的长度； （3）求的最大值及的最小值； （4）当时，直接写出的值． 24. 如图，抛物线L的表达式为，直线经过点和点． （1）若抛物线L经过点B， ①求抛物线L与直线l的函数表达式； ②当时，x的取值范围是________． （2）若抛物线L的顶点在直线l上，求b的值． （3）设抛物线L上点K的坐标为，过点K作直线直线l，求证：直线总经过抛物线L的顶点． （4）若，点M是直线l在范围内的一点，过点M作y轴的平行线，交抛物线L于点N，当最大为4时，直接写出b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 可以表示（ ） A. 2的相反数 B. 的绝对值 C. 的倒数 D. 比2小1的数 【答案】C 【解析】 【详解】A选项，2的相反数是，，故A错误． B选项，的绝对值是，，故B错误． C选项，的倒数是，符合要求，故C正确． D选项，比2小1的数为，，故D错误． 2. 在一个锐角三角形中，，线段，，分别是的角平分线、高、中线，则点A到直线的距离是（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长度 D. 线段的长度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，以及三角形中角平分线、高、中线的概念，根据定义直接判断选项即可． 【详解】点到直线的距离的定义为：从点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离， ∵是中边上的高， ∴，是点到直线的垂线段， ∴点到直线的距离是线段的长度． 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式求出的取值范围，再估算的值确定解集在数轴上的位置，最后对比选项即可． 【详解】解： 解得  不等式的解集在数轴上表示为： 4. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. 2 C. D. 没有符合要求的值 【答案】A 【解析】 【分析】分式值为0需满足分子等于0，且分母不为0，据此计算即可． 【详解】解：∵ 分式的值为， ∴ 分子，且分母． 解方程，移项，得，化简得，解得或， 又∵ ，即， ∴ ． 5. 如图，的顶点均在正方形网格的格点上，已知每一个小正方形的边长均为1，点M，N分别是和上的点，同时也在正方形网格的格线上，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图，取点上下的格点，， 由图可得，，，， ∴， ∴， 同理可得，  点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对选项A，，结论错误，不合题意； 对选项B，，结论错误，不合题意； 对选项C，，等式成立，结论正确，符合题意；； 对选项D，，结论错误，不合题意． 7. 如图，在四张完全相同的卡片正面分别写上一个实数，将其背面朝上摆放，洗匀后随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数都是无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，是有理数，，是无理数， 设，，，卡片分别为A，B，C，D， 画树状图如下： 则共有12种等可能的结果数，抽取的两张卡片上的数都是无理数的结果数为2种， ∴抽取的两张卡片上的数都是无理数的概率是． 8. 七巧板是由一个正方形切割而成的七块几何板，其中包括5个等腰直角三角形（2个相同的大三角形、1个中三角形、2个相同的小三角形）、1个正方形和1个平行四边形．如图3，将一个边长为8cm的大正方形切割成一副七巧板，用其拼出了以下四个作品，其中阴影部分的面积为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据七巧板的结构，计算出各块几何板的面积，然后观察各选项中阴影部分由哪些板块组成，求和即可得出答案． 【详解】解：易知大正方形面积为，大三角形面积为大正方形面积的，即， 中三角形、正方形、平行四边形面积相等，都为大正方形面积的，即，两个小三角形面积相等，都为大正方形面积的，即，观察各选项： A.,故A选项不合题意； B.，故B选项不合题意； C.，故C选项不合题意； D.,故D选项符合题意. 9. 我国古代有一道“换物”问题：用3件瓷器和2件漆器可换得1匹绸缎还多200文钱；用1件瓷器和4件漆器换1匹绸缎还少100文钱．已知1匹绸缎价值2000文钱．下列说法正确的是（ ） A. 设1件瓷器值x文，1件漆器值y文，可列方程为 B. 设1件瓷器值x文，1件漆器值y文，可列方程为 C. 1件瓷器值500文 D. 1件漆器值450文 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意列正确方程组，再求解得到瓷器和漆器的价格，逐一判断选项即可． 【详解】解：设1件瓷器值文，1件漆器值文，已知1匹绸缎价值2000文钱． ∵3件瓷器和2件漆器换1匹绸缎还多200文，1匹绸缎价值2000文， ∴，因此选项A错误； ∵1件瓷器和4件漆器换1匹绸缎还少100文， ∴， 整理得，因此选项B错误， 联立得方程组， 解得， ∴1件瓷器值500文，1件漆器值350文，因此选项C正确，选项D错误． 10. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是y轴上一点，满足，当点A由高到低在图象上移动时，有下列结论：①的面积不变；②点C的纵坐标逐渐减小；③的长度逐渐增大．其中正确的结论有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】设出点A的坐标，利用的条件推导出点C的坐标，再结合点A由高到低移动时横坐标的变化规律，分别验证三个结论即可． 【详解】解：如图，过C作于D， 根据题意，设，其中， ∴，， 轴， ， ，， ∴， ∴． ①判断的面积： ∵， ∴面积为定值，不变，故①正确； ②判断点C的纵坐标： ∵，其中， 令，，则． ∵点A在第二象限的反比例图象上由高到低移动时，y逐渐减小， ∴逐渐增大． ∴逐渐减小，即点C的纵坐标逐渐减小，故②正确； ③判断的长度：， 举例验证：当时，，；当时，，；当时，，， ∴点A在第二象限的反比例图象上由高到低移动时，y逐渐减小，可以发现，在a的值逐渐减小的过程中，长度先减小后增大，不是逐渐增大，故③错误． 综上，正确结论为①②，本题选A． 11. 已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（ ） A. B. C. 14 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设另外两条边长为正整数，根据方程因式分解对比系数得到和与的关系，再利用三角形三边关系筛选出符合条件的，即可求出． 【详解】解：设另外两条边长分别为，，均为正整数， ∵是方程的两个根， ∴， 根据三角形三边关系，得， 列出乘积为的所有正整数对：， 逐一验证可知，前四组两数差得绝对值均大于，不符合三边关系； 仅满足，，符合条件， ∴，得． 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在轴上，，，，将四边形上下平移，得到四边形．记点的纵坐标为时，这两个四边形重合区域内部（不含边界）的整点（横、纵坐标都为整数）个数为．当时，关于的取值范围，甲认为，乙认为，则下列判断正确的是（ ） A. 只有甲的结论是正确的 B. 只有乙的结论是正确的 C. 甲和乙的结论合在一起才正确 D. 甲和乙的结论合在一起也不正确 【答案】C 【解析】 【分析】分向上和向下平移讨论，画出图形，找出临界位置分析即可． 【详解】解：在四边形内不含边界的整数点分别记为，，，， 四边形向上平移时： 如图，当时，有四个整点，不符合题意； 如图，当时，有两个整点，符合题意； 如图，当时，有两个整点，符合题意； 如图，当时，没有整点，不符合题意； 当时，； 四边形向下平移时， 如图，当时，有四个整点，不符合题意； 如图，当时，有两个整点，符合题意； 如图，当时，有两个整点，符合题意； 如图，当时，没有整点，不符合题意； 当时，， 综上：当或时，． 甲和乙的结论合在一起才正确． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，写出图中比大的角：________．（写出一个即可） 【答案】 （或 或 或 ） 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角及对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵与是对顶角， ∴， 综上，图中比大的角为或  或  或 ．（写出一个即可） 14. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为3，2，则阴影部分的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意运用开平方的方法分别求出大正方形、小正方形的边长，再分别求出阴影部分长方形的长与宽，最后，根据长方形的周长公式代入计算即可． 【详解】解：根据题意知大正方形的面积为3，小正方形的面积为2， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴阴影部分长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的周长为． 15. 如图1为某种水龙头关闭时的状态，其中，，侧面示意图如图2所示，其中，当抬起把手放水时，D，F分别到达点，处，且，则点到的距离约为________．（结果精确到，取0.98，取0.17，取5.7） 【答案】 【解析】 【分析】过作于G，根据题意求得的长及，然后，在中，根据的正弦值代入数据计算即可． 【详解】解：如图2，过作于G， ∵，，， ∴， ∴， 根据题意知， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，有一段抛物线，记为L，它与x轴交于点O，M．第1次：将L向右平移d（）个单位长度，得到，与x轴交于点，；第2次：将向右平移d个单位长度，得到，与x轴交于点，；……每次将前一段抛物线向右平移d个单位长度，直至第n次，得到，与x轴交于点，．已知，每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点，则n的值是________． 【答案】 3或4或5 【解析】 【分析】先求初始抛物线与x轴的交点M的坐标，确定原抛物线L在x轴上的跨度，因为每次平移距离为，且每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点，因此可以确定平移距离的范围，根据点平移的坐标规律，初始点M经过次向右平移个单位后得到，结合​的坐标列关系式求解的值． 【详解】解：抛物线解析式为， ∴令， 即， 解得，， ∴由题意可得，， ∵图像依次向右平移个单位， ∴点的坐标也依次向右平移个单位， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∵每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点， ∴， 即， 解得， ∵为整数， ∴或或． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，数轴上的点M，N分别表示数，1． （1）求点M，N之间的距离； （2）数x对应此数轴上的点A，若点A，N之间的距离为2，求x的值． 【答案】（1）4 （2）或3 【解析】 【小问1详解】 解：由数轴可知：点M，N之间的距离为； 【小问2详解】 解：∵点A，N之间的距离为2，且点N表示的数为1， ∴点A表示的数为或， 即x的值或3． 18. 某班数学兴趣小组的同学在计算探究中发现：，，，，于是他们猜想：当两个正数的和一定时，这两个数的积在它们相等时取得最大值．事实上，这个猜想是正确的． （1）用代数式表述这一猜想：若，，且（k为定值），则当________时，________最大； （2）以下是对猜想的证明，请继续完成． 因为，所以． 因为，，所以． 因为，所以． 配方，得…… 【答案】（1）， （2）配方，得 ：  ， ∵   ∴  ∴  当且仅当， 即时，等号成立 此时  ∴当时，取得最大值． 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的猜想，直接得出结论：两个正数和为定值时，两数相等时乘积取得最大值． （2）利用配方法变形二次式，结合平方数的非负性，即可验证猜想 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在等边中，，点D，E分别是边，上的点，，将线段绕点D顺时针旋转，点E的对应点为F，射线交于点Q． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明：∵等边， ∴， ∴， ∵由旋转可得：， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质与三角形的内角和与平角的含义证明，，进一步证明即可； （2）证明，求解，进一步利用相似三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在等边中，， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 某校为了解八年级学生学习声乐的情况，开展了“音乐素养测评”活动，测评结束后，随机抽取了部分学生的成绩，将成绩分为A，B，C，D，E五个由高到低的等级，并根据统计结果绘制成下面两幅不完整的统计图： （1）抽取的学生总人数为________；补全条形统计图； （2）求在扇形统计图中E等级所在的扇形圆心角的度数； （3）校方又补充了一些学生的成绩放入样本中，其成绩均为A等级或B等级，若与之前的数据合并之后，中位数所在的等级没有变化，直接写出此次校方最多可增加的人数． 【答案】（1）人， 补全图形如图所示： （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）用等级的学生人数除以等级的占比即可求出总人数；再根据总人数乘各等级的占比即可求出各等级人数，得到条形统计图； （2）求出等级占比，再用等级占比乘以即可得到答案； （3）根据中位数所在的等级没有变化，三个等级的人数之和为56，总人数不能超过111，即可得到答案． 【小问1详解】 解：通过条形统计图和扇形统计图，可知等级30人，占比， 所以抽取的学生总人数为人， 等级占比为, 等级占比为， 所以等级的占比为， 所以等级人数为人， 等级人数为人， 补全条形统计图：略． 【小问2详解】 解：由（1）知，等级占比为， 所以E等级所在的扇形圆心角的度数为． 【小问3详解】 解：三个等级的人数之和为（人），要使中位数所在类别没改变，总人数不能超过（人）， 故最多增加了（人）， 答：此次校方最多可增加的人数为11人． 21. 如图，在矩形中，，．点M是边上的点（不与点C重合），以点D为圆心，长为半径在直线的下方作半圆D，交直线于P，Q两点（点P在点Q的左侧），与射线的另一个交点为点N． （1）当半圆D与相切时，求的长； （2）若，求扇形落在直线与射线之间部分的面积（参考数据：取）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当半圆D与相切时，则有点A与点P重合，此时半圆D的半径为，然后根据垂径定理进行求解即可； （2）连接，由题意易得，则有，，然后可得，进而根据扇形面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：当半圆D与相切时，则有点A与点P重合，此时半圆D的半径为， 在矩形中，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴扇形落在直线与射线之间部分的面积为． 22. 如图1，线段表示一条长的直跑道，跑道上有一点M，嘉嘉操纵遥控机车，使机车从点A出发，到达点B时结束行驶，其中机车在段跑道上的速度为．图2为机车距点M的距离与其行驶时间之间的函数关系图象． （1）在图1的线段上直接标出点M的位置； （2）求s与t之间的函数关系式（写出自变量t的取值范围）； （3）若机车上安装有一款电子眼（可旋转），电子眼的可视距离，求机车的电子眼看到点M的总时长． 【答案】（1）的位置如图所示： （2） （3）机车的电子眼看到点M的总时长为． 【解析】 【分析】（1）由图象可得：当时，，再画图即可； （2）分与，再利用待定系数法求解即可； （3）分与，结合函数解析式进一步求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可得：当时，， 画图略 【小问2详解】 解：当时，设， 把，代入得： ， 解得：， ∴， ∵最长运动时间为， 当时，设， 把，代入可得： ∴， 解得：， ∴， 综上：． 【小问3详解】 解：当时，电子眼的可视距离， ∴， 解得：， ∴此时机车的电子眼看到点M的最长时间为：， 当时， ∴， 解得：， ∴此时机车的电子眼看到点M的最长时间为：， ∴机车的电子眼看到点M的总时长为． 23. 如图，在四边形中，，，，．点E是折线上一点（不与点D，B重合），连接，点D和点关于对称，连接，，AE与交于点F． （1）尺规作图：过点C作于点G（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求的长度； （3）求的最大值及的最小值； （4）当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）18，4 （4）或 【解析】 【分析】（1）尺规作图作出即可； （2）由题意可求，，勾股定理即可求出； （3）由题意，，点的运动轨迹为以为圆心为半径的半圆，作，因为，，所以当最大时，最大，在中，，所以当运动到上的点时，最大为6，则题目可解；因为，所以当三点共线时，最小，即当落在处时最小，据此即可求解； （4）分类讨论，点在或上，分情况利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质进行求解即可； 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：由题意，， ∴点的运动轨迹为以为圆心为半径的半圆， 作 ∵， ∴当最大时，最大， ∵在中，， ∴当运动到上的点时，最大为， ∴最大； ∵， ∴当三点共线时，最小， 即当落在处时最小，最小值为； 【小问4详解】 解：当在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，此时落在上， ∴； 当在上时，作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述或． 24. 如图，抛物线L的表达式为，直线经过点和点． （1）若抛物线L经过点B， ①求抛物线L与直线l的函数表达式； ②当时，x的取值范围是________． （2）若抛物线L的顶点在直线l上，求b的值． （3）设抛物线L上点K的坐标为，过点K作直线直线l，求证：直线总经过抛物线L的顶点． （4）若，点M是直线l在范围内的一点，过点M作y轴的平行线，交抛物线L于点N，当最大为4时，直接写出b的值． 【答案】（1）①，；②或 （2）或 （3）证明：∵点在抛物线上，代入得： 即点坐标为， ∵直线直线l， ∴设直线的表达式为，将代入： 解得， ∴直线的表达式为：， 由（2）得，抛物线的顶点坐标为， 将抛物线顶点的横坐标代入直线的表达式： ， ∴抛物线的顶点坐标满足直线的解析式， 即直线总经过抛物线的顶点； （4） 【解析】 【分析】（1）①已知直线过两点，将坐标代入即可求解；将和坐标代入抛物线解析式即可求解；②令，求出两函数交点横坐标，通过图象求解即可； （2）将抛物线L的顶点代入直线l的解析式即可求得b的值； （3）点在抛物线上，代入得点坐标为，因为，且过点，则可求得直线的表达式为：，将抛物线的顶点坐标代入的表达式，说明等式成立即可； （4）是竖直线段的长度，结合的条件，用两个点的纵坐标作差得到关于的二次函数，分析二次函数的对称轴位置，分情况讨论最大值取得的位置，排除不符合取值范围的解，最终得到的值； 【小问1详解】 解：①将点代入，得， 将点代入得： 解得， ∴直线l的表达式为； ∵， ∴抛物线解析式为：，将点代入得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为； ②令， 解得， 由图象知当时，或； 【小问2详解】 解：抛物线的顶点坐标为， ∵顶点在直线上，将顶点坐标代入得： 整理得：， 解得或； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：设点的横坐标为，其中， ∵轴，且在抛物线上， ∴， 令， 解得， ∵， ∴， ∴当时，在上方， ∴， ∴此抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴， 当，即时， ∵该二次函数开口向下， ∴的最大值取在顶点处，即， 解得，（舍去）； 当，即时， ∵抛物线开口向下，在时，随的增大而增大， ∴在处取得最大值，代入得： ， 解得，不符合舍去； ∴综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $