专题01 四边形（期末复习讲义+10重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材青岛版

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01四边形（期末复习讲义） 内容导航 明期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破•重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01平行四边形相关求解 题型02矩形相关求解 题型03菱形相关求解 题型04正方形相关求解 题型05中位线 题型06直角三角形斜边上的中线 题型07 四边形相关动点问题 题型08四边形相关综合性问题 题型09 四边形相关折叠问题 题型10四边形相关最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 平行四边形的定 平行四边形对边平行且相等、对角相 主要以选择题、填空题形式出现，难度不 义及性质 等、邻角互补、对角线互相平分。 大，得分率较高。 平行四边形的判 五种判定方法 以解答题为主，常与三角形全等结合进行 定 综合证明。 矩形的判定和性 矩形四个角都是直角、对角线相等。 常与折叠问题、直角三角形斜边中线性质 质 结合考查。 菱形的判定和性 菱形对角线互相垂直平分，每条对角线 常在综合性大题中出现，有时与圆或相似 质 平分一组对角。 三角形结合求长度，具有一定的综合性和 难度。 正方形的判定和 正方形是有一组邻边相等且有一个角是 综合性较强，常与旋转、折叠等变换结 性质 直角的平行四边形（既是矩形又是菱 合，有时也与函数相关知识联系。 形)。 1/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三角形的中位线 三角形两边中点的连线平行于第三边且 常以选择题、填空题形式出现。主要用于 定理 等于第三边的一半。 证明两直线平行或线段的倍分关系。 记·必备知识 昼知识点01平行四边形 1、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形的性质： (1)平行四边形的对边相等： (2)平行四边形的对角相等 (3)平行四边形的对角线互相平分。 3、判定平行四边形的条件 (1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） (2)一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 (3)对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 (4)两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 国知识点02矩形、菱形、正方形 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行 四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.判定矩形的条件 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形 (2)三个角是直角的四边形是矩形 (3)对角线相等的平行四边形是矩形 3.平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质 外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2/24 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.判定菱形的条件 (1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） (2)四边相等的四边形是菱形 (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6.正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且 是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形的条件： (1)有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） (2)有一组邻边相等的矩形是正方形 (3)有一个角是直角的菱形是正方形 破·重难题型 平行四边形相关求解 解引题技|巧 1.转化思想 ·边：对边平行且相等，常用来求边长或证全等。 ·角：邻角互补，对角相等，常与角平分线结合，可推出等腰三角形。 ·对角线：互相平分，这是构造中点三角形或中线倍长的关键。 2.判定方法选择 · 已知边：优先证另一组对边平行（定义）或相等。 ·己知角：优先证另一组对角相等。 ·已知对角线：优先证对角线互相平分（最直接）。 3.常见辅助线 ·连对角线：构造全等三角形，转移角或边。 ·作平行线或垂线：构造矩形，用于计算面积或线段长度。 倍长中线：已知一组对边相等时，常将一边上的中线倍长，构造平行四边形。 3/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易」错点」拨 11.判定条件遗漏 ·错误：一组对边平行，另一组对边相等→误判为平行四边形。 ·正解：这可能是等腰梯形，必须是“同一组对边平行且相等”才成立。 2.图形分类讨论不全 ·已知三点求平行四边形第四个顶点时，常漏解。正确做法是：分别以已知线段为边或对角线， 利用中点坐标公式求解，通常有3个解。 3.忽视对角线性质 ·看到对角线，立刻想到互相平分，这常用来证明中点或倍分关系。 【典例I】如图，平行四边形ABCD中，AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC边于点E,则EC等于( H( A.1 B.2 C.3 D.4 CE 【变式1】.如图，在。ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,若AB=3'BC=5,则BE的值为 () A D 3 A月 B.5 【变式2】.在平行四边形ABCD中，对角线ACBD相交于点O,若AC=8,BD=10,则AO的长为 () 4/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.5 C.8 D.10 题型二 矩形相关求解 解|题|技巧 1.巧用对角线矩形的对角线相等且互相平分。遇到矩形问题，优先连接对角线，这常能构造出等腰三角 形，或利用“直角三角形斜边中线等于斜边一半”来转化边长。 2.善用直角与勾股定理矩形的每个角都是直角。当给出边长、对角线或周长时，立即想到用勾股定理建 立方程。例如已知一边和一对角线，可求另一边；已知周长和对角线，可联立方程求面积。 3.矩形与面积矩形面积=长×宽。解题时，可以用大面积减去周围小直角三角形面积， 来求内部不规则图 形（如折线围成的区域）面积。 【典例1】.如图，在矩形ABCD中，点E,F,M分别在AB,DC,AD边上，BE=2CF,FM分别交对角线 BD DE G,H CF=2,∠ABD=30° HG 、线段 于点 ,且H是DE 的中点.若 ,则的长为() M G 23 4v5 A.3 B.3 c.2W5 D.3 【变式1】.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED,AB=1,∠ABE=45°，则BC的 长为() 5/24 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A.V② 81.5 c 0.4 【变式2】.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若BO=5,AB=6,则矩形ABCD的 面积为() D O B A.28 B.48 C.50 D.120 巴题型三 菱形相关求解 答|题|模|板 如图，在口ABCD中，AB=6,若AC L BD,则口ABCD的周长为( A.12B.24 C.30D.36 解：：在口ABCD中，AC LBD, 口ABCD是菱形， .AB=BC=CD=AD=6, .口ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+6+6+6=24 【典例1】.如图在四边形ABCD中，AB7CD,对角线AC与BD相交于点O.点B,点D关于AC所在 6/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线对称，过点D作BC的垂线交BC延长线于点E.若CE=3,AD=5,则线段OC的长为() A D B E A.3 B.5 C.25 0.25 【变式1】，如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，若AB=2,则四边形ABCD的周 长为() B A.4 B.6 C.8 D.10 【变式2】.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠C=135°，CD=2,AD=4,E为AD的中点， EFCD BC BF 交 于点F,则的长为() F 2 A.2-V2 B.√2-1 C.2 巴影型四 正方形相关求解 答|题模」板 如图， 在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E,使ME=MC,以DE为边作 正方形DEFG,点G在边CD上，则DG的长为( ) 7/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G A 5-1 B.3-5c.5+10.5-1 解：：在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点， :CD-AD=2.DM=14D=1.ZADC=90 在RtACDM中，MC=VCD2+DM=5 .ME=MC. DE =ME-DM=MC-DM=5-1 ,四边形DEFG是正方形， DG=DE=5-1 【典例1】.如图所示，E为边长是4的正方形ABCD的边的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连 接EM、MN、NA,则四边形AEMN周长的最小值为() D B C M A.10+2V2 B,12+2W2 C.10 D.12 【变式I】.如图，正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH的四个顶点均在正方形ABCD的边上.已知 2 AE=a,AF=b:若SE方形0m=3,则1b-a等于() 8/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G 2 √2 3 3 A.2 B.3 C.2 D.3 【变式2】.如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别是边BC,CD上的中点，连接AF,DE交于点 G.连接AC,若点O,点H分别是AC,AG上的中点，连接OH,OH=L,则正方形ABCD的 边长等于() D H G分 F B E 5W2 3V5 10 A.10 B.2 C.2 D. 它瑟型五 中位线 答题|模|板 如图，在平行四边形ABCD中，对角线ACBD相交于点O,点E是BC的中点，若CD=8,则OE的长 为( A. 4 B.3C.5D.6 9/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：·四边形ABCD是平行四边形， ..OB=OD 又点E是BC的中点， .OE是△BCD的中位线， ∴.根据三角形的中位线定理可得：CD=2OE=8, 则0E=4. 故选：A. 【典例1】.如图，在△ABC中，AD是中线，AE平分∠BAC,过点B作BF⊥AE,交AE的延长线于点 F,连接FD.若AB=8,AC=3,则DF的长为 D 【变式1】，如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AB,AO的中点， 连接EF,若EF=3,则OB的长为一· B 【变式2】，如图，ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE平分∠ADC交AB于点E,点F是DE 的中点.连接OF,若DC-BC=4cm,则OF的长为cm. 巴 题型六 直角三角形斜边上的中线 10/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答|题模」板 如图，在长方形ABCD中，连接AC,将△ABC沿着AC翻折至长方形ABCD所在的平面内，得△AEC, EC与AD交于点F,O为AC的中点，连接E0.若LOEC=30°，BC=12cm,则线段EF的长度为 E D B--------- A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 解：：将△ABC沿着AC翻折至长方形ABCD所在的平面内，得△AEC, CE=BC=12cm,∠ACB=∠ACE,∠ABC=∠AEC=90°，AE=AO, .∠OEC=30°， .∠AE0=∠AEC-∠OEC=60°， 0为AC的中点， .AO=EO=CO. ∴.∠OCE=∠OEC=30°， .∴∠ACB=∠OCE=30° ∴.∠FAC=∠ACB=30=∠ACF .AF=CF,∠EAF=∠EA0-∠FAC=30°， 1 ..EF= 1 EF-CF. .EF= CE=写×12=4(em）. 【典例1】，如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A,D,B对应的刻度分别为1,4,7 (单位：cm),则CD的长度为 cm 11/24 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D/ B T中布m中T cm123456 7 8 【变式I】.如图，在正方形ABCD中，F为CB上任意一点，连接DF,取DF中点M,过点M作 GH⊥DF交AB于点G,交DC于点H,连接AC交GH于点N,若MN=L,则GH为 G M D 【变式2y.如图，在MBD中，D-=3,B=25,∠B是锐角，4E⊥C于点E,F是4B的中点 连接DF,EF,若∠EFD=9O°，则DF长为 O F E 巴题型比 四边形相关动点问题 解|题|技|巧 11. 表示路程：先确定动点速痕和时间，得到路程s=t,在图上标出对应线段长度。 I2.表示边长：用含t的式子表示相关边长。例如，AD长10，点P从A向D以每秒2单位运动，则 AP=2t,PD=|10-2t。 12/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.分类讨论：遇到“点在某边上运动”或“三角形形状变化”，按动点位置或图形情况分类，常见于等腰 直角三角形的存在性问题。 4.利用条件列方程：根据面积公式、勾股定理或相似三角形对应边成比例等条件列出方程求解。 【典例1】.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，AD=16cm,BC=21cm,CD=13cm.动 点P从点B出发，沿射线BC以每秒3cm的速度运动.动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒lcm的 速度向点D运动；当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动.设点P的运动时间为秒，当以点P、 C DO 为顶点的四边形是平行四边形时，的值为 A0 D 【变式1】.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=4cm,CD=l0cm,动点M从点A出发，以 lcm/s的速度向点B运动.同时，动点N从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动.规定其中一 个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，当运动时间t=_$时，四边 形AMND为平行四边形. A->M B D 【变式2】.如图，矩形ABCD中，AB=6cm,BC=10cm,动点M从点D出发，按折线D→C→B方向 以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线D→A方向以lcms的速度运动，若点E在线段 BC上，且BE=2cm,若动点M,N同时出发，点M运动到点B时两点同时停止，经过 秒钟，点A,E,M,N组成平行四边形. D M 13/24 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 巴 题型八 四边形相关综合性问题 答|题模|板 如图，矩形ABCD中，BC=2AB,对角线相交于O,过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC中点，连接 AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列4个结论：①EH=AB;②∠ABG=∠HEC;③ △ABG≌△HEC:④CF=BD.正确的有(）个. A.1B.2C.3 D.4 解：在Rt△BCE中，H为BC中点， :.EH=BC=BH=CH, 2 .BC=2AB 丨EH=AB,①结论正确： EH BH, ∴.∠EBH=∠BEH, '∠ABC=∠ABG+∠EBH=90°，∠BEC=∠HEC+∠BEH=90° ∴.∠ABG=∠HEC,②结论正确： 如图，连接DH, AR-BC- ∠ABH=90° ∴.∠BAH=∠AHB=45° 14/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可得，∠DHC=45°， ∠EHC>∠DHC,即LEHC>45° ∴.∠EHC>∠BAG. ,∴△ABG≌△HEC不能得出，③结论错误； CH=EH, ∠HEC=∠HCE, 矩形ABCD .AB∥CD,OA=OB.AC=BD. ,∠ABG=∠CDE.∠BAO=∠ABG」 由②可知，∠ABG=∠HEC, ∴.∠ECH=∠HEC=∠ABG=∠CDE=∠BAO, ∠CHF=∠AHB=45 .∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F, .∠BAO=∠BAH+∠HAC=45°+∠HAC, I.∠F=∠HAC, I.AC=CF. ∴CF=BD,④结论正确 【典例1】.如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE=BC,连接CE并延长交AD 于点F,连接AE,过B点作BG⊥AE于点G,延长BG交AD于点H.在下列结论中：①AH=FD;② Sm=Sg:③E垂直平分PH:④DC=(5+)DF,其中正确的结论有 (填正确的序号). H 【变式1】.如图，在矩形ABCD中，O是对角线的交点，AB=1,∠BOA=60°，过C作CE⊥BD于点 E,EC的延长线与∠BAD的平分线相交于点H,AH与BC交于点F,与BD交于点M,给出下列 15/24 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四个结论：①BF=B0:②4C=CH:③BE=30E:@sr-Sar;⑤4H=N6+N2·典 中正确的结论有 (填写正确的序号). H E F 【变式2】，如图，菱形ABCD的边长为8，E,F分别是AB,AD边上的动点，BE=AF,∠BAD=120° 下列结论：①△AEC≌△DFC:②EC=EF:③若BE=2,则EG=3GF:④LFGC=∠BEC. 其中正确的有一 A D 巴慇型九 四边形相关折叠问题 解|题|技|巧 1折叠前后对应边相等、对应角相等 2折痕是对应点连线的中垂线 3.常在折叠后利用勾股定理求未知线段（设未知数，用含×的式子表示其他边）， 【典例I】.如图，将一个矩形纸片ABCD三次折叠：第一次沿折线DE折叠，使角A落在边DC的点A; 第二次展开后沿折线EF折叠，使角A落在折痕DE的点G:第三次沿折线CE折叠，使角B恰好落在折痕 DE的点”.已加新登后1=5m,纸片无抗傅，则8= 16/24 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G E B 【变式1】，将一个平行四边形纸片ABCD进行折叠，第一次折叠经过点A,使边AD和AB重合，折痕交 边CD于点E,展开后进行第二次折叠，第二次折叠经过点B,使边BC和AB重合，折痕交边CD 于点F,展开后如图所示.当CE=EF时，若AB=9,则AD的长是 【变式2】.如图，已知长方形纸片ABCD的长BC=16,宽AB=6,点E,F均在BC上(E在F左侧)，先 将纸片沿AE折叠，记点B的对应点为B',再将纸片沿DF折叠，使得CF的对应线段CF‖BE, 连接B'C',若折叠过程保持B,C分别在长方形的外部和内部，当B'C'‖AE时，CF的长为 D E 巴题型十 四边形相关最值问题 解|题|技|巧 !1.利用“两点之间线段最短”求折线和最小这是最主流的题型，核心是作对称点。 2. 利用“垂线段最短”求动态线段最小值当一个动点在与某条直线平行的直线上移动时，求它到一个固 17/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定点距离的最小值。这时直接作该固定点到直线的垂线，垂足即为最小点。 3. 利用“三角形三边关系”求线段差最大或范围比如求PA-PB!的最大值：连接A、B并延长与动点 所在直线相交，交点即最值点，最大值为AB长。 4. 构造“将军饮马”及其变式很多复杂最值可还原为“将军饮马”模型。 【典例1】.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=2N5,BD=4,点E、F分别是边AB、BC的中点，点 P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 【变式I】.如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边， 在CE的右侧构造正方形CEFG,连接AF,则当AE=时，AF有最小值，AF的最小值为 【变式2】.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一点，将线段AE绕点E顺时针旋转，得到线段 EF(EF在正方形ABCD内)，连接CF,再将线段CF绕点C逆时针旋转9O°，得到线段CG, 连接FG,BG.若AB=4,AE=3,则FG的长的最小值为一，BG的长的最小值为 D E B 18/24 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1,(山东省青岛市市南区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题)如图，平行四边形ABCD的对角线 AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段OC,OD的中点.若AC+BD=26cm,△OAB的周长是 23cm,则EF的长度是() D A.3cm B.5cm C.8cm D.13cm 2.(山东省青岛市崂山区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题)如图，直线m∥n,四边形 ABCD为平行四边形，顶点B恰好落在直线n上，若∠I=18°，∠2=13°，则∠D等于() D 2 A.148° B.151° C.149° D.150 3.(山东省青岛市市南区20242025学年八年级下学期期末数学试题)如图，E,F分别是平行四边形 ABCD 的边ABCD 上2S.APD=aSB0c=b 上的点，MF与DE相交于点P,BF与CE相交于点P,若9 SoABCD=C 则阴影部分的面积为 B D 4.(山东省青岛市崂山区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题)如图，在口ABCD中， 19/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=5,BC=6 AD 的垂直平分线经过点C,与4D交于点R,∠B1D AD BC RC 的角平分线分别与，交于点 O,P,连接RQ,则RQ= D 5.(山东省青岛市市南区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题)已知，如图，口ABCD的对角线 AC,BD相交于点O,EF过点O,分别交AD,BC于点E,F,连接AF,CE. E (1)求证：四边形AECF是平行四边形： (2)若AD=AC=8,CD=4,则口ABCD的边BC上的高为 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1.如图，下列条件中不能判断四边形ABCD是平行四边形的是() D A.ABIICD,ADBC B.AB=CD,AD=BC C.ABII CD.AD=BC D.ABII CD.AB=CD 2.(山东省青岛市即墨区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷)如图，口ABCD的对角线AC, 20/24 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BD OE F AO BO AC+BD=24△OAB EF 相交于点，点，分别是线段，的中点，若 的周长是18，则的 长度是() y D E B A.3 B.6 C.8 D.10 3.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，点A,B,D的坐标分别为 A(1,0) B(5,0)D(1,2) ,以点B为圆心，以BD的长为半径画弧交x轴于点E,则点E的坐标为一 D 2 1- A B 012345 4.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点.若AB=8,OM=3,则线段OB的 长为 5.(山东聊城市东昌府区多校2024-一2025学年第二学期期末考试八年级数学试题)如图，在口ABCD 中，点O是对角线AC的中点，某数学学习小组要在AC上找两点E,F,使四边形BEDF为平行四边形， 现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 A D E B B 21/24 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 分别取AO,C0的中点 作BE⊥AC于点E, E,F DF⊥AC于点F 请回答下列问题： (1)选择其中一种方案并证明. 2)若EF=2AE ,求ABCD S△AED=6 的面积. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1,(山东省济宁市嘉祥县2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题)如图，正方形ABCD由四个全 等的直角三角形（△ABE,△BCF,△CDG,△DAH),和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE.若 S正方形EFGH=L,BE=2 则DE的长为() D G A.5 &.) c.vio D.4 2.(山东省东营市垦利区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制）)如图，在口ABCD中， E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AGDB,交CB的延长线于点G,连接GF, AD⊥BD.有下列结论：①DE=BF;②四边形DEBF是菱形：③四边形ADBG是矩形：④ S四边形HBCD:SBFG=3:1 .其中正确结论的个数是() 22/24 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(山东省济南市长清区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷-)如图，在菱形ABCD中， ∠ABC=120°，点M和N分别是AB和AD上一点，沿MN将△AMN折叠，点A恰好落在边BC的中点E 上.若AB=2,则ME的长为一· D A- M B 4.(山东省淄博市淄川区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（五四学制))如图，在矩形 ABCD中，AD=7,AB=4,DF平分∠ADC交BC于点F,AF⊥EF,则EF的长为 B 5.(山东省济宁市嘉祥县2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题)如图，菱形ABCD中，AC, BD相交于点O,AE⊥BC于点E,交BD于点M,连接EO并延长EO交AD于点F,连接FC交BD于点 N,连接AN,CM B E (1)求证：四边形AECF是矩形： (2)求证：四边形MCNA是菱形. 23/24 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24/24 专题01 四边形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平行四边形相关求解 题型02 矩形相关求解 题型03 菱形相关求解 题型04 正方形相关求解 题型05 中位线 题型06 直角三角形斜边上的中线 题型07 四边形相关动点问题 题型08 四边形相关综合性问题 题型09 四边形相关折叠问题 题型10 四边形相关最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平行四边形的定义及性质 平行四边形对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分。 主要以选择题、填空题形式出现，难度不大，得分率较高。 平行四边形的判定 五种判定方法 以解答题为主，常与三角形全等结合进行综合证明。 矩形的判定和性质 矩形四个角都是直角、对角线相等。 常与折叠问题、直角三角形斜边中线性质结合考查。 菱形的判定和性质 菱形对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 常在综合性大题中出现，有时与圆或相似三角形结合求长度，具有一定的综合性和难度。 正方形的判定和性质 正方形是有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形（既是矩形又是菱形）。 综合性较强，常与旋转、折叠等变换结合，有时也与函数相关知识联系。 三角形的中位线定理 三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半。 常以选择题、填空题形式出现。主要用于证明两直线平行或线段的倍分关系。 知识点01 平行四边形 1、 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、 平行四边形的性质： （1） 平行四边形的对边相等； （2） 平行四边形的对角相等 （3）平行四边形的对角线互相平分。 3、 判定平行四边形的条件 （1） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2） 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3） 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4） 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 知识点02 矩形、菱形、正方形 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.判定矩形的条件 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2） 三个角是直角的四边形是矩形 （3） 对角线相等的平行四边形是矩形 3.平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5.判定菱形的条件 （1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2） 四边相等的四边形是菱形 （3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6.正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形的条件： （1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 有一个角是直角的菱形是正方形 题型一 平行四边形相关求解 解｜题｜技｜巧 1. 转化思想 · 边：对边平行且相等，常用来求边长或证全等。 · 角：邻角互补，对角相等，常与角平分线结合，可推出等腰三角形。 · 对角线：互相平分，这是构造中点三角形或中线倍长的关键。 2. 判定方法选择 · 已知边：优先证另一组对边平行（定义）或相等。 · 已知角：优先证另一组对角相等。 · 已知对角线：优先证对角线互相平分（最直接）。 3. 常见辅助线 · 连对角线：构造全等三角形，转移角或边。 · 作平行线或垂线：构造矩形，用于计算面积或线段长度。 · 倍长中线：已知一组对边相等时，常将一边上的中线倍长，构造平行四边形。 易｜错｜点｜拨 1. 判定条件遗漏 · 错误：一组对边平行，另一组对边相等 → 误判为平行四边形。 · 正解：这可能是等腰梯形，必须是“同一组对边平行且相等”才成立。 2. 图形分类讨论不全 · 已知三点求平行四边形第四个顶点时，常漏解。正确做法是：分别以已知线段为边或对角线，利用中点坐标公式求解，通常有3个解。 3. 忽视对角线性质 · 看到对角线，立刻想到互相平分，这常用来证明中点或倍分关系。 【典例1】.如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（ 　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得 ，根据 、的值，求出的值． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ． 【变式1】．如图，在中，的平分线交于点，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义，根据四边形是平行四边形，则有，根据两直线平行，内错角相等可得，利用角平分线的定义可知，即可求出，，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【变式2】．在平行四边形中，对角线相交于点O，若， 则的长为（     ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【分析】因为平行四边形的对角线互相平分，所以，代入的长度即可得到结果． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线相交于点， ∴． ∵， ∴． 题型二 矩形相关求解 解｜题｜技｜巧 1. 巧用对角线 矩形的对角线相等且互相平分。遇到矩形问题，优先连接对角线，这常能构造出等腰三角形，或利用“直角三角形斜边中线等于斜边一半”来转化边长。 2. 善用直角与勾股定理 矩形的每个角都是直角。当给出边长、对角线或周长时，立即想到用勾股定理建立方程。例如已知一边和一对角线，可求另一边；已知周长和对角线，可联立方程求面积。 3. 矩形与面积 矩形面积=长×宽。解题时，可以用大面积减去周围小直角三角形面积，来求内部不规则图形（如折线围成的区域）面积。 【典例1】．如图，在矩形中，点分别在边上，，分别交对角线、线段于点，且是的中点．若，则的长为（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】解：取线段的中点，连接，过点作交于点，连接， ， ∵，， ∴， ∵点是的中点，点是线段的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴，，即， 解得． 【变式1】．如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】容易判断是等腰直角三角形，则，，由平行线的性质和角平分线的定义可得，因此． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．如图，在矩形中，对角线、交于点．若，，则矩形的面积为（   ） A．28 B．48 C．50 D．120 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出的长度，再用面积公式计算就行． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 题型三 菱形相关求解 答｜题｜模｜板 如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 解：∵在中，， ∴是菱形， ∴， ∴的周长． 【典例1】．如图在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称，过点D作的垂线交延长线于点E．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形， ， 则， 在中，， 在中，， 则， 在中，． 【变式1】．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，若，则四边形的周长为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】证明四边形是菱形，根据菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形的周长为． 【变式2】．如图，在四边形中，，，，，E为的中点，交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵交于点F，E为的中点， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴. 题型四 正方形相关求解 答｜题｜模｜板 如图，在边长为2的正方形中，为边的中点，延长至点，使，以为边作正方形，点在边上，则的长为（    ） A． B． C． D． 解：∵在边长为2的正方形中，为边的中点， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴． 【典例1】．如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【详解】解：如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 【变式1】．如图，正方形的边长为1，正方形的四个顶点均在正方形的边上．已知，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形和均为正方形 ， 、、、， 、， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ． 【变式2】．如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点G作于点M，连接 ∵在正方形中，点、点分别是边，上的中点， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点，点分别是，上的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得（负值舍去） ∴ ∴正方形的边长等于． 题型五 中位线 答｜题｜模｜板 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：， 则． 故选：A． 【典例1】．如图，在中，是中线，平分，过点作，交的延长线于点，连接．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】延长，，交于点，由平分，，可得，，，结合是中点，得到是的中位线，即可求解． 【详解】解：延长，，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵是中点， ∴是的中位线， ∴． 【变式1】．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝3，则OB的长为_____ ． 【答案】 6 【详解】解：∵点E、F是、的中点， ∴在中，， 且， ∴． 【变式2】．如图，的对角线，相交于点，平分交于点，点是的中点．连接，若，则的长为_______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 又∵对角线相交于点O， ∴是的中点． ∵平分， ∴． ∴． 将代入上式，得． 在中，是 的中位线. ． 题型六 直角三角形斜边上的中线 答｜题｜模｜板 如图，在长方形中，连接，将沿着翻折至长方形所在的平面内，得，与交于点F，O为的中点，连接．若，，则线段EF的长度为（　　） A． B． C． D． 解：∵将沿着翻折至长方形所在的平面内，得， ∴ ∵， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴． 【典例1】．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则的长度为________． 【答案】 【分析】先根据刻度尺刻度求出的长度，再利用直角三角形斜边中线的性质求出的长度． 【详解】解：由题意可知，． 在中，，是斜边上的中线， ． 【变式1】．如图，在正方形中，F为上任意一点，连接，取中点M，过点M作交于点G，交于点H，连接交于点N，若，则为____． 【答案】2 【详解】解：连接，， ∵，且点M是中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 作于点，作于点， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵点M是中点， ∴， 作于点， ∵正方形，∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式2】．如图，在中，，，是锐角，于点，是的中点，连接，，若，则长为__________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，延长交于点G， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴． 题型七 四边形相关动点问题 解｜题｜技｜巧 1. 表示路程：先确定动点速度和时间，得到路程 s = vt，在图上标出对应线段长度。 2. 表示边长：用含 t 的式子表示相关边长。例如，AD 长 10，点 P 从 A 向 D 以每秒2单位运动，则 AP = 2t，PD = |10 - 2t|。 3. 分类讨论：遇到“点在某边上运动”或“三角形形状变化”，按动点位置或图形情况分类，常见于等腰/直角三角形的存在性问题。 4. 利用条件列方程：根据面积公式、勾股定理或相似三角形对应边成比例等条件列出方程求解。 【典例1】．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 【答案】或 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 【变式1】．如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间______时，四边形为平行四边形． 【答案】 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得， 故答案为：． 【变式2】．如图，矩形中，，，动点从点出发，按折线方向以的速度运动，动点从点出发，按折线方向以的速度运动，若点在线段上，且，若动点，同时出发，点运动到点时两点同时停止，经过________秒钟，点，，，组成平行四边形． 【答案】或 【详解】解：点运动到点时两点同时停止， 可知， ①如图，点在点右侧时，当时， 四边形为平行四边形， 得：， 解得， ②如图2，点在点左侧时，当时， 四边形为平行四边形， 得：， 解得， 所以，经过秒或秒，点、、、组成平行四边形； 故答案为：或 题型八 四边形相关综合性问题 答｜题｜模｜板 如图，矩形中，，对角线相交于O，过C点作交于E点，H为中点，连接交于G点，交的延长线于F点，下列4个结论：①；②；③；④．正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 解：在中，H为中点， ， ， ，①结论正确； ， ， ，， ，②结论正确； 如图，连接， ，， ， 同理可得，， ，即， ， 不能得出，③结论错误； ， ， 矩形， ，，， ，， 由②可知，， ， ， ， ， ， ， ，④结论正确 【典例1】．如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足，连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：①；②；③垂直平分；④，其中正确的结论有______(填正确的序号)． 【答案】①③④ 【详解】解：在正方形中 ，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故①正确 ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又 ∴， ∴ ∴垂直平分． 故③正确． 由不垂直，可判断出， 故②错误． ∵ ∴ 设正方形的边长为，则 ， ∴， 在中， 即 ∴ ∴（不合题意，舍去） 解得 即， 故④正确． 故答案为：①③④ 【变式1】．如图，在矩形ABCD中，O是对角线的交点，，，过C作于点E，的延长线与的平分线相交于点H，与交于点F，与交于点M．给出下列四个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有___________（填写正确的序号）．    【答案】①②③⑤ 【详解】解：∵矩形ABCD， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵矩形ABCD， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过程点M作于N，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④错误； 过点H作交延长线于Q，延长交于P，    ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确， ∴正确的结论有①②③⑤ 故答案为：①②③⑤． 【变式2】．如图，菱形的边长为8，E，F分别是，边上的动点，，．下列结论：① ；②；③若，则 ；④ ．其中正确的有______． 【答案】①②③④ 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴和是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故①正确； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 故②正确； 如图，过点作于M，于N， ∵四边形是菱形，边长为8， ∴平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故④正确． 题型九 四边形相关折叠问题 解｜题｜技｜巧 1.折叠前后对应边相等、对应角相等. 2.折痕是对应点连线的中垂线. 3. 常在折叠后利用勾股定理求未知线段（设未知数，用含x的式子表示其他边）. 【典例1】．如图，将一个矩形纸片三次折叠：第一次沿折线折叠，使角落在边的点；第二次展开后沿折线折叠，使角落在折痕的点；第三次沿折线折叠，使角恰好落在折痕的点．已知折叠后，纸片无拉伸，则______． 【答案】 【详解】解：∵矩形纸片， ∴， ∵折叠， ∴，，，， ∴，四边形为正方形，， ∴，，，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使边和重合，折痕交边于点E，展开后进行第二次折叠，第二次折叠经过点B，使边和重合，折痕交边于点F，展开后如图所示．当时，若，则的长是_______． 【答案】6 【详解】解：在平行四边形中，， ∴． 由第一次折叠可得， ∴， ∴． 由第二次折叠可得， ∴， ∴． ， ∴， ∴． ， ∴． ， ∴， ∴． 【变式2】．如图，已知长方形纸片的长，宽，点均在上(在左侧)，先将纸片沿折叠，记点的对应点为，再将纸片沿折叠，使得的对应线段，连接，若折叠过程保持，分别在长方形的外部和内部，当时，的长为_____． 【答案】 【详解】解：连接，交于，设交于点，如图： ∵四边形是长方形纸片， ∴， 由翻折的性质可知，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 根据勾股定理可得，， 可得： 故答案为： 题型十 四边形相关最值问题 解｜题｜技｜巧 1. 利用“两点之间线段最短”求折线和最小 这是最主流的题型，核心是作对称点。 2. 利用“垂线段最短”求动态线段最小值 当一个动点在与某条直线平行的直线上移动时，求它到一个固定点距离的最小值。这时直接作该固定点到直线的垂线，垂足即为最小点。 3. 利用“三角形三边关系”求线段差最大或范围 比如求 |PA - PB| 的最大值：连接A、B并延长与动点所在直线相交，交点即最值点，最大值为AB长。 4. 构造“将军饮马”及其变式 很多复杂最值可还原为“将军饮马”模型。 【典例1】．如图，在菱形中，对角线，，点、分别是边、的中点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是_______． 【答案】 【详解】解：设与交于点，作点关于的对称点，连接，， ∴，则的最小值为的长， 四边形是菱形， 关于对称，， 点在上，且， 点是的中点， 点是的中点， ， 点是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即的最小值为3． 【变式1】．如图，矩形中，，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，连接，则当_______时，有最小值，的最小值为______ 【答案】 1 【详解】解：过作，   正方形， ，， ， ， ，且，， ， ，， ， 当时，的最小值为． 【变式2】．如图，在正方形中，是边上的一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段（在正方形内），连接，再将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．若，，则的长的最小值为______，的长的最小值为______． 【答案】 / 2 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∴要使的值最小，即要使的值最小， ∵， 如图1，当，，三点共线时，的值最小． ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴的长的最小值为， ∴的长的最小值为． 如图2，连接， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长的最小值即为线段的长的最小值． ∴当，，三点共线时，最短，即此时最短， 在中，， ∴的长的最小值为． 故答案为：；2． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1.（山东省青岛市市南区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点O， ∴，，， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∵点E，F分别是线段，的中点， ∴， 故选：B． 2．（山东省青岛市崂山区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）如图，直线，四边形为平行四边形，顶点B恰好落在直线n上，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 故选：C． 3．（山东省青岛市市南区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题）如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．连接、两点，过点作于点，根据平行四边形的面积与三角形的面积公式推出，由三角形的面积公式推出，，进一步推出，，根据、阴影部分的面积得出答案即可． 【详解】解：连接、两点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的边上的高与的边上的高相等，的边上的高与的边上的高相等， ∴，， ∴，即， ，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 4．（山东省青岛市崂山区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）如图，在中，，的垂直平分线经过点C，与交于点R，的角平分线分别与，交于点Q，P，连接，则_________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵的角平分线与交于点， ， ， ， ， ∵的垂直平分线经过点， ， ， ， 故答案为：． 5．（山东省青岛市市南区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题）已知，如图，的对角线，相交于点，过点，分别交，于点，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则的边上的高为________． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点，于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的边上的高为， 故答案为：． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1.如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：A、两组对边分别平行，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、两组对边分别相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故该选项符合题意； D、一组对边平行且相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意． 2．（山东省青岛市即墨区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷）如图，的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点，若，的周长是18，则的长度是（   ）    A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∵点分别是线段的中点， ∴， 故选：A． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点A，B，D的坐标分别为，，，以点B为圆心，以的长为半径画弧交x轴于点E，则点E的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，由矩形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，即可求点E坐标． 【详解】解：∵矩形的边在x轴上，，，， ∴，，， ∴， ∵以点B为圆心，以的长为半径画弧交x轴于点E， ∴，且， ∴点或， 故答案为：或． 4．如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为_______． 【答案】 5 【分析】先证明是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由矩形的性质即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，是边的中点， 是的中位线，， ∴， ， ， ， ， ． 5．（山东聊城市东昌府区多校2024——2025学年第二学期期末考试八年级数学试题）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： (1)选择其中一种方案并证明． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【详解】（1）证明：甲方案：如图，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴，． ∵，分别为，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； 乙方案：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵四边形和四边形都为平行四边形， ∴，， ∴． ∵ ， ∴， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ， 答：的面积为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（山东省济宁市嘉祥县2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题）如图，正方形由四个全等的直角三角形（），和中间一个小正方形组成，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（山东省东营市垦利区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制））如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于点，连接，．有下列结论：①；②四边形是菱形；③四边形是矩形；④．其中正确结论的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，，， 、分别为边、的中点， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， 故①正确； ， ， ， 四边形是菱形， 故②正确； ，交的延长线于点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 故③正确； 设，，则， ，， ， ，， ∴， 故④错误， 故选：C． 3．（山东省济南市长清区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷-）如图，在菱形中，，点和分别是和上一点，沿将折叠，点恰好落在边的中点上．若，则的长为______． 【答案】 【详解】解：作交的延长线于点，则， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，，点为的中点， ， ， 由折叠得， ，且， ， 解得， ， ， 故答案为： 4．（山东省淄博市淄川区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（五四学制））如图，在矩形中，，，平分交于点，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 又∵， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（山东省济宁市嘉祥县2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题）如图，菱形中，，相交于点，于点，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， 在与中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）证明：∵四边形是矩形， ， ， 在与中 ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， ∴四边形是菱形． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $