暑假作业12 数据的分析综合训练（11题型80题）（巩固培优）八年级数学新教材人教版

**基本信息** 聚焦数据统计核心素养，构建"概念-方法-应用"三阶训练体系，通过80题系统突破统计量计算、稳定性分析及综合决策。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础统计量|30题|定义辨析+公式速算|从算术平均数到加权平均数，构建集中趋势度量体系| |波动分析|25题|方差公式记忆口诀+数据变化规律|极差到方差的精准度进阶，强化稳定性判断逻辑| |综合应用|25题|方程思想+分类讨论+数形结合|残缺数据逆向求解→统计决策→代数几何跨模块融合|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业12数据的分析综合训练11题型80题 【知识点1 三大集中趋势统计量：平均数、中位数、众数】 1.算术平均数 定义：一组数据的总和除以数据的总个数，叫做算术平均数。 公式： 核心意义：反映一组数据的平均水平，利用了所有数据信息，但容易受极大值、极小值（极端异常数据）影响。 2.中位数 定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间位置的数值。 计算规则： 数据个数为奇数：取中间一个数； 数据个数为偶数：取中间两个数的平均数。 核心意义：反映数据的中等水平，不受极端数据影响，稳定性强。 3.众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据。 关键特点：一组数据可以有一个众数、多个众数，也可以没有众数。 核心意义：反映数据的集中趋势、最常见水平，常用于销量、偏好、统计调查类实际问题。 【知识点2 两大波动程度统计量：极差、方差】 1.极差 定义：一组数据中最大值与最小值的差。 公式：极差 = 最大值 − 最小值 核心意义：粗略反映数据的波动范围，计算简单，但只能体现两端数据差异，忽略中间数据波动。 2.方差（核心必考） 定义：各数据与平均数差的平方的平均数，用来精准衡量数据波动大小。 公式：s^2=1/n[(x_1-¯x )^2+(x_2-¯x )^2+⋯+(x_n-¯x )^2] 核心意义： 方差越小，数据波动越小、越稳定、整齐度越高； 方差越大，数据波动越大、越不稳定、起伏越明显。 【知识点3 统计量基础应用】 1. 已知完整数据，熟练计算五大统计量； 2. 结合生活场景，简单解读统计量代表的实际意义； 3. 根据基础统计结果，做简单的数据判断。 【知识点4 基础题型高频易错点（必规避）】 中位数计算漏排序：未将数据从小到大排序，直接取中间数，结果全部错误； 众数概念混淆：错把数据出现的次数当成众数，众数是数据本身，不是次数； 方差公式记错：忘记除以数据个数、忘记平方，导致计算失误； 稳定性判断记反：误以为方差越大数据越稳定，核心逻辑颠倒； 极差理解偏差：无法区分极差（粗略波动）与方差（精准波动）的区别。 【知识点5 加权平均数综合计算（培优核心）】 1.核心定义 当一组数据中不同数据权重（重要程度、次数、占比）不同时，使用加权平均数计算，是考试高频考点。 2.常用权重形式 次数权重、比例权重、百分比权重、打分权重（考试测评、招聘评分必考）。 3.核心公式 权重越大，对应数据对最终平均值的影响越大。算术平均数是所有权重相等的特殊加权平均数。 【知识点6 统计量基础应用】 无固定最优统计量，需根据实际需求选择统计量做决策，是统计大题核心考点： 1. 关注整体平均水平、总体成绩：选平均数； 2. 避免极端数据影响、看中中等水平：选中位数； 3. 关注最普遍、最受欢迎、销量最高：选众数； 4. 关注数据稳定性、成绩整齐度、波动大小：选方差。 核心考法：对比两组数据，结合统计量分析优劣、做出合理决策。 【知识点7 方差与数据稳定性综合应用】 1.数据变化对方差的影响（培优结论） 一组数据全部加/减同一个数：平均数改变，方差不变，稳定性不变； 一组数据全部乘同一个正数：平均数、方差同步变化，数据波动改变。 2.综合题型 两组数据对比，先算平均数判断整体水平，再算方差判断稳定性，双重维度综合评价数据。 【知识点8 含残缺数据的统计求值（难点突破）】 题型特征：数据不全、有未知参数，已知平均数、中位数、众数、方差，反求未知数据或参数。 解题核心：利用统计量公式逆向列方程，先求未知数据，再补全数据、求解其余统计量，是选择填空压轴难点。 【知识点9 代数+几何综合题型突破】 1.代数综合（二次根式+一次函数） 核心考点：根式化简代入求值、非负性求参数、一次函数含参数问题、函数图像与方程不等式数形结合、一次函数实际应用建模。重点规避盲目代入、计算繁琐、数形脱节问题。 2.几何综合（勾股定理+特殊四边形） 核心考点：勾股定理分类讨论、折叠/最短路径/梯子模型、平行四边形/矩形/菱形/正方形性质判定、四大四边形压轴模型、几何证明层级逻辑、动点存在性问题。重点突破模型识别、辅助线构造、分类漏解问题。 3.跨模块综合压轴 坐标系中四边形与一次函数综合、勾股定理与根式计算综合、几何动点与函数最值综合，是期末大题终极难点。 【知识点10 全册易错点查漏补缺】 代数易错：根式有意义条件、非负性应用、一次函数k/b符号判断、图像平移对称、含参数讨论漏情况； 几何易错：特殊四边形判定条件残缺、对角线性质记混、折叠勾股方程漏解、动点分类讨论不全、证明跳步扣分； 统计易错：统计量计算不规范、决策分析无依据、残缺数据逆向求解思路缺失。 【知识点11 培优核心解题思想与方法】 方程思想：残缺数据统计题、加权求值、参数问题，通过公式列方程逆向求解； 对比分析思想：双组数据评价，结合平均水平+稳定性双重维度决策； 模型思想：几何固化经典模型，代数固化函数建模、根式变形模型； 数形结合思想：一次函数、几何坐标综合题核心解题思想； 分类讨论思想：勾股定理多解、四边形动点、含参数函数问题必备思想。 【题型1 平均数】 1．李老师在计算学生的学期综合成绩时，从平时作业、期中考试、期末考试三个方面进行考核，各项满分均为100分．小丽和小强两位同学的各项成绩如表所示： 平时作业/分 期中考试/分 期末考试/分 小丽 80 82 92 小强 87 84 90 根据以上信息，解答下列各题． (1)这两人中平均成绩更高的同学是_____，该同学的平均成绩是______分． (2)若对平时作业、期中考试、期末考试的成绩分别赋予它们2，2，6的权，请计算小丽的平均成绩． 【答案】(1)小强，87 (2)小丽的综合成绩为87.6 【分析】（1）根据算术平均数公式分别计算两人的平均成绩，再比较大小． （2） 根据加权平均数公式，将各项成绩乘以对应权重后求和，再除以权重总和． 【详解】（1）解：小丽的平均成绩为分， 小强的平均成绩为分， ， 平均成绩更高的同学是小强，该同学的平均成绩是87分． （2）解：小丽的加权平均成绩为 分． 2．下表所示是八年级4个班上交的“科技百问”小测的最终成绩统计表． 班级 一班 二班 三班 四班 人数 48 50 45 57 平均分 86 85 84 优秀率（不低于85分） (1)求出四个班成绩的平均分． (2)求出四个班成绩的优秀率． 【答案】(1)分 (2) 【分析】（1）先算出四个班级分数的总和，再求出人数总和，相除得到总体的平均分； （2）先通过每个班级的优秀率求出每个班优秀的人数，再求出成绩优秀人数总和，除以总人数即可得到结果． 【详解】（1）解： 答：四个班成绩的平均分为分； （2）解： 答：四个班成绩的优秀率为． 3．某校在一次班班有歌声评比活动中，A，B两班各项得分如表． 精神面貌 演唱质量 整体规范 A 86 91 87 B 90 85 92 (1)如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两个班级的排名顺序怎样？ (2)若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“精神面貌”“演唱质量”“整体规范”三个项目在总分中的占比为，那么两个班级的排名顺序又怎么样？ 【答案】(1) 排名顺序为B班第一，A班第二 (2) 排名顺序为A班第一，B班第二 【分析】（1）分别计算两个班级的平均数，通过比较平均数大小确定排名顺序； （2）分别计算两个班级的加权平均数，通过比较平均数大小确定排名顺序. 【详解】（1）解：；， ， 排名顺序为B班第一，A班第二； （2）解： ；， ， 排名顺序为A班第一，B班第二. 【题型2 中位数和众数】 4．某校开展以“持续弘扬长征精神”为主题的演讲比赛，选手的成绩由演讲内容、语言表达、临场表现三项组成，每项成绩均由7位评委打分，取平均分作为该项的实际成绩，再将演讲内容、语言表达、临场表现三项成绩按的比例计算出每人的总评成绩．其中，甲、乙两位选手的三项实际成绩和总评成绩（单位：分）如下表． 演讲内容 语言表达 临场表现 总评成绩 甲 86 76 82 乙 84 82 已知7位评委给乙的临场表现打出的分数（单位：分）为78、82、79、82、76、83、80． (1)将7位评委给乙的临场表现打出的分数看作一组数据，则该组数据的中位数是___________分，众数是___________分； (2)求乙临场表现的实际成绩； (3)若根据总评成绩从高到低确定最终名次，则两位选手谁的最终名次比较靠前？ 【答案】(1)80，82 (2)80 (3)乙排在甲的前面 【分析】（1）把78，82，79，82，76，83，80，按从小到大的顺序排列找出中位数，众数； （2）实际成绩是7位评委打分的平均分； （3）利用加权平均数的计算方法计算乙的总评成绩，与甲的总成绩比较做出判断即可． 【详解】（1）解：把78，82，79，82，76，83，80，按从小到大的顺序排列：76，78，79，80，82，82，83， ∴中位数为80分，众数为82分； （2）解：乙临场表现的实际成绩为： （分）； （3）解：乙的总评成绩为：（分）． ∵， ∴乙排在甲的前面． 5．“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，大丰区主管部门就学生对“阳光定食校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中、高中各随机抽取10名学生，统计他们对“阳光定食校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）：初中：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10．高中：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7．两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 初中 8 a b 0.8 高中 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______． (2)求m的值． (3)综合表中数据，从集中趋势（平均数、中位数、众数）看，是初中学生还是高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高？请简要说明理由． 【答案】(1)8，8 (2) (3)高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高，理由如下：初中部和高中部打分的平均数都是8，但高中部的打分的中位数和众数均高于初中部，故高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高． 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据高中部平均数即可求解； （3）根据平均数、中位数、众数的意义求解即可； 【详解】（1）解：初中部打分排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数． （2）解：高中部打分的平均分为8分， 则， 解得； （3）略 6．人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是上线后，在知识类任务上水平显著提升，生成速度大幅提高．某学校为了解该校学生对人工智能的关注程度，对全校学生进行问卷测试，结果采用百分制，结果越高，则表明对人工智能的关注程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试成绩进行整理和分析（得分用x表示，且为整数，共分为5组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据如下： 50，51，59，65，66，73，76，79，83，84， 84，84，84，86，88，88，92，93，97，98． 九年级被抽取的学生测试得分中D组包含的所有数据如下： 88，88，87，88，88，85，85，89． 八、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数/分 众数/分 中位数/分 八年级 79 a 84 九年级 79 88 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：上述图表中，____，____，_____． (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注程度更高？请说明理由． 【答案】(1)84；85；40 (2)九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高．理由： ∵八、九年级被抽取的学生测试得分的平均数相同，但九年级测试得分的中位数、众数均大于八年级， ∴九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高． 【分析】（1）根据众数的定义确定八年级的众数a；根据中位数的定义确定九年级的中位数b；再求出九年级D组所占的百分比即可； （2）根据平均数或中位数或众数的数据比较结果回答即可； 【详解】（1）解：八年级被抽取的学生测试得分的所有数据中，84出现4次是出现次数最多的数据， ． 九年级被抽取的学生测试得分， A组有：（个）， B组有：（个）， C组有：（个）， 九年级被抽取的学生测试得分的中位数是D组的第1、2个的平均数， D组数据从小到大排序后为：85，85，87，88，88，88，88，89， ． 九年级被抽取的学生测试得分的中位数是D组共有8个数据， D组占比． ． （2）略 【题型3 离差平方和的应用】 7．某镇5家企业去年的产值如下表所示 企业 A B C D E 产值/亿元 13 15 7 9 12 根据年产值的组内离差平方和最小的原则分为两组，则分组方法为（将同组的企业名称用大括号括起来）_______ 【答案】 【分析】先将产值从小到大排序，讨论所有可行分组，分别计算各组的组内离差平方和，比较后得到离差平方和最小的分组． 【详解】首先将5家企业的产值从小到大排序得：， 将5个数据分为两组： 第一组为1个数据和第二组4个数据时，第一组平均数为，第二组平均数为 组内离差平方和为； 第一组为2个数据和第二组3个数据时，第一组平均数为，第二组平均数为， 组内离差平方和为； 第一组为3个数据和第二组2个数据时，第一组平均数为，第二组平均数为， 组内离差平方和为 第一组为4个数据和第二组1个数据时，第一组平均数为，第二组平均数为， 组内离差平方和为 综上，第一组为2个数据和第二组3个数据时，组内离差平方和最小， 即是符合要求的分组． 8．下表是4名学生的数学测试成绩： 学生编号 1 2 3 4 成绩 / 分 72 80 85 93 将这些成绩按从低到高排列后，共有多少种不同的分法？请计算每种分法的组内离差平方和，并找出最优分组． 【答案】共有3种不同的分法．最优分组是和． 【分析】根据成绩按从低到高排列，然后再按第1个间隔，第2个间隔，第3个间隔分组，然后分别求出对应的组内离差平方和，比较即可得出答案． 【详解】解：步骤1：将成绩按从低到高排列：72，80，85，93． 步骤 2：共有种不同的分法． 步骤 3：计算每种分法的组内离差平方和： 分法1（第1个间隔）：和； 第一组离差平方和； 第二组平均数：，离差平方和：； 组内离差平方和：． 分法2（第2个间隔）：和； 第一组平均数：，离差平方和：； 第二组平均数：，离差平方和：； 组内离差平方和：． 分法3（第3个间隔）：和； 第一组平均数，离差平方和：； 第二组离差平方和0；组内离差平方和． 步骤 4：比较组内离差平方和，64最小， 答：共有3种不同的分法；最优分组是和． 9．下表是10个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，计算按第4个间隔分组时的组间离差平方和．（提示：总离差平方和组内离差平方和组间离差平方和，总离差平方和为875.0） 【答案】组间离差平方和为 【分析】根据公式：组间离差平方和总离差平方和组内离差平方和求解即可． 【详解】解：∵总离差平方和为875.0，按第4个间隔分组时的组内离差平方和为290.8． ∴组间离差平方和． 答：组间离差平方和为． 【题型4 求方差】 10．在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 8.7 9 8.6 0.5 如果每个评委打分都高0.2分，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（     ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】D 【分析】掌握各统计量在所有数据同时增加同一个常数时的变化规律，明确方差反映数据波动程度的特性即可解题． 【详解】解：∵每个评委打分都增加，即这组所有数据同时增加， ∴这组数据的平均数、众数、中位数均会增加； 又∵方差是衡量数据波动幅度的统计量，所有数据加同一个相同的数，数据间的差不变，波动幅度不变 ， ∴方差不会发生变化． 故选D． 11．小明这学期数学的五次测验成绩分别是：，，，，．这五次测验成绩的方差是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方差的计算，按照方差计算步骤，先求出五次成绩的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴方差 12．已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 【答案】8 【详解】把数据1，3，5，7，9每个数加10得到新数据11，13，15，17，19， 因为一组数据加上同一个常数，方差不变，故方差仍为8． 【题型5 利用方差求未知数据的值】 13．小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．中位数是 C． D． 【答案】B 【分析】从给出的方差公式中可直接得到数据个数和这组数据的平均数，依次计算，中位数和方差，即可判断各选项正误． 【详解】解：∵方差公式为， ∴这组数据共5个，平均数为3，可得，C结论正确，不符合题意； 由平均数的定义得， 解得，A结论正确，不符合题意； 将这组数据从小到大排列为，共5个数，中位数为第3个数，即中位数为， ∴B结论错误，符合题意； 计算方差得：， ∴D结论正确，不符合题意． 14．已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 【答案】A 【分析】根据方差的定义，从题给方差表达式中可得到这组数据的个数和平均数，再计算总和即可得到结果． 【详解】解：∵方差的计算公式为，其中是数据的个数，是这组数据的平均数， 对比题中给出的方差， 可得数据个数，这组数据的平均数， ∴这组数据的总和为． 15．数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 【答案】D 【分析】根据方差计算公式确定原数据和数据个数，再结合中位数、众数定义判断各选项即可． 【详解】解：∵方差计算公式为， ∴这组数据为，，，，，数据个数，故B正确； ∵这个数的第个数据是， ∴中位数为，故A正确； ∵数据中出现次，次数最多， ∴众数为，故C正确； 计算平均数得， 代入方差公式得， ∴D不正确． 【题型6 根据方差判断稳定性】 16．某剧院为吸引顾客，让扮演太乙真人、哪吒、敖丙、申公豹的四位工作人员进行投掷乾坤圈比赛，下表记录了四人测试（每人掷5次）的相关数据： 太乙真人 哪吒 敖丙 申公豹 平均距离/ 43 54 54 50 方差 6.4 3.2 3.5 4.8 根据表中数据，四人中成绩又好（扔得越远越好）又稳定的是（     ） A．太乙真人 B．哪吒 C．敖丙 D．申公豹 【答案】B 【分析】平均数反映了一组数据中各数据的平均大小，方差反映了这组数据在它的平均数附近波动的情况，是用来衡量一组数据波动大小的量．题目要求成绩又好（扔得越远越好）又稳定的，需选择平均数较大的，若平均数相等，需比较方差，方差较小的成绩较稳定，即可求解． 【详解】解：由题意可知，哪吒与敖丙的平均成绩最高，均为54m，而哪吒的方差小于敖丙的方差，说明哪吒的成绩较稳定，由此可知哪吒的成绩又好（扔得越远越好）又稳定． 17．某市中小学“市长杯”女生软式排球赛中，甲校和乙校两队进入了最终的决赛，甲、乙两支排球队队员的身高统计如图所示，则参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是___________队．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】看甲、乙两队队员的身高哪个更整齐，主要是看两组数据的波动大小，根据波动情况进行判断． 【详解】解：∵根据折线统计图可知，甲队的波动小，乙队的波动大， ∴队员的身高更整齐的是甲队. 18．节约用水已成为大家的共识．某兴趣小组收集了甲，乙两个家庭第二季度的月用水量（单位：吨），绘制成了如下统计表和不完整的折线图，其中统计表被墨迹遮盖了一部分． 甲、乙两个家庭月用水量数据及分析统计表甲、乙两个家庭月用水量折线图 四月 五月 六月 平均数 方差 甲 乙 (1)求乙家庭四月份的用水量，并补全折线图； (2)求乙家庭第二季度月用水量的方差，请你评价哪个家庭的月用水量波动小； (3)甲家庭月份的用水量比月份的用水量下降（），恰好等于乙家庭第二季度月用水量的中位数，求的值． 【答案】(1)吨， (2)，乙家庭的月用水量波动小 (3) 【分析】（）根据平均数的定义求出乙家庭四月份的用水量，再补全折线图即可； （）利用方差计算公式求出乙家庭第二季度月用水量的方差，再根据方差的意义评价即可求解； （）根据中位数的定义求出乙家庭第二季度月用水量的中位数，再根据题意列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：设乙家庭四月份的用水量为吨， 由题意得， ， 解得， ∴乙家庭四月份的用水量为吨， 图略； （2）解：， ∵， ∴， ∴乙家庭的月用水量波动小； （3）解：乙家庭第二季度月用水量分别为，，，由小到大排列为，，， ∴乙家庭第二季度月用水量的中位数为， 由题意得， ， 解得． 【题型7 运用方差做决策】 19．人工智能是新一轮科技革命重要驱动力量，等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：49，56，68，71，83，83，83，90，90，95； 八年级10人的得分在B组中的分数为：83，84，87，84； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 八 84 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪个年级在此次测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）． (3)若七年级有400人参与，八年级有480人参与，估计两个年级得分在A组共有_____人． 【答案】(1)，， (2)八年级表现更好，理由：两个年级测试得分的平均数相同，八年级的方差更小，说明八年级成绩更稳定，因此表现更好（或：平均数相同，八年级中位数更大，整体成绩水平更高，合理即可） (3)216 【分析】（1）统计七年级得分中出现次数最多的数值即可得到a．先计算B组的百分比，再用1减去C、D、B组的百分比即可得到m． 中位数是排序后第5和第6个数据的平均数，先根据各组占比确定八年级10个数据的分组人数，再将数据从小到大排序，找到第5、6个数据求平均得到b． （2）判断哪个年级表现更好：选择平均数、中位数、众数、方差中的一个统计量，对比两个年级的对应数值，给出合理理由即可． （3）分别计算七年级、八年级样本中A组的占比，再乘对应年级总人数，求和即可． 【详解】（1）解：七年级得分中，出现次数最多（3次）， ∴； 八年级10人从小到大排序，D组1人、C组3人，B组4人， ∴第5、6个数据都在B组， B组排序为， ∴中位数． 八年级共抽取10人，B组有4人，占比， ∴； 答案：，， （2）略 （3）解：七年级抽取的10人中，A组（）有3人， ∴七年级A组总人数约为人； 八年级A组占比， ∴八年级A组总人数约为人； ∴两个年级A组总人数为人． 20．通过19.2节的阅读材料我们了解到，位于西北的乌鲁木齐2022年7月1日当日温差大于位于西南的南宁，如果比较这两地月平均气温（单位：），那么结果会如何呢？下表是国家统计局在《中国统计年鉴2021》中给出的2020年两地每月的平均气温，请据此回答2020年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度是否大于南宁． 2020年乌鲁木齐和南宁每月的平均气温 单位： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 乌鲁木齐 2.9 16.4 19.9 21.7 23.8 23.3 16.1 8 1.3 南宁 15.4 16.5 19 19.7 27.4 28.5 29.2 27.6 26.6 22.1 20.2 13.4 【答案】2020年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度大于南宁 【详解】解： ， ； ， ； ∵， ∴2020年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度大于南宁． 21．每年的月日是我国全民国家安全教育日，某学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试，已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 七年级：，，，，，，，，，． 八年级：，，，，，，，，，． 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)________年级的成绩更整齐（填“七”或“八”）； (3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？（写出一条合理的理由即可）． 【答案】(1)，； (2)八； (3)八年级学生掌握国家安全知识的总体水平较好，因为在平均分相同的情况下，八年级的方差更小，成绩更稳定（答案不唯一，合理即可）． 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）根据七年级成绩方差为，八年级成绩方差为，然后进行比较即可； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【详解】（1）解：将七年级抽取的名学生成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，， ∴这个数据的中位数为第个和第个数据的平均数， ∴， 由八年级抽取的名学生成绩中，分出现次数最多，共出现次， ∴众数； （2）解：由七年级成绩方差为，八年级成绩方差为， ∵方差越小，成绩越整齐，， ∴八年级的成绩更整齐； （3）略 【题型8 求四分位数】 22．九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 【答案】C 【分析】本题考查第一四分位数的计算，解题思路为先对数据从小到大排序，第一四分位数为前一半数据的中位数，计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：， ∵总共有8个数据，第一四分位数是前4个数据的中位数，前4个数据为， ∴第一四分位数是． 23．在一次体检中，测得某校八年级（1）班第一组同学的体重（单位：）分别为50，55，58，57，54，50，56，60．该组同学体重的上四分位数是______，离差平方和是______． 【答案】 【分析】需先对数据排序，再根据对应定义计算即可． 【详解】解：将数据从小到大排序得：，，，，，，，， 数据共个，上四分位数为分位数， 计算位置得，为整数， 因此上四分位数为第项与第项的平均数，即， 计算数据的平均数：， 离差平方和为各数据与平均数差的平方和， 计算得 ． 24．在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的第三四分位数（75%分位数）和第一四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）．图2为某地区今年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图．AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重． (1)该地区今年5月有没有严重污染天气？ (2)该地区哪个月的AQI值比较集中？ 【答案】(1)该地区今年5月有严重污染天气 (2)该地区5月的AQI值比较集中 【详解】（1）解： 该地区今年5月空气质量指数（）箱线图外部有点， 即有一个异常值超过200， 该地区今年5月有严重污染天气； （2）解：该地区今年5月和6月的空气质量指数（AQI）最小值相同，第一四分位数相同，中位数相同，但5月最大值和第三四分位数小于6月的最大值和第三四分位数， 该地区5月的AQI值比较集中． 【题型9 画箱线图】 25．八年级（1）班共50人平均分为两组进行比拼，解一道满分为5分的数学题．得分结果绘制成两张统计图如图． 姜老师要对两组比拼的得分结果进行点评，所以需要计算两组得分相关的统计数据，请你帮他完成： (1)分别求出A组和B组得分的平均数，指出两组的众数和中位数． (2)求出这两组数据的方差，并指出哪一组的数据更加稳定． (3)绘制两组数据的四分位数表，并制作箱线图．通过箱线图总结本次比拼两组的得分情况． ①四分位数表（单位：分）和箱线图 组别 下四分位数 中位数 上四分位数 A组 B组 ②总结：___________． 【答案】(1)A组平均数为3分，众数为3分，中位数为3分；B组平均数为3分，众数为4分，中位数为3分 (2)B组成绩更稳定 (3)①图表见详解；②两组的中位数相同，但A组出现了满分，说明从绝对成绩出发，A组发挥出色．但B组箱体比A组更加扁，说明的分数更加集中，在上四分位数相同的情况下，B组中间成绩更稳定 【分析】（1）根据计算方式求出A和B组的平均数、众数与中位数即可； （2）利用方差公式求出两组的方差，方差越小，数据越稳定； （3）先求出两组数据的四分位数，填写表格，再根据表格画箱线图，画图要注意标准；②总结时，主要比较最值、中位数和数据的集中程度． 【详解】（1）解：由图可得，A组的平均数为：（分），众数为3分，中位数为3分； B组的平均数为：（分），众数为4分，中位数为3分； （2）解：由题意得，A组方差， B组方差， ∵， ∴B组成绩更稳定； （3）解：由题意得，A组的下四分位数为，上四分位数为； B组的下四分位数为，上四分位数为； ∴四分位数表如下： 组别 下四分位数 中位数 上四分位数 A组 2 3 4 B组 3 4 箱线图如下： 总结：两组的中位数相同，但A组出现了满分，说明从绝对成绩出发，A组发挥出色；但B组箱体比A组更加扁，说明的分数更加集中，在上四分位数相同的情况下，B组中间成绩更稳定． 26．游泳培训中心特训班进行毕业考试，100米蛙泳24名成员的成绩如下（单位：秒）： 158  149  145  128  140  135  142  150 155  132  136  150  142  152  130  136 140  144  166  142  144  150  132  138 据此回答： (1)填写四分位数表 四分位数 数值 136 142 150 说说本次成绩所反映的总体情况 (2)如下图所示，将这一年的成绩绘制成箱线图，并与去年的成绩进行比较，说说你对这一年成绩的评价． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先将24名成员的成绩从小到大排序，再分别计算出，再根据数据特征分析即可； （2）根据（1）将今年箱线图补充完整，再将箱线图比较两组数据特征分析即可． 【详解】（1）解：将24名成员的成绩从小到大排列为： 128，130，132，132，135，136，136，138，140，140，142，142，142，144，144，145，149，150，150，150，152，155，158，166； ，，； 填表如下： 四分位数 数值 136 142 150 四分位数反映了本次考试成绩中，有不少于的学员的成绩在136秒及以内；有至少一半的学员的成绩在142秒及以内；但是还有不少于的学员的成绩至少有150秒，仍需努力； （2）箱线图如图所示： 通过箱线图可知，今年总体成绩超过去年，不但最少用时和最多用时均比去年要短，而且中位数也提高了8秒，除此之外，这一成绩段的学员成绩更加集中，表示了总体上成绩的集中体现． 27．社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有、两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 方差 A 48 48 58.01 B 49.5 332.25 (1)上述表中，________，________，________； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数，，；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数并将箱线图补充完整； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【答案】(1)，  25和40 ， (2)B阅览室的，，，绘制箱线图如图所示： (3)社区应该挑选阅览室，理由：因为阅览室的中位数大于阅览室，由方差和箱线图可以看出，阅览室过去10周周末上午的预约人数波动更小，所以社区应该挑选阅览室A． 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合数据和折线图，完成表格即可； （2）四分位数包括下四分位数、中位数和上四分位数，结合图表计算出B阅览室预约人数的四分位数后，绘制箱线图即可； （3）结合图表，从多角度分析，用平均数和中位数反映集中趋势，用方差判断稳定性． 【详解】（1）解：A阅览室预约人数的平均数； 根据折线图， B阅览室预约人数为25和40的出现次数最多，因此众数和； 将B阅览室预约人数从小到大顺序排列，第5个数为40，第6个数为55，因此中位数为； 故答案为：，和40，； （2）解：由题意，B阅览室预约人数的四分位数为，，； （3）略 【题型10 根据要求选择合适的统计量】 28．有15人参加学校举办的歌咏比赛，小明要想知道自己是否进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】根据总人数判断哪个统计量对应前8名的分界位置即可求解． 【详解】解：∵15个成绩按大小排序后，中位数是排序后的第8个成绩， ∴小明只需将自己的成绩和中位数比较，若自己的成绩大于等于中位数，就进入前8名，否则不能进入， 因此只需要了解全部成绩的中位数即可． 29．在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年月每天的最高温度数据进行分析．如图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（   ） ①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为； ②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数； ③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度； ④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查箱线图的统计意义，掌握箱线图各部分对应的统计量含义是解决问题的关键．根据箱线图各部分含义，逐个判断结论对错即可． 【详解】解：结论①：箱线图中，下四分位数对应箱的左边界，济南的箱左边界为，故下四分位数是，故①错误； 结论②：中位数对应箱内的线，济南的中位数（箱内线）低于西安的中位数，故②正确； 结论③：西安的最高气温低于济南的部分气温，并非“都高于”，故③错误； 结论④：观察箱线图：西安的箱线图中，代表数据分布的“箱体”及右侧线段显示，其数据的中位数（箱体中间线）和大部分数据集中在以上，但不低于的部分仅占数据的一小部分（箱体右侧到最大值的区间），并未超过总天数的一半，因此，结论④是错误的， 故选：A． 30．【问题情境】数学活动课上，老师和同学们跟随食堂采购员前往河南省信阳潢川——中国中部最大的鱼苗繁殖基地（年产鱼苗超过300亿尾），参观国家级水产良种场并开展“利用鱼的重量与其长度的比值特征对鱼进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们在基地观察将要购买的黄颡鱼（黄辣丁）和鲈鱼各10条，测量这些鱼的重量（斤）与长度（米），分别计算每条鱼的重长比（即重量与长度的比值），并整理数据如图所示． 【实践探究】根据以上数据，得到以下统计量． 图示 统计量 平均数 中位数 众数 黄颡鱼的重长比 3.1 3.0 鲈鱼的重长比 4.6 4.6 【问题解决】 (1)上述表格中：___________，___________． (2)若鱼的重长比的方差越小，则认为该种鱼的体型差异越小，据此推断：在黄颡鱼与鲈鱼中，体型差异较大的是___________．（填“黄颡鱼”或“鲈鱼”） (3)食堂采购员在该基地购买了一条重1.8斤、长0.4米的鱼，试推测食堂采购员购买的这条鱼更可能是黄颡鱼还是鲈鱼，并说明理由． 【答案】(1)3.1      4.6 (2)鲈鱼 (3) 鲈鱼， 理由：由于，即该鱼的重长比为4.5，更接近鲈鱼的重长比的平均数，故推测这条鱼更可能是鲈鱼． 【分析】掌握中位数、众数的定义和方差的意义及准确观察理解折线统计图提供的数据信息是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可得答案； （2）根据方差的意义求解即可； （3）计算出重长比即可得出答案． 【详解】（1）解：黄颡鱼的重长比从小到大排列为：3.0，3.0，3.0，3.0，3.1，3.1，3.1，3.2，3.2，3.3， ∴； 鲈鱼的重长比出现最多的是4.6，共出现3次， ∴； （2） 解：由折线统计图知，黄颡鱼的重长比比鲈鱼的重长比波动幅度小，故在黄颡鱼与鲈鱼中，体型差异较大的是鲈鱼； （3）略 【题型11 利用合适的统计量做决策】 31．某餐厅推出四种新款粽子（分别以甲、乙、丙、丁表示），请顾客试吃后选出最喜欢的品种．结果反馈如下：丙丁丙甲甲乙甲乙甲乙甲．通过以上数据，你能获得的信息是（    ） A．喜欢乙款粽子的人数占总人数的一半 B．丙款粽子比乙款粽子更受欢迎 C．喜欢丁款粽子的人数占总人数的五分之一 D．甲款粽子最受欢迎 【答案】D 【分析】先统计各款粽子的频数和数据总数，再逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，总共有11个统计结果，其中喜欢甲款粽子的有5人，喜欢乙款粽子的有3人，喜欢丙款粽子的有2人，喜欢丁款粽子的有1人． A、∵， ∴喜欢乙款粽子的人数不占总人数的一半，原说法错误，不符合题意； B、∵， ∴乙款粽子比丙款粽子更受欢迎，原说法错误，不符合题意； C、喜欢丁款粽子的人数占总人数的，原说法错误，不符合题意； D、∵， ∴甲款粽子最受欢迎，原说法正确，符合题意． 32．某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． (3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法． 【答案】(1)最小值是60，第一四分位数是70，中位数是，第三四分位数是96，最大值是100 (2)甲组的箱线图如图所示： (3)根据箱线图和四分位数，可知甲组数据跨度大更分散，乙组数据紧凑更集中 【分析】（1）把甲的成绩从小到大排列，中位数是第个数据的平均数，第一四分位数为第3个数，第三四分位数为第8个数，即可求解最大值和最小值； （2）将3个四分位数及最大和最小值在图中画出即可； （3）结合箱线图及四分位数，比较成绩的离散程度即可． 【详解】（1）解：把甲组的成绩按从小到大的顺序排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， ∴最小值是60，第一四分位数是70，中位数是，第三四分位数是96，最大值是100； （2）略 （3）略 33．为进一步加强中小学生对于民族文化的认同感，某中学开展了形式多样的传统文化教育培训活动．为了解培训效果，该校组织全校学生参加了传统文化主题知识竞赛，并在赛后随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩x（单位：分），分数如下： 七年级10名学生竞赛成绩：75，83，79，89，79，83，95，70，64，83； 八年级10名学生竞赛成绩中分布在的成绩如下：84，85，85，85，86． 【整理数据】： 年级 七年级 2 m 4 1 八年级 1 3 5 1 【分析数据】： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 ▲ a 81 71.6 八年级 80 85 b 59.8 根据以上提供的信息，回答下列问题： (1)填空：m＝ ，a＝ ，b＝ ． (2)求七年级10名学生竞赛成绩的平均分． (3)根据以上统计结果，从不同角度说明七年级与八年级中哪个年级成绩更优秀． 【答案】(1)3；83；84.5 (2)80分 (3)八年级成绩更优秀 【分析】本题考查了中位数，众数，算术平均数和方差等知识，掌握中位数，众数，方差等概念是关键． （1）根据中位数，众数定义可得a，b的值，由七年级学生总人数可求出m的值； （2）根据算术平均数公式计算即可； （3）根据平均分，中位数，众数，方差可得答案． 【详解】（1）解：； 在75，83，79，89，79，83，95，70，64，83中，出现次数最多的是83，即众数； 八年级成绩中处于中间的两个数据为84和85，则中位数； （2）解：（分） （3）解：我认为八年级成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，均为80，而八年级的成绩的中位数（84.5）和众数（85）均大于七年级，说明八年级中大部分人比七年级获得的分数高；且八年级的方差比七年级小，说明八年级的成绩更加稳定． 1．某商场上月空调的销售情况如表所示：商场经理决定本月增加库存时多加一些品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（     ） 品牌 销售量/台 260 140 300 480 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】根据不同统计量所反映的数据特征：平均数反映平均水平，中位数反映中等水平，方差反映数据的波动程度，而众数反映的是数据中出现次数最多(即最热门，最集中)的情况，商场经理根据销量决定进货，关注的是销量最大的品牌，这与众数的定义相符，据此即可解答． 【详解】解：从表格数据可知，品牌空调的销售量(480台)高于其他所有品牌，是销量最高的品牌，众数表示一组数据中出现次数最多的数，对应本题情境中代表销量最高、最受欢迎的品牌，而平均数反映平均销售量，中位数反映销售量的中间水平，方差反映数据的波动程度，都无法直接体现哪个品牌最畅销，故经理的决定可以用众数解释． 2．某地区年月和月的空气质量指数箱线图如下．值越小，空气质量越好，值超过，说明达到重度污染．则下列说法正确的有（     ） ①该地区年月有重度污染天气 ②该地区年月值的最小值比月小 ③该地区年月值比月值集中 ④从整体上看，该地区年月的空气质量略好于月 ⑤该地区年月和月值的中位数相同 A．④⑤ B．③⑤ C．②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了箱线图的理解与应用，通过观察箱线图的特征，结合的定义，对每个选项逐一分析判断，熟练掌握箱线图的特征是解题的关键． 【详解】解：由箱线图可得，年月的箱线图最上方的横线表示的最大值，低于； ∵值超过，说明达到重度污染， ∴年月没有重度污染天气， ①错误； 箱线图最下方的横线表示数据的最小值， 由箱线图可得，月箱线图的最下方横线的位置高于月箱线图的最下方横线位置， ∴月值的最小值比月大； ②错误； 由箱线图可知，箱线图看起来“扁”，则表明数据波动小，分布集中； 由图可得，月的箱线图比月的箱线图扁， ∴月值比月值集中； ③正确； 月的箱线图，最大值，最小值都在月箱线图的上方， ∴月的值高于月， ∴月的空气质量比月的好； ④错误； 由箱线图可得，箱线图中间的横线表示中位数， 由图可得，月和月值的中位数相同； ⑤正确； 正确的为：③⑤． 3．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 6.4 7.1 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查平均数和方差的意义，平均数越大代表整体成绩越好，方差越小代表发挥越稳定，先比较平均数筛选出成绩好的运动员，再比较方差即可选出符合要求的人选． 【详解】解：∵ ， ∴ 从甲和丙中选择一人参加比赛； ∵ ，方差越小发挥越稳定， ∴ 甲成绩好且发挥稳定，应选择甲． 4．2026年5月9日“苏超”第五轮无锡队主场3∶1战胜泰州队，首发阵容平均年龄为25的11名球员的年龄分别为19、28、19、22、22、28、33、21、29、32、22，则这组数据的中位数和众数分别为（     ） A．28和3 B．28和22 C．33和3 D．22和22 【答案】D 【分析】先将数据按从小到大排序，再根据定义分别求出中位数和众数即可． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序，得 ， ∵这组数据共个，为奇数个，中位数是排序后最中间的数即第个数， ∴ 中位数为， ∵在这组数据中出现次数最多， ∴众数为， 因此这组数据的中位数和众数分别为和． 5．为了解智能机器人分拣快递的工作效率，某快递分拣站随机抽取10台不同型号的智能机器人，统计每台每周可分拣的快递数量（单位：万件），并绘制了折线统计图．下列有关智能机器人每台每周可分拣快递数量的描述，正确的是（   ） A．中位数是15万件 B．众数是15万件 C．平均数是14万件 D．方差是0 【答案】A 【分析】根据折线统计图读出这10台机器人的分拣数量，分别计算出众数、中位数、平均数和方差，然后对各选项进行判断即可 【详解】解：由折线统计图可知，这10台机器人每周分拣快递数量（单位：万件）分别为： ， 数据共有10个，排序后第5个和第6个数据均为15 中位数为，故选项A正确； 14和16均出现了3次，出现次数最多 众数是14和16，故选项B错误； 平均数 平均数是15万件，故选项C错误； 方差，故选项D错误． 6．八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C．甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D．乙组跳绳次数的最大值大于190 【答案】C 【分析】根据箱线图的特征，分别观察甲、乙两组数据的极差（波动情况）、中位数位置、下四分位数位置及最大值位置，结合选项逐一判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：甲组数据的极差约为，乙组数据的极差约为，且甲组箱体长度大于乙组， 则甲组跳绳次数的波动比乙组大， 故A选项说法正确； 甲组中位数（箱体内横线）约为180，乙组中位数约为170， ， 乙组跳绳次数的中位数比甲组小， 故B选项说法正确； 甲组下四分位数（箱体下边缘）对应数值约为170， 甲组跳绳次数的下四分位数小于180， 故C选项说法错误； 乙组最大值（上须顶端）对应数值约为195， 乙组跳绳次数的最大值大于190， 故D选项说法正确． 7．下表是 10 个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，组内离差平方和最小的分组位置是（ ） A．第3个间隔 B．第4个间隔 C．第5个间隔 D．第6个间隔 【答案】B 【分析】根据第4个间隔对应的数值290.8是所有分法中最小的组内离差平方和求解即可． 【详解】解：观察上表最后一列 “组内离差平方和”，可以发现第4个间隔对应的数值290.8是所有分法中最小的． 8．如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 【答案】C 【分析】根据箱线图的信息解答即可． 【详解】解：由题意可知： 三个班级中，甲班分数的方差最小，故选项A说法正确，不符合题意； 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大，故选项B说法正确，不符合题意； 丙班的中位数比80分稍多，所以丙班得分低于80分的人数不可能多于得分高于80分的学生人数，故选项C说法错误，符合题意； 根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大， ∴若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，最高的是丙班，故选项D说法正确，不符合题意． 9．有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（     ） A．这组数据的第一四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的第三四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 【答案】B 【详解】解：A、箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的第一四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； B、箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，说法错误，故该选项符合题意； C、箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的第三四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题意； D、箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3，最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值，是18， ∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数可能是13，说法正确，故该选项不符合题意． 10．体育课上，某小组的五位同学测得“1分钟引体向上”个数的中位数是5，平均数是6，众数是4，该小组成绩最好的同学测得的个数不可能是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】根据定义设出五个数据，结合条件推出最大数的取值范围，即可判断． 【详解】解：设五位同学测得的个数从小到大依次为， ∵共有个数据，中位数为， ∴第三个数， ∵众数是， ∴至少出现次， ∴， ∵平均数是， ∴五个数据的和为， ∴，整理得，即， ∵数据从小到大排列，且， ∴，且， 当和时，则数据中有两个4，两个5和两个，与众数是4不符合， ∴，且，即， 且， ∵， ∴，即， ∴， ∵是正整数， ∴可取， 则对应为， ∴成绩最好的同学测得的个数不可能是． 11．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义． 根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可． 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 12．由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查方差、平均数计算公式等基础知识，考查运算求解能力，利用方差的计算公式直接求解． 【详解】解：∵由6个实数组成的一组数据的方差为， 将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变， 得到新的一组数据的方差为， ∴前后两组数据的平均数不变，设为， 设没有变化的4个数与平均数差的平方和为s， 则． 故选：B． 13．将一组数据1，2，3，4，5，6分成前3个一组，后3个一组，则这组数据的组内离差平方和是_______. 【答案】4 【分析】先按题目要求分组，再分别计算每组的平均数与每组的组内离差平方和，将两组的组内离差平方和相加即可得到结果． 【详解】解：由题意得，前个数据为第一组：，，，后个数据为第二组：，，， 计算第一组的平均数：， 第一组的组内离差平方和：； 计算第二组的平均数：， 第二组的组内离差平方和：， 则总的组内离差平方和为． 14．如图是嘉淇某月1号到6号用于体育锻炼的时间的折线统计图，则该组数据的下四分位数是____分钟． 【答案】40 【分析】从折线统计图中提取1号到6号每天的体育锻炼时间，得到6个原始数据，将提取到的6个数据按照从小到大的顺序排列，根据下四分位数的计算方法，计算，其中，，根据是否为整数，选择对应方法确定下四分位数． 【详解】从折线图读取1号到6号锻炼时间（单位：分钟）为：， 从小到大排序得：，共个数据， 下四分位数是第25百分位数，位置， 根据计算规则，不是整数时，向上取整，取排序后第2个数据，因此该组数据的下四分位数为． 15．某企业对员工进行综合素质测试，测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，评委给甲、乙的打分的折线图如图：则，根据图中信息，比较甲的方差与乙的方差的大小：___．（填“＞”“＝”或“＜”） 【答案】 【分析】观察统计图可知数据的波动性，根据方差越小数据越稳定解答即可． 【详解】解：由折线统计图可知，甲的得分的波动比乙大，所以甲的方差大于乙的方差，即． 16．天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国工业天然气生产稳定增长，某段时间，天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，这组数据的第三四分位数是_________． 【答案】6.65 【分析】将这组数据从小到大重新排列，根据百分位数的计算规则计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，，， ∵数据共有个，第三四分位数即分位数， ∴， ∴第三四分位数为排列后第个数据与第个数据的平均数，即． 17．小建进行5次射击训练，环数如下：10，8，9，10，9，其方差为，随后他又进行了5次训练，环数如下：9，10，9，8，10．小建这10次成绩的方差为，则____________（填“”“”或“”号）． 【答案】 【分析】分别计算出和的大小，比较即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ， ∴． 18．某轮滑队所有队员的年龄（单位：岁）只有12，13，14，15，16五种情况，其中部分数据如图所示．若队员年龄唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是_____________． 【答案】12 【分析】利用众数和中位数的定义，得到这组数据的中位数为：，众数是，由此得到答案． 【详解】由题图数据可知，年龄小于14岁的有4人，大于14岁的有4人， ∴这组数据的中位数为14岁， ∵队员年龄唯一的众数与中位数相等， ∴其众数也是14岁， 岁的队员最少有4人， ∴这个轮滑队队员最少是（人）． 19．两组数据3，5，，与，6，的平均数都是6．若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数是____________． 【答案】6 【分析】根据平均数的定义列出关于a和b的方程组，解出a和b的值，再合并数据并排序，求中位数． 【详解】由题意，第一组数据3，5，，的平均数为6，得，即；第二组数据，6，的平均数为6，得，即． 解方程组，得，． 合并数据得， 排序后为，共7个数，中位数为第4个数6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了中位数，平均数的定义，解决本题的关键是掌握中位数，平均数的定义． 20．定义两种新运算：为的中位数；为的算术平均数． 例如：①因为，所以；②． 则函数与的交点坐标为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数，中位数，一次函数的其他应用．首先计算的算术平均数，得到 ，然后根据 的取值范围确定 的中位数表达式，并分别在不同情况下设求解方程，最终在内得到解 ，代入求出值，即可作答． 【详解】解：设，，， 则为的中位数， 依题意， 求两两相等的点：当时，则， 当时，则， 当时，则， 当时，； 依题意，， 则， ∴， 解得（舍去）； 当时，； 依题意，， 则， ∴， 解得（舍去）； 当时，； 依题意，， 则， ∴， 解得（舍去）； 当时，； 依题意，， 则， 解得， 依题意，把代入，得， 则函数与的交点为， 故答案为：． 21．一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____． 【答案】和 【分析】本题考查了平均值和方差的定义，根据平均值和方差的定义，通过设添加的两个数为a和b，利用新数据的平均值和方差与原数据相同，列出关于a和b的方程，求解得到a和b的值． 【详解】解：因为添加两个数后，新数据的平均值和方差仍为2024， 所以原始数据总和为，平方偏差和为． 设添加两个数和， 由平均值不变，可得， 解得， 由方差不变，可得， 解得， 令， 则， 解得， 所以， 因此， 故答案为：和． 22．根据中国电影观众满意度调查结果，电影《飞驰人生3》以87.3分的成绩位居2026年春节档满意度榜首．某社团为了解学生对《飞驰人生3》的喜爱程度，现从七、八年级学生中各随机抽取了20名学生展开问卷调查，并对收集的评分数据进行整理、描述和分析（评分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的评分为： 70，81，83，83，88，91，91，91，92，92，94，94，94，94，96，100，100，100，100，100． 八年级20名学生的评分在组的数据是： 91，91，92，93，94，95，99，99，99，99，100，100． 七、八年级抽取的学生评分统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91.7 93 八年级 91.7 99 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，_____，_____，_____． (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更喜欢《飞驰人生3》？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)该校七、八年级共有3000名学生，请估计该校七、八年级非常喜欢（）《飞驰人生3》的学生人数． 【答案】(1)92.5；100；5； (2)解：七年级的学生更喜欢《飞驰人生3》，理由：因为七年级的中位数和众数均高于八年级，所以七年级的学生更喜欢《飞驰人生3》；（答案不唯一） (3)2025名 【分析】（1）根据中位线、众数的定义可知a、b的值，根据统计图及八年级20名学生的评分在D组的数据可知m的值； （2）根据中位数和众数判断即可； （3）用3000乘以七、八年级非常喜欢《飞驰人生3》的学生比例即可． 【详解】（1）解：∵八年级20名学生评分的中位数为从小到大第10、11位的平均值，D组的数据是：91，91，92，93，94，95，99，99，99，99，99，100，100， ∴； 七年级20名学生评分出现次数最多的为100，故； 八年级20名学生的评分在D组的有12名，A组的有1名，B组的有2名， 故C组的有，即； （2）略； （3）解：根据题意，七年级评分在的有15名，八年级评分在的有13名， 名． 23．为积极倡导中学生“健康人生、绿色无毒”的生活理念，学校举办“禁毒知识”竞赛．初赛有名选手参加，每位选手需要参加笔试、抢答和演讲三项比赛，每项成绩均按百分制打分．评委会将笔试、抢答和演讲三项成绩按比例计算出每人的总评成绩作为最终的初赛成绩，并对成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ①名选手初赛成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分组，每组包含最小值，不含最大值） ②其中总评在分的选手成绩如下： ，，，，，，，，，，，． ③初赛中某班的选手小文和小武三项成绩如下： 笔试成绩 抢答成绩 演讲成绩 总评成绩 小文 小武 根据以上信息，回答下列问题： (1)将“名选手初赛成绩的频数分布直方图”补充完整； (2)名选手初赛成绩的中位数为________分； (3)计算上表中的值； (4)如果学校决定根据初赛总评成绩择优选拔名学生参加决赛．试分析小文和小武二人中，谁能进入决赛，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)小文， 由（3）知小文总评成绩为，小武的总评成绩为， ∵由（2）知，名选手初赛成绩的中位数为分， ， ∵根据初赛总评成绩择优选拔名学生参加决赛，而小文的成绩大于成绩中位数， ∴小文能进入决赛． 【分析】（1）用总人数减去已知各组频数，算出分这一组的频数，补全直方图； （2）个数据的中位数是第个，先通过累计频数确定它落在分组，再取该组排序后的第一个数即可； （3）根据笔试、抢答、演讲的权重，用加权平均数公式算出小武的总评成绩； （4）选拔前名，以中位数分为界，分别将小文和小武的成绩与中位数成绩进行比较，进而判断谁能进入决赛． 【详解】（1）解：已知共有名选手的成绩， 根据频数分布直方图可知，分这一组的频数为． （2）解：根据题意可知，名选手初赛成绩的中位数为第名选手的成绩， 根据频数分布直方图可知，前三组的人数和为人， 则第名选手的成绩为分组的第一位选手的成绩， 将分组的成绩排序如下： ，，，，，，，，，，，， 故该分组第一位选手的成绩为，即名选手初赛成绩的中位数为． （3）解：根据题意可得，． （4）略 24．某校组织七、八年级学生去石家庄研学，并在研学基地开展了传统文化教育活动．活动结束后组织了一场传统文化知识竞赛，竞赛满分为100分．现随机抽取七、八年级各人的竞赛成绩，统计整理并绘制了如下不完整的统计图表： ①将抽查的两个年级成绩（用表示）进行整理，并将成绩分为4个等级： A．；B．；C．；D．． ②八年级B等级学生成绩为：82，86，86，84，86，84，86，89，88，85； 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80 79 45.7 八年级 85 86 32.9 根据以上信息解答下列问题： (1)补全条形统计图，题中________表格中________； (2)若该校七年级有1200名学生，八年级有900名学生，请你估计该校七年级和八年级学生成绩达到A等级及以上的学生人数共________人； (3)请从平均数、中位数、众数、方差中任选两个统计量评价哪个年级传统文化知识掌握情况较好？ 【答案】(1)如图所示： ，40 ； 86 (2)780 (3)八年级平均数大于七年级，说明八年级总体掌握情况比七年级好．八年级众数是86，七年级众数是79，所以八年级掌握情况比七年级好．（答案不唯一） 【分析】（1）根据八年级人数可得，然后求出七年级B等级的人数，进而可补全条形统计图，最后根据中位数的计算得到的值． （2）根据样本百分比估算总体数量的方法即可求解； （3）根据调查数据作决策即可． 【详解】（1）解：（人）， 则七年级B等级的人数有：（人） 补全条形图略， ∵七、八年级各抽取了人，八年级组有人，组有人，组有人，组有人， ∴八年级的中位数为排序后第位同学成绩的平均数， 八年级等级学生成绩从大到小排序为：， ∴． （2）解：（人）， 答：该校七年级和八年级学生成绩达到A等级及以上的学生人数共约人， （3）解：八年级的传统文化知识掌握情况较好，理由如下， ∵八年级平均数大于七年级，说明八年级总体掌握情况比七年级好． 八年级众数是86，七年级众数是79，所以八年级掌握情况比七年级好． 25．2025年9月，为推动我省重大技术装备创新发展，加快首台（套）装备产品推广应用，山东省工业和信息化厅组织专家对本年度我省首台（套）技术装备项目材料进行了评审，共有16个地区的260个项目通过评审并予以公示．A省的工业和信息化厅官网也公布了本省通过评审的首台（套）技术装备项目名单，平均各地区首台（套）技术装备项目有13.65个． 【收集与整理数据】 地区 类别 济南 济宁 青岛 烟台 其他地区 入选项目/个 68 20 44 32 x 整机装备/台 54 17 38 25 80 关键核心零部件/套 10 3 5 7 y 核心系统/套 4 0 1 0 1 【描述数据】 图1为山东省2025年度首台（套）技术装备入选项目各地区分布统计图； 图2为山东省2025年度首套关键核心零部件入选项目各地区分布占比统计图．    【分析数据】 类别 平均数 省份 入选项目 整机装备 关键核心零部件 核心系统 A省各地区 13.65个 7.65台 1.5套 4.5套 山东省各地区 16.25个 a台 b套 0.375套 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出x的值，并补全统计图； (2)2025年山东省其他地区入选的首套关键核心零部件项目y是________套，青岛市入选的首套关键核心零部件项目所对的圆心角度数是________； (3)填空：________，________； (4)请将2025年山东省各地区关于首台（套）技术装备项目的各种平均数与A省相比较，说说我省在创新产业升级中的优劣势． 【答案】(1)96，补全统计图如图： (2)15， (3)13.375，2.5 (4)优势：山东省入选项目、整机装备、关键核心零部件的地区平均数量都显著高于A省，说明山东在首台(套)装备的项目规模、整机量产、核心零部件配套上创新产业升级实力更强；仅核心系统均值低于A省，可后续加强核心系统攻关 【分析】（1）根据总数为260个项目即可求解x的值，再补全统计图即可； （2）先求解出关键核心零部件项目的总数即可求解y的值， （3）根据各地区的征集装备个数以及关键核心零部件套数计算即可； （4）结合两省的平均数分析即可． 【详解】（1）解：由表格可知，济南入选68个项目，济宁入选20个项目，青岛入选44个项目，烟台入选32个项目， ∴， 统计图略； （2）解：由扇形统计图可知，济宁关键核心零部件占， ∴总数为， 由表格可知，关键核心零部件套数为：济南10套，济宁3套，青岛5套，烟台7套， 故， 青岛市人选的首套关键核心零部件项目所对的圆心角度数是：； （3）解：由表格可知，整机装备个数为：济南54台，济宁17台，青岛38台，烟台25台，其他地区80台， 山东共16个地区，则， 由表格可知，关键核心零部件套数为：济南10套，济宁3套，青岛5套，烟台7套，其他地区15套， 则； （4）略 26．某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求a，m，b． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． (3)根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 【答案】(1)，， (2)；或93， (3)甲、乙两组成绩中位数相同，甲组成绩的差距（波动）大于乙组 【分析】（1）利用四分位数的定义进行求解即可； （2）先根据甲组的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值绘制甲组箱线图；再结合乙组给出的四分位数和箱线图的极值，先将乙组已知数据排序，根据第二四分位数为90确定x和y的位置关系，再结合第一四分位数、第三四分位数的取值和的条件，求出x和y的值； （3）从两组箱线图的中位数判断平均水平高低，从极值判断最高分、最低分情况，对比分析两组成绩差异即可． 【详解】（1）解：将甲组成绩从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 则第一四分位数：，向上取整为第3个数据，则， 第二四分位数： 第三四分位数：，向上取整为第8个数据，则； （2）解：乙组共10个数据，由箱线图可得：乙组成绩最小值为70，最大值为96， 由表格知，乙组第一四分位数为80，第三四分位数为93， 则将乙组成绩从小到大排列后，第3个数据为80，第8个成绩为93， 第二四分位数（中位数）为90，即排序后第5、6个数的平均数为90， 将乙组成绩（除外）从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，95，96 若在第4个位置，则中位数为，不符合题意； 若在第5个位置，则中位数为，即，由于，则不可能位于第5个位置上， 若在第6个位置，则中位数为，即， 若在第7个位置，则中位数为，此时可以为93， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 因此，或93、； （3）解：由于甲、乙两组成绩的中位数相同，均为90，整体中等水平相当；但甲组成绩范围更大（最低60，最高100），成绩分布更分散，两极分化更明显；乙组第一四分位数高于甲组，且成绩更集中，说明乙组中等及偏下水平的成绩更好，整体成绩更稳定，乙组整体成绩优于甲组． 27．某学校组织“数学传统文化知识”竞赛，分为团体赛和个人赛．九年级组建了A，B两个各20人的集训团队，经过阶段性训练后进行预赛，对选手成绩（百分制）进行整理分析，给出如下部分信息： a．A队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： 其中组的数据是：80，82，82，84，85，88． b．B队成绩如下： 61，67，72，72，74，76，78，80，81，81， 83，83，83，83，85，85，87，92，93，95． c．A，B两队成绩的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 A队 81.55 76 m B队 80.55 n 82 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)若团队成绩按去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后B队的平均分______（填“增大”“不变”“减小”），方差______（填“增大”“不变”“减小”）； (3)为选拔个人赛种子选手，年级对本次预赛得分90分及以上的甲、乙、丙三名选手进行了5次附加测试，测试成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 96 93 96 90 乙 93 94 94 94 95 丙 95 91 93 92 t 排名规则为：5次测试成绩的平均数高的选手排名靠前；若平均数相同，方差小的选手排名靠前． 若丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，则表中整数t的最小值为______，最大值为______． 【答案】(1)81，83 (2)增大，减小 (3)94，99 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数和方差的定义求解即可； （3）分别求出甲、乙、丙的平均数，甲和乙的方差然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：B队成绩中的数据出现的次数最多，故众数； A队中，两组的人数分别为2和7，而20个数据的中位数是第10，11个数据的平均数，那么第10，11个数据在这一组，是80，82， 因此中位数； （2）解：B队原来平均分为 则去掉一个最高分95和一个最低分61后平均数为，故平均数增大； 而方差反映的是数据波动程度，当去掉最高分和最低分两个极端值之后，数据更加集中，波动减小，故方差减小； （3）解：，； ，； ， ∴， 丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，即丙排第2名， ∴①，， 解得 ∵为整数， ∴可取； ②， 则，解得 此时， 故符合题意； ③， 则，解得， 则， 故符合题意， 综上：的取值为， 故最小值为，最大值为． 28．中考体考临近，为掌握本校九年级学生的体育训练情况，小开从甲、乙班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行了整理、描述和分析（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．， C．，D．），下面给出了部分信息： 甲班20名学生的体测成绩在分数段的数据为：47，48，48，49，49，49，49，49， 乙班20名学生的体测成绩为：40，44，45，45，46，47， 47，48，48，48，49，49，49，49，49，50，50，50，50． 甲、乙两班抽取的学生体测成绩统计表 甲班 乙班 平均数 47.6 47.6 众数 50 b 中位数 a 48.5 方差 18.24 6.14 (1)上述表中，______，______，请补全条形统计图； (2)根据上述数据，你认为甲、乙两班中哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校三个校区九年级共有3600名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？ 【答案】(1)49；49；图见解析 (2)甲班成绩较好，理由见解析 (3)估计这次体测成绩为满分的学生人数是1170人 【分析】（1）根据中位数的意义，将甲班的抽查的20人成绩排序找出处在中间位置的两个数的平均数即可为中位数，从乙班成绩中找出出现次数最多的数即为众数，再由甲班总人数可得D组人数，从而补全统计图； （2）根据题意和表格中的数据，甲班的平均数与乙班一样，根据中位数，众数可以分析得出； （3）根据题意，计算出两班级达到满分人数的百分比，然后乘以总人数即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意得：甲班学生成绩处在中间位置的两个数是分数段的最后两个数：49，49． 故中位数． ∵乙班20名学生的体测成绩49出现了5次，最多次． ∴． 由题意，∵共抽取了20名学生， ∴D组人数为：（名），故可补全条形统计图如下． （2）解：甲班成绩较好，理由：甲班的平均数与乙班一样、但中位数，众数均大于乙班； （3）解：20个人中，甲班满分的有9人，乙班满分4人． ∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：（人）． 答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是1170人． 29．统计主要通过收集与整理数据，借助统计图表和统计量进行描述与分析，进而推断结论与趋势，以培养用数据说话的理性思维和解决实际问题的能力．现有三个小组，每组20人．一道满分为4分的题目，三个小组得分情况如下： 根据以上信息，得到统计数据如下： 平均数 众数 中位数 方差（保留两位小数） 第一组 4 3 1.99 第二组 2 2 1.3 第三组 2.85 4 1.61 (1)求a，b，c的值； (2)观察三个小组得分情况，发现条形图中各“柱子”的高度总是1，2，3，6，8．因“柱子”排列顺序不同，导致平均数、众数、中位数和方差发生了变化．重新排列这些“柱子”，在图1中画出使得平均数最大的“柱子”排列方式，在图2中画出使得方差最小的一种“柱子”排列方式． 【答案】(1)；； (2)图见解析 【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的计算方法进行求解即可； （2）要使平均数最大，需将人数最多的“柱子”对应最高的得分；要使方差最小，即应把数据集中，需将人数尽可能集中在同一个离平均数最近的得分上． 【详解】（1）解：； 第二组中分的人数最多，有人，故； 根据第三组数据，中位数在第和人处，两个数据均为3，故； 则；；； （2）解：要使平均数最大，需将人数最多的“柱子”对应最高的得分， 即将人对应分，人对应分，人对应分，人对应分，人对应分； 要使方差最小，应把数据集中，需将人数尽可能集中在同一个离平均数最近的得分上． 30．为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲班、乙班、丙班、丁班四班同学参加“跳绳”比赛．并将调查结果进行整理，绘制了箱线图（如图）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定？ (2)这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大？跳的次数最多的同学在哪个班？ (3)你觉得哪个班的同学表现得最出色？请说明理由． 【答案】(1)乙班 (2)丙班中位数最大，跳的次数最多的同学在甲班 (3)乙班同学表现最出色（答案不唯一），理由见解析 【分析】由箱线图根据中位数，最大值，最小值，以及上、下四分位数进行分析即可． 【详解】（1）解：这四个班学生中，乙班的成绩最稳定， 因为乙班的数据最集中，且最大值与最小值的差值最小，说明数据波动小，故成绩最稳定； （2）解：由箱线图可得，丙班的中位数最大，由箱线图可得甲班的最大值最大，因此跳的次数最多的同学在甲班； （3）解：乙班同学表现最出色，理由如下： 因为乙班成绩最稳定，且中位数不低，学生成绩整体均衡，无明显两极分化等． 1．近期，某社区的“党建＋”邻里中心组织居民进行核酸检测，每天安排的志愿者人数如图所示，统计数据后，工作人员发现星期三实际上有21位志愿者，那么下列关于平均数和中位数的变化情况的叙述中，正确的是（    ） A．平均数增加了1，中位数不变 B．平均数增加了1，中位数增加了1 C．平均数增加了5，中位数增加了1 D．平均数增加了1，中位数增加了5 【答案】B 【分析】先根据条形统计图读出数据，然后利用平均数、中位数的计算公式计算即可解答． 【详解】解：平均数增加了：， 原数据从小到大排列为：16，16，20，22，26，中位数为20， 新数据从小到大排列为：16，20，21，22，26，中位数为21，则中位数增加了1， 故选：B． 【点睛】本题考查了平均数与中位数的求法，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．解题的关键是中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会求错． 2．如图所示为根据A、B两地某月每天最低气温所绘制的箱线图，根据该图判断，下列说法错误的是（    ） A．该月A地每天最低气温的最小值低于B地 B．该月A地每天最低气温的中位数低于B地 C．该月A地每天最低气温的方差低于B地 D．该月A地每天最低气温的下四分位数低于B地 【答案】C 【分析】本题考查了箱线图，熟读箱线图是解题的关键． 根据箱线图中的四分位数，中位数，上下限，判断各个选项即可解答． 【详解】解：A、由图可得A地每天最低气温的下限比B地每天最低气温的下限低，故A地每天最低气温的最小值低于B地，不符合题意； B、由图可得该月A地每天最低气温的中位数低于B地，不符合题意； C、根据图中可得看出A地每天最低气温的波动更大，即该月A地每天最低气温的方差高于B地，符合题意； D、由图可得该月A地每天最低气温的下四分位数低于B地，不符合题意， 故选：C． 3．数学课上张老师给出了如下算式，计算某数据的方差，据此判断下列说法错误的是（   ） A．样本众数是3 B．样本中位数是3 C．n的值是4 D．样本平均数是4 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，平均数，解题的关键是根据方差计算公式得出数据．根据方差的计算公式得到各个数值进行判断即可． 【详解】解：根据方差算式可得，样本数据为， 因此，样本众数为， 中位数是， 平均数为， 故选：D． 4．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断，下列说法错误的是（    ） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化严重 C．丙班得分低于80分的学生人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42个学生，则三个班级的成绩按从高到低排列的第11名中，丙班的分数最高 【答案】C 【分析】本题主要考查箱线图的相关知识．通过箱线图中数据的分布情况，对各选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，该选项正确； 、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，该选项正确； 、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，说法错误； 、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，该选项正确； 故选：． 5．平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，我们可以画出以下三种分布形态，下列说法不正确的是（　　） A．如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数应该大体上差不多 B．如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数 C．如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数大于中位数 D．和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边 【答案】C 【分析】本题考查了频率分布直方图、平均数和中位数．要重点观察图形结构，根据结构推断结论正确性． 在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数是每组频率的中间值乘频数再相加之和，由此能求出结果． 【详解】解：单峰的频率分布直方图分布形态 A、对称，平均数与中位数差不多，A正确； B、右边“拖尾”，平均数大于中位数，B正确； C、左边“拖尾”，平均数小于中位数，C不正确； D、平均数总是在“长尾巴”那边，D正确． 故选：C． 6．在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是第一四分位数，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是第三四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的第三四分位数是80 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【分析】对比两班箱线图的箱体长度和整体数据跨度，可判断成绩集中程度，再根据箱线图的相关定义依次判断即可． 【详解】解：选项A：由图2可知，一班成绩的极差（最大值减最小值）更大，成绩分布更分散，二班成绩更集中，因此A错误； 选项B：一班箱体顶端在100分上方，80分是一班箱体底端（第一四分位数），因此B错误； 选项C：一班存在一个异常值点在140分刻度上方，说明一班有同学成绩超过140分，因此C正确； 选项D：由图可知，一班平均值低于100分，二班平均值高于100分，一班平均分低于二班，因此D错误． 7．有5个正整数，，，，，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数． ①，，是三个连续偶数，②，是两个连续奇数（），③． 该小组成员分别得到一个结论： 甲：取，5个正整数不满足上述3个条件； 乙：取，5个正整数满足上述3个条件； 丙：当满足“是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件； 丁：5个正整数满足上述3个条件，则，，的平均数与，的平均数之和是10p（p为正整数）； 以上结论正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据每个结论，分别利用题中的3个条件，表示出，，，，，5个数，通过各自的特点与要求进行求解． 【详解】解：甲：若， 由条件①可得，，， 由条件②可得，， 由条件③可得，， 解得， 而为奇数，不符合条件， 故甲结论正确； 乙：若， 由条件①可得，，， 由条件②可得，， 由条件③可得，， 解得， 为奇数，符合题意， 故乙结论正确； 丙：若是4的倍数，设是正整数）， 条件①可得，，， 条件②可得，， 由条件③可得，， 解得， 可知为奇数，符合题意， 故丙结论正确； 丁：设是正整数）， 条件①可得，，， 条件②可得，，，是奇数， 条件③可得，， 得，且m为奇数 ， ，，的平均数为， ，的平均数为， ，，的平均数与，的平均数之和可表示为， 是正整数且为奇数， 是10的倍数， 故丁结论正确． 故选：D． 【点睛】本题考查列代数式、奇偶数的定义、解一元一次方程，解题的关键是分别表示出5个符合结论和题干的数，然后利用5个数的特点进行求解． 8．已知一组数据，，，，，，，且，为方程组的解，则这组数据的中位数为_______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，中位数的概念与计算，掌握二元一次方程组的解法是解题关键． 先解方程组求出和的值，然后将所有数据按从小到大排序，由于数据个数为奇数，中位数是排序后的第个数． 【详解】解：解方程组， 由第二式得，代入第一式得，即， 解得，代入得， 数据为，，，，，，，排序后为，，，，，，， 中位数为第个数． 故答案为：． 9．关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的平均数为 _____． 【答案】5 【分析】先解分式方程得到，根据分式方程的解为正数结合分式方程不能有增根求出且；再解不等式组，根据不等式组的解集为得到，由此确定满足题意的所有满足条件的整数a，再求出对应的平均数即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵分式方程的解为正数，且， ∴， ∴且； 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 综上所述，且， ∴所有满足题意的整数a的值为3，4，6，7， ∴所有满足条件的整数a的平均数为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，求平均数，正确解分式方程和解不等式组求出a的取值范围是解题的关键． 10．为计算某样本数据的方差，列出如下算式据此判断：①样本容量是；②样本的平均数是；③样本的众数是；④样本的中位数是．上面说法错误的是______． 【答案】 【分析】本题考查了求一组数据的中位数、众数、平均数、样本容量，由方差算式得到这组数据为，再根据位数、众数、平均数、样本容量的定义求解即可判断，掌握方差的计算公式是解题的关键． 【详解】解：根据方差算式可得，这组数据为共个， ∴样本容量是，样本的众数是，样本的中位数是，故正确； 样本的平均数是，故错误； 故答案为：． 11．数据的平均数是，方差的计算公式是，现有一组数据的平均数是，方差，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了方差的公式，熟记方差公式是解题的关键．通过方差表达式中的系数可知数据的频数，从而计算平均数． 【详解】解：从方差表达式中的系数可知，数据组中包含2个7，1个6，3个9，3个8，1个10，共10个数据， 这些数据的和为， 所以平均数． 故答案为：． 12．某单位设有6个部门，共153人，如下表：该单位组织了“学党史，促提升”每周答题活动，一共10道题，每题10分，满分100分．某周的周三，有一个部门还没有参与答题，其余5个部门全部完成了答题，得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数之比为，尚未参与答题的部门是___________． 部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 人数 26 16 22 32 43 14 【答案】 部门5 【分析】本题考查统计与概率，解本题的关键首先考虑人数为正整数，还要掌握统计的基本知识． 分别求出得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数占完成人数的比例，可得完成人数的总和的个位数为0，再由 6个部门有153人，可得未参与部门人数个位一定为3，即可求解． 【详解】解：得分为100分的人数占完成人数的， 得分为90分的人数占完成人数的， 得分为80分的人数占完成人数的， 得分为70分的人数占完成人数的， 得分为60分的人数占完成人数的， ∵各分数人数为正整数，即总参与人数正整数， ∴总参与人数是10的倍数，即完成人数的总和的个位数为0， ∵ 6个部门有153人，即人， ∴未参与部门人数个位一定为3， ∴未参与答题的部门是部门5． 故答案为：部门5． 13．综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 【答案】(1) (2) (3) (4)准确性较高，原因见解析 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式； （2）利用题干所给偏差计算公式求出对应的值； （3）通过比较偏差确定最优函数表达式； （4）结合实际情况作答即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式是， ，，时，， 则， 解得：， 一次函数的解析式是； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ； （3）解：由题意可知： 对于，， 的值为， 的值为， 其中对应的值最小为， 即的偏差最小， 为最优函数表达式； （4）解：准确性较高． 因为随着h降低，液体对容器底部压强变小，会使得水流速度变慢，满足题中出现的方程， 因此数据准确性较高． 14．综合与实践 【问题背景】为了对体育节米接力项目的成绩进行分析研究，某班同学进行了数据统计分析．已知全校有3个年级，每个年级个班，分男、女子组进行比赛． 【数据统计】 A．八年级男子组米接力成绩统计如下：（单位：秒） B．三个年级男子米接力成绩的箱线图如下： 【数据分析】 （1）箱线图中x的值为_____________； （2）比较三个年级男子米接力成绩的集中趋势或离散程度，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？（写出一条即可） 发现：_______________________________________________________ 原因：_______________________________________________________ 【进阶分析】在米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗．因此米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的米单项用时之和． （3）在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，．并且接力比赛用时满足： 米接力成绩四人米单项时间总和三次交接棒总节约时间 ①求t关于x的函数表达式； ②已知九（1）班四名选手的米单项用时总和为秒，则九（1）班米接力成绩y（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）之间的函数表达式为_____________；（化简为的形式） ③九（2）班四名男子选手的米单项用时总和比九（3）班快秒，但米接力成绩比九（3）班慢秒，且两个班的交接棒训练时间之和为小时．求九（3）班的交接棒训练时长． 【答案】（1）（2）三个年级中九年级男子接力成绩整体水平最好，八年级男子接力成绩离散程度最小；九年级学生生长发育的更好但学习压力较大，八年级生长发育较好然后体育锻炼的时间比较多（3）①；②；③九（3）班的交接棒训练时长为小时 【分析】（1）把八年级成绩按照从小到大排列，求其下四分位数即可； （2）从集中趋势或离散程度比较两个年级成绩，说法合理即可； （3）①设一次函数关系为，因为当时，；当时，代入即可求得解析式； ②由题意，米接力成绩y秒四人米单项时间总和三次交接棒总节约时间，据此列出关系式即可； ③设九（2）班的交接棒训练时长为小时，九（3）班的交接棒训练时长为小时，设九（2）班四名男子选手的米单项用时总和秒，则九（3）班四名男子选手的米单项用时总和为秒，设九（2）班米接力成绩秒，九（3）班米接力成绩秒，由①②可知：，，因为九（）班米接力成绩比九（3）班慢秒，即，据此列方程求解即可． 【详解】解：（1）x的值为八年级成绩的下四分位数，将八年级成绩由小到大排列， ， 这组数据的下四分位数为． 故答案为：； （2）发现：三个年级中九年级男子米接力成绩整体水平最好，八年级男子接力成绩离散程度最小； 原因：九年级学生生长发育的更好但学习压力较大，八年级生长发育较好然后体育锻炼的时间比较多（答案不唯一，合理即可）； 故答案为：三个年级中九年级男子米接力成绩整体水平最好，八年级男子米接力成绩离散程度最小；九年级学生生长发育的更好但学习压力较大，八年级生长发育较好然后体育锻炼的时间比较多； （3）①设平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）的一次函数关系为， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴故t关于x的函数表达式为； ②由题意得． 故答案为：； ③设九（2）班的交接棒训练时长为小时，则九（3）班的交接棒训练时长为小时， 设九（2）班四名男子选手的米单项用时总和秒，则九（3）班四名男子选手的米单项用时总和为秒， 设九（2）班米接力成绩秒，九（3）班米接力成绩秒， 由①②可知： 即， ， 即， ∵九（）班米接力成绩比九（3）班慢秒， ∴， 即， 解得， 则九（3）班的交接棒训练时长为小时， 答：九（3）班的交接棒训练时长小时． 【点睛】本题考查箱线图，下四分位数数，用统计量进行判断，一次函数的应用，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 15．在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题： (1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表： 平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 甲 7 7 4 7 a 10 乙 7 b 6 6 7 7 10 丙 7 7 5 6 c 8 9 表中______，______，______． (2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果： ； ； ． 因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由． (3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况． 【答案】(1)，，； (2)不同意，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查平均数，众数，中位数，四分位数，离差平方和，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平均数，众数，中位数，四分位数等的定义，逐个分析求解即可； （2）根据离差平方和的特征进行分析求解即可； （3）根据平均数，众数，中位数，离差平方和进行分析求解即可． 【详解】（1）解：∵甲的成绩为：4，6，7，7，7，7，8，10，共8个数据 ∴上四分位数a为第6、7项的平均数，即， ∵乙的成绩中7出现的次数最多， ∴众数， ∵丙的成绩为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，共10个数据 ∴中位数c为第5、6项的平均数，即， ∴ 故答案为：，，； （2）解：不同意．理由如下： 虽然乙和丙的离差平方和相同，但稳定性还需结合数据的离散程度和波动区间判断． 乙的成绩最小值为6，最大值为10；丙的成绩最小值为5，最大值为9． 且乙的上四分位数为7，丙的上四分位数为8，说明丙的高分段数据更多，乙的成绩更集中在中低分段，因此二者的射击稳定性并不完全一样． （3）解：甲：平均成绩7，众数7，但成绩波动较大（最小值4，最大值10），离差平方和最大，稳定性最差，但存在打出高分的潜力． 乙：平均成绩7，众数7，成绩集中在6~10区间，离差平方和较小，稳定性较好，但高分段表现较少． 丙：平均成绩7，众数7，成绩集中在5~9区间，离差平方和较小，稳定性较好，且高分段（8、9环）数据更多，整体发挥更均衡． 16．某农场的草莓物美价廉，深受周边地区人们的喜爱．小苏经过考查，计划在距离农场路程500千米的范围内选一处建立草莓加工工厂，包含甲、乙两条生产线，甲生产线将草莓包装后直接销售，乙生产线制作草莓酱销售． 经过调查与测算，工厂与农场的路程距离会直接影响草莓的采购成本价，采购成本价随两地之间路程距离变化的大致规律如表所示． 工厂与农场的距离s（千米） 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 相应的采购成本p（万元/吨） 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 甲生产线中，每吨原材料的包装生产费为1万元/吨．平均销售价格、生产过程的减重率均与工厂的选址有关，分别如图1、图2所示． （备注：减重率是指在特定过程中（如果采后处理、贮藏、运输、加工等）重量减少程度的指标．计算公式：减重率） 乙生产线中，每吨原材料的加工生产费为1.5万元/吨，减重率为40%．成品草莓酱销售价格会随季节、市场供需等而波动．小苏从去年一年中随机抽取30单交易进行调查，并绘制了这30单交易的销售价格的频数分布直方图，如图所示． (1)草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式； (2)若乙生产线分配到草莓原料100吨，试求出成品草莓酱的利润（用含s的式子表示）； (3)经过调研，工厂本季计划用100吨草莓做草莓酱，考虑到草莓的保鲜等问题，甲生产线分配到的草莓原料不多于乙生产线的2倍，为了获得更高的利润，请你为小苏规划工厂的选址与甲生产线的草莓原料吨数，并说明理由． 【答案】(1) (2)万元 (3)工厂选址在距离农场400千米处，甲生产线分配到的草莓原料为吨时，利润最大，理由见解析 【分析】（1）由表格可知，草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化，是一次函数关系，由待定系数法即可求出关系式； （2）先统计去年一年销售价格的平均价格，再乘以乙生产线分配到草莓原料100吨得到成品草莓酱的吨数，用销售总价减去生产成本减去采购成本即可解答； （3）分两种情况，根据总售价减总成本，再利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由表格可知，草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化，是一次函数关系，设， ∵时，，时，， ∴， 解得：， 即草莓采购成本价随工厂与农场路程距离的函数关系式为； （2）解：由直方图可知去年一年成品草莓酱销售价格的平均价格为（万元/吨）， 乙生产线分配到草莓原料100吨，成品草莓酱的产量为：吨； 成品草莓酱的利润（万元）； （3）解：设甲分配吨原料，则乙分配吨， 由题意得，解得：， 设总利润为， ①当时：由图2知甲生产线减重率为， 根据图1设甲生产线平均销售价格为，与距离的关系式为， 把，，，代入得：，解得：， 故， 则甲生产线的包装生产费为：（万元）， 甲生产线的销售总额为：（万元）； 乙生产线的包装生产费为：（万元）， 乙生产线的销售总额为：（万元）； ∴， 整理得， ∵随s的增大而增大，且当时系数为正，， 此时W随x增大而增大， 当x取最大值时，W取得最大值， ∴此时，W随s增大而增大，因此s取最大值400， ∴万元； 当时系数为负，， 此时W随x增大而减小， 当x取最小值时，W取得最大值， ∴此时，W随s增大而减小，因此s取最小值， ∴万元； 故当，时，W取得最大值万元； ②当时：由图2知甲生产线减重率为，甲生产线减重率增大，由图1知甲生产线平均销售价格下降， ∵草莓采购成本价随工厂与农场路程距离的函数关系式为， ∴采购成本价增大，故利润低于①中万元． 综上，最优规划为： 工厂选址在距离农场400千米处，甲生产线分配到的草莓原料为吨时，利润最大． 17．为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式．其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动．一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的综合素质进行评分（满分10分）． 【数据收集与整理】 一班和二班学生综合素质评分的数据整理如下表： 分数（分） 6 7 8 9 10 一班人数（人） 4 11 ▲ 10 3 二班人数（人） 1 7 ▲ 13 5 【数据分析与运用】 为了更深入地对比两种课后服务模式下学生综合素质的情况，学校对两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 7.925 1.219 二班 8 8 0.978 (1)表中的值为___，的值为____，的值为___； (2)对于这次测试，班级成绩比较整齐的是_____班；（填“一”或“二”） (3)在第二学期，八年级一班也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有7分、8分、9分、10分四种，且中位数为8.5，众数为9，则评分为10分的同学最多有多少人？ 【答案】(1) (2)二 (3)人 【分析】（1）先求出一班、二班得分人数，再由众数、中位数和平均数的求法求解即可； （2）通过比较题中数据里方差的大小即可得到答案； （3）由题中得分情况、得分中位数及众数分析即可得到答案． 【详解】（1）解：学校对八年级一班和二班各40名学生的综合素质进行评分， 一班得分的人数为；二班得分的人数为； 则一班得分的众数为，即；一班成绩的中位数为第名成绩的平均数，为，即；二班成绩的平均数为，即； （2）解：由题中数据可知，一班成绩的方差为；二班成绩的方差为， ， 二班得成绩比较整齐； （3）解：设得7分、8分、9分、10分的人数分别为， 全班同学的评分中位数为8.5， 由一班成绩的中位数为第名成绩的平均数，可知第名成绩为分、第名成绩为分， 则班级得分学生的总人数为人，即， 一班成绩的众数为9， ， 则， ， 则取得的最小整数为，此时有最大值，为， 当全班得或分的人数不超过人时，即、时，分为10分的同学最多，有人． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业12数据的分析综合训练11题型80题 【知识点1 三大集中趋势统计量：平均数、中位数、众数】 1.算术平均数 定义：一组数据的总和除以数据的总个数，叫做算术平均数。 公式： 核心意义：反映一组数据的平均水平，利用了所有数据信息，但容易受极大值、极小值（极端异常数据）影响。 2.中位数 定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间位置的数值。 计算规则： 数据个数为奇数：取中间一个数； 数据个数为偶数：取中间两个数的平均数。 核心意义：反映数据的中等水平，不受极端数据影响，稳定性强。 3.众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据。 关键特点：一组数据可以有一个众数、多个众数，也可以没有众数。 核心意义：反映数据的集中趋势、最常见水平，常用于销量、偏好、统计调查类实际问题。 【知识点2 两大波动程度统计量：极差、方差】 1.极差 定义：一组数据中最大值与最小值的差。 公式：极差 = 最大值 − 最小值 核心意义：粗略反映数据的波动范围，计算简单，但只能体现两端数据差异，忽略中间数据波动。 2.方差（核心必考） 定义：各数据与平均数差的平方的平均数，用来精准衡量数据波动大小。 公式：s^2=1/n[(x_1-¯x )^2+(x_2-¯x )^2+⋯+(x_n-¯x )^2] 核心意义： 方差越小，数据波动越小、越稳定、整齐度越高； 方差越大，数据波动越大、越不稳定、起伏越明显。 【知识点3 统计量基础应用】 1. 已知完整数据，熟练计算五大统计量； 2. 结合生活场景，简单解读统计量代表的实际意义； 3. 根据基础统计结果，做简单的数据判断。 【知识点4 基础题型高频易错点（必规避）】 中位数计算漏排序：未将数据从小到大排序，直接取中间数，结果全部错误； 众数概念混淆：错把数据出现的次数当成众数，众数是数据本身，不是次数； 方差公式记错：忘记除以数据个数、忘记平方，导致计算失误； 稳定性判断记反：误以为方差越大数据越稳定，核心逻辑颠倒； 极差理解偏差：无法区分极差（粗略波动）与方差（精准波动）的区别。 【知识点5 加权平均数综合计算（培优核心）】 1.核心定义 当一组数据中不同数据权重（重要程度、次数、占比）不同时，使用加权平均数计算，是考试高频考点。 2.常用权重形式 次数权重、比例权重、百分比权重、打分权重（考试测评、招聘评分必考）。 3.核心公式 权重越大，对应数据对最终平均值的影响越大。算术平均数是所有权重相等的特殊加权平均数。 【知识点6 统计量基础应用】 无固定最优统计量，需根据实际需求选择统计量做决策，是统计大题核心考点： 1. 关注整体平均水平、总体成绩：选平均数； 2. 避免极端数据影响、看中中等水平：选中位数； 3. 关注最普遍、最受欢迎、销量最高：选众数； 4. 关注数据稳定性、成绩整齐度、波动大小：选方差。 核心考法：对比两组数据，结合统计量分析优劣、做出合理决策。 【知识点7 方差与数据稳定性综合应用】 1.数据变化对方差的影响（培优结论） 一组数据全部加/减同一个数：平均数改变，方差不变，稳定性不变； 一组数据全部乘同一个正数：平均数、方差同步变化，数据波动改变。 2.综合题型 两组数据对比，先算平均数判断整体水平，再算方差判断稳定性，双重维度综合评价数据。 【知识点8 含残缺数据的统计求值（难点突破）】 题型特征：数据不全、有未知参数，已知平均数、中位数、众数、方差，反求未知数据或参数。 解题核心：利用统计量公式逆向列方程，先求未知数据，再补全数据、求解其余统计量，是选择填空压轴难点。 【知识点9 代数+几何综合题型突破】 1.代数综合（二次根式+一次函数） 核心考点：根式化简代入求值、非负性求参数、一次函数含参数问题、函数图像与方程不等式数形结合、一次函数实际应用建模。重点规避盲目代入、计算繁琐、数形脱节问题。 2.几何综合（勾股定理+特殊四边形） 核心考点：勾股定理分类讨论、折叠/最短路径/梯子模型、平行四边形/矩形/菱形/正方形性质判定、四大四边形压轴模型、几何证明层级逻辑、动点存在性问题。重点突破模型识别、辅助线构造、分类漏解问题。 3.跨模块综合压轴 坐标系中四边形与一次函数综合、勾股定理与根式计算综合、几何动点与函数最值综合，是期末大题终极难点。 【知识点10 全册易错点查漏补缺】 代数易错：根式有意义条件、非负性应用、一次函数k/b符号判断、图像平移对称、含参数讨论漏情况； 几何易错：特殊四边形判定条件残缺、对角线性质记混、折叠勾股方程漏解、动点分类讨论不全、证明跳步扣分； 统计易错：统计量计算不规范、决策分析无依据、残缺数据逆向求解思路缺失。 【知识点11 培优核心解题思想与方法】 方程思想：残缺数据统计题、加权求值、参数问题，通过公式列方程逆向求解； 对比分析思想：双组数据评价，结合平均水平+稳定性双重维度决策； 模型思想：几何固化经典模型，代数固化函数建模、根式变形模型； 数形结合思想：一次函数、几何坐标综合题核心解题思想； 分类讨论思想：勾股定理多解、四边形动点、含参数函数问题必备思想。 【题型1 平均数】 1．李老师在计算学生的学期综合成绩时，从平时作业、期中考试、期末考试三个方面进行考核，各项满分均为100分．小丽和小强两位同学的各项成绩如表所示： 平时作业/分 期中考试/分 期末考试/分 小丽 80 82 92 小强 87 84 90 根据以上信息，解答下列各题． (1)这两人中平均成绩更高的同学是_____，该同学的平均成绩是______分． (2)若对平时作业、期中考试、期末考试的成绩分别赋予它们2，2，6的权，请计算小丽的平均成绩． 2．下表所示是八年级4个班上交的“科技百问”小测的最终成绩统计表． 班级 一班 二班 三班 四班 人数 48 50 45 57 平均分 86 85 84 优秀率（不低于85分） (1)求出四个班成绩的平均分． (2)求出四个班成绩的优秀率． 3．某校在一次班班有歌声评比活动中，A，B两班各项得分如表． 精神面貌 演唱质量 整体规范 A 86 91 87 B 90 85 92 (1)如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两个班级的排名顺序怎样？ (2)若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“精神面貌”“演唱质量”“整体规范”三个项目在总分中的占比为，那么两个班级的排名顺序又怎么样？ 【题型2 中位数和众数】 4．某校开展以“持续弘扬长征精神”为主题的演讲比赛，选手的成绩由演讲内容、语言表达、临场表现三项组成，每项成绩均由7位评委打分，取平均分作为该项的实际成绩，再将演讲内容、语言表达、临场表现三项成绩按的比例计算出每人的总评成绩．其中，甲、乙两位选手的三项实际成绩和总评成绩（单位：分）如下表． 演讲内容 语言表达 临场表现 总评成绩 甲 86 76 82 乙 84 82 已知7位评委给乙的临场表现打出的分数（单位：分）为78、82、79、82、76、83、80． (1)将7位评委给乙的临场表现打出的分数看作一组数据，则该组数据的中位数是___________分，众数是___________分； (2)求乙临场表现的实际成绩； (3)若根据总评成绩从高到低确定最终名次，则两位选手谁的最终名次比较靠前？ 5．“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，大丰区主管部门就学生对“阳光定食校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中、高中各随机抽取10名学生，统计他们对“阳光定食校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）：初中：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10．高中：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7．两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 初中 8 a b 0.8 高中 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______． (2)求m的值． (3)综合表中数据，从集中趋势（平均数、中位数、众数）看，是初中学生还是高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高？请简要说明理由． 6．人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是上线后，在知识类任务上水平显著提升，生成速度大幅提高．某学校为了解该校学生对人工智能的关注程度，对全校学生进行问卷测试，结果采用百分制，结果越高，则表明对人工智能的关注程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试成绩进行整理和分析（得分用x表示，且为整数，共分为5组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据如下： 50，51，59，65，66，73，76，79，83，84， 84，84，84，86，88，88，92，93，97，98． 九年级被抽取的学生测试得分中D组包含的所有数据如下： 88，88，87，88，88，85，85，89． 八、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数/分 众数/分 中位数/分 八年级 79 a 84 九年级 79 88 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：上述图表中，____，____，_____． (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注程度更高？请说明理由． 【题型3 离差平方和的应用】 7．某镇5家企业去年的产值如下表所示 企业 A B C D E 产值/亿元 13 15 7 9 12 根据年产值的组内离差平方和最小的原则分为两组，则分组方法为（将同组的企业名称用大括号括起来）_______ 8．下表是4名学生的数学测试成绩： 学生编号 1 2 3 4 成绩 / 分 72 80 85 93 将这些成绩按从低到高排列后，共有多少种不同的分法？请计算每种分法的组内离差平方和，并找出最优分组． 9．下表是10个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，计算按第4个间隔分组时的组间离差平方和．（提示：总离差平方和组内离差平方和组间离差平方和，总离差平方和为875.0） 【题型4 求方差】 10．在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 8.7 9 8.6 0.5 如果每个评委打分都高0.2分，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（     ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 11．小明这学期数学的五次测验成绩分别是：，，，，．这五次测验成绩的方差是（） A． B． C． D． 12．已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 【题型5 利用方差求未知数据的值】 13．小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．中位数是 C． D． 14．已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 15．数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 【题型6 根据方差判断稳定性】 16．某剧院为吸引顾客，让扮演太乙真人、哪吒、敖丙、申公豹的四位工作人员进行投掷乾坤圈比赛，下表记录了四人测试（每人掷5次）的相关数据： 太乙真人 哪吒 敖丙 申公豹 平均距离/ 43 54 54 50 方差 6.4 3.2 3.5 4.8 根据表中数据，四人中成绩又好（扔得越远越好）又稳定的是（     ） A．太乙真人 B．哪吒 C．敖丙 D．申公豹 17．某市中小学“市长杯”女生软式排球赛中，甲校和乙校两队进入了最终的决赛，甲、乙两支排球队队员的身高统计如图所示，则参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是___________队．（填“甲”或“乙”） 18．节约用水已成为大家的共识．某兴趣小组收集了甲，乙两个家庭第二季度的月用水量（单位：吨），绘制成了如下统计表和不完整的折线图，其中统计表被墨迹遮盖了一部分． 甲、乙两个家庭月用水量数据及分析统计表甲、乙两个家庭月用水量折线图 四月 五月 六月 平均数 方差 甲 乙 (1)求乙家庭四月份的用水量，并补全折线图； (2)求乙家庭第二季度月用水量的方差，请你评价哪个家庭的月用水量波动小； (3)甲家庭月份的用水量比月份的用水量下降（），恰好等于乙家庭第二季度月用水量的中位数，求的值． 【题型7 运用方差做决策】 19．人工智能是新一轮科技革命重要驱动力量，等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：49，56，68，71，83，83，83，90，90，95； 八年级10人的得分在B组中的分数为：83，84，87，84； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 八 84 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪个年级在此次测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）． (3)若七年级有400人参与，八年级有480人参与，估计两个年级得分在A组共有_____人． 20．通过19.2节的阅读材料我们了解到，位于西北的乌鲁木齐2022年7月1日当日温差大于位于西南的南宁，如果比较这两地月平均气温（单位：），那么结果会如何呢？下表是国家统计局在《中国统计年鉴2021》中给出的2020年两地每月的平均气温，请据此回答2020年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度是否大于南宁． 2020年乌鲁木齐和南宁每月的平均气温 单位： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 乌鲁木齐 2.9 16.4 19.9 21.7 23.8 23.3 16.1 8 1.3 南宁 15.4 16.5 19 19.7 27.4 28.5 29.2 27.6 26.6 22.1 20.2 13.4 21．每年的月日是我国全民国家安全教育日，某学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试，已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 七年级：，，，，，，，，，． 八年级：，，，，，，，，，． 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)________年级的成绩更整齐（填“七”或“八”）； (3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？（写出一条合理的理由即可）． 【题型8 求四分位数】 22．九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 23．在一次体检中，测得某校八年级（1）班第一组同学的体重（单位：）分别为50，55，58，57，54，50，56，60．该组同学体重的上四分位数是______，离差平方和是______． 24．在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的第三四分位数（75%分位数）和第一四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）．图2为某地区今年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图．AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重． (1)该地区今年5月有没有严重污染天气？ (2)该地区哪个月的AQI值比较集中？ 【题型9 画箱线图】 25．八年级（1）班共50人平均分为两组进行比拼，解一道满分为5分的数学题．得分结果绘制成两张统计图如图． 姜老师要对两组比拼的得分结果进行点评，所以需要计算两组得分相关的统计数据，请你帮他完成： (1)分别求出A组和B组得分的平均数，指出两组的众数和中位数． (2)求出这两组数据的方差，并指出哪一组的数据更加稳定． (3)绘制两组数据的四分位数表，并制作箱线图．通过箱线图总结本次比拼两组的得分情况． ①四分位数表（单位：分）和箱线图 组别 下四分位数 中位数 上四分位数 A组 B组 ②总结：___________． 组别 下四分位数 中位数 上四分位数 A组 2 3 4 B组 3 4 26．游泳培训中心特训班进行毕业考试，100米蛙泳24名成员的成绩如下（单位：秒）： 158  149  145  128  140  135  142  150 155  132  136  150  142  152  130  136 140  144  166  142  144  150  132  138 据此回答： (1)填写四分位数表 四分位数 数值 136 142 150 说说本次成绩所反映的总体情况 (2)如下图所示，将这一年的成绩绘制成箱线图，并与去年的成绩进行比较，说说你对这一年成绩的评价． 四分位数 数值 136 142 150 27．社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有、两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 方差 A 48 48 58.01 B 49.5 332.25 (1)上述表中，________，________，________； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数，，；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数并将箱线图补充完整； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【题型10 根据要求选择合适的统计量】 28．有15人参加学校举办的歌咏比赛，小明要想知道自己是否进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 29．在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年月每天的最高温度数据进行分析．如图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（   ） ①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为； ②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数； ③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度； ④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．【问题情境】数学活动课上，老师和同学们跟随食堂采购员前往河南省信阳潢川——中国中部最大的鱼苗繁殖基地（年产鱼苗超过300亿尾），参观国家级水产良种场并开展“利用鱼的重量与其长度的比值特征对鱼进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们在基地观察将要购买的黄颡鱼（黄辣丁）和鲈鱼各10条，测量这些鱼的重量（斤）与长度（米），分别计算每条鱼的重长比（即重量与长度的比值），并整理数据如图所示． 【实践探究】根据以上数据，得到以下统计量． 图示 统计量 平均数 中位数 众数 黄颡鱼的重长比 3.1 3.0 鲈鱼的重长比 4.6 4.6 【问题解决】 (1)上述表格中：___________，___________． (2)若鱼的重长比的方差越小，则认为该种鱼的体型差异越小，据此推断：在黄颡鱼与鲈鱼中，体型差异较大的是___________．（填“黄颡鱼”或“鲈鱼”） (3)食堂采购员在该基地购买了一条重1.8斤、长0.4米的鱼，试推测食堂采购员购买的这条鱼更可能是黄颡鱼还是鲈鱼，并说明理由． 【题型11 利用合适的统计量做决策】 31．某餐厅推出四种新款粽子（分别以甲、乙、丙、丁表示），请顾客试吃后选出最喜欢的品种．结果反馈如下：丙丁丙甲甲乙甲乙甲乙甲．通过以上数据，你能获得的信息是（    ） A．喜欢乙款粽子的人数占总人数的一半 B．丙款粽子比乙款粽子更受欢迎 C．喜欢丁款粽子的人数占总人数的五分之一 D．甲款粽子最受欢迎 32．某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． (3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法． 33．为进一步加强中小学生对于民族文化的认同感，某中学开展了形式多样的传统文化教育培训活动．为了解培训效果，该校组织全校学生参加了传统文化主题知识竞赛，并在赛后随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩x（单位：分），分数如下： 七年级10名学生竞赛成绩：75，83，79，89，79，83，95，70，64，83； 八年级10名学生竞赛成绩中分布在的成绩如下：84，85，85，85，86． 【整理数据】： 年级 七年级 2 m 4 1 八年级 1 3 5 1 【分析数据】： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 ▲ a 81 71.6 八年级 80 85 b 59.8 根据以上提供的信息，回答下列问题： (1)填空：m＝ ，a＝ ，b＝ ． (2)求七年级10名学生竞赛成绩的平均分． (3)根据以上统计结果，从不同角度说明七年级与八年级中哪个年级成绩更优秀． 1．某商场上月空调的销售情况如表所示：商场经理决定本月增加库存时多加一些品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（     ） 品牌 销售量/台 260 140 300 480 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 2．某地区年月和月的空气质量指数箱线图如下．值越小，空气质量越好，值超过，说明达到重度污染．则下列说法正确的有（     ） ①该地区年月有重度污染天气 ②该地区年月值的最小值比月小 ③该地区年月值比月值集中 ④从整体上看，该地区年月的空气质量略好于月 ⑤该地区年月和月值的中位数相同 A．④⑤ B．③⑤ C．②③⑤ D．②③④⑤ 3．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 6.4 7.1 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．2026年5月9日“苏超”第五轮无锡队主场3∶1战胜泰州队，首发阵容平均年龄为25的11名球员的年龄分别为19、28、19、22、22、28、33、21、29、32、22，则这组数据的中位数和众数分别为（     ） A．28和3 B．28和22 C．33和3 D．22和22 5．为了解智能机器人分拣快递的工作效率，某快递分拣站随机抽取10台不同型号的智能机器人，统计每台每周可分拣的快递数量（单位：万件），并绘制了折线统计图．下列有关智能机器人每台每周可分拣快递数量的描述，正确的是（   ） A．中位数是15万件 B．众数是15万件 C．平均数是14万件 D．方差是0 6．八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C．甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D．乙组跳绳次数的最大值大于190 7．下表是 10 个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，组内离差平方和最小的分组位置是（ ） A．第3个间隔 B．第4个间隔 C．第5个间隔 D．第6个间隔 8．如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 9．有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（     ） A．这组数据的第一四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的第三四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 10．体育课上，某小组的五位同学测得“1分钟引体向上”个数的中位数是5，平均数是6，众数是4，该小组成绩最好的同学测得的个数不可能是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 11．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 12．由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 13．将一组数据1，2，3，4，5，6分成前3个一组，后3个一组，则这组数据的组内离差平方和是_______. 14．如图是嘉淇某月1号到6号用于体育锻炼的时间的折线统计图，则该组数据的下四分位数是____分钟． 15．某企业对员工进行综合素质测试，测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，评委给甲、乙的打分的折线图如图：则，根据图中信息，比较甲的方差与乙的方差的大小：___．（填“＞”“＝”或“＜”） 16．天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国工业天然气生产稳定增长，某段时间，天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，这组数据的第三四分位数是_________． 17．小建进行5次射击训练，环数如下：10，8，9，10，9，其方差为，随后他又进行了5次训练，环数如下：9，10，9，8，10．小建这10次成绩的方差为，则____________（填“”“”或“”号）． 18．某轮滑队所有队员的年龄（单位：岁）只有12，13，14，15，16五种情况，其中部分数据如图所示．若队员年龄唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是_____________． 19．两组数据3，5，，与，6，的平均数都是6．若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数是____________． 20．定义两种新运算：为的中位数；为的算术平均数． 例如：①因为，所以；②． 则函数与的交点坐标为_____________． 21．一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____． 22．根据中国电影观众满意度调查结果，电影《飞驰人生3》以87.3分的成绩位居2026年春节档满意度榜首．某社团为了解学生对《飞驰人生3》的喜爱程度，现从七、八年级学生中各随机抽取了20名学生展开问卷调查，并对收集的评分数据进行整理、描述和分析（评分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的评分为： 70，81，83，83，88，91，91，91，92，92，94，94，94，94，96，100，100，100，100，100． 八年级20名学生的评分在组的数据是： 91，91，92，93，94，95，99，99，99，99，100，100． 七、八年级抽取的学生评分统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91.7 93 八年级 91.7 99 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，_____，_____，_____． (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更喜欢《飞驰人生3》？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)该校七、八年级共有3000名学生，请估计该校七、八年级非常喜欢（）《飞驰人生3》的学生人数． 23．为积极倡导中学生“健康人生、绿色无毒”的生活理念，学校举办“禁毒知识”竞赛．初赛有名选手参加，每位选手需要参加笔试、抢答和演讲三项比赛，每项成绩均按百分制打分．评委会将笔试、抢答和演讲三项成绩按比例计算出每人的总评成绩作为最终的初赛成绩，并对成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ①名选手初赛成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分组，每组包含最小值，不含最大值） ②其中总评在分的选手成绩如下： ，，，，，，，，，，，． ③初赛中某班的选手小文和小武三项成绩如下： 笔试成绩 抢答成绩 演讲成绩 总评成绩 小文 小武 根据以上信息，回答下列问题： (1)将“名选手初赛成绩的频数分布直方图”补充完整； (2)名选手初赛成绩的中位数为________分； (3)计算上表中的值； (4)如果学校决定根据初赛总评成绩择优选拔名学生参加决赛．试分析小文和小武二人中，谁能进入决赛，并说明理由． 24．某校组织七、八年级学生去石家庄研学，并在研学基地开展了传统文化教育活动．活动结束后组织了一场传统文化知识竞赛，竞赛满分为100分．现随机抽取七、八年级各人的竞赛成绩，统计整理并绘制了如下不完整的统计图表： ①将抽查的两个年级成绩（用表示）进行整理，并将成绩分为4个等级： A．；B．；C．；D．． ②八年级B等级学生成绩为：82，86，86，84，86，84，86，89，88，85； 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80 79 45.7 八年级 85 86 32.9 根据以上信息解答下列问题： (1)补全条形统计图，题中________表格中________； (2)若该校七年级有1200名学生，八年级有900名学生，请你估计该校七年级和八年级学生成绩达到A等级及以上的学生人数共________人； (3)请从平均数、中位数、众数、方差中任选两个统计量评价哪个年级传统文化知识掌握情况较好？ 25．2025年9月，为推动我省重大技术装备创新发展，加快首台（套）装备产品推广应用，山东省工业和信息化厅组织专家对本年度我省首台（套）技术装备项目材料进行了评审，共有16个地区的260个项目通过评审并予以公示．A省的工业和信息化厅官网也公布了本省通过评审的首台（套）技术装备项目名单，平均各地区首台（套）技术装备项目有13.65个． 【收集与整理数据】 地区 类别 济南 济宁 青岛 烟台 其他地区 入选项目/个 68 20 44 32 x 整机装备/台 54 17 38 25 80 关键核心零部件/套 10 3 5 7 y 核心系统/套 4 0 1 0 1 【描述数据】 图1为山东省2025年度首台（套）技术装备入选项目各地区分布统计图； 图2为山东省2025年度首套关键核心零部件入选项目各地区分布占比统计图．    【分析数据】 类别 平均数 省份 入选项目 整机装备 关键核心零部件 核心系统 A省各地区 13.65个 7.65台 1.5套 4.5套 山东省各地区 16.25个 a台 b套 0.375套 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出x的值，并补全统计图； (2)2025年山东省其他地区入选的首套关键核心零部件项目y是________套，青岛市入选的首套关键核心零部件项目所对的圆心角度数是________； (3)填空：________，________； (4)请将2025年山东省各地区关于首台（套）技术装备项目的各种平均数与A省相比较，说说我省在创新产业升级中的优劣势． 26．某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求a，m，b． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． (3)根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 27．某学校组织“数学传统文化知识”竞赛，分为团体赛和个人赛．九年级组建了A，B两个各20人的集训团队，经过阶段性训练后进行预赛，对选手成绩（百分制）进行整理分析，给出如下部分信息： a．A队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： 其中组的数据是：80，82，82，84，85，88． b．B队成绩如下： 61，67，72，72，74，76，78，80，81，81， 83，83，83，83，85，85，87，92，93，95． c．A，B两队成绩的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 A队 81.55 76 m B队 80.55 n 82 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)若团队成绩按去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后B队的平均分______（填“增大”“不变”“减小”），方差______（填“增大”“不变”“减小”）； (3)为选拔个人赛种子选手，年级对本次预赛得分90分及以上的甲、乙、丙三名选手进行了5次附加测试，测试成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 96 93 96 90 乙 93 94 94 94 95 丙 95 91 93 92 t 排名规则为：5次测试成绩的平均数高的选手排名靠前；若平均数相同，方差小的选手排名靠前． 若丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，则表中整数t的最小值为______，最大值为______． 28．中考体考临近，为掌握本校九年级学生的体育训练情况，小开从甲、乙班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行了整理、描述和分析（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．， C．，D．），下面给出了部分信息： 甲班20名学生的体测成绩在分数段的数据为：47，48，48，49，49，49，49，49， 乙班20名学生的体测成绩为：40，44，45，45，46，47， 47，48，48，48，49，49，49，49，49，50，50，50，50． 甲、乙两班抽取的学生体测成绩统计表 甲班 乙班 平均数 47.6 47.6 众数 50 b 中位数 a 48.5 方差 18.24 6.14 (1)上述表中，______，______，请补全条形统计图； (2)根据上述数据，你认为甲、乙两班中哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校三个校区九年级共有3600名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？ 29．统计主要通过收集与整理数据，借助统计图表和统计量进行描述与分析，进而推断结论与趋势，以培养用数据说话的理性思维和解决实际问题的能力．现有三个小组，每组20人．一道满分为4分的题目，三个小组得分情况如下： 根据以上信息，得到统计数据如下： 平均数 众数 中位数 方差（保留两位小数） 第一组 4 3 1.99 第二组 2 2 1.3 第三组 2.85 4 1.61 (1)求a，b，c的值； (2)观察三个小组得分情况，发现条形图中各“柱子”的高度总是1，2，3，6，8．因“柱子”排列顺序不同，导致平均数、众数、中位数和方差发生了变化．重新排列这些“柱子”，在图1中画出使得平均数最大的“柱子”排列方式，在图2中画出使得方差最小的一种“柱子”排列方式． 30．为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲班、乙班、丙班、丁班四班同学参加“跳绳”比赛．并将调查结果进行整理，绘制了箱线图（如图）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定？ (2)这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大？跳的次数最多的同学在哪个班？ (3)你觉得哪个班的同学表现得最出色？请说明理由． 1．近期，某社区的“党建＋”邻里中心组织居民进行核酸检测，每天安排的志愿者人数如图所示，统计数据后，工作人员发现星期三实际上有21位志愿者，那么下列关于平均数和中位数的变化情况的叙述中，正确的是（    ） A．平均数增加了1，中位数不变 B．平均数增加了1，中位数增加了1 C．平均数增加了5，中位数增加了1 D．平均数增加了1，中位数增加了5 2．如图所示为根据A、B两地某月每天最低气温所绘制的箱线图，根据该图判断，下列说法错误的是（    ） A．该月A地每天最低气温的最小值低于B地 B．该月A地每天最低气温的中位数低于B地 C．该月A地每天最低气温的方差低于B地 D．该月A地每天最低气温的下四分位数低于B地 3．数学课上张老师给出了如下算式，计算某数据的方差，据此判断下列说法错误的是（   ） A．样本众数是3 B．样本中位数是3 C．n的值是4 D．样本平均数是4 4．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断，下列说法错误的是（    ） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化严重 C．丙班得分低于80分的学生人数多于得分高于80分的学生人数 5．平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，我们可以画出以下三种分布形态，下列说法不正确的是（　　） A．如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数应该大体上差不多 B．如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数 C．如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数大于中位数 D．和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边 6．在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是第一四分位数，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是第三四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的第三四分位数是80 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 7．有5个正整数，，，，，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数． ①，，是三个连续偶数，②，是两个连续奇数（），③． 该小组成员分别得到一个结论： 甲：取，5个正整数不满足上述3个条件； 乙：取，5个正整数满足上述3个条件； 丙：当满足“是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件； 丁：5个正整数满足上述3个条件，则，，的平均数与，的平均数之和是10p（p为正整数）； 以上结论正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知一组数据，，，，，，，且，为方程组的解，则这组数据的中位数为_______． 9．关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的平均数为 _____． 10．为计算某样本数据的方差，列出如下算式据此判断：①样本容量是；②样本的平均数是；③样本的众数是；④样本的中位数是．上面说法错误的是______． 11．数据的平均数是，方差的计算公式是，现有一组数据的平均数是，方差，则___________． 12．某单位设有6个部门，共153人，如下表：该单位组织了“学党史，促提升”每周答题活动，一共10道题，每题10分，满分100分．某周的周三，有一个部门还没有参与答题，其余5个部门全部完成了答题，得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数之比为，尚未参与答题的部门是___________． 部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 人数 26 16 22 32 43 14 13．综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 14．综合与实践 【问题背景】为了对体育节米接力项目的成绩进行分析研究，某班同学进行了数据统计分析．已知全校有3个年级，每个年级个班，分男、女子组进行比赛． 【数据统计】 A．八年级男子组米接力成绩统计如下：（单位：秒） B．三个年级男子米接力成绩的箱线图如下： 【数据分析】 （1）箱线图中x的值为_____________； （2）比较三个年级男子米接力成绩的集中趋势或离散程度，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？（写出一条即可） 发现：_______________________________________________________ 原因：_______________________________________________________ 【进阶分析】在米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗．因此米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的米单项用时之和． （3）在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，．并且接力比赛用时满足： 米接力成绩四人米单项时间总和三次交接棒总节约时间 ①求t关于x的函数表达式； ②已知九（1）班四名选手的米单项用时总和为秒，则九（1）班米接力成绩y（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）之间的函数表达式为_____________；（化简为的形式） ③九（2）班四名男子选手的米单项用时总和比九（3）班快秒，但米接力成绩比九（3）班慢秒，且两个班的交接棒训练时间之和为小时．求九（3）班的交接棒训练时长． 15．在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题： (1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表： 平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 甲 7 7 4 7 a 10 乙 7 b 6 6 7 7 10 丙 7 7 5 6 c 8 9 表中______，______，______． (2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果： ； ； ． 因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由． (3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况． 16．某农场的草莓物美价廉，深受周边地区人们的喜爱．小苏经过考查，计划在距离农场路程500千米的范围内选一处建立草莓加工工厂，包含甲、乙两条生产线，甲生产线将草莓包装后直接销售，乙生产线制作草莓酱销售． 经过调查与测算，工厂与农场的路程距离会直接影响草莓的采购成本价，采购成本价随两地之间路程距离变化的大致规律如表所示． 工厂与农场的距离s（千米） 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 相应的采购成本p（万元/吨） 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 甲生产线中，每吨原材料的包装生产费为1万元/吨．平均销售价格、生产过程的减重率均与工厂的选址有关，分别如图1、图2所示． （备注：减重率是指在特定过程中（如果采后处理、贮藏、运输、加工等）重量减少程度的指标．计算公式：减重率） 乙生产线中，每吨原材料的加工生产费为1.5万元/吨，减重率为40%．成品草莓酱销售价格会随季节、市场供需等而波动．小苏从去年一年中随机抽取30单交易进行调查，并绘制了这30单交易的销售价格的频数分布直方图，如图所示． (1)草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式； (2)若乙生产线分配到草莓原料100吨，试求出成品草莓酱的利润（用含s的式子表示）； (3)经过调研，工厂本季计划用100吨草莓做草莓酱，考虑到草莓的保鲜等问题，甲生产线分配到的草莓原料不多于乙生产线的2倍，为了获得更高的利润，请你为小苏规划工厂的选址与甲生产线的草莓原料吨数，并说明理由． 17．为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式．其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动．一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的综合素质进行评分（满分10分）． 【数据收集与整理】 一班和二班学生综合素质评分的数据整理如下表： 分数（分） 6 7 8 9 10 一班人数（人） 4 11 ▲ 10 3 二班人数（人） 1 7 ▲ 13 5 【数据分析与运用】 为了更深入地对比两种课后服务模式下学生综合素质的情况，学校对两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 7.925 1.219 二班 8 8 0.978 (1)表中的值为___，的值为____，的值为___； (2)对于这次测试，班级成绩比较整齐的是_____班；（填“一”或“二”） (3)在第二学期，八年级一班也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有7分、8分、9分、10分四种，且中位数为8.5，众数为9，则评分为10分的同学最多有多少人？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $