2.1.3 方程组的解集-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦方程组的解集这一核心知识点，系统讲解解集的概念及表示方法，梳理二元一次、三元一次、二元二次方程组的解法，从消元思想（代入消元、加减消元）到降次方法，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料特色在于融合数学文化与核心素养，引用《张邱建算经》百鸡问题、《孙子算经》木长问题等古代算题，培养数学抽象与数据分析能力。分层设计例题与作业，课中助力教师引导学生掌握消元法，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升数学运算与问题解决能力。

2.1.3　方程组的解集 学习任务 1．理解方程组的解集的概念及表示方法．(数学抽象) 2．掌握用消元法求方程组解集的方法．(数学运算) 3．会利用方程组知识解决一些简单的实际问题．(数据分析、数学运算) 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载了百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则 　 问题　当z＝81时，x＝________，y＝________． 知识点　方程组的解集与其解法 1．方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，每个方程的解集的交集称为这个方程组的解集． 2．方程组的解法 求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法． 常用的消元法有哪几种？ [提示]　解方程组时常用的消元法有代入消元法和加减消元法．代入消元时一般需要把原式化简一下再代入；加减消元时，也需要把原方程组中的某一个或某些个转化后再进行加减消元． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程组的解集为{2，1}． (　　) (2)是二元一次方程组． (　　) (3)是方程组的一个解． (　　) (4)解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐变少． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× [提示]　(1)因为的解集为{(2，1)}，故错误． (2)方程2＋＝y不是整式方程，故错误． (3)代入方程组成立，故正确． (4)解方程组消元的方法主要有代入消元法和加减消元法，故错误． 2．由方程组消去y后得到的方程是(　　) A．2x2－2x－3＝0 B．2x2－2x＋5＝0 C．2x2＋2x＋1＝0 D．2x2＋2x＋9＝0 B　[由①得y＝x－1，　③ 把③代入②， 得(x－1)2＋x2＋4＝0．整理，得2x2－2x＋5＝0．] 3．二元一次方程组的解集是________． {(3，－2)}　[由解得所以原方程组的解集为{(3，－2)}．] 类型1　二元一次方程组的解集 【例1】　(1)(多选)对于二元一次方程组的解用集合表示正确的为(　　) A．　 B． C．(－1，1) D． (2)我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是(　　) A． C． (3)方程组的解集为________． (1)AD　(2)B　(3){(8，4)}　[(1)方程组的解集为有序数对，列举法表示为，描述法表示为或{(x，y)|(－1，1)}． (2)依题意有 (3)(法一：代入消元法)由①得：y＝12－x，③ 将③代入②得：2x＋12－x＝20， 解这个一元一次方程，得x＝8， 将x＝8代入③，得y＝4， 所以原方程组的解集是{(8，4)}． (法二：加减消元法)②－①得x＝8，代入①得y＝4， 所以原方程组的解集是{(8，4)}．] 　二元一次方程组的解法 (1)用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 ①当方程组中的未知数系数不是1(或－1)时，常选择系数相对较小的未知数，用另一个未知数的代数式表示这个未知数． ②代入时要注意加括号． ③为了检查解答是否正确，可把所得解代入未变形的方程进行口算检验，不必写检验过程． (2)用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 ①将其中一个未知数的系数化为相同(或互为相反数)． ②通过相减(或相加)消去这个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，得到未知数的值． ④将求得的未知数的值代入原方程组中任何一个方程，求得另一个未知数的值． ⑤写出方程组的解． ⑥检验，但不必写出检验过程． (3)选择消元法 根据原题的形式，适当选择消元法．如果原题中有一个方程的某一未知数系数为1，可以选择代入消元法；若原题中将方程适当加减后能消元，则选择加减消元法． [跟进训练] 1．设k∈R，求关于x与y的二元一次方程组的解集． [解]　两式相减，得(2－k)x＝2． 当k≠2时，将x＝代入方程y＝2x＋1，得y＝．此时，原方程组的解集为． 当k＝2时，方程(2－k)x＝2无解，从而原方程组无解，其解集为∅． 类型2　三元一次方程组的解法 【例2】　求三元一次方程组 [思路导引]　利用加减消元法可求出原方程组的解集． [解]　 ①＋②得5x＋2y＝16，④ ③＋②得3x＋4y＝18，⑤ ④×2－⑤，得7x＝14，解得x＝2，代入④式得5×2＋2y＝16，解得y＝3， 将其代入③得z＝1． 所以原方程组的解集为{(2，3，1)}． 　解三元一次方程组的基本步骤 消元 把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，利用代入消元法或加减消元法，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组 求解 解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值 回代 将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一元一次方程 求解 解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值 写解集 把方程组的解用集合表示出来 [跟进训练] 2．求方程组的解集． [解]　①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝10， 即x＋y＋z＝5．④ ④－①，得z＝4； ④－②，得x＝－1； ④－③，得y＝2． 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(－1，2，4)}． 类型3　二元二次方程组的解集 【例3】　求下列方程组的解集． (1) (2) [解]　(1)由①得y＝8－x，③ 把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0． 解得x1＝2，x2＝6． 把x1＝2代入③，得y1＝6． 把x2＝6代入③，得y2＝2． 所以原方程组的解集为{(x，y)|(2，6)，(6，2)}． (2)由①得(x－2y)2＋(x－2y)－2＝0， 解得x－2y＝1或x－2y＝－2， 由得 由得 所以原方程组的解集为． 　解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤 [跟进训练] 3．解方程组 [解]　由①得(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0， 即(x＋y)(x－y－5)＝0， 所以x＋y＝0或x－y－5＝0， 所以原方程组可化为两个方程组： 　 或 用代入法解这两个方程组，解得 或或或 所以原方程组的解集是{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－)}． 类型4　方程组的实际应用 【例4】　某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30 km，20 km，40 km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？ [思路导引]　 题中有三个等量关系：(1)上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km．(2)从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h．(3)从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h． [解]　设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x km，y km和z km． 由题意得 解得 故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下坡路是4 km． 　列方程组解应用题的一般步骤 提醒：(1)一般来说，设几个未知数就应列出几个方程． (2)设未知数及写结论时，都要写清单位名称． [跟进训练] 4．甲、乙两人分别从相距30千米的A，B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度． [解]　设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y千米． ①当甲、乙两人相遇前相距3千米时， 得 解得 ②当甲、乙两人经过3小时相遇后又相距3千米时，得 解得 故甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米或甲的速度为每小时千米，乙的速度为每小时千米． 1．下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1，2}；④(－1，2)；⑤{(－1，2)}；⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．其中能表示方程组的解集的是(　　) A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤ C．②⑤ D．②⑤⑥ C　[方程组的解集为{(－1，2)}， 因此可以表示解集的是②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；⑤{(－1，2)}．] 2．以方程组的解为坐标的点(x，y)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A　[解方程组得 所以点在第一象限．故选A．] 3．《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾六束，减损其中之“实”十八升，与下禾十束之“实”相当；下禾十五束，减损其中之“实”五升，与上禾五束之“实”相当．问上、下禾每束之“实”各为多少升？设上、下禾每束之“实”各为x升和y升，则可列方程组为(　　) A． B． C． D． B　[已知上、下禾每束之“实”分别为x，y升，上禾6束有6x升，减损18升，即(6x－18)升，与下禾10束之“实”相当，即6x－18＝10y，同理有15y－5＝5x，所以方程组为 故选B．] 4．方程组的解集是________． {(－2，－2)，(1，1)}　[ ②＋①，得x2＋x＝2，解得x1＝－2，x2＝1， 把x1＝－2代入①，得y1＝－2， 把x2＝1代入①，得y2＝1， 所以原方程组的解集为{(－2，－2)，(1，1)}．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．求解二元一次方程组、三元一次方程组的基本方法有哪两种？ [提示]　加减消元法与代入消元法． 2．求解二元二次方程组的基本思想与方法是什么？应注意什么问题？ [提示]　求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次．消元后求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一个未知数的值，不能代入二元二次方程，因为这样可能产生增根． 课时分层作业(十二)　方程组的解集 一、选择题 1．已知x，y满足方程组则2x－4y的值是(　　) A．－2　　　B．－1　　　C．1　　　D．2 C　[ ②－①，得2x－4y＝1，故选C．] 2．(多选)方程组的解有(　　) A． B． C． D． AB　[由x2＝1，得x＝±1， 当x＝1时，y2＝1，得y＝±1， 当x＝－1时，y2＝－1，无解． 故方程组的解为或] 3．已知方程组则x＋y的值为(　　) A．－1 B．0 C．2 D．3 D　[ ②×2，得2x＋6y＝10，③ ③－①，得5y＝5，解得y＝1， 把y＝1代入①，得2x＋1＝5， 解得x＝2，所以原方程组的解是 所以x＋y＝2＋1＝3．] 4．若二元一次方程3x－y＝7，2x＋3y＝1，y＝kx－9有公共解，则k的取值为(　　) A．3 B．－3 C．－4 D．4 D　[由得代入y＝kx－9得－1＝2k－9，解得k＝4．故选D．] 5．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元，若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元．现购甲、乙、丙各1件，共需(　　) A．32元 B．33元 C．34元 D．35元 C　[设甲每件x元、乙每件y元、丙每件z元．根据题意列方程组得 ①×3－②×2得x＋y＋z＝34．故选C．] 二、填空题 6．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是和试写出符合要求的方程组________． (答案不唯一)　[由于这两组解都有：xy＝2×3＝6，x－y＝－1， 故可组成方程组为(答案不唯一)．] 7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问：金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相等)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相等)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问：黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为________． [答案]　 8．已知方程组则x∶y∶z＝________． 1∶2∶3　[把z看作已知数，解关于x，y的方程组即可．] 三、解答题 9．(1)阅读下列材料并填空： 对于二元一次方程组我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个二行三列的矩阵，求得的一次方程组的解用矩阵表示为．用矩阵可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白： _____， 从而得到该方程组的解集为________； (2)仿照(1)中矩阵的书写格式写出解方程组的过程． [解]　(1)　{(6，10)} (2) ，所以原方程组的解集为{(0，2)}． 10．小林买了7本数学书和2本语文书共花了100元，小敏买了4本语文书和2本数学书共花了80元，则买2本数学书和1本语文书要花(　　) A．25元 B．30元 C．35元 D．45元 C　[设1本数学书的价格为x元，1本语文书的价格为y元， 根据题意，得解得 2x＋y＝2×10＋15＝35，即买2本数学书和1本语文书要花35元，故选C．] 11．(多选)方程组的解集为{(x1，y1)，(x2，y2)}，若x1＋x2＝－3，则(　　) A．k＝1或k＝ B．y1＋y2＝－3或y1＋y2＝－1 C．y1＋y2＝1或y1＋y2＝3 D．＝12或＝15 AC　[把y＝kx＋2代入x2＋y2＋2x－8＝0，整理得(1＋k2)x2＋(4k＋2)x－4＝0，由条件及根与系数的关系知，x1＋x2＝－＝－3，即3k2－4k＋1＝0，解得k＝1或k＝，故A正确；y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝－3k＋4，所以k＝1或k＝时，y1＋y2＝1或3，故B错误，C正确；因为x1x2＝－， 所以＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋， 则当k＝1或k＝时＝13或＝，故D错误．] 12．小亮解得方程组的解集为{(x，y)|(5，★)}，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，★＝________． －2　[把x＝5代入2x－y＝12得，2×5－y＝12， 解得y＝－2，所以★为－2．] 13．已知关于x，y的方程组给出下列结论： ①是方程组的一组解； ②当k＝时，x，y的值互为相反数； ③若方程组的解也是方程x＋y＝4－k的解，则k＝1． 其中正确的序号是________． ①②　[解方程组得 ①是方程组的一组解，结论正确； ②当k＝时，x＝3k－2＝－2＝－，y＝1－k＝1－＝，x，y的值互为相反数，结论正确； ③∵也是方程x＋y＝4－k的解， ∴x＋y＝3k－2＋1－k＝－1＋2k＝4－k， ∴3k＝5，k＝，结论不正确．] 14．已知x，y满足方程组 (1)甲看了看说：这是二元一次方程组；乙想了想说：这不是二元一次方程组，甲、乙两人的说法正确的是________； (2)求x2＋4y2的值； (3)若已知＝和(2y＋x)2＝x2＋4y2＋4xy，求的值． [解]　(1)乙． (2) ①＋②×2得，7x2＋28y2＝119， 整理得，x2＋4y2＝17． (3)②×3－①×2得，7xy＝14， 解得，xy＝2，则(2y＋x)2＝x2＋4y2＋4xy＝25， ∴2y＋x＝±5， ∴＝＝±． 15．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法： 将方程②变形为4x＋10y＋y＝5，即2(2x＋5y)＋y＝5，③ 将方程①代入③得2×3＋y＝5，∴y＝－1， 将y＝－1代入①得x＝4， ∴方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)已知x，y满足方程组求整式x2＋4y2＋xy的值． [解]　(1)由题知方程组为 将方程②变形为9x－6y＋2y＝19， 即3(3x－2y)＋2y＝19，③ 将方程①代入③得3×5＋2y＝19，解得y＝2， 将y＝2代入①得x＝3， ∴方程组的解为 (2)由题知方程组为 由①得3(x2＋4y2)＝47＋2xy， 即x2＋4y2＝，③ 把方程③代入②得2×＋xy＝36， 解得xy＝2， 将xy＝2代入③得x2＋4y2＝17． ∴x2＋4y2＋xy＝17＋2＝19． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $