专题03 概率（期末复习讲义）高二数学下学期湘教版

专题03 概率 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 条件概率 题型02 二项分布 题型03 两点分布 题型04 离散型随机变量的分布列 题型05 正态分布 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 条件概率 能准确复述条件概率的定义能熟练使用条件概率公式计算具体事件的概率 能在实际问题中识别条件概率场景区分条件概率与普通概率 以选择填空为主难度中等是概率大题的基础工具 常与独立事件乘法公式结合考查 易错点为忽略的前提或错算分子 事件的独立性 能判断两事件是否独立能利用独立事件概率公式计算乘积型概率 能区分独立与互斥避免概念混淆 高频考点选择填空大题均可能出现 是乘法公式的前提考查复杂分步事件的概率 易错点是把互斥当独立或误写 乘法公式 能熟练运用乘法公式计算分步事件的概率 能结合条件概率进行综合计算处理复杂分步概率 贯穿全章是概率大题的核心工具 期中多以解答题第一问出现考查基础计算能力 易错点为漏乘条件概率或步骤混乱导致计算错误 离散型随机变量及其分布 能识别离散型随机变量能根据实际问题写出分布列 能验证分布列的合法性能根据分布列求某一事件的概率 基础必考点选择填空大题均考 是后续所有随机变量问题的基础 易错点为忽略归一性或漏写概率为0的情况 几个常用的分布 能判断题目属于哪种分布类型能准确写出各类分布的概率公式 能计算分布列中的相关概率区分二项分布与超几何分布 期中绝对重点解答题必考 是概率大题的核心板块 易错点为二项分布参数识别错误或超几何中对应关系混淆 离散型随机变量的数学期望 能根据分布列计算数学期望能利用线性性质简化期望计算 能解决期望类应用题熟记常见分布的期望公式 高频考点大题必考 常与分布列结合是解答题第二问的主流题型 易错点为计算求和时出错或线性性质符号错误 离散型随机变量的方差 能根据分布列计算方差能利用方差公式化简计算 能解决方差最值类综合问题熟记常见分布的方差公式 中高频考点多与期望结合考查 偶尔单独出小题 易错点为公式记忆混淆（如与关系）或计算平方项出错 正态分布 能认识正态曲线的形态能理解μ与σ的意义 能熟记3σ原则的概率值能解决简单的正态分布概率计算 期中考查多为选择填空 难度偏低考查基础概念与数值记忆 易错点为σ的含义理解偏差或3σ概率数值记忆错误 知识点01条件概率 1．条件概率：条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2．概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 3．条件概率的性质：设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P( )＝1－P(B)． 4．全概率公式：在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 5．贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai＝=i＝1，2，…，n. 6.在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率． 知识点02二项分布 1．n重伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 3．二项分布（若有件产品，其中件是次品，有放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服从二项分布的） 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 知识点03两点分布 两点分布：是很简单的一种概率分布，其实验结果只有两种可能，且概率和为1；两点分布列又称分布列或佰努利分布列；两点分布能清晰的反映出事件的正反两面.两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的意见产品是否为正品，新生儿的鉴定，投篮是否命中等.（想象成扔硬币问题） 知识点04超几何分布 一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品数，则事件发生的概率为,其中，且．称分布列 0 1 … … 为超几何分布列．如果随机变量 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 服从超几何分布. 注意：若有件产品，其中件为次品，无放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服出超几何分布. 知识点05正态分布 1．正态曲线及其性质 (1)正态曲线：函数，，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示：　 甲　　　　　　　　　乙 2．正态分布：一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝，则称随机变量X服从正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)． 3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974． 4．3σ原则：通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值． 知识点06离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望． 2．离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3．离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 4.均值与方差的性质 (1)． (2)(为常数)．（3） 5.两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差 (1)若X服从两点分布，则，． (2)若X服从二项分布，即，则． (3)若X服从超几何分布，即时，． 知识点07二项分布之概率最值问题 1.如果，其中，求最大值对应的值. 一般是考察与的大小关系. 因为 所以要使，则.故有 ⑴如果，则时取得最大值. ⑵如果，是不超过的正整数，则当和时，取得最大值. （3）如果是不超过的非整数，则当（注意表示不超过的最大整数）时取得最大值. 2.另法： 题型一 条件概率的计算 解｜题｜技｜巧 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 【典例1】(23-24高二下·广东清远第二中学·)设集合，且，则（    ） A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2 【典例2】(24-25高二上·贵州遵义第四中学·期末)掷两枚质地均匀的骰子各一次，在已知两枚骰子出现的点数不一样的条件下，则两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例3】(24-25高二下·重庆第一中学·期末)语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 【变式1】(24-25高二下·甘肃临夏州·期末)已知两个随机事件，若，，则_______. 【变式2】(24-25高二下·湖南长沙宁乡·期末)银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后的1位数字，则任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率是：（    ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高二下·湖南衡南县第一中学·期末)一个体育队有4名女运动员和3名男运动员，现从队伍抽样尿检，每次从中抽选1个运动员，抽出的运动员不再检查，则在第1次抽到女运动员的条件下，第2次抽到男运动员的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（ ） A． B． C． D． 题型二 全概率公式 解｜题｜技｜巧 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时， 我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω， 且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B 【典例1】(24-25高二下·山东威海·期末)已知随机事件A，B满足，，，则（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【典例2】(24-25高二下·山东菏泽·期末)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．假设发送信号0和1是等可能的，则接收信号为1的概率是________． 【变式1】(24-25高二下·甘肃多校·期末)设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______. 【变式2】(20-21高二下·山东青岛莱西·期末)学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为________． 【变式3】(24-25高二·福建厦门大学附属科技中学·期末)为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为______. 【变式4】(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（    ） A． B． C． D． 【变式5】(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)某仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器，第一、二车间生产电器的产品比例为，已知第一车间的电器次品率为3％，第二车间的电器次品率为8％．今有一客户从电器仓库中随机提一台产品，设此产品是次品的概率为；若此产品是次品，则此次品来自第一车间的概率为，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 题型三 贝叶斯公式 解｜题｜技｜巧 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0，有. 【典例1】(24-25高二上·江西南昌中学三经路校区·期末)托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是__________. 【典例2】某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高三上·广东领航高中联盟·模拟)某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一下·江西宜春某校·期末)某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为______. 【变式3】(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高二下·河北承德·期末)（多选）某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B．顾客最终获得6张优惠券的概率是 C．第二次抽到红球的概率是 D．若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 【变式5】(24-25高二下·广东广州越秀区·期末)有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 题型四 离散型随机变量的分布列 答｜题｜模｜板 第一步：判断取值：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值； 第二步：探求概率：利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式)等，求出随机变量取每个值时的概率； 第三步：写分布列：按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质(概率总和为1)检验所求的分布列是否正确； 第四步：求期望值和方差：利用数学期望和方差的公式分别求期望和方差的值．对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望与方差公式，可加快解题速度． 【典例1】(24-25高二下·甘肃临夏州·期末)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【典例2】(24-25高二下·河北邯郸涉县第一中学·期末)甲、乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题A和B，乙同学做试题C，已知甲同学做对试题A的概率为0.6，做对试题B的概率为0.4，同时做对试题A和B的概率为0.2；乙同学做对试题C的概率为0.6，且甲、乙两名同学做题结果互相不受影响. (1)求甲同学做对试题A没有做对试题B的概率； (2)求甲同学在没有做对试题A的条件下做对试题B的概率； (3)若甲、乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列和数学期望. 【变式1】(24-25高二下·北京大兴区·期末)已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高二下·青海西宁大通县·期末)某位射箭运动员命中目标的环数的分布列为： 6 7 8 9 10 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是（    ） A．0.55 B．0.45 C．0.35 D．0.20 【变式3】(24-25高二下·河南驻马店·期末)已知随机变量等可能取值为（），若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高二下·天津西青区·期末)袋中有3个白球，2个黑球.从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，设取到黑球的个数为X，若不放回抽样时，则_______；若放回抽样时，则_____；(用数字作答) 【变式5】(24-25高二下·新疆喀什疏附县·期末)随机变量 X服从二项分布，则 为（     ） A．2 B．8 C．0.25 D．4 【变式6】24-25高二下·新疆·)已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 【变式7】(24-25高二下·广东江门新会第一中学·期末)（多选）已知离数型随机变量X的分布列如下表所示： X 0 1 2 P 下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式8】(24-25高二下·山东泰安·期末)若随机变量，则当取最大值时，正整数k的值是______. 【变式9】(24-25高二下·天津四校·期末)已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，1个蓝球，这些球除了颜色外完全相同．