第2章空间向量与立体几何讲义-2024-2025学年高二下学期数学期末复习

2025高二下学期期末数学复习讲义 第2章 空间向量与立体几何 【附2024福建各地期末试题】 【知识点1】空间直角坐标系的建立及坐标表示 1.空间直角坐标系的建立 在空间中选定一点O和一个单位正交基底。 如图，以O为原点，分别以的方向为正方向，以它们的单位长度建立三条坐标轴：。这时我们建立了一个空间直角坐标系,O叫做原点， 都叫做坐标向量。通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称平面、平面、平面。三个平面将空间分成8部分。 2.空间直角坐标系中的点的坐标： 在空间直角坐标系O xyz 中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组 (x, y, z) ， 使，有序实数组(x, y, z) 叫作向量在空间直角坐标系O xyz 中的坐标，记作 A(x, y, z) ， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标 3.空间直角坐标系中的向量的坐标： 如图给定空间直角坐标系和向量 ，设 (单位正交基底) 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组 ，使 ，有序实数组叫作 向量在空间直角坐标系O xyz 中的坐标，记作 。 【真题速递】 1．（2024·漳州）点关于平面的对称点坐标为 . 【知识点2】空间向量常用公式 (1)空间向量的坐标（有向线段）： 若,则 (2)空间向量的运算、模、数量积、夹角余弦、投影向量等 若 ①加法： ②减法： ③数乘： ④模： ⑤两点间的距离： ⑥共线（平行）： ⑦垂直： ⑧数量积： ⑨夹角余弦： ⑩向量上的投影长、投影向量 投影长： 投影向量： (3)空间向量的运算律 【真题速递】 1．（2024·漳州）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【知识点3】共面向量定理 设是空间中不共线的两个向量，则空间中的向量与共面的充要条件：存在实数 【真题速递】 1．（2024·厦门）在四面体中，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·漳州）已知向量，，若，，三个向量共面，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·莆田）在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．（2024·莆田）斜三棱柱中，设，，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·莆田）已知向量，若，，三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．3 6．（2024·宁德）在标准正交基下，已知向量，则在上的投影等于（    ） A． B． C． D． 7．（2024·宁德）已知向量，，若∥，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 8．（2024·龙岩）在三棱锥中，D是的中点，E是的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·宁德）四棱锥的底面是平行四边形，且，若则 ． 【知识点4】用空间向量求解立体几何问题 (1)直线的方向向量及平面的法向量 1 直线的方向向量 把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量 。 2 平面的法向量 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量。 (2)在空间求平面的法向量的方法 1)直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。 2）待定系数法 1 求出平面内的两个不共线向量和 2 设法向量,由 解关于的三元一次方程组 3 对中的一个变量赋值，求另外两个变量，即可求得法向量 (3)空间线面位置关系的判定:证垂直、平行 设空间两条直线的方向向量分别为,,两个平面的法向量分别为， 1）证垂直 ①证明线线垂直： ②证明线面垂直 ③证明面面垂直 2）证平行 ①证明线线平行或重合： ②证明线面平行或线在面内 ③证明面面平行或面面重合 (4)求角度 ①线线角 设两条异面直线与所成角为，它们的方向向量分别为，设所成的角为,则： ②线面角 设直线与平面所成角为的一个方向向量分别为 平面的一个法向量为，设所成的角为,则： ③面面角 设平面与平面所成角为 平面与平面的法向量分别为，设所成的角为,则： (5)求距离 ①点到直线的距离/两平行线间的距离 ②点到平面的距离 ③两平行平面的距离 【真题速递】 1．（2024·厦门）在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·龙岩）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·漳州）如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则下列正确的有（    ） A． B．直线与直线所成角的余弦值为 C．平面与平面所成角的余弦值为 D．当时，动点到平面的距离的最小值为1 4．（2024·莆田）是棱长为2的正方体表面上一点，则（    ） A．当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．设是的中点，若，则线段长度的最大值为 D．若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 5．（2024·龙岩）已知正方体棱长为1，动点M满足，则（    ） A．当，时，直线⊥平面 B．当，，时，点M到直线的距离为 C．当，，时，的值可能为 D．当且时，点M的轨迹长度为 6．（2024·莆田）已知，，三点，则到直线的距离为 . 7．（2024·龙岩）已知直三棱柱，，，E为侧棱的中点，过E作平面与平面垂直，当平面与该直三棱柱所成截面为三角形时，顶点与该截面构成的三棱锥体积的最小值为 . 8．（2024·漳州）如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为正方形，，，，平面平面.    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的交线为， （i）作出交线（需要写出必要的作图步骤，保留作图痕迹，无需证明）； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 9．（2024·莆田）如图，在四棱锥中，，，，，，为等边三角形. (1)若为的中点，求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 10．（2024·宁德）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，为的中点，点在线段上运动.    (1)线段上是否存在点，满足∥平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由； (2)当直线与平面所成的角最大时，求线段的长度. 11．（2024·龙岩）如图，已知平行四边形，点E为的中点，，.将沿折起，使点D到达点P的位置，且与夹角的余弦值为. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 第8页，共9页 第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高二下学期期末数学复习讲义 第2章 空间向量与立体几何 【附2024福建各地期末试题】 【知识点1】空间直角坐标系的建立及坐标表示 1.空间直角坐标系的建立 在空间中选定一点O和一个单位正交基底。 如图，以O为原点，分别以的方向为正方向，以它们的单位长度建立三条坐标轴：。这时我们建立了一个空间直角坐标系,O叫做原点， 都叫做坐标向量。通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称平面、平面、平面。三个平面将空间分成8部分。 2.空间直角坐标系中的点的坐标： 在空间直角坐标系O xyz 中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组 (x, y, z) ， 使，有序实数组(x, y, z) 叫作向量在空间直角坐标系O xyz 中的坐标，记作 A(x, y, z) ， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标 3.空间直角坐标系中的向量的坐标： 如图给定空间直角坐标系和向量 ，设 (单位正交基底) 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组 ，使 ，有序实数组叫作 向量在空间直角坐标系O xyz 中的坐标，记作 。 【真题速递】 1．（2024·漳州）点关于平面的对称点坐标为 . 【答案】 【解析】求一个点关于平面的对称点坐标，就是将轴的分量取相反数，而轴和轴的分量不变. 故点关于平面的对称点坐标就是. 故答案为：. 【知识点2】空间向量常用公式 (1)空间向量的坐标（有向线段）： 若,则 (2)空间向量的运算、模、数量积、夹角余弦、投影向量等 若 ①加法： ②减法： ③数乘： ④模： ⑤两点间的距离： ⑥共线（平行）： ⑦垂直： ⑧数量积： ⑨夹角余弦： ⑩向量上的投影长、投影向量 投影长： 投影向量： (3)空间向量的运算律 【真题速递】 1．（2024·漳州）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点， 所以， 则 ， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 的取值范围是. 故选：A. 【知识点3】共面向量定理 设是空间中不共线的两个向量，则空间中的向量与共面的充要条件：存在实数 【真题速递】 1．（2024·厦门）在四面体中，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，，令为与所成夹角， 则 . 故选：A 2．（2024·漳州）已知向量，，若，，三个向量共面，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为 所以与不共线， 所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：B 3．（2024·莆田）在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的交点，   ，，，，，， 设三棱锥外接球的半径为，，则， ， ， ，，， ，， ， 所以， 当时，取得最大值. 故选：C 4．（2024·莆田）斜三棱柱中，设，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 . 故选：A. 5．（2024·莆田）已知向量，若，，三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，，三点共线，则，又向量， 所以，解得， 故选：B. 6．（2024·宁德）在标准正交基下，已知向量，则在上的投影等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以， 又因为， 所以， 所以在上的投影为. 故选：D. 7．（2024·宁德）已知向量，，若∥，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为向量，，∥， 所以，得. 故选：C 8．（2024·龙岩）在三棱锥中，D是的中点，E是的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，. 故选：C 9．（2024·宁德）四棱锥的底面是平行四边形，且，若则 ． 【答案】/ 【解析】 如图，由于，则运用三点共线的向量表达式可以得到，． 即 则，则. 故答案为：. 【知识点4】用空间向量求解立体几何问题 (1)直线的方向向量及平面的法向量 1 直线的方向向量 把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量 。 2 平面的法向量 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量。 (2)在空间求平面的法向量的方法 1)直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。 2）待定系数法 1 求出平面内的两个不共线向量和 2 设法向量,由 解关于的三元一次方程组 3 对中的一个变量赋值，求另外两个变量，即可求得法向量 (3)空间线面位置关系的判定:证垂直、平行 设空间两条直线的方向向量分别为,,两个平面的法向量分别为， 1）证垂直 ①证明线线垂直： ②证明线面垂直 ③证明面面垂直 2）证平行 ①证明线线平行或重合： ②证明线面平行或线在面内 ③证明面面平行或面面重合 (4)求角度 ①线线角 设两条异面直线与所成角为，它们的方向向量分别为，设所成的角为,则： ②线面角 设直线与平面所成角为的一个方向向量分别为 平面的一个法向量为，设所成的角为,则： ③面面角 设平面与平面所成角为 平面与平面的法向量分别为，设所成的角为,则： (5)求距离 ①点到直线的距离/两平行线间的距离 ②点到平面的距离 ③两平行平面的距离 【真题速递】 1．（2024·厦门）在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 由，，得，则，令，得， 所以点到平面的距离. 故选：D 2．（2024·龙岩）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取中点为，连接，，， 又侧面底面，侧面底面，面， 底面， ，，，连接，则. 如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ，设平面的法向量为，则，可取， ， 设直线与平面所成角为，， ， 直线与平面所成角的正切值为. 故选：. 3．（2024·漳州）如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则下列正确的有（    ） A． B．直线与直线所成角的余弦值为 C．平面与平面所成角的余弦值为 D．当时，动点到平面的距离的最小值为1 【答案】ACD 【解析】对A，由平面，平面，得，又由正方形可得，又平面，所以平面， 由平面，可得，故A正确； 如图，建立空间直角坐标系， 则， 设是平面的法向量，， 由，令，可得， ， ，解得，即， 对B，，，故B错误； 对C，平面的法向量，平面的法向量， 则，故C正确； 对D，由知，在以为球心，半径为1的球面上，， 球心到平面的距离， 到平面的距离的最小值为，故D正确. 故选：ACD 4．（2024·莆田）是棱长为2的正方体表面上一点，则（    ） A．当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．设是的中点，若，则线段长度的最大值为 D．若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】对于选项A，如图1，连接，因为，易知平面即平面， 过作于，因为面，面， 所以，又，面，所以面， 又的面积为定值，而随着的变化而变化，所以三棱锥的体积不为定值，所以选项A错误， 对于选项B，如图2，建立空间直角坐标系，因为正方形的棱长为2， 则，设，， 又，， 设与所成的角为， 则， 当时，，此时， 当时，令，， 又，得到，所以，得到， 故，所以选项B正确， 对于选项C，如图3，取的中点， 连接， 易知，所以与确定唯一平面， 由正方体性质知与相交，所以， 连接，易知，又，，面， 所以面，又面，所以，同理可得， 又，所以面， 因为，所以，故面，又是正方体表面上一点，故在正六边形的边上运动， 由对称性知，当与重合时，线段长度最大，最大值为，所以选项C正确， 对于选项D，因为直线与平面所成的角为， 若点在平面内，如图4，过，连接，则为直线与平面所成的角， 由题知，则，显然只有与重合符合题意， 同理可知若点在平面内，与重合符合题意， 又因为面，得直线与所成的角为， 若点在平面内时，点的轨迹是，此时轨迹长为， 若点在平面内时，点的轨迹是，此时轨迹长为， 若点在平面时，作面，连接，如图4所示， 因为，所以，又，所以， 得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一的圆，此时轨迹长为， 所以点的轨迹长度为，故选项D正确， 故选：BCD. 5．（2024·龙岩）已知正方体棱长为1，动点M满足，则（    ） A．当，时，直线⊥平面 B．当，，时，点M到直线的距离为 C．当，，时，的值可能为 D．当且时，点M的轨迹长度为 【答案】BD 【解析】A选项，当，，此时点为的中点， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 由于，， 故， 故与不垂直，故直线与平面不垂直，A错误； B选项，当，，时， ， 设，则，解得， 故，， 又，故， 故点M到直线的距离为，B正确； C选项，当，，时， ， 设，则，解得， 故， 其中，故， 故 ， 如图所示，， 显然当三点共线时，取得最小值， 最小值为， 则的最小值为， 当且仅当，即时，等号成立， 故的值不可能为，C错误； D选项，当时， ， 故，即， 故点在平面上， 连接，交平面于点，则， 因为， ， 故⊥，且⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 且， 又，故， 故点M的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 故轨迹长度为，D正确. 故选：BD 6．（2024·莆田）已知，，三点，则到直线的距离为 . 【答案】/ 【解析】因为，，所以， 得到， 所以到直线的距离为， 故答案为：. 7．（2024·龙岩）已知直三棱柱，，，E为侧棱的中点，过E作平面与平面垂直，当平面与该直三棱柱所成截面为三角形时，顶点与该截面构成的三棱锥体积的最小值为 . 【答案】 【解析】分别以所在直线为轴，轴，轴 则 ， 设平面的法向量， 则，得， 设平面，与平面交于点， 则，点，由，得，即， 当平面经过直线并绕着直线旋转时， 平面与平面的交线绕着点旋转， 当交线与线段，都相交时，与正方体所成截面为三角形， 令平面与平面的交线交于点，交于点， 设，， 则， ， 由三点共线，得，， 所以，因此，所以 故答案为：. 8．（2024·漳州）如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为正方形，，，，平面平面.    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的交线为， （i）作出交线（需要写出必要的作图步骤，保留作图痕迹，无需证明）； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）如图，    在上取点，使，连接，， 因为，所以， 所以，且， 又在正方形中，， 所以，， 又在三棱台中，， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）（i）延长和交于一点，连接，如图，    则直线即为平面与平面的交线. （ii）由平面平面，平面平面，， 平面， 所以平面，又，所以，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，， ， 又因为，，所以在中，， 所以， ， 取直线的方向向量为， 设平面的法向量为， 由得，取， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 9．（2024·莆田）如图，在四棱锥中，，，，，，为等边三角形. (1)若为的中点，求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【解析】（1）取中点，连接， 因为为的中点，所以且，又且， 所以且，所以是平行四边形， 得到，又面，面，所以平面. （2）过作于，因为，，，， 所以，又为等边三角形，所以， 又，所以，得到， 又，，面， 所以面， 又面，所以面面， 取中点，连接，则，又面面，面面，面，所以面， 过作，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，， 知， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由，得到，取，得到，所以， 设平面的一个法向量为， 由，得到，取，得到，所以， 设二面角的平面角为，， 因为， 所以. 10．（2024·宁德）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，为的中点，点在线段上运动.    (1)线段上是否存在点，满足∥平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由； (2)当直线与平面所成的角最大时，求线段的长度. 【解析】（1）存在符合题意的点，此时点为线段的中点. 底面为正方形， 也为线段的中点， 又为的中点，则为的中位线， . 又平面， 平面， 平面， 此时.    （2）如图，以为原点，分别以的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，则，， 设平面的一个法向量为, 则，即, 令，则，即， 因为点在线段上运动，可设,则, 设直线与平面所成角为, 则， 所以. 设，则, 因为当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减, 所以当时，取得最大值，即取得最大值, 又时，函数单调递增. 所以直线与平面所成角最大时，线段的长度为.    11．（2024·龙岩）如图，已知平行四边形，点E为的中点，，.将沿折起，使点D到达点P的位置，且与夹角的余弦值为. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【解析】（1） 取中点，连结，，由于是中点，可知， 所以为等边三角形，即， 又因为与夹角的余弦值为，， 所以与的夹角就是，即， 由余弦定理得：， 所以，即， 因为，所以， 又因为平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，所以， 因为四边形为平行四边形，且为等边三角形，所以． 因为为的中点，则，所以为等腰三角形， 可得，，即. 取的中点，则，所以， 以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，， 可得，，设是平面的一个法向量， 所以，即，取， 又因为是平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， 所以. 所以平面与平面所成角的余弦值为. 第2页，共6页 第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$