专题04 图形的平移与旋转（期末复习讲义+10重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材青岛版

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04图形的平移与旋转（期末复习讲义） 内容导航 明期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破•重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01平移相关坐标求解 题型02利用平移性质求解 题型03平移相关综合题 题型04求旋转中心 题型05 求旋转角 题型06利用旋转求坐标 题型07旋转相关规律性问题 题型08 平移相关网格作图 题型09旋转相关网格作图 题型10旋转相关几何证明压轴题 过分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期未考情 核心考点 复习目标 考情规律 平移变换 对应点连线平行且相等；对应线段平行 多以选择题、填空题形式出现。 且相等。 旋转变换 对应点到旋转中心距离相等；对应点与 此类题目多在选择题中考查，是基础必考 中心连线夹角等于旋转角。 内容。也会考察旋转相关几何综合题。 图形的中心对称 1.中心对称图形：一个图形绕某点旋转 常将中心对称与平行四边形结合，因为平 180°后与自身重合.2.两个图形成中心对 行四边形是典型的中心对称图形·若直线 1/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 称：一个图形绕某点旋转180°后与另 平分平行四边形面积，则直线必经过对称 个图形重合.3.关键区分：中心对称图形 中心。 是一个图形的自身性质；成中心对称是 两个图形之间的关系. 记·必备知识 民知识点01平移变换 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平 移，平移不改变图形的形状和大小。 2.平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一 条直线上)且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等. 3.平移与坐标变换： (1)点的平移：点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x,y)向右（或左）平 移a个单位长度，可以得到对应点(x+a,y)(或(xa,y));将点(x,y)向上（或下）平移b个单 位长度，可以得到对应点(x,y+b)(或(x,y-b). 要点上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换。 (2)图形的平移：平移是图形的整体运动.在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化， 则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加 下减，横不变”. 昼知识点02旋转变换 1.旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动 称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 2.旋转变换的性质： 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋 2/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 转中心的连线所成的角都等于旋转角：对应线段相等，对应角相等 3.旋转作图步骤： ①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. ②分析所作图形，找出构成图形的关键点。 ③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各项点和旋转中心所连线段，从而作出图形中各关键 点的对应点。 ④按原图形连结方式顺次连结各对应点. 尽知识点03图形的中心对称 1.中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两 个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称 的. 2.中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重 合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心 3.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求： ②分析设计图案所给定的基本图案： ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合 ④对图案进行修饰，完成图案 4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两 个图形是全等的. 破·重难题型 平移相关坐标求解 答|题模|板 3/32 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P(-3,4) 将点 向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的点的坐标是() A.（-2,2) 8.(4,2) c.（4,6) D.（2,6) 已知点P的坐标为34) :向下平移2个单位，纵坐标需要减2， ∴平移后纵坐标为4-2=2， 再向左平移1个单位，横坐标需要减1， .平移后横坐标为-3-1=-4， 最终得到的点的坐标是 -4,2) 故选B, 【典例1】点M2,-1向上平移2个单位长度得到的点的坐标是() A.(2,) 8.(4,-) c.(2,-3) D.(2,0) 【交式1】.在平面直角坐标系中，将点M(43)向下平移5个单位长度后得到的点的坐标是() A.(93) B(,3) c.（4,-2) D.(-48) 【变式2】.在平面直角坐标系中，将点4(0,4 向左平移3个单位长度再向下平移2个单位长度得到点 B,则点B的坐标是() A.(3,6) 8.（3,2) c.(2,7) D.(3,6) 题型二 利用平移性质求解 答题模|板 如图，将△ABC沿BC方向平移2个单位长度得到△DEF,点B的对应点E在边BC上，连接AD,若 四边形ABFD的周长为15，则△ABC的周长为() 4/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.7 B.9 C.11 D.13 解：·将△ABC沿BC方向平移2个单位长度得到△DEF, ∴AC=DF、AD=CF=2 ·四边形ABFD的周长为15， .AB+BF+DF+AD=15 .AB+BC+CF+AC+AD=15 .AB+BC+2+AC+2=15 .AB+BC+AC=11 即△ABC的周长为11. 【典例1】.如图，将一块三角尺ABC沿一条直角边CB所在的直线向右平移若干个单位长度到△A'B'C'的 位置.若四边形A4'B'C的周长为a,△ABC的周长为b,则向右平移的单位长度为() B B 1 B.3a-b C,atib a-b A.a-b 2 2 D.2 【变式1】.如图，将△ABC沿BA方向平移到△AB'C',若AB=4,AB'=1,则平移距离为() B A.2 B.3 c.4 D.5 【变式2】，如图，在△ABC中，I为∠A的平分线和∠B的平分线的交点，AB=4,AC=3,BC=2, 5/32 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 将∠ACB平移，使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为() A.3 B.4 C.5 D.6 巴题型三平移相关综合影 答引题|模|板 如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,BC=5,将三角形ABC沿直线BC向右平 移3个单位得到三角形DEF,连接AD,则下列结论： ①ACIIDF,AC=DF: ②∠EDF=90°： ③四边形ABFD的周长是18： ④AD:EC=3:2: ⑤点A到BC的距离为2.4. 其中正确结论的个数有() A D B E A.5 B.4 C.3 D.2 解：设AC与DE的交点为H,如图所示： A D B :AC=4,将三角形ABC沿直线BC向右平移3个单位得到三角形DEF,连接AD, 根据平移的性质知，AC=DF=4,ACIIDF,AB/IDE,.AD=CF=BE=3,故①正确： 6/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「：ZBAC=90°， :.∠EHC=∠BAC=∠EDF=90°，故②正确： ,AB=3,BC=5, I∴四边形ABFD的周长为 AB+BF+DF+AD=AB+BC+CF+AC+AD=3+4+5+6=18,故③正确： :EC=BC-BE=5-3=2, .AD:EC=3:2,故④正确； 过点A作AG⊥BC于点G,则AG即为点A到BC的距离，如图， :4G=3x4 2.4,故⑤正确： 正确的个数有5个； 故选A. 【典例1】.如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF,连接CF,AD=1,EF=4, 4 CH= 3,三角形ABC的周长为12·下列结论： D B 20 ①BH∥EF:②AD=BE:③∠ACB=∠DFE:④四边形ACFE的周长为14：⑤阴影部分的面积为3，其 中正确的个数为()· A.2 B.3 C.4 D.5 ABC(∠ABC=90） 【变式1】.如图，将直角三角形 沿AB方向平移2cm得到三角形DEF,DF交BC于 点H,CH=3cm,EF=7cm,对于下面四个结论： 7/32 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①ADCF AD=CF ②CF⊥EF ③ AEFC ABC 4cm 四边形 的周长比三角形 的周长大； ④ ADHC 11cm2 四边形 的面积是 其中，正确的个数为() D H E A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式2】.如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,BC=5,将三角形ABC沿直 线BC平移1.5个单位得到三角形DEF,连接AD.有下列结论：①三角形DEF是直角三角形：② AD∥BEDE⊥AC ABFD DEF :③ ④四边形 的周长是15；⑤三角形“的面积是6.其中正确的结论有 () D E A.①②④ B.②③④ C.①②④⑤ D.①②③④⑤ 题型四 求旋转中心 答引题模板 L如图，在平面直角坐标系Oy中，△ABC绕某个点顺时针旋转90°后得到△DEF,则旋转中心的坐标 8/32 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是() C -2-10 A.（-1,0) B,(0,-2) c.(0-) D.(1,-2) 解：旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，连接AD、BE,分别作AD、BE的垂直平分线， 相交于点G,如下图 B 在坐标系中描下选项中的点，判断到对应点的距离，到两组对应点距离分别相等的点，就是旋转中 0,-1) 心， 本题旋转中心是图中的点G,坐标为 A(1,2) B(5,-2) 【典例1】.在平面直角坐标系中，点 绕点P旋转后得到点 则旋转中心的坐标为 () A.(4,3) B.(5,3) c.(6,3) D.(7,3) 【变式1】.如图，在6×4的方格纸中，格点△ABC(三个顶点都是小正方形的顶点的三角形)经过旋转 后得到格点△DEF,则其旋转中心是() 9/32 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M B A.格点M B.格点V C.格点P D.格点2 【变式2】.如图，在4×4 的正方形网格中，格点△MMNP △M,N,R 某点旋转一定角度，可得格点 ,则旋 转中心是() D M N A.点A B.点B C.点C D.点D 题型五求旋转角 答引题|模板 如图， △ABC绕点B逆时针方向旋转到△4'BC'的位置，若∠A=15°，∠C=20°，且A'、B、C在同 一直线上，则旋转角度是() B A.15° B.20° C.35 D.145° 解：：∠A=15°，∠C=20°，且A、B、C在同一直线上， .∠ABA'=∠A+∠C=35° 10/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由旋转的性质可得旋转角度是35°， 故选：C 【典例1】.如图，三角形ABC绕点A顺时针旋转得到三角形AEF.∠BAC=25°，∠α=45°，则旋转角 的度数是() A.20° B.25o C.65 D.70 【变式1】.如图，点A,B,C,D,O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转 而得，则旋转的角度为() A.30° B.45° C.90° D.135° 【变式2】，如图，在△ABC中，∠B=50°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE,点D恰好落在BC 的延长线上，则旋转角的度数() B A.70° B.80° C.90° D.100° 利用旋转求坐标 答|题|模|板 11/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在平面直角坐标系中，将 点43)绕原点0逆时针旋转0°得到点，则4的坐标是〈) A.（3,) 8(3,-1) c3,-1) D.(1,-3) 解：知图，过点A作N上辅， AM⊥x 轴，垂足为点 N,M∠AM0=∠ONA=90° ，则 M ,A1,3) .ON=1,AW=3 OA=OA∠AOA=90° 由旋转可得， ∠AON=∠OAM=90°-∠AOM △AON≌△OAM(AAS) ON=AM=1,MO=AN=3 的坐标是(3) 【典例1】.如图，把直角坐标系xO放置在边长为1的正方形网格中，O是坐标原点，点A、B、C均在 格点上，将△ABC绕O点按逆时针方向旋转90°后，得到△A'BC,则点A的坐标是() 12/32 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A.（51) 8 (5,-) .（15) D.(亿-) 【变式1】.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴上，顶点C的坐标为 3,4) 若点B 绕着点0以每秒90°的速度逆时针旋转，则2026秒后，点B的坐标是() C A A.(84) B.（8,-4) c.（~4,8) D.(84) 【变武2】.如图，在平面直角坐标系中，△MC位于第四象限，点C的坐标是亿-)，把△M8C向左平 移5个单位长度得 △A,B,C △ABC ，再将 点按顺时针方向旋转0，得到△4B,C,则点C的坐标 是() 5 4 3 2 5-4-3-2-1012n3453x B 13/32 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.（13) 8.(3) c.(0-3) 。.(3-1) 巴型七 旋转相关规律性问题 答|题模板 如图，正方形ABCD的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为L,O),以AB为边构造菱形ABEF,点E 在x轴上，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2026次 族转结束时，点P的对应点P“的坠标为() VA D A.~12) B.（-2,-0 c.W2,-0 D.(-l-V2) 解：360°÷90°=4， 2026÷4=506…2 .每4次旋转为一个循环， ,即第2026次旋转结束时，点 的坐标与第2次旋 转结束时点的坐标相同， 由题可得，点 5与点P关于原点对称，连接OF A D :B(1,0) ∴由正方形可得，OA=OB=1 14/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.AB=OA2+OB2=2 :四边形ABCD是菱形， AF=AB=√2 1F(√2,1) E(2,-10 点F的对应点 的坐标为5，-D。 【典例1】.如图所示，矩形ABOC的顶点O为坐标原点，BC=2,对角线OA在第二象限的角平分线上. 若矩形从图示位置开始绕点O以每秒45°的速度顺时针旋转，则第2026秒时，点A的对应点的坐标为 () B A.(2,0) B.(0,2) c.(,v2 。.(2,-2) 【变武1】.如图，菱形1BCD对角线交点与华标原点O重合，点C2-5), 将菱形绕原点O逆时针旋转， 每次旋转45°，则第100次旋转结束时，点C的对应点的坐标为() A.（2,5) 8.(2,-5) c.(5-2) D.(5,2) 【变式2】.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB位置如图，∠OBA=90°，点B的坐标为 15/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (L0）,每一次将△01B绕点0逆时针旋转0°，同时每边扩大为原米的2倍，第一次旋转得到0A8,第 二次旋转得 △OAB,…,以此类推，则点 2026 的坐标是() B ●●● A2 A A.(2,-2）.(20,20）c.（←2m,2）D.(2,-2） 题型八平移相关网格作图 答|题模|板 如图，在平面直角坐标系xOy中，△4BC的三个顶点的坐标分别为4(-3,2)，点B,点C在格点（网 格线交点)上.将△1BC平移，使点1平移到点4，-D △ABC ”处，得到 ,其中点B,C的对应点分 B 别为点、点 16/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 ZB 4-3-2 456 3 △ABC (1)画出 2)若△4BC内一点 (a-b,a+2b 平移后的对应点为 (3-2a,2a+3b) ,求点P的坐标」 △ABC (1)解：如图， 即为所求。 3 -2 2.3456x B 2P(1,-5) 【详解】(1)略 A(-3,2) A(L,-1) (2)解：由 平移到点 知， 平移方法是：向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度， a-b+4=3-2a 1a+2b-3=2a+3b, a=-1 b=-2 17/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-b=-1-(-2)=1a+2b=-1+2×(-2)=-1-4=-5 .P(1,-5) 【典例1】.如图，在平面直角坐标系中，己知三角形1BC的三个顶点坐标分别为 (4,3)B(3,0) c1,2) X (1)在图中画出三角形ABC: (2)将三角形ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，在图中画出平移后得到的三角形 ABC .A B ,并写出点，的坐标. 【变式1】，如图，在小正方形的边长为1个单位长度的网格中，已知△ABC各顶点都在格点（网格线的 交点)上.仅用直尺在网格中完成下列画图. 。 (1)画出△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的△AB'C'; (2)画出△ABC的高AH. 18/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】.在如图所示的平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点都在格点上. 5 4 A B 5-43-2-11O12.345x + 3 44 (1)分别写出三角形ABC的三个顶点的坐标： (2)点D的坐标为 么，-2），将三角形BC平移，使点A平移到点D,画出平移后的三角形DEF,其中点 B、C的对应点分别为点E、F 慰型九 旋转相关网格作图 答1题|模板 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，坐标分别为A(2,2),B(1,0),C(3,1). y (1)画出△ABC沿水平方向向左平移4个单位长度的 MBC,并直接写出4、 的坐标： 19/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 90 (2)画出将△ABC绕原点O顺时针旋转0所得的 4,C,并直接写出、C的坐标： C2 △A,B,C2 3 由AM4BC绕点G旋转0得到，则点G的坐标为 90° 可由 1)解：如图1，△A1B1C1即为所求作的三角形，由图可知4(2,2)、C(L), y个 A C B 图1 (2解：如图，△A2B2C2即为所求作的三角形，由图可知4(2-2)、C(-3), A C B 0 B B2 A C2 图2 (3)解：设G(0,y0), :A4B,C可由A4BC绕点G旋转0得到，42,2)、C(L山42-2)、C-3) [x-(2)]+(-2}=(x-2y+[-(2)] [x-(+(-1=(-1+[-(3) x=% 化简得x=2y+2, 20/32 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x0=-2 解得y。=-2, ∴.G(-2,-2), 故答案为：G(-2,-2), 【典例1】.如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的△ABC,请画出将△ABC绕点C旋转180°得到的 △A'BC,(需写出△A'B'C各顶点的坐标)， 个y 6 5 L 3 7-6-5-4- -10 1234567x 【变式1】，如图，平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，A(-1,4),B(-4, 1).解答下列问题： y X 21/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)将线段AB绕原点O旋转180°得到线段CD,再将线段CD向下平移2个单位长度得到线段EF,画出线 段CD和线段EF,请说明你的画法， (2)在(1)的条件下，线段AB上存在点Q(a,b),则其在线段EF上的对应点O的坐标为一 (3)如果线段AB可以通过一次旋转得到线段EF,则旋转中心P的坐标为一· A(3,0)B(0,4) 【变式2】.在平面直角坐标系中，O为原点，点 ,点 把△AB0绕点A顺时针旋转，得 △AB,O1 B O ,点B,O旋转后的对应点为，，记旋转角为a. A Q A 图1 图2 备用图 (1)如图1，若x=90° △AB,O B 请利用网格画出 ,并求的坐标： 2)如图2，若0=60° ,求点的坐标： B若M为OB边上的一-动点，在OA上取一点N0),将△4B0绕点A顺时针旋转一用，求0的取值范 围（直接写出结果即可）， 22/32 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ☑感型十虎转相关几何证明压轴感 答|题模板 如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上，AD=AE,连接 DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点. y D D B N 图1 图2 (1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是_，位置关系是_： (2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断△PMN的 形状，并说明理由： (3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最 大值 (1)解：：点P,N分别是CD,BC的中点， PN∥BD' PN=IBD 2 :点P,M是CD,DE的中点， ·PM∥CE, PM-CE. .AB=AC,AD=AE, .BD=CE, .PM=PN, .PN∥BD,PM∥CE. .∠DPN=∠ADC,∠DPM=∠DCA, :∠A=90° .∠ADC+∠DCA=90°. ∴.∠MPN=∠DPN+∠DPM=∠ADC+∠DCA=90°， ∴PM⊥PW, 23/32 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1中，线段PM与PN的数量关系是PM=PN,位置关系是PM L PN; (2)解：△PMN是等腰直角三角形.理由如下： ,把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置， .∠BAC=90°=∠DAE, .∠BAC-LDAC=∠DAE-LDAC,即LBAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， (AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE △ABD≌AACE(SAS) .∠ABD=∠ACE,BD=CE, ,点P,N分别是CD,BC的中点， PN∥BD' PN=-BD :点P,M是CD,DE的中点， PM∥CE, PM-7CE, i.PM=PW」 PN∥BD,PM∥CE. .∠PNC=LDBC,∠DPM=∠DCE. :LDPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC. ∴.∠MPN=∠DPM+∠DPN =∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC =∠ACB+∠ACE+∠DBC =∠ACB+∠ABD+∠DBC =∠ACB+∠ABC, .∠BAC=90°， .∠ACB+∠ABC=90°. ∴.∠MPN=90°， 24/32 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△PMN是等腰直角三角形： (3)解：由（②）知：APMN是等腰直角三角形，且PM=PW=BD, .SAP PM.PN=xBDx-BD= 2 2 8 BD最大时，△PMN的面积最大， :△ADE绕点A在平面内自由旋转，AD=4,AB=10, ∴当D在BA的延长线上时，BD最大 此时BD=AB+AD=10+4=14」 :Saw=BD=x14=49 1 8 , 49 即aPMN面积的最大值2， 【典例1】·综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们讨论有关三角形的旋转问题. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,D,E分别为AC,BC的中点，将△CDE以点C为 (0<a<360) 旋转中心，顺时针方向旋转 后得到△CMN(点D,E的对应点分别为点M,N),连接 AM,BN. 【初步感知】 (1)如图2，当B,N,M三点恰好在同一条直线上，且点N在线段BM上时，∠CAM的度数为 (用含的式子表示) (2)如图3，在旋转过程中，试判断线段AM和BN之间的数量关系和位置关系，并说明理由. 【延伸探究】 (3)如图4，当a满足135<a<225时，连接AN,BM,若设△4CW与△BCM的面积之和为S,则S是 否存在最大值？若存在，请求出S的最大值：若不存在，请说明理由. 25/32 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M C D B B 图1 图2 图3 图4 【变式1，在△C中，∠ACB=90,∠AC=30,AC=25,将△1BC绕顶点C顺时针能转，旋转 角为0°<0<360)，得到△B'C. A A E ⊙ B' 图1 图2 图3 (1)如图1，若旋转角日=20°，求∠ABB的度数： 2)如图2，当4B∥CB C△OCD 时，设B与CB相交于点D,48与B交于点”，连接CO,求 的面积： (3)如图3，设AC中点为E,线段AB上有一动点P,连接EP.在旋转过程中，线段EP的长度是否存在 最大值和最小值？如果存在，请直接写出这个最大值与最小值 【变式2】.如图，Rt△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，D为射线AC上一点，过点D作DE L AB于点 E,F是BD的中点. D D B (1)如图1，FE与FC有何关系，并说明理由； (2)如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，使点D落在△ABC内部，判断(1)中的结论是否还成立？如果 不成立，请说明理由，如果成立，请证明： 26/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)将△ADE绕点A顺时针旋转75°，若CA=4,且CB⊥BD,连接CE,请直接写出△CEF的面积. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(山东省济南市长清区2024一2025学年下学期八年级期末数学试卷-)第33届夏季奥林匹克运动会上， 中国体育健儿展现了强大的中国自信与中国力量，共获得40枚金牌.下列体育运动图标中，不是中心对称 图形的是() 效 自由方小轮车 游泳 乒兵球 网球 2.(山东省菏泽市曹县2024-2025学年下学期八年级期末考试数学试题)如图，Rt△ABC中， ∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB'C',连接CC'.若∠CCB'=30°，则∠B的度 数为() B A A.650 B.70° C.75 D.80° 3.如图所示的是某商场门前的台阶，现该商场经理要在台阶上铺上一块矩形红地毯，则这块红地毯的长 至少为 8m m 10m 4.(山东省青岛市市北区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷)如图，将正方形ABCD先向右平移， 使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转90°，得到四边形ABCD',则点A的对 27/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 应点A的坐标是 1-2 5-4-320 345 3 -4 5.(山东省济南市平阴县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷)如图，在平面直角坐标系中，已 知点A-2,2),B(-1,4),C(4,5),请解答下列问题： 7 6 3 A 6543-2-1Q 12.3.4.5.67 )若△ABC △ABC C (1,-1) △ABC 经过平移后得到 ,已知点的坐标为 ,请作出 2)将△AB 绕点A 按顺时针方向旋转 得到4AB,C 90° AB2C2 请作出 ；并写出点的坐标 3)在平面上是否存在点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合 条件的所有点D的坐标，若不存在，请说明理由. 28/32 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 期末重难突破练（测试时间：12分钟） 1.(山东省济南市长清区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷-)如图，在△ABC中， ∠BAC-110°，∠C=25°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C,若点B'恰好落在BC边上， 则∠B'AC的度数为() B A.10° B.15° C.20° D.25° 2.(山东省青岛市崂山区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题)如图，两个全等的等腰三角形 重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到aDEF的位置.若∠C=30°，AC=BC=9,DG=3,则 阴影部分的面积为() A.16 B.18 C.20 D.22 3.(山东省济南市平阴县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷)若将点 A1,3) 向左平移2个单位 后得到的点的坐标为 4.(山东省滨州市阳信县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题)如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2cm,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C',使点C落在AB上， 连接BB,则BB的长为一 29/32 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B C 5.(山东省日照市营县第三中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷)如图，△ABC三个顶点的坐 标分别为 A(2,4)B(1,1)C(4,3) 3 2 B 5-4-3-2-1012345x 2 -1------ 1)请画出△AB 绕点0逆时针旋转90°后 的△4B,G,并写出点的坐标： C (2)请画出△ABC关于原点O成中心对称后的△4，B,C: PA-PB (3)在x轴上存在一点P,使得 最大，直接写出点P坐标. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.(山东省菏泽市定陶区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题)如图所示，在Rt△ABC中， ∠ACB=9O°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△AB'C,点M是BC的中点，点P是AB的中点，连接 PM.若BC=4,AC=6,则线段PM长度的最小值是() 30/32 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A 2v2 B3-2 C.2 D.2v6-1 2,(山东省青岛市即墨区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷)如图，Rt△0CB的斜边OB在 轴上， 0C=5,∠B0c=0,直角顶点C在第二象限，将R1△0C 绕原点顺时针旋转 120° 0后得到 △OCB',则B点的对应点B的坐标是 ⊙ C 30 3.(山东省青岛市李沧区、城阳区、西海岸、平度市、胶州市五区20242025学年八年级下学期期末联考 数学试题)如图，在四边形ABCD中，∠BAD=50°，AC平分∠BAD.将四边形ABCD绕点A按逆时针 方向旋转一个角度，得到四边形ABCD,且∠CAD'=I00°，则四边形ABCD旋转的角度是° B B 4.(山东省青岛市李沧区、城阳区、西海岸、平度市、胶州市五区2024-2025学年八年级下学期期末联考 数学试题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2.将△ABC绕点C顺时针旋转得到 △EFC,点E恰好落在AB上，连接FB,则FB的长度为一 31/32 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B E 5.(山东省菏泽市单县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题)实践探究题 【问题情境】 在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠BAC=90°， AB=AC,点D为斜边BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接CE. B 图1 图2 图3 (1)【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明： (2)【探究应用】如图2，点D为等腰直角三角形ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段 AE,连接CE.若B,D,E三点共线，求证：∠BEC=9O°； ABC √2 D BC (3)【拓展提升】如图3，若等腰直角三角形的直角边长 22,点D是线段C上的动点，将线段 AD绕点A逆时针旋转9O°得到线段AE,连接DE,CE.点D在运动过程中，当△DEC的周长最小时， CE的长为-（直接写答案）· 32/32 专题04 图形的平移与旋转（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平移相关坐标求解 题型02 利用平移性质求解 题型03 平移相关综合题 题型04 求旋转中心 题型05 求旋转角 题型06 利用旋转求坐标 题型07 旋转相关规律性问题 题型08 平移相关网格作图 题型09 旋转相关网格作图 题型10 旋转相关几何证明压轴题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平移变换 对应点连线平行且相等；对应线段平行且相等。 多以选择题、填空题形式出现。 旋转变换 对应点到旋转中心距离相等；对应点与中心连线夹角等于旋转角。 此类题目多在选择题中考查，是基础必考内容。也会考察旋转相关几何综合题。 图形的中心对称 1.中心对称图形：一个图形绕某点旋转180°后与自身重合.2.两个图形成中心对称：一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合. 3.关键区分：中心对称图形是一个图形的自身性质；成中心对称是两个图形之间的关系. 常将中心对称与平行四边形结合，因为平行四边形是典型的中心对称图形 · 若直线平分平行四边形面积，则直线必经过对称中心。 知识点01平移变换 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等． 3. 平移与坐标变换： (1)点的平移：点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 要点上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换． (2)图形的平移：平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 知识点02 旋转变换 1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 2.旋转变换的性质： 　一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等. 3.旋转作图步骤： 　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　②分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 知识点03 图形的中心对称 1．中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的． 2.中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 3.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合 ④对图案进行修饰，完成图案. 4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的． 题型一 平移相关坐标求解 答｜题｜模｜板 将点向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 已知点的坐标为， 向下平移个单位，纵坐标需要减， 平移后纵坐标为， 再向左平移个单位，横坐标需要减， 平移后横坐标为， 最终得到的点的坐标是， 故选B． 【典例1】点向上平移个单位长度得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵平移变换中，点上下平移时横坐标不变，向上平移纵坐标增加平移的单位长度， ∴点向上平移个单位长度得到的点的坐标是，即． 【变式1】．在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度后得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点的坐标为，向下平移个单位长度， ∴平移后点的横坐标为，纵坐标为， ∴平移后得到点的坐标是. 【变式2】．在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵点的坐标为，将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 题型二 利用平移性质求解 答｜题｜模｜板 如图，将沿方向平移个单位长度得到，点的对应点在边上，连接，若四边形的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 解：将沿方向平移个单位长度得到， 、 四边形的周长为， 即的周长为11． 【典例1】．如图，将一块三角尺沿一条直角边所在的直线向右平移若干个单位长度到的位置．若四边形的周长为a，的周长为b，则向右平移的单位长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出，，然后结合平移的性质确定，作差即可求解． 【详解】解：四边形的周长为a， ∴． ∵的周长为b， ∴． 由平移的性质，得， ， ，即向右平移的单位长度为． 【变式1】．如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可知对应线段相等，对应点之间的距离即为平移距离，结合图形利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：∵将沿方向平移到， ∴平移距离为线段的长，且， 由图可知，点在线段上 ∵，， ∴， ∴平移距离为3． 【变式2】．如图，在中，I为的平分线和的平分线的交点，，，，将平移，使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：连接，设阴影部分与的交点为，如图所示： ∵I为的平分线和的平分线的交点， ∴， 由平移可知：， ∴， ∴， ∴的周长为， 即阴影部分的周长为． 题型三 平移相关综合题 答｜题｜模｜板 如图，在三角形中，，，，，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接．则下列结论： ①，； ②； ③四边形的周长是18； ④； ⑤点到的距离为2.4． 其中正确结论的个数有（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 解：设AC与DE的交点为H，如图所示： ∵，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接， ∴根据平移的性质知，，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴四边形的周长为 ，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 过点A作AG⊥BC于点G，则AG即为点A到BC的距离，如图， ∵， ∴，故⑤正确； ∴正确的个数有5个； 故选A． 【典例1】．如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，连接，，，，三角形的周长为．下列结论： ①；②；③；④四边形的周长为；⑤阴影部分的面积为．其中正确的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：由平移可知，在上，因此，①正确； 平移距离相等，即，②正确； 平移后对应角相等，故，③正确； 四边形的周长， 周长为12，， 周长，④正确； ， ， 阴影面积 梯形的面积 ⑤错误， 综上，正确的个数为4． 【变式1】．如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，交于点，，，对于下面四个结论： ，； ； 四边形的周长比三角形的周长大； 四边形的面积是． 其中，正确的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：由平移的性质可知，，，故正确； ， ． 由平移可知，， ，故正确； 四边形的周长为， 的周长为， 由平移可知，， ， 周长之差 ，故正确； ， ． ，， ， ， 四边形的面积是，故正确． 综上所述，正确的结论有个． 【变式2】．如图，在直角三角形中，，，，，将三角形沿直线平移1.5个单位得到三角形，连接．有下列结论：①三角形是直角三角形；②；③；④四边形的周长是15；⑤三角形的面积是6．其中正确的结论有（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】根据平移的性质得到相关结论，逐项判断即可． 【详解】解：①由平移可知，， ∴三角形是直角三角形，故①正确； ②由平移可知，，故②正确； ③由平移可知，， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④∵三角形沿直线平移1.5个单位得到三角形， ∴，， ∴四边形的周长，故④正确； ⑤由平移可知，，，， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有①②③④⑤． 题型四 求旋转中心 答｜题｜模｜板 如图，在平面直角坐标系中，绕某个点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（     ） A． B． C． D． 解：旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，连接、，分别作、的垂直平分线，相交于点G，如下图 在坐标系中描下选项中的点，判断到对应点的距离，到两组对应点距离分别相等的点，就是旋转中心，本题旋转中心是图中的点G，坐标为． 【典例1】．在平面直角坐标系中，点绕点旋转后得到点，则旋转中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 旋转中心到对应点的距离相等，即 ， ∴ 点在线段的垂直平分线上， 已知 ，， ∴的中点坐标： 横坐标为 ，纵坐标为 ，即中点为 ， 设点，则，， ∵， ∴, 解得：，则点的坐标为， 设线段的垂直平分线解析式为， 将点与代入解析式中， 得，解得， ∴线段的垂直平分线解析式为， 将各选项的点代入，只有C满足． 【变式1】．如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是小正方形的顶点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是（   ） A．格点 B．格点 C．格点 D．格点 【答案】D 【分析】先由图中两个三角形各边的长度得出旋转图形的对应顶点，再由旋转性质求解即可找到旋转中心． 【详解】解：由图可知，， 的对应点为、的对应点为、的对应点为， 由旋转性质可知，对应点与旋转中心的连接构成的线段相等，则格点中只有， 即其旋转中心是格点． 【变式2】．如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 题型五 求旋转角 答｜题｜模｜板 如图，绕点逆时针方向旋转到的位置，若，，且、、在同一直线上，则旋转角度是（    ） A． B． C． D． 解：∵，，且、、在同一直线上， ∴， 由旋转的性质可得旋转角度是， 故选：C． 【典例1】．如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵三角形绕点顺时针旋转得到三角形， ∴是旋转角， ∵，， ∴， ∴旋转角的度数是， 故选：D． 【变式1】．如图，点，，，，都在方格纸上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察题图结合网格特点可知，， ，即旋转角为． 故选：D． 【变式2】．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由旋转的性质得：， ． ． ∴旋转角为． 故选：B． 题型六 利用旋转求坐标 答｜题｜模｜板 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 解：如图，过点作轴，轴，垂足为点，则， ∵， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标是． 【典例1】．如图，把直角坐标系放置在边长为的正方形网格中，是坐标原点，点、、均在格点上，将绕点按逆时针方向旋转后，得到，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据坐标系网格可得，旋转前点的坐标为， ∵点绕坐标原点逆时针旋转后，对应点的坐标变换规律为， ∴将代入规律，得： ，， ∴的坐标为． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点的坐标为．若点绕着点以每秒的速度逆时针旋转，则2026秒后，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点C作轴于点H， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴轴， ∴点B的坐标为， 如图，延长交y轴于点D，设点绕着点旋转1秒到达点的位置，过点作轴于点E，连接，则，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点， 同理点绕着点旋转2秒到达点， 点绕着点旋转3秒到达点， 点绕着点旋转4秒到达点， ……， ∴每旋转4秒是一个循环， ∵， ∴2026秒后，点的坐标是． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，点的坐标是，把向左平移个单位长度得到，再将绕点按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题意画出，结合网格写出坐标即可． 【详解】解：如图所示： 由图可知，点的坐标为． 题型七 旋转相关规律性问题 答｜题｜模｜板 如图，正方形的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为，以为边构造菱形，点E在x轴上，将菱形与正方形组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点F的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 解：， ∴每4次旋转为一个循环，，即第2026次旋转结束时，点的坐标与第2次旋转结束时点的坐标相同， 由题可得，点与点F关于原点对称，连接， ， ∴由正方形可得， ． 四边形是菱形， ， ， ∴点F的对应点的坐标为． 【典例1】．如图所示，矩形的顶点O为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点O以每秒的速度顺时针旋转，则第2026秒时，点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】每秒旋转，则8次一个循环，，第2026秒时，点的对应点落在第一象限的角平分线上，进一步求解可得到点的坐标． 【详解】解：四边形是矩形， ， 每秒旋转，8次一个循环，， 第2026秒时，点的对应点落在第一象限的角平分线上， 如图，过作轴于，且，则， ∴， 点的坐标为． 【变式1】．如图，菱形对角线交点与坐标原点O重合，点，将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第100次旋转结束时，点C的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∴每旋转8次，点C的坐标重复出现， ， 次旋转结束时点C的位置，与第4次旋转结束时，点C的位置相同， ∵， ∴第4次旋转结束时的点与点C关于坐标原点对称， ∴第100次旋转结束时，点C的坐标为． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形位置如图，，点的坐标为，每一次将绕点逆时针旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转得到，第二次旋转得到，，以此类推，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据变换的规则分别写出点、、、的坐标，得到坐标变化的规律，根据规律写出点的坐标． 【详解】解：点的坐标为， ， 是等腰直角三角形，， ， 点的坐标为， 根据题意可知，， 点的坐标是， 由规律可得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点在第一象限，点在第二象限，点在第三象限，点在第四象限，点在第一象限，， ， 点在第三象限， 点的坐标为． 题型八 平移相关网格作图 答｜题｜模｜板 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，点，点在格点（网格线交点）上．将平移，使点平移到点处，得到，其中点B，C的对应点分别为点、点． (1)画出； (2)若内一点平移后的对应点为，求点的坐标． (1)解：如图，即为所求． (2) 【详解】（1）略 （2）解：由平移到点知， 平移方法是：向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度， ， ， ∴，， ． 【典例1】．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出三角形； (2)将三角形先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，在图中画出平移后得到的三角形，并写出点，的坐标． 【答案】(1)如图：三角形即为所求， (2)如图：三角形，即为所求， ， 【变式1】．如图，在小正方形的边长为1个单位长度的网格中，已知各顶点都在格点（网格线的交点）上．仅用直尺在网格中完成下列画图． (1)画出向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的； (2)画出的高． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 【变式2】．在如图所示的平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上． (1)分别写出三角形的三个顶点的坐标； (2)点D的坐标为，将三角形平移，使点A平移到点D，画出平移后的三角形，其中点B、C的对应点分别为点E、F． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象可直接得出点的坐标； （2）根据题意得，将图形先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度即可． 【详解】（1）解：三角形的三个顶点的坐标为； （2）略 题型九 旋转相关网格作图 答｜题｜模｜板 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）． (1)画出△ABC沿水平方向向左平移4个单位长度的，并直接写出、的坐标； (2)画出将△ABC绕原点O顺时针旋转所得的，并直接写出、的坐标； (3)可由绕点G旋转得到，则点G的坐标为 ． （1）解∶如图1，△A1BlC1即为所求作的三角形，由图可知、； （2）解：如图，△A2B2C2即为所求作的三角形，由图可知、； （3）解：设G(x0，y0)， ∵可由绕点G旋转得到，、，、， ∴， 化简得， 解得， ∴G(-2，-2)， 故答案为：G(-2，-2)． 【典例1】．如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的△ABC，请画出将△ABC绕点C旋转180°得到的△A'B'C'．（需写出△A'B'C'各顶点的坐标）． 【答案】A'（-1，-3），B'（1，-1），C'（-2,0），画图见解析． 【分析】先画出点A，B关于点C中心对称的点A'，B'，再连接A'，B'，C即可解题． 【详解】解： A关于点C中心对称的点A'（-1，-3），B关于点C中心对称的点B'（1，-1），C关于点C中心对称的点C'（-2,0），如图，△A'B'C'即为所求作图形． 【变式1】．如图，平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，A（﹣1，4），B（﹣4，1）．解答下列问题： (1)将线段AB绕原点O旋转180°得到线段CD，再将线段CD向下平移2个单位长度得到线段EF，画出线段CD和线段EF，请说明你的画法． (2)在（1）的条件下，线段AB上存在点Q（a，b），则其在线段EF上的对应点Q1的坐标为 　 　； (3)如果线段AB可以通过一次旋转得到线段EF，则旋转中心P的坐标为 　 　． 【答案】(1)见解析； (2)； (3) 【详解】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A（﹣1，4），B（﹣4，1）的对称点C（1，-4），D（4，-1）的坐标，然后描点如图，再将线段CD向下平移2个单位长度得到EF为所作； （2）点Q（a，b）关于原点对称的点的坐标为（﹣a，﹣b）， 把点（﹣a，﹣b）向下平移2个单位得到点Q1，点Q1的坐标为（﹣a，﹣b﹣2）； 故答案为（﹣a，﹣b﹣2）； （3）连接AE、BF，它们的交点为P点，从而得到P点坐标，得P（0，﹣1）线段AB可以绕点P（0，﹣1）旋转180°得到线段EF； 故答案为：（0，﹣1） 【变式2】．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点A顺时针旋转，得，点B，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α． (1)如图1，若，请利用网格画出，并求的坐标； (2)如图2，若，求点的坐标； (3)若M为边上的一动点，在上取一点，将绕点A顺时针旋转一周，求MN的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)图见解析，的坐标为 (2) (3) 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转90°得如图所示； ∵点，点，∴， ∴的坐标为 （2）解：连接，过点O作于点H， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 则点的坐标为； （3）解：观察图形可知，当M与O重合时，的最小，最小值为1，当M与T重合时，的值最大，最大值为7， ∴的取值范围是． 题型十 旋转相关几何证明压轴题 答｜题｜模｜板 如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． (1)观察猜想：图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． （1）解：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵点，是，的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图中，线段与的数量关系是，位置关系是； （2）解：是等腰直角三角形．理由如下： ∵把绕点逆时针方向旋转到图的位置， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵点，是，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：由（2）知：是等腰直角三角形，且， ∴， ∴最大时，的面积最大， ∵绕点在平面内自由旋转，，， ∴当在的延长线上时，最大 此时， ∴， 即面积的最大值． 【典例1】．综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们讨论有关三角形的旋转问题． 如图1，在中，，，，分别为，的中点，将以点为旋转中心，顺时针方向旋转后得到（点，的对应点分别为点，），连接，． 【初步感知】 （1）如图2，当，，三点恰好在同一条直线上，且点在线段上时，的度数为__________．（用含的式子表示） （2）如图3，在旋转过程中，试判断线段和之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【延伸探究】 （3）如图4，当满足时，连接，，若设与的面积之和为，则是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），，理由见解析 （3） 【详解】（1）解：，，，分别为，的中点， ，， ， 由旋转的性质可得，，，，， ， ， ， 又， ， ； （2）解：，，理由如下， 如图，延长交于点，交于点， 由（1）知， ，， 又， ， ， 综上所述，，； （3）解：如图，连接，，二者交于点， 由（1）知，， ， ， ， 又，， ， ，， 设，则，， ， ， ， 即， ， ， 当有最大值，有最大值，与的面积之和有最大值， ， 当、、三点共线时，有最大值，最大值为， 的最大值为， 与的面积之和有最大值，此时． 【变式1】．在中，，，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到． (1)如图1，若旋转角，求的度数； (2)如图2，当时，设与相交于点，与交于点，连接，求的面积； (3)如图3，设中点为，线段上有一动点，连接．在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值和最小值？如果存在，请直接写出这个最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)最小值：；最大值： 【详解】（1）解：∵将绕顶点顺时针旋转，旋转角为且， ， ， ， ． （2）解：， ， 根据旋转可得， ， ， ∴在中，三个内角都为， ∴为等边三角形， 又， ， 又 ∵为的直角三角形， ， 由勾股定理得， ， ， ， ， 为等腰三角形，， ， 过点作的高， 则， ∴， ． （3）解：∵为中点， ， 由旋转性质，到的距离为， 故在上旋转时，的轨迹是以为圆心，内半径、外半径的圆环， 当三点共线且时，线段的长度最小，最小值为：． 最大值：即到的最远距离，当在正下方且共线时，线段的长度最大，最大值为：． 【变式2】．如图，中，，，为射线上一点，过点作于点，是的中点． (1)如图1，与有何关系，并说明理由； (2)如图2，将绕点顺时针旋转，使点落在内部，判断（1）中的结论是否还成立？如果不成立，请说明理由，如果成立，请证明； (3)将绕点顺时针旋转，若，且，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)，，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3) 【详解】（1）解：，，理由如下， ，是的中点， ， ， ， ， ； ， ， ， 点在以为圆心，为直径的圆上， ， ； （2）解：成立，理由如下， 如图，取中点，中点，连接、、、， ，， ， 是的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ,由旋转得， ， , ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，取中点，中点，中点，作，连接、、、， ，，，，，，， ，，， ， ，即， ， ，， ， ， ， ， 由旋转得， ， ， ， 设，则，， ， ，即， ， ， ， ， ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（山东省济南市长清区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷-）第33届夏季奥林匹克运动会上，中国体育健儿展现了强大的中国自信与中国力量，共获得40枚金牌．下列体育运动图标中，不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项符合题意； B．是中心对称图形，故B选项不合题意； C．是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：A． 2．（山东省菏泽市曹县2024-2025学年下学期八年级期末考试数学试题）如图，中，，将绕点A顺时针旋转后得到，连接．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质．等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是解决本题的关键．由旋转的性质可得，，，可得，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转后得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图所示的是某商场门前的台阶，现该商场经理要在台阶上铺上一块矩形红地毯，则这块红地毯的长至少为________． 【答案】/18米 【分析】此题考查了生活中的平移现象，掌握平移现象的特点是关键． 利用平移的性质解答即可． 【详解】解：， 即这块红地毯的长至少为． 故答案为： 4．（山东省青岛市市北区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是______． 【答案】 【详解】解：由题意得，平移前，， 将正方形先向右平移，使点B与原点O重合， 平移方式为向右平移3个单位长度， 平移后点A的对应点的坐标为， 如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H， ， 由旋转的性质可得，， ， ， ≌， ，， ， ，， ， 点A的对应点的坐标是 故答案为： 5．（山东省济南市平阴县2024--2025学年八年级下学期期末数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，请解答下列问题： (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； (2)将绕点按顺时针方向旋转得到，请作出；并写出点的坐标______________； (3)在平面上是否存在点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3)或或 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）如图，即为所求，点的坐标； 故答案为： （3）如图，点D的坐标为或或． 期末重难突破练（测试时间：12分钟） 1．（山东省济南市长清区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷-）如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中， ，， ， 绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上， ， ， ， ． 故选：C． 2．（山东省青岛市崂山区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置．若，，，则阴影部分的面积为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于点，与交于点， ， ， 由平移的性质可知，，，，， ， ， ， 在中，，， ， ， 阴影部分的面积， 故选：B． 3．（山东省济南市平阴县2024--2025学年八年级下学期期末数学试卷）若将点向左平移2个单位后得到的点的坐标为_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，直接利用平移中点的变化规律求解即可，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，理解并掌握平面直角坐标系中点的平移规律是解题的关键． 【详解】将点向左平移2个单位后得到的点的坐标为，即． 故答案为：． 4．（山东省滨州市阳信县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在上，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由直角三角形的性质可得，，进而由旋转的性质得为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， 由旋转可得，，， ∴为等边三角形， ∴ 故答案为：． 5．（山东省日照市莒县第三中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出绕点O逆时针旋转后的，并写出点的坐标； (2)请画出关于原点O成中心对称后的； (3)在x轴上存在一点P，使得最大，直接写出点P坐标． 【答案】(1)，图见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）如图，即为所求，点的坐标； （2）如图，即为所求； （3）如图，点P即为所求，点P坐标．求解过程如下： 设直线的解析式为，则有， 解得， ∴直线的解析式为， 令，可得， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（山东省菏泽市定陶区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）如图所示，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，点是的中点，点是的中点，连接．若，，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是三角形三边关系的应用． 根据勾股定理求出，然后由三角形三边关系进行计算． 【详解】解：由，，， 得：， 旋转得到，是的中点，是的中点， 得：，， ∴． 故选：B ． 2．（山东省青岛市即墨区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷）如图，的斜边在轴上，，，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是_____． 【答案】 【详解】解：如图， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ，， 由旋转可知，， ， ， 在轴上， 轴， ． 故答案为：． 3．（山东省青岛市李沧区、城阳区、西海岸、平度市、胶州市五区2024-2025学年八年级下学期期末联考数学试题）如图，在四边形中，，平分．将四边形绕点A按逆时针方向旋转一个角度，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是______． 【答案】75 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义 ，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据角平分线的定义和旋转的性质的度数即可． 【详解】解：，平分． ， 又旋转的性质，可得， ， 即四边形旋转的角度是． 故答案为：75． 4．（山东省青岛市李沧区、城阳区、西海岸、平度市、胶州市五区2024-2025学年八年级下学期期末联考数学试题）如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，连接，则的长度为______． 【答案】 【分析】先由含30度角的直角三角形的性质得到，由三角形内角和定理可得，由旋转的性质得到，证明是等边三角形，得到，则可证明是等边三角形，得到． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 5．（山东省菏泽市单县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题）实践探究题 【问题情境】 在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，在中，，，点为斜边上的一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； (2)【探究应用】如图2，点为等腰直角三角形内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，，三点共线，求证：； (3)【拓展提升】如图3，若等腰直角三角形的直角边长为，点是线段上的动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．点在运动过程中，当的周长最小时，的长为______（直接写答案）． 【答案】(1)，证明见解析 (2)详见解析 (3)2 【详解】（1）解：，理由如下， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，即，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， 又，，三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：根据题意，， 同理，， ∴， ∴的周长为， 又∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴的值越小，则的值越小，由此的周长最小， 根据点到直线，垂线段最短，如图所述，过点作于点， ∴当点重合，即时，的值最小，则的值最小， ∴的周长最小，此时， 故答案为：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $