1.2 平行线分线段成比例 课件 2026-2027学年湘教版 数学 九年级上册

该初中数学课件围绕“平行线分线段成比例”展开，从梯子示意图中平行线截线段的特殊情况（AB=BC时A₁B₁=B₁C₁）导入，通过证明得出平行线等分定理，再探究一般情况的比例关系，构建从特殊到一般的学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光（几何直观），通过全等证明和面积法推导发展数学思维（推理能力），用符号语言规范表达体现数学语言。例如导入引发猜想，证明用辅助线与全等，例题结合实际应用。帮助学生建立逻辑推理能力，教师可借助清晰脉络提升教学效果。

1.2 平行线分线段成比例 下图是一架梯子的示意图，我们知道AA1，BB1，CC1互相平行，若 AB = BC，你能猜想出什么结果呢？ a b c A1 C1 B1 A1B1=B1C1 思考：如图，已知直线 a∥b∥c，直线 l1，l2 被直线 a，b，c 截得的线段分别为 AB，BC 和A1B1，B1C1，若 AB = BC，则 A1B1 = B1C1 吗？ b c A1 C1 B1 A C B A1B1=B1C1 如何证明呢？ a b c 证明：过点B作直线 l3∥ l2, 分别与直线 a, c 相交于点A2, C2. 在△BAA2 和△BCC2 中， ∠ABA2=∠CBC2，BA=BC， ∠BAA2=∠BCC2， 因此 △BAA2≌△BCC2 . 从而 BA2=BC2，所以 A1B1 = B1C1. 由于 a∥b∥c, l3∥ l2 , 因此由“夹在两平行线间的平行线段相等”可知，A2B=A1B1,BC2 = B1C1. A2 C2 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 几何语言： ∵ a∥b∥c，AB = BC， ∴A1B1 = B1C1. 平行线等分定理 a b c l3 A2 C2 探究：如图, 已知直线 a∥b∥c, 直线 l1,l2被直线 a,b,c截得的线段分别为AB，BC 和A1B1, B1C1,若AB≠BC，则与相等吗？ 任意平移直线c, 与相等吗？ b c a 如图，连接 AB1，B1C，BA1，BC1. b c A1 C1 B1 A C B l1 l2 a 由于△ABB1 底边 AB 上的高、△BCB1 底边 BC 上的高、△ACB1 底边 AC 上的高是同一条高线，因而由三角形的面积计算公式可得，它们的面积比等于底边长之比，即 又由于△A1B1B 底边 A1B1 上的高，△B1C1B 底边 B1C1 上的高、△A1C1B 底边A1C1 上的高也相同，则它们的面积比也等于底边长之比，即 由于△ABB1，△A1B1B 是平行线a，b 之间同底等高的两个三角形，因此 ① 由于△BCB1，△B1C1B 是平行线 b，c 之间同底等高的两个三角形，因此 ② ① + ② 得， 即 b c A1 C1 B1 A C B l1 l2 a 于是 同理可得： 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 以上基本事实简称为平行线分线段成比例. 符号语言： 若 a∥b∥ c ，则 ， ， A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c 例1 如图,已知AA1∥ BB1∥ CC1, AB=2,BC=3,A1B1=1.5,求B1C1的长. 解 :由平行线分线段成比例可知， = ，即 = ， 因此,B1C1= =2.25. A1 C1 B1 A C B 例2 如图，在△ABC 中，已知DE∥ BC, 求证：=，=. 解：过点A作直线MN,使MN∥ DE. ∵ DE∥ BC,∴ MN∥ DE∥ BC. 因此AB,AC 被一组平行线MN,DE,BC所截， 则由平行线分线段成比例可知， ==. A E D B C M N 议一议 如图，直线DE分别为△ABC的边AB,AC的反向延长线相交于E,D两点，则 = 吗？ A E D B C DE∥ BC 分析： △ADE∽△ABC = 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 议一议 如图，直线DE分别为△ABC的边AB,AC的反向延长线相交于E,D两点，则 = 吗？ A E D B C 解：∵DE∥ BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴ = . 平行线分线 段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线所截， 所得的对应线段成比例 推论：平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边延长线），所得的对应线 段成比例 1.如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（　　） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 B 2.如图，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是B，D，F，且AB=1，CD=3，则EF的长是（　　） A． B． C． D． D 3.如图，在中，，为上一点，连接交于点，已知，，，则　 　． 4.如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且.  （1）如果，，，求的长； （2）如果，，求的长. 解：（1）∵，∴，即，解得； （2）∵，∴，即，解得. l1 l2 A B C l1 l2 A B C A1 B1 C1 l1 l2 A B C A1 B1 C1 l1 l2 A B C A1 B1 C1 $