新疆石河子第一中学2026届高三下学期数学学科天使计划（一） 练习卷

**基本信息** 高三数学模拟卷，涵盖集合、复数、立体几何等模块，以AI助手、农业研究为情境，突出数学眼光、思维与语言，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、复数、向量等基础|注重概念辨析与基础应用| |多项选择|3/18|函数性质、立体几何|考查多维度分析能力| |填空题|3/15|导数切线、二项式定理、概率统计|结合AI体验活动，体现应用意识| |解答题|5/77|解三角形、线性回归、椭圆、导数综合|农业数据线性回归（第16题）关联现实，导数综合（第19题）考查逻辑推理，梯度分明|

石河子第一中学2026届高三年级数学天使计划答案（一） 1-4 D A D B 5-8 D C B B 9.ABD 10.BCD 11.BCD 7.【详解】因为双曲线的离心率为，不妨设，则， 设，，则，， 在中，由勾股定理可得，解得，则， 同理，在中，由勾股定理可得，解得，所以. 8. 【详解】函数的定义域为，可得函数在上单调递增， 又，由，得，因为函数在上单调递增，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：B. 11.【详解】设，易得点， 所以，即不为直角，所以不可能为直角三角形，故A错误； 因为，所以，即， 解得（舍）或，故B正确； ，所以的面积是 ， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 设直线的方程为，由，得，所以，所以，解得，则原点到直线的距离，当时，等号成立， 即到直线的距离不大于4，故D正确. 12． 13． 14． 【详解】在第一环节提问中得到正确答案的概率； 在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，可以取， ， ， ， ， 则X的数学期望为. 15．【详解】（1）由，得． ，又． ，或． 当 当（舍去） 综上：． （2）由（1）知， 由正弦定理可得：． ． 16．【详解】（1），， ， ， ，可用线性回归模型拟合与的关系； （2），， 故关于的经验回归方程为. 17．【详解】（1）方法一：如图，连接，在矩形中，，，， 所以，，又，，所以. 因为，所以，即.因为平面，平面，所以.因为，，，，平面， 所以平面，又平面，所以. 方法二：由题意可知，，两两垂直， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 因为，，，则，，. 设，则，. 由可得，即. （2）连接交于点，连接，因为平面，平面，平面平面， 所以.因为四边形是矩形，所以为的中点，所以为的中点. 由题意可知，，，两两垂直，故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 故，，，. 所以，，. 设为平面的一个法向量，则，故可取.设直线与平面所成角为， 则，即直线与平面所成角的正弦值为. 18．【详解】（1）设，则，则的方程为． 因为经过点，所以，得．故的方程为． （2）（i）设，，由得， 得， 则． 故． （ii）直线．由，得． 由得，则 因为，所以的坐标为． 同理可得的坐标为．又 ， 所以直线的方程为. 因为，所以直线过定点． 19.【小问1详解】，因为，所以， 当且仅当时等号成立，又的最小值为2，所以，解得． 【小问2详解】由（1）知，则， 令，则， 因为，所以在内单调递增， （ⅰ）时，，所以在内单调递增，，所以单调递增，即满足题意； （ⅱ）时，，记的根为，则， 即，所以在递减，在递增． 最小值为， 令，即，解得综上，． 【小问3详解】由（2）知时，，又， 当时，指数函数呈爆炸性增长，从而，所以，使．所以在递增，在递减，在递增． 因为，令，则． 令，则，所以在递减． 则，又，所以， 所以． 所以， 所以， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $ 石河子第一中学2026届高三年级数学天使计划（一） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则z的虚部是（ ） A. B. 3 C. D. 3. 设向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 当时，函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 盒中有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球．记事件A为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件B为“第二次取出小球的数字为5”，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 8．已知函数，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数为奇函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 直线是曲线的一条对称轴 10．在平行六面体中，，，则（   ） A． B．平面 C． D．三棱锥的外接球表面积为 11．已知是抛物线上不同的两点，是坐标原点，且，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则（    ） A．存在点，使得为直角三角形 B． C．的面积的最小值为16 D．点到直线的距离不大于4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_________． 13．的展开式中的系数为__________． 14．2026年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI助手体验活动.三人一组，每人可向AI助手提问.甲、乙、丙三人体验AI问答系统.活动分两环节，第一环节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均为，抢到者向AI提问，AI给出正确答案的概率分别为甲是，乙、丙均是.第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑上完成一道必答题，他们各自答对的概率分别为甲是，乙、丙均是，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响.则在第一环节提问中得到正确答案的概率______；记在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，则X的数学期望为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在中，角所对的边分别为，其面积为．若， (1)求． (2)若，求，． 16．（15分）我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度(单位：)，与其根茎长度(单位：)之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据： 样本编号 1 2 3 4 根茎长度 10 12 14 16 植株高度 62 86 112 132 参考数据：，，. (1)由上表数据计算相关系数，并说明是否可用线性回归模型拟合与的关系(若，则可用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001)； (2)求y关于x的经验回归方程． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为， 17．（15分）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，点是棱上的动点，点是棱上的一点，且，，，. (1)求证：；(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分）已知椭圆经过点，且的长轴长与短轴长之比为． (1)求的方程． (2)已知点，过点且斜率为的直线与交于，两点，过点且斜率为的直线与交于，两点，，分别为，的中点，且． （i）若与重合，求． （ii）判断直线是否过定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 19. （17分）已知函数，其中，函数的最小值为2，为的导函数． （1）求的值； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）若在的极小值点为，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $