2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦一元二次方程的解集及根与系数关系，通过《九章算术》“勾股”问题导入，从实际情境抽象方程，衔接已学因式分解法，指出其局限后引入配方法与判别式，构建知识学习支架。 以情境化和问题驱动为特色，用古代数学问题培养数学眼光，通过“尝试与发现”引导学生自主推导配方法及判别式，发展数学思维，例题涵盖换元转化与韦达定理应用，提升数学语言表达能力，助力学生掌握知识，教师高效教学。

2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【课程基本信息】 年级 高一 课题 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 课时 1课时 授课教师 【教学目标】 1.理解一元二次方程的相关概念. 2.掌握一元二次方程的根的判断方法，会解一元二次方程，会用韦达定理求两根的关系式的值. 【教学重点】 一元二次方程的相关概念. 【教学难点】 掌握一元二次方程的根的判断方法. 【教学过程】 1、 一元二次方程的解集 情境与问题：《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何． 根据题中的描述可画出示意图如图所示，其中A点代表北门，B处是木，C点代表南门，而且AB＝20，CD＝14，DE为多少？ 如果设正方形的边长为x．则有AF=，DB=20+x+14=x+34．根据△ABF∽△DBE可知，从而AF·DB=AB·DE，因此，整理得 x2+34x-71000=0，你会解这个方程吗？ 设计意图：通过引入古代的例子，引出一元二次方程的概念. 一元二次方程的概念：形如ax2+bx+c=0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0. 从上一小节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢? 尝试与发现：你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？举例说明. 不难知道，如果一个一元二次方程可以化为x2=t的形式，其中t为常数，那么这个方程的解集是容易获得的. 例如：方程x2=3的解集为{−，}，方程x2=0的解集为{0}，方程x2=-2的解集为. 教师提问：通过上面的结论，尝试总结方程x2=t的解集. 方程x2=t的解集：1.当t>0时，解集为{，}；2.当t=0时，解集为{0}；3.当t<0时，解集为. 更进一步，形如(x-k)2=t(其中k，t是常数)的一元二次方程的解集也容易得到. 例如：由(x-1)2=2可知x-1=或x-1=，从而x=1-或x=1+，因此解集为{1-，1+}. 方程(x-k)2=t的解集：1.当t>0时，解集为{k-，k+}；2.当t=0时，解集为{k}；3.当t<0时，解集为. 因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为(x-k)2=t的形式，就可得到方程的解集. 尝试与发现：怎样将x2+2x+3=0化为(x-k)2=t的形式？动手试试看，并写出这个方程的解集. 我们知道，利用配方法可得x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2，因此，x2+2x+3=0可以化为(x+1)2=-2，从而可知解集为.事实上，利用配方法，总是可以将ax2+bx+c =0(a≠0)化为(x-k)2=t的形式，过程如下：因为a≠0，所以，因此，ax2+bx+c=0(a≠0)可以化为. 教师提问：通过上面的结论，尝试总结一下方程的解集. 方程的解集的判断：Δ=b2-4ac的符号情况决定了上述方程的解集情况： 1.当Δ=b2-4ac>0时，方程的解集为 2.当Δ=b2-4ac=0时，方程的解集为 3.当Δ=b2-4ac<0时，方程的解集为． 一元二次方程的判别式的概念：一般地，Δ=b2-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的判别式.由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定. 例如：前述情境与问题中的方程x2+34x-71000=0可以化为(x+17)2=71289，从而可解得x=250或x=-284(舍). 设计意图：通过举例子，理解一元二次方程判别式的概念. 二、一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系：我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时，这个方程的解可以记为，则，. 【课堂例题】 例1：求方程的解集. 分析：这不是一个一元二次方程，但是通过把看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程. 解：设，则y≥0，且原方程可变为y2-2y-1=0，因此可知y=1+或y=1- (舍).从而，即，所以原方程的解集为. 例2：已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2，求下列各式的值： (1)x12+x22； (2)|x1-x2|. 解：(1)由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=-2，因此x12+x22= (x1+x2)2-2x1x2=()2-2×(-2)=. (2)因为(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=()2-4×(-2)=，所以|x1-x2|=. 【课堂巩固】 1.设关于x的一元二次方程有两个实根，，则( ) A. B. C.1 D.m 2.设，是方程的两个实数根，则的值是( ) A.15 B.12 C.11 D.9 3.若关于x的一元二次方程有解，则实数m的取值为( ) A.正数 B.非负数 C.一切实数 D.零 【小结作业】 50页的课后习题 【板书设计】 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1.一元二次方程的概念 2.一元二次方程的判别式 【教学反思】 课后 反思 优点： 不足： 改进措施： 课堂 评价 学科网（北京）股份有限公司 $