现从甲、乙两盒中各任取2个球. (1)求取出的4个球颜色相同的概率； (2)求取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率； (3)记取出的4个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望． 题型五 正态分布 解｜题｜技｜巧 1.利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1， 故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ] 内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解 2.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值， 这在统计学中称为3σ原则. 【典例1】(24-25高二下·浙江台州·期末)已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)（多选）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产已经实现1100公斤．现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量（分别记为，）均服从正态分布，其中，．如图，已知，，，，两正态密度曲线在直线左侧交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)若随机变量服从正态分布，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)（多选）已知随机变量，定义函数，即表示随机变量的概率，则（   ） A．函数在定义域上单调递减 B． C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点中心对称 【变式3】（2024高二·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【变式4】（2024高二·全国月考）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 2．(24-25高二下·河北承德·期末)已知随机变量服从分布，且，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)随机变量从二项分布，则等于（      ） A．5 B． C．1 D．0 4．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)随机变量，则的值为（   ） A． B． C．5 D．6 5．(24-25高二下·河北石家庄·期末)以下是某离散型随机变量的分布列，则实数（   ） 0 1 A． B． C．或 D．1 6．（2024高二·山东月考）（多选）关于正态密度曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的峰值为 C．越大，曲线越“矮胖” D．对任意，曲线与轴围成的面积总为1 7．(24-25高二下·福建泉州第一中学等四校联盟·期末)一批产品的一等品率为，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取次，用表示抽到的一等品的件数，若，，则满足条件的的最小值为_____. 8．（2024高三·广东佛山月考）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二下·黑龙江安达三校·期末)随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（    ）． A． B． C． D．以上均不正确 10．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)（多选）甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（   ） A． B． C． D． 11．(24-25高二下·四川德阳高中·)已知某同学第一次投篮命中率为0.6．第一次投篮不中的条件下第二次投篮命中的概率为0.8．第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率为0.5．则该同学第二次投篮不中的概率为（     ） A．0.38 B．0.34 C．0.28 D．0.24 12．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)（多选）已知某工厂甲、乙，丙三个车间同时生产同种元器件：甲、乙、丙车间一天生产的元器件个数分别为600、300、100件，且生产中造成的次品率分别为3%、2%、1%；现在在这三个车间生产的产品中任意取一件产品质检，下列叙述正确的有（   ） A．此件产品是次品的概率为0.02 B．此件产品是次品的概率为0.025 C．此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率是来自于乙车间概率的2倍 D．此件产品是次品的情况下，此件产品来自于丙车间的概率为0.04. 13．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)（多选）小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山.涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为，若小明与父母一起爬山的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．“小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”是相互独立事件 B．小明与父母一起选择乙路线登山的概率为 C．小明选择甲路线登山的概率为 D．已知小明从乙路线登山，则他与父母一起爬山的概率为 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 2．(24-25高二下·广东广州越秀区·期末)有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 3．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏，令甲班同学目测的误差为（单位：），乙班同学目测的误差为（单位：）．根据游戏记录，统计结果为，，，，；，，，， (1)分别列出随机变量、的分布列； (2)哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度？解释你的理由（可以通过观察给出答案，但必需包含必要的计算过程）． 4．(24-25高二下·广东江门新会第一中学·期末)从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差. 5．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)有名学生参加一种选拔“篮球达人”的投篮游戏，规则要求如下： ①第名学生进行第一次投篮，若投篮没有命中，则淘汰，接着让第名学生投篮； ②若第名学生第一次投篮命中，则继续进行第二次投篮，若第二次投篮失败，则淘汰，接着让第名学生投篮；若第k名学生第二次投篮命中，即确认为成功，评为“篮球达人”，且后面所有学生停止比赛，游戏结束； ③若这n名学生按照要求全部参加完比赛，无论是否有人成功，游戏结束； ④每名学生第一次投篮命中率为，第二次投篮命中率为，每次投篮过程相互独立. (1)当时，求有学生评为“篮球达人”的概率； (2)记随机变量为进行了投篮的学生人数，求的分布列； (3)已知，若一名学生第一次投篮失败，记该学生投篮一次；若一名学生第一次投篮命中，无论第二次投篮是否命中，都记该学生投篮2次.求投篮的总次数恰为6次时，游戏结束的概率. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 条件概率 题型02 二项分布 题型03 两点分布 题型04 离散型随机变量的分布列 题型05 正态分布 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 条件概率 能准确复述条件概率的定义能熟练使用条件概率公式计算具体事件的概率 能在实际问题中识别条件概率场景区分条件概率与普通概率 以选择填空为主难度中等是概率大题的基础工具 常与独立事件乘法公式结合考查 易错点为忽略的前提或错算分子 事件的独立性 能判断两事件是否独立能利用独立事件概率公式计算乘积型概率 能区分独立与互斥避免概念混淆 高频考点选择填空大题均可能出现 是乘法公式的前提考查复杂分步事件的概率 易错点是把互斥当独立或误写 乘法公式 能熟练运用乘法公式计算分步事件的概率 能结合条件概率进行综合计算处理复杂分步概率 贯穿全章是概率大题的核心工具 期中多以解答题第一问出现考查基础计算能力 易错点为漏乘条件概率或步骤混乱导致计算错误 离散型随机变量及其分布 能识别离散型随机变量能根据实际问题写出分布列 能验证分布列的合法性能根据分布列求某一事件的概率 基础必考点选择填空大题均考 是后续所有随机变量问题的基础 易错点为忽略归一性或漏写概率为0的情况 几个常用的分布 能判断题目属于哪种分布类型能准确写出各类分布的概率公式 能计算分布列中的相关概率区分二项分布与超几何分布 期中绝对重点解答题必考 是概率大题的核心板块 易错点为二项分布参数识别错误或超几何中对应关系混淆 离散型随机变量的数学期望 能根据分布列计算数学期望能利用线性性质简化期望计算 能解决期望类应用题熟记常见分布的期望公式 高频考点大题必考 常与分布列结合是解答题第二问的主流题型 易错点为计算求和时出错或线性性质符号错误 离散型随机变量的方差 能根据分布列计算方差能利用方差公式化简计算 能解决方差最值类综合问题熟记常见分布的方差公式 中高频考点多与期望结合考查 偶尔单独出小题 易错点为公式记忆混淆（如与关系）或计算平方项出错 正态分布 能认识正态曲线的形态能理解μ与σ的意义 能熟记3σ原则的概率值能解决简单的正态分布概率计算 期中考查多为选择填空 难度偏低考查基础概念与数值记忆 易错点为σ的含义理解偏差或3σ概率数值记忆错误 知识点01条件概率 1．条件概率：条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2．概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 3．条件概率的性质：设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P( )＝1－P(B)． 4．全概率公式：在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 5．贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai＝=i＝1，2，…，n. 6.在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率． 知识点02二项分布 1．n重伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 3．二项分布（若有件产品，其中件是次品，有放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服从二项分布的） 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 知识点03两点分布 两点分布：是很简单的一种概率分布，其实验结果只有两种可能，且概率和为1；两点分布列又称分布列或佰努利分布列；两点分布能清晰的反映出事件的正反两面.两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的意见产品是否为正品，新生儿的鉴定，投篮是否命中等.（想象成扔硬币问题） 知识点04超几何分布 一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品数，则事件发生的概率为,其中，且．称分布列 0 1 … … 为超几何分布列．如果随机变量 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 服从超几何分布. 注意：若有件产品，其中件为次品，无放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服出超几何分布. 知识点05正态分布 1．正态曲线及其性质 (1)正态曲线：函数，，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示：　 甲　　　　　　　　　乙 2．正态分布：一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝，则称随机变量X服从正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)． 3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974． 4．3σ原则：通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值． 知识点06离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望． 2．离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3．离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 4.均值与方差的性质 (1)． (2)(为常数)．（3） 5.两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差 (1)若X服从两点分布，则，． (2)若X服从二项分布，即，则． (3)若X服从超几何分布，即时，． 知识点07二项分布之概率最值问题 1.如果，其中，求最大值对应的值. 一般是考察与的大小关系. 因为 所以要使，则.故有 ⑴如果，则时取得最大值. ⑵如果，是不超过的正整数，则当和时，取得最大值. （3）如果是不超过的非整数，则当（注意表示不超过的最大整数）时取得最大值. 2.另法： 题型一 条件概率的计算 解｜题｜技｜巧 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 【典例1】(23-24高二下·广东清远第二中学·)设集合，且，则（    ） A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2 【答案】A 【详解】因为，，所以，所以，故选：A. 【典例2】(24-25高二上·贵州遵义第四中学·期末)掷两枚质地均匀的骰子各一次，在已知两枚骰子出现的点数不一样的条件下，则两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】掷两枚质地均匀的骰子各一次，共有个基本事件，去掉点数一样的基本事件，得到两枚骰子出现的点数不一样的基本事件还有个，其中两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的基本事件有，共6个，由古典概型可得.故选：A 【典例3】(24-25高二下·重庆第一中学·期末)语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 【答案】D 【详解】设事件A：阅读过《红楼梦》；事件B：阅读过《三国演义》，则，则， 而，即， 故，故，即现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为0.75，故选：D 【变式1】(24-25高二下·甘肃临夏州·期末)已知两个随机事件，若，，则_______. 【答案】 【详解】，.故答案为：. 【变式2】(24-25高二下·湖南长沙宁乡·期末)银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后的1位数字，则任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率是：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设为“第次按对密码”，事件为“任意按最后1位数字，不超过2次就按对”，则，事件互斥，所以,故选：C. 【变式3】(24-25高二下·湖南衡南县第一中学·期末)一个体育队有4名女运动员和3名男运动员，现从队伍抽样尿检，每次从中抽选1个运动员，抽出的运动员不再检查，则在第1次抽到女运动员的条件下，第2次抽到男运动员的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】用事件表示“第1次抽到女运动员”，事件表示“第2次抽到男运动员”，第1次抽到女运动员包括第1次女第2次男：种，两次均为女种，共种，从所有运动员中依次取2名共有种，则，，则，则在第1次抽到女运动员的条件下，第2次抽到男运动员的概率为.故选：C 【变式4】(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件为“从箱子中任取两球均为红色”， 事件为“从箱子中任取两球至少有一球为红色”． 则由题意知， ,，所求概率为.故选：B． 题型二 全概率公式 解｜题｜技｜巧 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时， 我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω， 且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B 【典例1】(24-25高二下·山东威海·期末)已知随机事件A，B满足，，，则（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【详解】随机事件A，B满足，，则，又， 则.故选：C. 【典例2】(24-25高二下·山东菏泽·期末)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．假设发送信号0和1是等可能的，则接收信号为1的概率是________． 【答案】0.55 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”．由题意得，，，，， ．故选：0.55. 【变式1】(24-25高二下·甘肃多校·期末)设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______. 【答案】/0.5 【详解】由，得；由，得，而，由，得，即，解得.故答案为： 【变式2】(20-21高二下·山东青岛莱西·期末)学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为________． 【答案】/ 【详解】学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为.刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为．故答案为： 【变式3】(24-25高二·福建厦门大学附属科技中学·期末)为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为______. 【答案】 【详解】记事件为“第1球投进”，事件为“第2球投进”，，，， 由全概率公式可得.故答案为：. 【变式4】(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是，其中高一、高二、高三年级人数比为，根据全概率公式可得：全校“优秀率”为.故选：C. 【变式5】(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)某仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器，第一、二车间生产电器的产品比例为，已知第一车间的电器次品率为3％，第二车间的电器次品率为8％．今有一客户从电器仓库中随机提一台产品，设此产品是次品的概率为；若此产品是次品，则此次品来自第一车间的概率为，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】依题意，由全概率公式得，由条件概率公式得.故选：D 题型三 贝叶斯公式 解｜题｜技｜巧 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω， 且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0， 有 【典例1】(24-25高二上·江西南昌中学三经路校区·期末)托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是__________. 【答案】 【详解】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”， 则，且，，两两互斥． 根据题意得：，，，，，. 由全概率公式得： ，“如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”， 所以由贝叶斯公式得：.故答案为：. 【典例2】某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，则，，故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为. 故选：B. 【变式1】(25-26高三上·广东领航高中联盟·模拟)某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示， 则. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 所以.故选:B. 【变式2】(24-25高一下·江西宜春某校·期末)某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为______. 【答案】 【详解】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，由题知，，，又，所以， 又.故答案为：. 【变式3】(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件B，易知，，所以，所以．故选：A． 【变式4】(24-25高二下·河北承德·期末)（多选）某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B．顾客最终获得6张优惠券的概率是 C．第二次抽到红球的概率是 D．若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 【答案】AD 【详解】A：在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄色的球为1个，所以抽到黄球的概率为，故A正确；B：顾客最终获得6张优惠券顾客需要抽到2个绿球，则第一次抽到绿球的概率为，第二次在绿盒中抽到绿球的概率为，所以顾客最终获得6张优惠券的概率为，故B错误；C：设第一次从红盒中抽到红球为事件，第一次从红盒中抽到黄球为事件，第一次从红盒中抽到绿球为事件，第二次从红盒抽到红球为事件，第二次从黄盒抽到红球为事件，第二次从绿盒抽到红球为事件，设第二次抽到红球为事件，则，，，，，，所以，故C错误； D：第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为，故D正确.故选：AD. 【变式5】(24-25高二下·广东广州越秀区·期末)有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 【详解】（1）利用全概率公式可知，任取一个零件，它是次品的概率为：； （2）利用贝叶斯公式可知， 如果取到的零件是次品，该次品来自第1台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第3台车床的概率为： 通过比较，如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率最大. 题型四 离散型随机变量的分布列 答｜题｜模｜板 第一步：判断取值：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值； 第二步：探求概率：利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式)等，求出随机变量取每个值时的概率； 第三步：写分布列：按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质(概率总和为1)检验所求的分布列是否正确； 第四步：求期望值和方差：利用数学期望和方差的公式分别求期望和方差的值．对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望与方差公式，可加快解题速度． 【典例1】(24-25高二下·甘肃临夏州·期末)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】A 【详解】由题可得.故选：A 【典例2】(24-25高二下·河北邯郸涉县第一中学·期末)甲、乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题A和B，乙同学做试题C，已知甲同学做对试题A的概率为0.6，做对试题B的概率为0.4，同时做对试题A和B的概率为0.2；乙同学做对试题C的概率为0.6，且甲、乙两名同学做题结果互相不受影响. (1)求甲同学做对试题A没有做对试题B的概率； (2)求甲同学在没有做对试题A的条件下做对试题B的概率； (3)若甲、乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列和数学期望. 【详解】（1）设甲同学做对试题为事件，甲同学做对试题为事件， 由题设可知，所以. （2）由题设可知，，，，， 又，所以，故. （3）根据题意，， 分析可得，1，2，3， ，， ，， 可得的分布列为 0 1 2 3 0.08 0.36 0.44 0.12 数学期望. 【变式1】(24-25高二下·北京大兴区·期末)已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】任取三次灯泡所对应的事件总数为，而直到取出2个正品为止，要想取出的次数为次， 只需前面两次取出一正品一次品且第三次取出正品即可，对应的事件个数为， 所以.故选：C 【变式2】(24-25高二下·青海西宁大通县·期末)某位射箭运动员命中目标的环数的分布列为： 6 7 8 9 10 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是（    ） A．0.55 B．0.45 C．0.35 D．0.20 【答案】A 【详解】若射手射击一次为优秀，则他射中的环数为9，10环，其概率为，故他射击一次为优秀的概率是0.55.故选：A. 【变式3】(24-25高二下·河南驻马店·期末)已知随机变量等可能取值为（），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意可得，， 所以，解得.故选：C. 【变式4】(24-25高二下·天津西青区·期末)袋中有3个白球，2个黑球.从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，设取到黑球的个数为X，若不放回抽样时，则_______；若放回抽样时，则_____；(用数字作答) 【答案】 / / 【详解】若不放回抽样，所以；若放回抽样时，则每次抽到黑球的概率均为，所以.故答案为：；. 【变式5】(24-25高二下·新疆喀什疏附县·期末)随机变量 X服从二项分布，则 为（     ） A．2 B．8 C．0.25 D．4 【答案】A 【详解】因为随机变量 X服从二项分布，所以.故选：A. 【变式6】24-25高二下·新疆·)已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 【答案】A 【详解】由题意可得，故选：A. 【变式7】(24-25高二下·广东江门新会第一中学·期末)（多选）已知离数型随机变量X的分布列如下表所示： X 0 1 2 P 下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】根据分布列的性质可知，解得或，因为，所以，故A错误，B正确；根据期公式可得，故C正确；根据方差公式可得：，故D正确．故选：. 【变式8】(24-25高二下·山东泰安·期末)若随机变量，则当取最大值时，正整数k的值是______. 【答案】4 【详解】由题意，当取最大值时，，即，其中， 化简得，解得，所以取最大值时，.故答案为：4. 【变式9】(24-25高二下·天津四校·期末)已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，1个蓝球，这些球除了颜色外完全相同．现从甲、乙两盒中各任取2个球. (1)求取出的4个球颜色相同的概率； (2)求取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率； (3)记取出的4个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望． 【详解】（1）记事件A表示“取出的4个球颜色相同”. 因为从甲、乙两盒中各任取2个球，不同的取法有种， 取出的4个球颜色相同指的是从甲、乙两盒中各任取2个红球，不同的取法有种 则，所以取出的4个球颜色相同的概率为． （2）记事件B表示“取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球”， 则事件B包含两种情况：从甲盒中取出2个红球，从乙盒中取出1个红球和1个蓝球；从甲盒中取出1个红球和1个蓝球，从乙盒中取出2个红球，不同的取法有种， 所以 所以取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率为． （3）根据题意可得：X的可能取值为1，2，3，4， ，，，. 所以X的分布列为： X 1 2 3 4 P ∴ 题型五 正态分布 解｜题｜技｜巧 1.利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1， 故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ] 内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解 2.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值， 这在统计学中称为3σ原则. 【典例1】(24-25高二下·浙江台州·期末)已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为随机变量服从正态分布，且，故，的值不确定.故选：D. 【典例2】(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)（多选）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产已经实现1100公斤．现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量（分别记为，）均服从正态分布，其中，．如图，已知，，，，两正态密度曲线在直线左侧交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由图可知，故A错误；由图可知，故B正确；∵，，由图可知，，故C正确；，，，，，，根据正态分布曲线的性质，根据原则，应该有，故D不正确.故选：BC. 【变式1】(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)若随机变量服从正态分布，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由随机变量服从正态分布，可得正态分布的对称轴为， 对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以A正确； 对于B中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以B不正确； 对于C中，根据正态分布曲线的对称性，可得， 且，其中， 所以，所以C不正确； 对于D中，由，又由， 因为，所以，所以D错误. 故选：A 【变式2】(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)（多选）已知随机变量，定义函数，即表示随机变量的概率，则（   ） A．函数在定义域上单调递减 B． C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点中心对称 【答案】BD 【详解】根据正态分布的性质，函数定义域上单调递增，A错误；因为随机变量，则，B正确；若函数的图象关于直线对称，则，而，只有当时才成立，C错误；若的图象关于点中心对称，则，因为服从正态分布，所以关于对称， 所以，则， 故D正确.故选：BD 【变式3】（2024高二·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【答案】C 【详解】依题意，所以平均数为，方差为，所以AB选项正确. 依题意， 而，即，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：C 【变式4】（2024高二·全国月考）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【解析】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，因为，所以根据对立事件概率公式可得.又，所以.因此事件与事件不独立，选项A错误.对于选项B，根据条件概率公式，已知，，将其代入公式可得，，选项B错误.对于选项C，因为，且与互斥，所以.由选项B可知，又，则，选项C正确.对于选项D，已知，根据对立事件概率公式可得.由选项B可知，所以，选项D错误.故选：C. 2．(24-25高二下·河北承德·期末)已知随机变量服从分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】且，解得.故选：D 3．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)随机变量从二项分布，则等于（      ） A．5 B． C．1 D．0 【答案】A 【详解】因为随机变量服从二项分布，所以.故选：A. 4．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)随机变量，则的值为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】由于，故，则.选：C 5．(24-25高二下·河北石家庄·期末)以下是某离散型随机变量的分布列，则实数（   ） 0 1 A． B． C．或 D．1 【答案】C 【详解】根据分布列的性质可知：，或，故选：C 6．（2024高二·山东月考）（多选）关于正态密度曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的峰值为 C．越大，曲线越“矮胖” D．对任意，曲线与轴围成的面积总为1 【答案】ACD 【解析】对于A，根据正态密度曲线可知，，，故，所以曲线关于直线对称正确；对于B，当时，的峰值为，故不正确；对于C，当越大时，的峰值越小，所以曲线形状“矮胖”，故正确；对于D，由正态曲线的特点知，曲线与轴围成的面积总为1，故正确.故选：ACD 7．(24-25高二下·福建泉州第一中学等四校联盟·期末)一批产品的一等品率为，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取次，用表示抽到的一等品的件数，若，，则满足条件的的最小值为_____. 【答案】9 【详解】已知，则，，又，， 所以是9的倍数，的最小值为9.故答案为：9. 8．（2024高三·广东佛山月考）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误；对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量， 所以，所以B错误；对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积，所以，所以C正确；对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，，即，所以D错误.故选：C. 9．(24-25高二下·黑龙江安达三校·期末)随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（    ）． A． B． C． D．以上均不正确 【答案】D 【详解】随机变量的分布列为，则，解得，故AB正确；又，C正确；故D错误.故选D. 10．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)（多选）甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因在操作前，甲袋中：1红2白，乙袋中：1红2白.对于A项，要求，则1次操作后甲、乙两个口袋中各取一个红球或各取一个白球即可，则，故A项正确；对于B项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球且3次操作后甲口袋中恰有2个红球，所以，故B项正确；对于C项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球，或1次操作后甲口袋中恰有1个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球，或1次操作后甲口袋中恰有2个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球，所以，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球，所以，则，故C错误；对于D项，由，，， 所以，故D项正确．故选：ABD． 11．(24-25高二下·四川德阳高中·)已知某同学第一次投篮命中率为0.6．第一次投篮不中的条件下第二次投篮命中的概率为0.8．第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率为0.5．则该同学第二次投篮不中的概率为（     ） A．0.38 B．0.34 C．0.28 D．0.24 【答案】A 【详解】第二次命中的概率为,所以第二次投篮不中的概率为． 12．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)（多选）已知某工厂甲、乙，丙三个车间同时生产同种元器件：甲、乙、丙车间一天生产的元器件个数分别为600、300、100件，且生产中造成的次品率分别为3%、2%、1%；现在在这三个车间生产的产品中任意取一件产品质检，下列叙述正确的有（   ） A．此件产品是次品的概率为0.02 B．此件产品是次品的概率为0.025 C．此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率是来自于乙车间概率的2倍 D．此件产品是次品的情况下，此件产品来自于丙车间的概率为0.04. 【答案】BD 【详解】对于AB，该产品是次品的概率为， A错误，B正确；对于C，此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率，来自于乙车间的概率，则，C错误；对于D，此件产品是次品的情况下，来自于丙车间的概率，D正确. 故选：BD 13．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)（多选）小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山.涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为，若小明与父母一起爬山的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．“小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”是相互独立事件 B．小明与父母一起选择乙路线登山的概率为 C．小明选择甲路线登山的概率为 D．已知小明从乙路线登山，则他与父母一起爬山的概率为 【答案】BC 【详解】设“小明与父母一起爬山”，“选择甲路线”，则“小明不与父母一起爬山”，“选择乙路线”，，，，，， 对于A选项，，，根据全概率公式可得，，， “小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”不是相互独立事件，故A错误；对于B选项，小明与父母一起选择乙路线登山为，，，， 即小明与父母一起选择乙路线登山的概率为，故B正确；对于C选项，由A选项的解析可知，即小明选择甲路线登山的概率为，故C正确； 对于D选项，已知小明从乙路线登山，求他与父母一起爬山的概率，即求，，，根据条件概率公式可得，，再根据贝叶斯公式可得，，故D错误.故选：BC. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 【详解】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，，， 由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是乙厂生产的概率为. 2．(24-25高二下·广东广州越秀区·期末)有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 【详解】（1）利用全概率公式可知，任取一个零件，它是次品的概率为： ； （2）利用贝叶斯公式可知， 如果取到的零件是次品，该次品来自第1台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第3台车床的概率为： 通过比较，如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率最大. 3．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏，令甲班同学目测的误差为（单位：），乙班同学目测的误差为（单位：）．根据游戏记录，统计结果为，，，，；，，，， (1)分别列出随机变量、的分布列； (2)哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度？解释你的理由（可以通过观察给出答案，但必需包含必要的计算过程）． 【详解】（1）根据已知条件，的分布列是： 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 的分布列是： 0 1 2 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 （2）直观观察的分布离散程度较大，所以乙班目测的数据更接近教科书的真实长度． 由（1）知，，， ，， 即要通过两个班数据的方差比较，说明哪个班更接近教科书的真实长度． 所以，， ， 则，故乙班的情况波动情况小， 所以，乙班目测的数据更接近教科书的真实长度． 4．(24-25高二下·广东江门新会第一中学·期末)从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差. 【详解】（1）由题意知，的值为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P ； （2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，1，2，3，且， ， 的分布列为： 0 1 2 3 P . 5．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)有名学生参加一种选拔“篮球达人”的投篮游戏，规则要求如下： ①第名学生进行第一次投篮，若投篮没有命中，则淘汰，接着让第名学生投篮； ②若第名学生第一次投篮命中，则继续进行第二次投篮，若第二次投篮失败，则淘汰，接着让第名学生投篮；若第k名学生第二次投篮命中，即确认为成功，评为“篮球达人”，且后面所有学生停止比赛，游戏结束； ③若这n名学生按照要求全部参加完比赛，无论是否有人成功，游戏结束； ④每名学生第一次投篮命中率为，第二次投篮命中率为，每次投篮过程相互独立. (1)当时，求有学生评为“篮球达人”的概率； (2)记随机变量为进行了投篮的学生人数，求的分布列； (3)已知，若一名学生第一次投篮失败，记该学生投篮一次；若一名学生第一次投篮命中，无论第二次投篮是否命中，都记该学生投篮2次.求投篮的总次数恰为6次时，游戏结束的概率. 【详解】（1）当时有学生评为“篮球达人”分为三种情况： 第一位同学通过选拔，第一位同学第一次投篮失败且第二位同学通过选拔，第一位同学第一次投篮成功但第二次投篮失败且第二位同学通过选拔，三种情况概率为：. （2）依题意，随机变量的取值为.设单名学生评为“篮球达人”的概率为，则，单名学生被淘汰的概率为，则，，其中，，的分布列为 1 2 3 … （3）由于投篮的总次数恰为6次，，故最后一名同学必定连续投入两个球，获得“篮球达人”称号.故前4次投篮没有同学两次连续投进，最后一名同学两次均投中.故前4次每个人投篮的结果只有两种：结果一：“第一投没进”，其概率为.结果二：“第一投进，第二投没进”，其概率为. 设结果一有个，结果二有个，则. 解得，或，或，. 当，时，排列方法只有1种，对应的概率为， 当，时，排列方法有，对应的概率为， 当，时，排列方法有1种，对应的概率为. 则投篮的总次数恰为6次时，游戏结束的概率为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $