专题03 复数-2025-2026学年高一下学期数学期末专项训练（广东专用）

专题03 复数 一、题型一复数的概念 1．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知i是虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B．2i C． D． 2．（23-24高一下·广东湛江·期末）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·广东韶关·期末）复数是虚数单位，是纯虚数，则（    ） A．1 B． C．1或 D．0 4．（22-23高一下·广东汕尾·期末）若复数是纯虚数，则实数（    ） A．1 B．0或1 C．1或2 D．1或3 5．（22-23高一下·广东江门·期末）当复数是纯虚数时，实数______． 6．（23-24高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 7．（24-25高一下·广东广州·期末）复数的共轭复数是______． 8．（24-25高一下·广东江门·期末）已知复数（i为虚数单位），则______． 9．（22-23高一下·广东清远·期末）已知复数的虚部为，在复平面上对应的点在第三象限，且满足. (1)求. (2)已知为纯虚数，求的值. 10．（22-23高一下·广东肇庆·期末）设复数，，若. (1)求； (2)记为的共轭复数，计算的值. 二、题型二复数的几何意义 11．（22-23高一下·广东梅州·期末）复数（，为虚数单位）对应的点在第二象限内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 12．（22-23高一下·广东肇庆·期末）设为复数，若，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（24-25高一下·广东广州·期末）已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ）． A． B． C． D． 14．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知复数，则（   ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 15．（24-25高一下·广东清远·期末）在复平面内，为坐标原点，已知向量对应的复数分别为，则以下正确的是（    ） A．点位于第二象限 B． C．向量对应的复数为 D． 16．（22-23高一下·广东广州·期末）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且，则z等于______．（写出一个即可） 17．（23-24高一下·广东云浮·期末）已知复数. (1)若是纯虚数，求； (2)在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围. 三、题型三加减与模长的运算 18．（24-25高一下·广东梅州·期末）若复数，其中为虚数单位，则（   ） A． B．0 C． D．1 19．（24-25高一下·广东广州·期末）已知，，则在复平面内对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．（25-26高一下·广东·期末）已知复数，，则的值为（　　） A．5 B． C． D．13 21．（23-24高一下·广东湛江·期末）若，则（    ） A．3 B． C．5 D． 22．（23-24高一下·广东汕尾·期末）若复数的模为5，虚部为4，则复数______． 23．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知复数，若，则的取值范围是_________． 24．（24-25高一下·广东潮州·期末）已知是虚数单位，复数z满足，请写出一个满足条件的复数______ 25．（22-23高一下·广东佛山·期末）设复数、，满足，，则______． 四、题型四乘法运算 26．（24-25高一下·广东清远·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．3 D．1 27．（24-25高一下·广东茂名·期末）复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 28．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D．7 29．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知复数与互为共轭复数，则的值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．13 30．（24-25高一下·广东潮州·期末）已知i是虚数单位，在复平面内，复数，则对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 31．（23-24高一下·广东广州·期末）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一下·广东肇庆·期末）若为纯虚数，则实数________． 33．（22-23高一下·广东梅州·期末）已知复数，其中i为虚数单位，. (1)若满足为纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值. 五、题型五除法的运算 34．（22-23高一下·广东江门·期末）复数的虚部是（    ） A．3 B．4i C．4 D．i 35．（23-24高一下·广东茂名·期末）若复数z满足，则（    ） A．1 B． C．3 D．5 36．（22-23高一下·广东惠州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一下·广东东莞·期末）若，则（    ） A． B．2 C． D． 38．（23-24高一下·广东云浮·期末）设，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 39．（22-23高一下·广东佛山·期末）若复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高一下·广东云浮·期末）若复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．-1 41．（23-24高一下·广东广州·期末）已知复数，则的实部是（    ） A． B．2 C．3 D．5 42．（24-25高一下·广东广州·期末）若复数 ，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（     ） A． B． C． D．3 43．（25-26高一下·广东·期末）（多选）已知复数，则下列结论正确的有（　　） A．在复平面对应的点位于第二象限 B．的虚部是 C． D． 44．（24-25高一下·广东汕尾·期末）设复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．若为虚数，则 45．（23-24高一下·广东江门·期末）复数的共轭复数_____________________. 46．（23-24高一下·广东梅州·期末）若复数（其中为虚数单位，）满足为实数，则______． 47．（24-25高一下·广东清远·期末）已知. (1)求实数； (2)若，求. 48．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知复数，，其中 (1)若为纯虚数，求b的值； (2)若与互为共轭复数，求的值． 六、题型六乘方的运算 49．（23-24高一下·广东梅州·期末）复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 50．（22-23高一下·广东东莞·期末）复数（是虚数单位）等于（    ） A． B． C． D． 51．（22-23高一下·广东·期末）已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 52．（23-24高一下·广东汕尾·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．1 D． 53．（24-25高一下·广东茂名·期末）任意复数可以写成，其中r是复数z的模，是复数z的辐角（以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角），我们称为复数的三角形式.利用复数的三角形式可进行复数的乘方等运算，即，.已知复数，则中不同的数的个数为（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 54．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 55．（23-24高一下·广东韶关·阶段检测）若复数与都为纯虚数，则__________. 56．（22-23高一下·广东茂名·期末）解决下列问题： (1)已知复数，若是实数，求的值； (2)先求，，，，，，，的值，归纳规律后，请你直接写出的值. 七、题型七复数方程的解 57．（22-23高一下·广东广州·期末）已知是关于x的方程的一个根，则实数p，q分别为（    ） A． B． C． D． 58．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知，方程有一个虚根为为虚数单位，另一个虚根为，则（    ） A．该方程存在实数根 B． C． D． 59．（24-25高一下·广东广州·期末）已知为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若复数，则 B．若复数，，则复数在复平面内对应的点在第一象限 C．是复数（a，）为虚数的充分不必要条件 D．若复数是关于x的实系数方程的一个根，则 60．（22-23高一下·广东惠州·期末）在复数范围内，方程的解为______． 61．（24-25高一下·广东茂名·期末）在复数范围内，方程的解_____. 62．（23-24高一下·广东云浮·期末）已知方程的一个根为，则__________. 63．（23-24高一下·广东广州·期末）在复数范围内方程的一个根为，则______. 64．（23-24高一下·广东茂名·期末）若复数是关于x的方程的一个根，则______. 65．（23-24高一下·广东梅州·期末）（1）已知复数（其中为虚数单位）满足，求实数的值； （2）在复数范围内，解方程：． 66．（24-25高一下·广东梅州·期末）已知是关于的方程的一个根，其中，. (1)求、的值； (2)在复数范围内，求该方程的另一根. 八、题型八复数的综合（多选题） 67．（20-21高一下·广东揭阳·期末）已知复数，则下列结论正确的有（   ） A．的虚部是 B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 68．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知复数满足，其中为虚数单位，则下列说法正确的有（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 69．（22-23高一下·广东广州·期末）已知复数，则（    ） A．z的虚部是 B． C． D．z是方程的一个根 70．（24-25高一下·广东惠州·期末）若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是 （    ） A． B．的模为 C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 71．（22-23高一下·广东云浮·期末）若，则（    ） A．的实部为1 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 72．（22-23高一下·广东珠海·期末）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．复数的虚部为 D．复数的共轭复数在复平面上对应的点为 73．（23-24高一下·广东韶关·期末）下列结论正确的是（    ） A．当时，复数是纯虚数 B．复数对应的点在第一象限 C．复数z及其共轭复数满足，则 D．复数与分分别对应向量 与 则向量 表示的复数为 74．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知复数，则下列命题为真命题的有（　　） A．的虚部为 B． C． D．若是关于的方程的一个根，则 75．（23-24高一下·广东深圳·期末）若复数满足，下列说法正确的是（） A．的虚部为 B． C． D． 九、题型九复数模长几何意义的应用 76．（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数满足，则最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 77．（23-24高一下·广东·期末）下列说法中正确的是（    ） A．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限 B．已知复数满足，则 C．是关于的方程（为实数）在复数集内的一个根，则实数的值为26 D．若复数满足，则的最小值为4 78．（24-25高一下·广东深圳·期末）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 B．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 C．若是关于的方程的一个根，则 D．若，则的模为13 79．（22-23高一下·广东广州·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 80．（24-25高一下·广东肇庆·期末）下列说法正确的是（   ） A．复数的共轭复数的虚部为1 B．已知复数为纯虚数，则 C．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则 D．若，则 81．（24-25高一下·广东广州·期末）设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为__________. 82．（22-23高一下·广东韶关·期末）已知复数：. (1)求； (2)在复平面内，为原点，复数分别对应向量，且与共线，，求. 83．（23-24高一下·广东东莞·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，我们有如下运算法则：①；②；③；④. (1)设，求和； (2)类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论，判断其是否正确并说明理由； (3)设，集合.求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的. 十、题型十两复数间的关系 84．（23-24高一下·广东广州·期末）已知复数在复平面内对应的向量分别为，其中O为原点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 85．（23-24高一下·广东广州·期末）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ） A．的虚部为 B．若是复数，满足，则在复平面内对应的点位于第一象限 C．若、是非零复数，且，则 D．若、是非零复数，且，则 86．（23-24高一下·广东·期末）已知复数，，则下列说法中正确的是（    ）． A． B．若，则 C．若，则 D． 87．（22-23高一下·广东汕尾·期末）已知复数，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．在复平面内，对应的点关于虚轴对称 88．（22-23高一下·广东广州·期末）设，，为复数，且.下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 89．（23-24高一下·广东佛山·期末）关于复数 (为虚数单位)，下列说法正确的是（      ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 复数 一、题型一复数的概念 1．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知i是虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B．2i C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的概念直接求解. 【详解】根据复数的概念，复数的虚部为. 故选：C 2．（23-24高一下·广东湛江·期末）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出的虚部，与的实部，即可得解. 【详解】复数的虚部为，又， 则的实部为， 所以新复数为. 故选：C 3．（22-23高一下·广东韶关·期末）复数是虚数单位，是纯虚数，则（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】A 【分析】根据纯虚数的概念列式计算，即可得答案. 【详解】由复数是虚数单位，是纯虚数， 可得且，解得， 故选：A 4．（22-23高一下·广东汕尾·期末）若复数是纯虚数，则实数（    ） A．1 B．0或1 C．1或2 D．1或3 【答案】B 【分析】由复数是纯虚数，可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得：或， 故选：B. 5．（22-23高一下·广东江门·期末）当复数是纯虚数时，实数______． 【答案】 【分析】根据纯虚数实部为，虚部不为列式计算即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以， 解得 故答案为：. 6．（23-24高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 【答案】(1) (2)或 (3)且 【分析】（1）根据复数为实数的条件，列方程和不等式组m的值； （2）根据复数为纯虚数的条件，列方程和不等式求m的值； （3）根据复数为虚数的条件，列不等式组求m的值即可. 【详解】（1）当且时，复数为实数，解得， 所以时，复数为实数； （2）当且且时，复数为纯虚数， 解得或， 所以或时，复数为纯虚数； （3）当且时，复数为虚数，解得且， 所以且时，复数为虚数. 7．（24-25高一下·广东广州·期末）复数的共轭复数是______． 【答案】 【分析】利用复数的除法运算和共轭复数概念即可求解. 【详解】由， 可得复数的共轭复数是， 故答案为：. 8．（24-25高一下·广东江门·期末）已知复数（i为虚数单位），则______． 【答案】 【分析】由共轭复数的概念、复数减法以及模的计算公式求解即可. 【详解】已知复数，则. 故答案为：. 9．（22-23高一下·广东清远·期末）已知复数的虚部为，在复平面上对应的点在第三象限，且满足. (1)求. (2)已知为纯虚数，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得. （2）利用复数除法运算、复数的模以及纯虚数的知识求得. 【详解】（1）设，且， 由解得. （2）由（1）得， 则为纯虚数， 所以，. 10．（22-23高一下·广东肇庆·期末）设复数，，若. (1)求； (2)记为的共轭复数，计算的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的除法运算以及复数的分类可得，进而由模长公式即可求解， （2）根据复数的加减法以及乘方运算即可化简求解. 【详解】（1）， 则，则，所以，则. （2），则， . 二、题型二复数的几何意义 11．（22-23高一下·广东梅州·期末）复数（，为虚数单位）对应的点在第二象限内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据复数所在象限列出不等式. 【详解】因为复数对应的点在第二象限内， 所以,解得， 故选:B. 12．（22-23高一下·广东肇庆·期末）设为复数，若，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】结合复数的概念结合条件可得a，b范围，进而即可判断复数位于第几象限. 【详解】设z，则， ∴，，∴，， ∴，，即z位于第四象限， 故选：D. 13．（24-25高一下·广东广州·期末）已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数在复平面内的几何意义，通过数形结合，即可得到判断. 【详解】 利用数形结合，可知：将绕点O按顺时针方向旋转， 得到对应的复数是, 故选：A. 14．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知复数，则（   ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BC 【分析】A选项利用虚部定义可判断；B选项利用复数的模的计算公式求解；C选项利用共轭复数的定义进行判断；D选项利用复数的几何意义进行判断即可. 【详解】对于A选项，复数的虚部是，故A错误； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，复数对应的点的坐标为，位于第四象限，故D错误. 故选：BC. 15．（24-25高一下·广东清远·期末）在复平面内，为坐标原点，已知向量对应的复数分别为，则以下正确的是（    ） A．点位于第二象限 B． C．向量对应的复数为 D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，求出向量的坐标，再逐项判断即得. 【详解】依题意，向量， 对于A，点位于第二象限，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，向量对应的复数为，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：AD 16．（22-23高一下·广东广州·期末）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且，则z等于______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据复数模的运算公式，结合复数在复平面内对应的点的特征进行求解即可. 【详解】设，， 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，， 又因为，所以，显然当时，符合题意， 故答案为：（答案不唯一） 17．（23-24高一下·广东云浮·期末）已知复数. (1)若是纯虚数，求； (2)在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据纯虚数的定义得到方程和不等式，求出； （2）根据复数对应的点所在象限，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）因为是纯虚数，所以， 由，解得或， 由得，且，故. （2）因为对应的点位于第三象限，所以， 所以解得的取值范围是. 三、题型三加减与模长的运算 18．（24-25高一下·广东梅州·期末）若复数，其中为虚数单位，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】由复数的模的计算公式求解即可. 【详解】若复数，其中为虚数单位，则. 故选：D. 19．（24-25高一下·广东广州·期末）已知，，则在复平面内对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的加法运算和复数的几何意义即可得到判断. 【详解】已知，，则, 所以在复平面内对应的点是，即该点位于第四象限， 故选：D 20．（25-26高一下·广东·期末）已知复数，，则的值为（　　） A．5 B． C． D．13 【答案】C 【详解】因为，， 所以， 则． 21．（23-24高一下·广东湛江·期末）若，则（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据题意求得，进而求模长. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 22．（23-24高一下·广东汕尾·期末）若复数的模为5，虚部为4，则复数______． 【答案】/ 【分析】由题意列出方程组即可求解. 【详解】由题意，解得，所以复数. 故答案为：. 23．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知复数，若，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】复数本身没有大小，但其模长有大小，根据题意可得为实数，又模长的计算公式解不等式即可得答案. 【详解】因为，所以为实数，故， 又，即，所以， 则的取值范围是. 故答案为：. 24．（24-25高一下·广东潮州·期末）已知是虚数单位，复数z满足，请写出一个满足条件的复数______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】设，根据模长公式找出关系，然后写出一组解即可. 【详解】设，，即， 于是，取显然符合题意，即符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 25．（22-23高一下·广东佛山·期末）设复数、，满足，，则______． 【答案】 【分析】设，，利用复数的模长公式、复数的运算以及复数相等可得出、以及的值，再利用复数的加法以及复数的模长公式可求得的值. 【详解】设，， 因为，则， 又因为， 所以，，即， 由，可得，故，解得， 由，可得， 所以，，所以，. 故答案为：. 四、题型四乘法运算 26．（24-25高一下·广东清远·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据复数乘法的运算法则求解. 【详解】因为，则. 故选：B. 27．（24-25高一下·广东茂名·期末）复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数乘法整理其为标准式，根据共轭复数的概念，可得答案. 【详解】由，则其共轭复数为. 故选：D. 28．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算和虚部的概念即可. 【详解】，则其虚部为， 故选：B. 29．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知复数与互为共轭复数，则的值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．13 【答案】D 【分析】利用共轭复数的意义可求得，进而计算可求得. 【详解】因为复数与互为共轭复数，所以， 所以，，所以. 故选：D. 30．（24-25高一下·广东潮州·期末）已知i是虚数单位，在复平面内，复数，则对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据复数乘法计算出复数值，然后根据定义判断. 【详解】，对应复平面的点是，在第二象限. 故选：B 31．（23-24高一下·广东广州·期末）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，有共轭复数概念可判断选项正误；对于B，由复数模计算公式可判断选项正误；对于C，由复数乘法可判断选项正误；对于D，由A分析及复数乘法可判断选项正误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC 32．（23-24高一下·广东肇庆·期末）若为纯虚数，则实数________． 【答案】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为， 又为纯虚数，所以，解得. 故答案为： 33．（22-23高一下·广东梅州·期末）已知复数，其中i为虚数单位，. (1)若满足为纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据复数的乘法可得，根据纯虚数的概念可列式计算，求得答案； （2）化简可得，根据复数的模列式求解，即得答案. 【详解】（1）由于， 故由为纯虚数，可得，解得； （2）因为， 故由可得，，即， 解得或. 五、题型五除法的运算 34．（22-23高一下·广东江门·期末）复数的虚部是（    ） A．3 B．4i C．4 D．i 【答案】C 【分析】利用复数除法运算法则化简复数，然后可求复数的虚部． 【详解】因为复数， 所以复数的虚部为4， 故选：C． 35．（23-24高一下·广东茂名·期末）若复数z满足，则（    ） A．1 B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】解法一：先由已知利用复数的乘除法运算求出复数，再可求出复数的模，解法二：对已知等式变形后，利用复数模的性质求解即可. 【详解】解法一：由，得， 所以， 解法二：由，得， 所以. 故选：A 36．（22-23高一下·广东惠州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的乘、除法运算化简即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 故选：C． 37．（23-24高一下·广东东莞·期末）若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得，再由代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 所以. 故选：A 38．（23-24高一下·广东云浮·期末）设，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】利用复数的除法法则得到，利用模长公式求出答案. 【详解】因为，所以. 故选：A 39．（22-23高一下·广东佛山·期末）若复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对已知等式化简直接求解复数 【详解】由，得， ， 故选：A 40．（24-25高一下·广东云浮·期末）若复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】C 【分析】利用复数的除法法则计算求得，可求得的虚部. 【详解】因为，所以，则的虚部为1. 故选：C. 41．（23-24高一下·广东广州·期末）已知复数，则的实部是（    ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断. 【详解】因为， 所以的实部是. 故选：A 42．（24-25高一下·广东广州·期末）若复数 ，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用复数的除法及纯虚数的定义列式求解. 【详解】依题意，， 则，解得， 所以实数a的值为. 故选：A 43．（25-26高一下·广东·期末）（多选）已知复数，则下列结论正确的有（　　） A．在复平面对应的点位于第二象限 B．的虚部是 C． D． 【答案】AC 【详解】. A选项，在复平面对应的点坐标是，该点位于第二象限，所以A选项正确； B选项，，虚部为1，所以B选项错误； C选项，，则，所以C选项正确； D选项，，则，所以D选项错误. 44．（24-25高一下·广东汕尾·期末）设复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．若为虚数，则 【答案】BC 【分析】利用复数的除法法则求得，再逐项计算判断即可. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 若为虚数，则的虚部不等于，故D错误. 故选：BC. 45．（23-24高一下·广东江门·期末）复数的共轭复数_____________________. 【答案】 【分析】先化简复数，再根据共轭复数求解. 【详解】因为, 所以. 故答案为：. 46．（23-24高一下·广东梅州·期末）若复数（其中为虚数单位，）满足为实数，则______． 【答案】4 【分析】先根据得到，从而求出. 【详解】，， 故， 因为为实数，所以，故， 故. 故答案为：4 47．（24-25高一下·广东清远·期末）已知. (1)求实数； (2)若，求. 【答案】(1) (2)5. 【分析】（1）利用复数乘法，结合复数相等求出. （2）利用复数求出，进而求出其模. 【详解】（1）由，得，则， 所以. （2）由（1）得，则， 所以. 48．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知复数，，其中 (1)若为纯虚数，求b的值； (2)若与互为共轭复数，求的值． 【答案】(1)3 (2)5 【分析】（1）根据纯虚数的定义列式求解即可； （2）整理可得，结合共轭复数的定义列式求解即可. 【详解】（1）若为纯虚数，则，解得， 所以b的值为3. （2）因为，， 若与互为共轭复数，则，解得， 所以. 六、题型六乘方的运算 49．（23-24高一下·广东梅州·期末）复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】由复数的平方运算计算，根据复数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：. 50．（22-23高一下·广东东莞·期末）复数（是虚数单位）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用复数的四则运算法则进行运算即可. 【详解】 故选：. 51．（22-23高一下·广东·期末）已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先对化简，然后求出复数，从而可求出的共轭复数在复平面内对应的点，进而可得答案. 【详解】由，得， 所以，对应的点为. 的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限， 故选：D. 52．（23-24高一下·广东汕尾·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由复数的乘法运算直接计算即可求解. 【详解】. 故选：D. 53．（24-25高一下·广东茂名·期末）任意复数可以写成，其中r是复数z的模，是复数z的辐角（以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角），我们称为复数的三角形式.利用复数的三角形式可进行复数的乘方等运算，即，.已知复数，则中不同的数的个数为（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】B 【分析】由复数的标准式写出对应点坐标，从而得到向量并结合图象求得夹角，根据三角函数的诱导公式，一一列举复数，可得答案. 【详解】由复数，则其在复平面上的对应点为，即， 取轴非负半轴上的单位向量，如下图： 所以，解得， 由，可得， 所以令，则 ， ， ， ， ， ， ， . 故选：B. 54．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】BC 【分析】首先根据复数的乘方化简复数，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以，则复数在复平面内对应的点为， 依题意可得，解得，所以符合题意的有B 、C. 故选：BC 55．（23-24高一下·广东韶关·阶段检测）若复数与都为纯虚数，则__________. 【答案】 【分析】设，根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的类型得到方程（不等式）组，求出，即可得解. 【详解】设， 则， 因为为纯虚数，所以，解得，所以. 故答案为： 56．（22-23高一下·广东茂名·期末）解决下列问题： (1)已知复数，若是实数，求的值； (2)先求，，，，，，，的值，归纳规律后，请你直接写出的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由虚部为0可得答案； （2）经计算，可得规律，后利用可得答案. 【详解】（1）∵为实数，∴，解得或； （2），，，，，，，. 则可注意到规律：从第一项起，每连续的四项之和为0，而，前2024项之和为0. 则. 七、题型七复数方程的解 57．（22-23高一下·广东广州·期末）已知是关于x的方程的一个根，则实数p，q分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，整理得，从而，求解即可. 【详解】因为是关于x的方程的一个根， 所以，即， 所以，解得. 故选：D 58．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知，方程有一个虚根为为虚数单位，另一个虚根为，则（    ） A．该方程存在实数根 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】将代入方程中，结合复数相等的充要条件，即可求解，进而结合选项即可逐一求解. 【详解】由是方程的根，得， 整理得，因此，解得，方程即为，可知B正确； 对于A，根据方程，可得，所以方程无实数根，A错误； 对于C，方程，由韦达定理可知，C正确； 对于D，由C得，D正确. 故选：BCD. 59．（24-25高一下·广东广州·期末）已知为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若复数，则 B．若复数，，则复数在复平面内对应的点在第一象限 C．是复数（a，）为虚数的充分不必要条件 D．若复数是关于x的实系数方程的一个根，则 【答案】ABD 【分析】求出复数的模判断A；求出复数对应的点判断B；利用充分不必要条件的定义，结合虚数的意义判断C；利用韦达定理求解判断D. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，在平面内对应的点在第一象限，B正确； 对于C，是复数（a，）为虚数的充要条件，C正确； 对于D，复数是关于x的实系数方程的一个根，则该方程另一根为， 则，解得，因此，D正确. 故选：ABD 60．（22-23高一下·广东惠州·期末）在复数范围内，方程的解为______． 【答案】或 【分析】根据复数的性质进行求解即可. 【详解】由得，所以或， 故答案为：或 61．（24-25高一下·广东茂名·期末）在复数范围内，方程的解_____. 【答案】 【分析】求出，引入虚数单位开平方求解即可. 【详解】. 故答案为： 62．（23-24高一下·广东云浮·期末）已知方程的一个根为，则__________. 【答案】3 【分析】方法一：根据题意得到方程的另一个根为，由韦达定理得到答案； 方法二：将代入方程，求出答案. 【详解】方法一：因为的一个根为，则方程的另一个根为， 结合韦达定理可得. 方法二：将代入方程得，解得. 故答案为：3 63．（23-24高一下·广东广州·期末）在复数范围内方程的一个根为，则______. 【答案】 【分析】在复数范围内解方程即可. 【详解】在复数范围内方程的一个根为， 所以， 则. 故答案为：. 64．（23-24高一下·广东茂名·期末）若复数是关于x的方程的一个根，则______. 【答案】2 【分析】根据题意方程的另外一个根为，利用韦达定理可得，，即得. 【详解】因复数是关于x的方程的一个根，则其另外一根为， 故，，得，， 故， 故答案为： 65．（23-24高一下·广东梅州·期末）（1）已知复数（其中为虚数单位）满足，求实数的值； （2）在复数范围内，解方程：． 【答案】（1）或（2）或 【分析】（1）根据复数模的运算即可求解； （2）先求出根的判别式，再由求根公式即可求解 【详解】（1）因为，所以， 所以或； （2）因为， 所以方程的根为， 即或. 66．（24-25高一下·广东梅州·期末）已知是关于的方程的一个根，其中，. (1)求、的值； (2)在复数范围内，求该方程的另一根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，列出方程组，即可求解； （2）由（1）得，原方程为，化简得到，进而求得原方程的另一根. 【详解】（1）解：因为为方程的一个根，可得， 整理得，所以， 解得. （2）解：由（1）得，原方程为， 配方得，于是， 解得或，所以原方程的另一根为. 八、题型八复数的综合（多选题） 67．（20-21高一下·广东揭阳·期末）已知复数，则下列结论正确的有（   ） A．的虚部是 B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 【答案】BD 【详解】， 的虚部是，故A错误； 在复平面内对应的点，在第二象限，故B正确； 故C错误； ，故D正确． 68．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知复数满足，其中为虚数单位，则下列说法正确的有（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ACD 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用复数的几何意义可判断D选项. 【详解】因为复数满足，则， 对于A选项，的虚部为，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，D对. 故选：ACD. 69．（22-23高一下·广东广州·期末）已知复数，则（    ） A．z的虚部是 B． C． D．z是方程的一个根 【答案】BCD 【分析】根据复数除法可得，根据复数的相关概念及运算逐项分析判断. 【详解】因为. 则z的虚部是，故A错误； 则，故B正确； 因为， 所以，故C正确； 因为，即，解得， 所以方程的复数根为，即z是方程的一个根，故D正确； 故选：BCD. 70．（24-25高一下·广东惠州·期末）若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是 （    ） A． B．的模为 C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 【答案】ACD 【分析】利用复数的除法化简得出复数，可判断A选项；利用共轭复数的定义以及复数的模长公式可判断B选项；利用复数的几何意义可判断C选项；利用复数的运算可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，A对； 对于B选项，，则，B错； 对于C选项，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 71．（22-23高一下·广东云浮·期末）若，则（    ） A．的实部为1 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】ACD 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，即可求出，从而判断A、B、C，再求出，根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以的实部为，虚部为，，故A、C正确，B错误； ，所以在复平面内对应的点位于第二象限，故D正确； 故选：ACD 72．（22-23高一下·广东珠海·期末）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．复数的虚部为 D．复数的共轭复数在复平面上对应的点为 【答案】BD 【分析】由复数的除法计算出判断选项A，模的公式计算复数的模判断选项B，由定义得复数的虚部判断选项C，共轭复数的定义和复数的几何意义判断选项D. 【详解】对于A，由，得，A选项错误； 对于B，，B选项正确， 对于C，复数的虚部为1， C选项错误， 对于D，复数的共轭复数为，它在复平面上对应的点为，D选项正确. 故选：BD. 73．（23-24高一下·广东韶关·期末）下列结论正确的是（    ） A．当时，复数是纯虚数 B．复数对应的点在第一象限 C．复数z及其共轭复数满足，则 D．复数与分分别对应向量 与 则向量 表示的复数为 【答案】ACD 【分析】根据纯虚数的定义即可判定A，根据复数乘法化简即可得对应的点求解B，根据待定系数法求解复数，即可判定C，根据复数的几何意义，结合向量的减法运算即可求解D. 【详解】对于A，当时，为纯虚数，故A正确； 对于B，，对应的点位于实轴上，故B错误； 对于C，设，，，则，由得 ，即，解得， 故，故C正确； 对于D，复数与分别对应向量与， 则向量表示的复数为，故D正确． 故选：ACD． 74．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知复数，则下列命题为真命题的有（　　） A．的虚部为 B． C． D．若是关于的方程的一个根，则 【答案】ABD 【分析】求得复数的虚部与模可判断AB，求得，可判断C；由已知可得，可求得判断D. 【详解】对于A：由，可得复数的虚部为，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：因为是关于的方程的一个根， 所以，所以， 所以，所以，解得， 所以，故D正确； 故选：ABD. 75．（23-24高一下·广东深圳·期末）若复数满足，下列说法正确的是（） A．的虚部为 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据复数的乘除法运算、复数虚部、共轭复数的概念以及复数模的计算公式一一分析即可. 【详解】，则其虚部为，故A错误； ，，故BC正确； ，而，则两者不等，故D错误. 故选：BC. 九、题型九复数模长几何意义的应用 76．（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数满足，则最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求解即得. 【详解】是复平面内复数对应点的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆， 是上述圆上的点到复数对应点的距离， 而，所以的最小值是. 故选：A    77．（23-24高一下·广东·期末）下列说法中正确的是（    ） A．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限 B．已知复数满足，则 C．是关于的方程（为实数）在复数集内的一个根，则实数的值为26 D．若复数满足，则的最小值为4 【答案】BCD 【分析】对于A，利用复数除法运算及共轭复数的概念求出后，利用复数几何意义判断即可；对于B，求出复数的代数形式，求模即可；对于C，求出另一根，利用韦达定理求解即可；对于D，利用复数的几何意义，转化为求圆外的点到圆上的点的距离的最小值即可. 【详解】对于A：，则， 其在复平面对应的点为，在第四象限，A错误； 对于B：由题意， 所以，B正确； 对于C：因为是关于的方程（为实数）在复数集内的一个根， 则另一个根为，则，解得，C正确； 对于D：由得复数在复平面对应的点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆， 表示点到点的距离，则最小值为，D正确. 故选：BCD 78．（24-25高一下·广东深圳·期末）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 B．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 C．若是关于的方程的一个根，则 D．若，则的模为13 【答案】BC 【分析】本题根据复数的模长，复数的几何意义以及根与系数的关系即可求解. 【详解】A选项，因为点的坐标为，则对应的点为，所以在第四象限，故A选项错误； B选项，，则依据复数模长的几何意义可知，表示一个圆环，面积为，故B选项正确； C选项，是关于的方程的一个根， 则，即， 整理得，解得，所以，故C选项正确； D选项，，则，故D选项错误； 故选：BC. 79．（22-23高一下·广东广州·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 【答案】AC 【分析】根据判断A，根据复数代数形式的除法运算化简，即可判断B，设、在复平面内对应的向量为、，根据向量数量积的运算律判断C，设根据复数的几何意义判断D. 【详解】对于A：若，即，所以，故A正确； 对于B：因为，所以， 而，故B错误； 对于C：设、在复平面内对应的向量为、，则且， 所以，即， 解得， 所以，即，故C正确； 对于D：设，由，即， 所以，所以复数在复平面内对应的点在如图所示的圆环内（不含边界）圆心为坐标原点，半径分别为、， 所以复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为，故D错误； 故选：AC 80．（24-25高一下·广东肇庆·期末）下列说法正确的是（   ） A．复数的共轭复数的虚部为1 B．已知复数为纯虚数，则 C．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据复数的分类以及复数的几何意义逐一判断即可. 【详解】复数的共轭复数为，其虚部为1，所以A正确； 由且，得，所以B正确； 由且，得，所以C错误； 设，则，所以z在复平面内对应的点到点的距离为3， 所以z在复平面内对应的点到点的距离范围为，D正确． 故选：ABD 81．（24-25高一下·广东广州·期末）设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义确定图形，进而求出面积. 【详解】由，则在复平面内点Z构成的图形是以原点为圆心， 分别以1和为半径的两个圆构成的圆环， 所以所求面积为. 故答案为： 82．（22-23高一下·广东韶关·期末）已知复数：. (1)求； (2)在复平面内，为原点，复数分别对应向量，且与共线，，求. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据复数的四则运算法则求解； （2）根据复数的几何意义表示出的坐标，根据共线可确定，再结合复数的模的公式又得，联立求解即可. 【详解】（1）. （2）由题可得，, 设，则， 所以，， 因为与共线，所以，①， 又因为，且， 所以，即，②， 联立①②解得，或， 所以或. 83．（23-24高一下·广东东莞·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，我们有如下运算法则：①；②；③；④. (1)设，求和； (2)类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论，判断其是否正确并说明理由； (3)设，集合.求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的. 【答案】(1)； (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）代入公式①③即可求解； （2）根据所给定义，以及向量的代数运算法则，即可求解； （3）设满足条件的，表示出，即可得到，根据完全平方数的性质计算可得最小值. 根据所给条件求出，再证明对任意的，根据定义证明即可. 【详解】（1）由， 得，； （2）设，，，、、、、、， ，，， ， 因为，， 所以， ，故正确； （3）不妨令，则， 则 ， 当，时取得最小值2， 此时， 设满足条件的，， ， 则，， 【点睛】关键点睛：对于新定义问题，关键是理解所给定义，再结合所学相应知识解决问题. 十、题型十两复数间的关系 84．（23-24高一下·广东广州·期末）已知复数在复平面内对应的向量分别为，其中O为原点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】由复数的几何意义转化为向量的坐标运算 【详解】，， A项，若，则，故A错误； B项，由A知，，则，故B正确； C项，若，则，故C错误； D项，由C知，，则， ， 则，， 故，故D正确. 故选：BD. 85．（23-24高一下·广东广州·期末）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ） A．的虚部为 B．若是复数，满足，则在复平面内对应的点位于第一象限 C．若、是非零复数，且，则 D．若、是非零复数，且，则 【答案】AD 【分析】利用复数运算计算判断AB；举例说明判断C；分解因式判断D. 【详解】对于A，依题意，，的虚部为，A正确； 对于B，，在复平面内对应的点位于第二象限，B错误； 对于C，取，，满足，而，，C错误； 对于D，由，得，而，则，D正确. 故选：AD 86．（23-24高一下·广东·期末）已知复数，，则下列说法中正确的是（    ）． A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】AD 【分析】对于A，由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义即可判断；对于B、C，举反例即可判断；对于D，设，，再根据共轭复数定义、复数的除法以及复数的模的定义直接计算即可判断. 【详解】对于A，设复数、对应的点分别为、， 则由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义得： ，故A正确； 对于B，当，则，可为任意复数，即与不一定相等，故B错误； 对于C，设复数、， 则，故，但不满足，故C错误； 对于D，设，，故， 则， 又，故，故D正确. 故选：AD. 87．（22-23高一下·广东汕尾·期末）已知复数，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．在复平面内，对应的点关于虚轴对称 【答案】AB 【分析】分别应用共轭复数、复数的模、复数的除法法则和复数的几何意义进行求解. 【详解】对于选项A，，故选项A正确； 对于选项B，，，所以，故选项B正确； 对于选项C，，故选项C错误； 对于选项D，在复平面内对应的点为，对应的点为，点关于实轴对称，故选项D错误. 故选：AB. 88．（22-23高一下·广东广州·期末）设，，为复数，且.下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据复数的特征、几何意义以及复数运算判断各选项即可. 【详解】对于选项A：若，则， 因为，则，所以，故A正确； 对于选项B：若，则， 因为与不一定相等，所以不一定相等，故B错误； 设， 对于选项C：所以， 由，则， 整理得， 又因为不一定等于0，故C错误； 对于选项D：因为，则， 由选项C可知：因为， ， 所以，故D正确； 故选：AD. 89．（23-24高一下·广东佛山·期末）关于复数 (为虚数单位)，下列说法正确的是（      ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D． 【答案】AD 【分析】根据共轭复数概念和复数乘法运算可判断A；根据复数的几何意义可判断B；根据复数乘法运算直接化简可判断CD； 【详解】对于A，因为，所以， 所以，A正确； 对于B，复数对应点为，位于第四象限，B错误； 对于C,，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $