第五单元 鸽巢问题（期末易错专练）-2025-2026学年人教版数学六年级下册

**基本信息** 聚焦鸽巢问题三大易错点，通过“概念辨析-模型转化-原则应用”的递进逻辑，系统提炼“商+1公式”“物体鸽巢识别”“最不利分析”等可迁移方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错点1：鸽巢问题初步|5题|明确“总有”“至少”含义，掌握“至少数=商+1”公式|从基础概念（抽屉原理）到简单应用（生日、鸽巢数量），建立公式化解题框架| |易错点2：鸽巢问题进阶|5题|正确识别“待分物体”与“鸽巢”，区分“相同型”“不同型”问题|深化模型转化能力，将实际问题（座位相邻、点距离）抽象为鸽巢模型| |易错点3：最不利原则|3大题|从“最坏情况”出发分析，如“颜色种数+1”“全取非目标再+1”|结合摸球、扑克牌等情境，强化逻辑推理，形成解决复杂保证性问题的思维路径|

第五单元 鸽巢问题 期末易错专练 易错梳理 【易错点1】鸽巢问题初步 1 【易错点2】鸽巢问题进阶 2 【易错点3】最不利原则 2 【易错点1】鸽巢问题初步 易错点：学生在初步接触鸽巢问题时，容易对“总有”和“至少”的逻辑含义理解片面，以偏概全。例如，在判断“把3个苹果放在2个盒子里，盒子里至少放了2个苹果”时，错误地认为所有盒子都至少放了2个；或者在计算时，混淆“商+1”与“商+余数”，例如11÷3=3……2，错误地认为至少有一个抽屉放了3+2=5本书。 纠正：必须明确“总有”的意思是“必定存在某一个（至少有一个）”，而不是“全部”或“每一个”，另一个盒子里可能只有1个甚至0个。同时，牢记鸽巢问题的基本模型公式：至少数 = 商 + 1。当物体总数除以抽屉数有余数时，无论余数是多少，至少数都只比商多1；只有当没有余数时，至少数才等于商。 1．《哪吒二》上映的第一天，清苑影城1号厅383个座位坐满了男女老少不同年龄段的观众，这些观众中至少有( )人的生日在一个月。 2．有10张卡片，上面分别为阿拉伯数字0—9，将这些卡片平均分成5份并分别放入5个信封里，每个信封里放入2张卡片。下图是每个信封里2张卡片数字之和，数字8装在和为( )的信封里。 3．文林小学六年级有428人，至少有( )人的生日是在同一天。六（2）班有42名学生，至少有( )人的生日是在同一个月。 4．李爷爷养的鸽子飞进了3个鸽巢，不管怎样飞，总有1个鸽巢至少飞进了4只鸽子，李爷爷至少养了( )只鸽子。 5．把红、黄、蓝三种颜色的球各8个放在一个袋子里，至少取( )个球可以保证取到两个颜色相同的球。 【易错点2】鸽巢问题进阶 易错点：在将实际问题转化为鸽巢模型时，学生容易找错被分配的对象和容器。例如，在“30个标有1、2、3号码的小球，至少取出几个才能保证有2个号码相同”的问题中，错误地将30个小球当作抽屉，或者将3种号码当作被分配的物体，导致逻辑混乱。此外，在解决“摸出n个不同色球”问题时，容易将“相同型”和“不同型”的解题思路混淆。 纠正：解题的关键是正确识别“待分物体”和“鸽巢”。一般规律是：被随机抽取、分配或分类的个体是“物体”（如取出的球、人的属相），而用来归类的标准或容器是“鸽巢”（如3种号码、12个月份）。只要分放的物体数量比鸽巢数多1，就能保证至少有一个鸽巢里有2个物体。对于“不同型”问题，要想保证摸出n个不同色球，最不利的情况是把（n-1）种颜色全部取出，再加1。 6．奇奇想要购买一张电影票，购买时他发现第9排一共有19个座位，并且已经有一部分座位被选中，无论他购买这一排哪个位置，都有一个人与他相邻，则第9排至少已经被选中了( )个座位。 7．在边长为1的正三角形中任意放入122个点，必有2个点的距离不大于为大于0的整数，则的最大值为( )。 8．汽车站的广场上有30辆客车，这些客车的座位最少38个，最多是50个，那么这些客车中至少有( )辆客车的座位数是相同的。 9．桌上放有同样的30支铅笔和30块橡皮。来了一群学生，每人从这60个文具中拿一个或两个，至少有5人拿到的文具完全相同，这群学生至少有( )人。 10．在某班学生中，有10人都订阅了《小朋友》《少年报》《儿童时代》三种报刊中的一种或者几种。那么，这10个人中至少有( )个人所定的报刊种类完全相同。 【易错点3】最不利原则 易错点：在解决“至少摸出几个球才能保证有两个同色”这类摸球问题时，学生往往不考虑最坏的情况。例如，袋中有红、黄、蓝三种球，学生可能误认为只要摸出2个或3个就能保证同色，忽略了运气最差时可能每种颜色各摸到一个的情况。 纠正：解答此类问题必须从“最不利（最差）”的情况出发。要保证有两个同色，最坏的情况是摸出的球颜色全不相同（即摸出3个，红黄蓝各1个）。在这种极限情况下，只要再多摸1个，就必然与前面的某个球同色。因此，至少需要摸出“颜色种数+1”个球。在分析最不利情况时，要全面思考，把红、黄、蓝、白等所有不符合目标的情况都摸完，再加上需要达到目标的数量，才能确保万无一失。 11．把100枝花插进12个花瓶里。他俩谁说得对？ 12．箱子里有黑、白两种颜色的袜子各10只。 （1）至少摸出多少只，才能保证可以配2双袜子？ （2）至少摸出多少只，一定有1双白色袜子？ 13．一副扑克牌去掉大王和小王后共有52张，这些扑克牌有四种花色，每种花色有13张。 (1)一次至少要拿出( )张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 (2)一次至少要拿出( )张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 (3)一次至少要拿出( )张牌，才能保证四种花色都有。 (4)一次至少要拿出( )张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。（直接写出答案） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第五单元 鸽巢问题》参考答案 1．32 【分析】把383位观众看作被分放物体，一年12个月看作12个抽屉，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。 【详解】一年＝12个月 383÷12＝31（人）……11（人） 31＋1＝32（人） 2．14 【分析】解决这个问题，我们需要分析0—9这10个数字的组合，结合每个信封中两张卡片数字之和的条件，确定数字8所在的信封。 【详解】0—9的数字总和：0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45，五个信封数字和的总和：7＋8＋13＋14＋3＝45，与0—9的数字总和相等，说明每个数字被计算了一次；和为3的信封只能是0和3；和为7的信封可能组合为（1，6）（2，5）、（4，3），排除3后剩余（1，6）、（2，5）；和为8的信封可能组合为（1，7）、（2，6）、（3，5）、（0，8），排除0、3后剩余（1，7）、（2，6）；当和为7的信封的组合是（1，6）时，和为8的信封里（1，7）、（2，6）都不可能，所以和为7的信封里只能是（2，5），那么和为8的信封里就只能是（1，7）；和为14的信封可能组合为（5，9）、（6，8），（5，9）的里面已经含有5，和为7的信封里已经有了，所以和为14的信封里只能是（6，8），和为13的信封里组合为（4，9）。 通过排除验证，最终可得数字8装在和为14的信封里。 3． 2 4 【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体 【详解】将对应总人数看作放在抽屉里的物体，一年的天数和总月数看作抽屉数。 一年有365天，428÷365＝1（人）……63（人），1＋1＝2（人） 至少有2人的生日是在同一天。 一年有12个月，42÷12＝3（人）……6（人），3＋1＝4（人） 至少有4人的生日是在同一个月。 4．10 【分析】若每个鸽巢最多有3只鸽子，则总鸽子数量为（3×3）只，此时再增加1只，必有1个鸽巢至少有4只鸽子，李爷爷至少养了（3×3＋1）只鸽子。 【详解】3×3＋1 ＝9＋1 ＝10（只） 5．4 【分析】要保证得到两个颜色相同的球，那就是至少要取出四个，才能保证一定得到两个颜色相同的球；假设第一个球是红球，第二个球是黄球，第三个球是蓝球，那再取任意一个球，只能是三种颜色中的一个，出现同色，用“颜色数＋1”即可。 【详解】3＋1＝4（个） 至少取4个球可以保证取到两个颜色相同的球。 6．7 【分析】根据题意，无论他购买这一排哪个位置，都有一个人与他相邻，说明这19个座位中，任何一个空位的左边或右边，至少有一个是被选中的座位，最多可以构成“空位，被选中、空位”这样的3个座位组合，看19个座位中有几个3，就有几组这样的组合，每个组合中有1个座位被选中，据此得出至少被选中的座位数量。 【详解】19÷3＝6（个）……1（个） 至少已经被选中了：6＋1＝7（个） 7．11 【分析】把大正三角形分割成若干个边长为的小正三角形（相当于抽屉），再根据抽屉原理：如果抽屉数小于点数，那么至少有一个抽屉里存在2个点，这两个点的距离就不会超过小正三角形的边长。需要找到最大的整数n，使得分割出的小正三角形数量小于122，这样放入122个点时，必然有2个点在同一个小正三角形内，距离不大于。 【详解】1．分割大正三角形 把边长为1的正三角形的每条边n等分，然后连接各边的等分点，作平行于各边的线段，就能把大正三角形分成若干个边长为的小正三角形。小正三角形的总数为：1＋3＋5＋＋（2n－1）＝（这是首项为1、末项为2n－1的等差数列求和）。 2． 应用抽屉原理 要保证放入122个点后，必有2个点的距离不大于，就需要让小正三角形的个数小于122。 即：。 3．求n的最大值 因为，，所以满足条件的最大整数n是11。 则的最大值为11。 8． 3 【分析】座位数最少38个，最多50个，因此共有50－38＋1＝13种不同的座位数；把这13种情况当作抽屉，30辆客车当作元素，30÷13＝2⋯⋯4，即平均每个抽屉放2个后还剩4个，所以至少有2＋1＝3辆客车的座位数是相同的。 【详解】50－38＋1 ＝12＋1 ＝13（种） 30÷13＝2……4 2＋1＝3（辆） 因此，这些客车中至少有3辆客车的座位数是相同的。 9．21 【分析】每人拿走1个或者2个，则只有1支铅笔，1块橡皮，2支铅笔，2块橡皮，1支铅笔和1块橡皮5种不同的情况；根据鸽巢原理，假设每种情况都有4个人，只要再多1个人则保证至少有5人拿到的文具完全相同。 【详解】5×4＋1 ＝20＋1 ＝21（人） 这群学生至少有21人。 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是确定有几种情况。 10．2 【分析】先求出每人订阅一种、两种、三种报刊一共有几种订阅方法，把学生的总人数看作被分放物体的数量，订阅方法看作抽屉的数量，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量⋯⋯剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。 【详解】每人订阅一种：《小朋友》或《少年报》或《儿童时代》； 每人订阅两种：《小朋友》和《少年报》、《小朋友》和《儿童时代》、《少年报》和《儿童时代》； 每人订阅三种：《小朋友》、《少年报》和《儿童时代》。 3＋3＋1＝7（种） 10÷7＝1⋯⋯3 1＋1＝2（人） 所以，这10个人中至少有2个人所定的报刊种类完全相同。 【点睛】本题主要考查抽屉问题，准确求出抽屉数是解答题目的关键。 11． 乐乐说得对。 【分析】根据抽屉原理，用总枝数除以花瓶数，得到每个花瓶放几枝，还余几枝。那么至少数＝商＋1。 【详解】（枝）……（枝） （枝） 答：乐乐说得对。 【点睛】从最不利的情况考虑。 12．（1）5只 （2）12只 【分析】从最不利的情况考虑：黑、白两种颜色的袜子，第一次摸出的是黑色的袜子、第二次摸出的是白色的袜子，第三次无论摸出的是什么颜色，都可以和前两次中的一只配成一双，假设第三次摸出一只白色袜子，那么还剩一只黑色袜子，最不利情况下，第四次摸出后可能有一只黑色袜子和三只白色袜子，第五次摸出任意颜色都能配成第二双袜子，所以至少要摸出5只，才能保证可以配2双袜子。 从最不利的情况考虑：前10次都摸出了黑色的袜子，第11次，第12次只能摸出白色袜子，所以至少摸出12只，一定有1双白色袜子。 【详解】（只） 答：至少摸出5只，才能保证可以配2双袜子。 （只） 答：至少摸出12只，一定有1双白色袜子。 【点睛】从最不利的情况进行考虑。 13．(1)5 (2)13 (3)40 (4)14 【分析】（1）一副牌有4种花色，根据最不利原理，先拿出4张是不同的花色，再拿出1张，无论是什么花色都能保证这种花色有2张是同花色的； （2）从中任意抽牌，最不利情况是把每种花色抽出3张，即4×3＝12张，此时再抽出1张，一定保证有4张牌是同一种花色的； （3）每种花色都有13张，根据最不利原则，先拿出13×3＝39张， 把3种花色都拿出来了，再拿一张一定是第4种花色，由此求解； （4）一副牌有13种不同的数字，根据最不利原则，先拿出13张是不同的数字，再拿出1张，无论是数字几都能保证这种数字有2张。 【详解】（1）4＋1＝5（张） 则一次至少要拿出5张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 （2）4×3＋1 ＝12＋1 ＝13（张） 则一次至少要拿出13张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 （3）13×3＋1 ＝39＋1 ＝40（张） 则一次至少要拿出40张牌，才能保证四种花色都有。 （4）13＋1＝14（张） 则一次至少要拿出14张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $