专题02 二次根式（期末复习讲义+8重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材青岛版

专题02 二次根式讲义（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二次根式有意义的条件 题型02 化简二次根式 题型03 利用最简二次根式求参数 题型04 二次根式乘除 题型05 二次根式加减 题型06 二次根式混合运算 题型07 二次根式比较大小 题型08 分母有理化 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二次根式的概念与有意义的条件 必须有二次根号，被开方数必须是非负数 取值范围类考点多以选择题、填空题形式出现，分值约3—4分。 二次根式的概念与有意义的条件 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同 此类题目多在选择题中考查，是基础必考内容。 二次根式的性质 利用性质进行化简和求值，解决字母取值范围问题 ， 非负性综合应用。 性质类考点常与其他知识点综合考查，注重对概念本质的理解 二次根式的运算 运算中乘法分配律、多项式乘法法则、乘法公式（平方差、完全平方）仍然适用。 化简计算多以解答题形式出现，分值约4—5分，每年考查2道题左右，合计8分左右。 知识点01 二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 （a≥0）的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2.二次根式满足条件： （1）必须含有二次根号； （2）被开方数必须是非负数. 3.二次根式有无意义的条件 ①二次根式有意义：被开方数为非负数，即有意义⇔a≥0； ②二次根式无意义：被开方数为负数，即无意义a<0. 4.二次根式的性质 ①二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． ②二次根式的性质：（） ③二次根式的性质： 知识点02 最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点03 二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：*=（a≥0；b≥0）（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ①*=（a≥0；b≥0；c≥0） ②a*c=ac（b≥0；d≥0），即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：=*（a≥0；b≥0）（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：=***（a≥0；b≥0；c≥0；d≥0） 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的加减法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式—将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 题型一 二次根式有意义的条件 答｜题｜模｜板 在函数中，自变量的取值可以是（     ） A． B． C． D． 由题意得，， 解得， ， 的取值可以是． 【典例1】若在实数范围内有意义，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义 ∴ 解得． 【变式1】.要使有意义，则实数x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：要使有意义，则， ∴. 【变式2】.若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据分母有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 即且． 题型二 化简二次根式 答｜题｜模｜板 实数在数轴上的位置如图所示，化简（     ）． A． B． C． D． 解：由实数在数轴上的位置可知，，，， ， 原式． 【典例1】实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴可得，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ 【变式1】．假设，那么等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质化简，再根据的取值范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号计算即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质，可得 原式 ， ， 代入得：原式． 【变式2】．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的正负，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简，得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 题型三 利用最简二次根式求参数 答｜题｜模｜板 已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（   ） A．1 B．2 C．5 D．18 ，且是整数，n是正整数． 是整数，即为完全平方数． 当取最小正整数时，，此时． 因此的最小值为． 【典例1】已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1， ∴所有可能的a之和为． 【变式1】．已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 【变式2】．已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 题型四 二次根式乘除 答｜题｜模｜板 的结果为（     ） A． B． C． D． ． 【典例1】若，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．10 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【变式1】．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 【变式2】．计算的结果是（     ） A． B．6 C． D．1 【答案】C 【详解】解：． 题型五 二次根式加减 答｜题｜模｜板 _______． 解：原式， . 【典例1】．计算：________． 【答案】 【详解】解：原式． 【变式1】．计算=_____． 【答案】 【分析】先把化为最简二次根式，再合并同类二次根式计算结果． 【详解】解： ． 【变式2】．计算的结果是__________． 【答案】 【分析】先化简二次根式，计算二次根式的除法运算，再合并同类二次根式即可. 【详解】解：. 题型六 二次根式混合运算 答｜题｜模｜板 计算： 解： ． 【典例1】计算： 【答案】 【详解】解：原式． 【变式1】．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 【变式2】．计算：． 【答案】5 【详解】解：原式 题型七 二次根式比较大小 答｜题｜模｜板 比较大小：________． 解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 【典例1】．比较大小：________ 【答案】 【详解】解：，且， ． 【变式1】．填空：________（填“”或“”） 【答案】 【分析】先将两个数分别平方，再比较平方结果的大小，平方结果更大的原数更大. 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴. 【变式2】．比较大小：________． 【答案】 【分析】对于两个正无理数，可利用平方法比较大小，两个正数比较大小，平方后结果更大的原数也更大，分别计算两个数的平方，比较平方结果即可得到原数的大小关系. 【详解】解∵，，， . 题型八 分母有理化 答｜题｜模｜板 分母有理化：_______． 解：， 故答案为：． 【典例1】计算：________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，分母有理化，先化简二次根式，再相减即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】．已知，，则代数式__________． 【答案】 【详解】解：； ， ， ， ， ． 故答案为：15． 【变式2】．化简：____． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（山东省济宁市嘉祥县2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题）若有意义，则的值可以是（   ） A． B．0 C．4 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识点，根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可，熟记二次根式的被开方数是非负数是解决此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则的值可以是7， 故选：． 2．（山东省济宁市嘉祥县2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减法对A、B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断． 【详解】解：A、与不属于同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； B、与不属于同类二次根式，不能合并，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、与不属于同类二次根式，不能合并，故D不符合题意； 故选：C． 3．（山东省烟台栖霞市（五四制）2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）若，则代数式的值为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值、二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用配方法可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：8． 4．（山东省济宁市邹城市2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减法，结合已知条件求得的值是解题的关键．利用二次根式有意义的条件求得的值，然后求得的值，将其代入原式计算即可． 【详解】解：已知， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 5．（山东省烟台栖霞市（五四制）2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的除法、乘法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先计算二次根式的乘法、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 期末重难突破练（测试时间：12分钟） 1．（山东省烟台市牟平区（五四制）2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 2．（山东省烟台市牟平区（五四制）2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故此选项运算错误； B、，故此选项运算正确； C、，故此选项运算错误； D、，故此选项运算错误； 故选：B． 3．（山东省东营市垦利区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制））计算：______． 【答案】2 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除法法则计算，得到答案． 【详解】解： 故答案为：2． 4．（山东省淄博市沂源县2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制））代数式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，分式有意义即分母不为0，由此计算即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 【详解】解：依题意有且， 解得. 故答案为： 5．（山东省德州市乐陵市2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷）计算下列各： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键 （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2） ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（山东省泰安市泰山区2024-2025学年下学期期末八年级数学试题）下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算性质，根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的性质对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断． 【详解】解：A：，错误，为无理数，无法与有理数3直接合并为，正确结果为； B：，错误，平方根的结果非负，，而非； C：，错误，根据二次根式乘法法则，，故，而非； D：，正确，根据二次根式除法法则，，故． 故选：D． 2．（山东省威海市文登区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题（五四制））若等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键，根据题意可得且，解得即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：， 故选：D． 3． （山东省烟台市芝罘区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷（五四制）） 计算的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，幂的运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法法则和幂的运算是解决问题的关键． 先根据积的乘方运算，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． 故答案为：． 4．（山东省烟台市莱州市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题（五四制））已知，，则代数式的值是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式的化简求值，学会灵活变形是解题的关键．根据题意可先求的和，将代数式利用完全平方公式进行变形可得，代入和，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 5．（山东省聊城市茌平区2024—2025学年八年级下学期期末检测数学试题）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中均为整数）， 则有．∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得 ， ； (2)利用结论，填写合适的正整数与，填空： ； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值． 【答案】(1)，； (2)16 ，2 (3)a的值是21或9 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用完全平方公式，再进行列式计算，即可作答． （2）利用（1）的结论进列式计算，即可作答． （3）因为，得，，则或，再分别算出a的值，即可作答． 【详解】（1）解：模仿题干， ∵ ∴ ∴ ∴，， 故答案为：，； （2）解：由（1）得中的，． 依题意，得， ∴， ∴ ∴， 故答案为：16，2 （3）解：∵， ∴， ∴ ∵a、m、n均为正整数， ∴或 当时，则； 当时，则； 综上：a的值为21或9． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次根式讲义（期末复习讲义） 内容导航 明。期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记。必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01二次根式有意义的条件 题型02化简二次根式 题型03利用最简二次根式求参数 题型04二次根式乘除 题型05 二次根式加减 题型06二次根式混合运算 题型07二次根式比较大小 题型08 分母有理化 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 二次根式的概念 必须有二次根号，被开方数必须是非负数 取值范围类考点多以选择题、填空题形式出 与有意义的条件 现，分值约3一4分。 二次根式的概念 几个二次根式化成最简二次根式后，被开 此类题目多在选择题中考查，是基础必考内 与有意义的条件 方数相同 容。 二次根式的性质 利用性质进行化简和求值，解决字母取 性质类考点常与其他知识点综合考查，注重 值范围问题，非负性综合应用 对慨念本质的理解 二次根式的运算 运算中乘法分配律、多项式乘法法则、乘 化简计算多以解答题形式出现，分值约4一5 法公式（平方差、完全平方）仍然适用。 分，每年考查2道题左右，合计8分左右。 记·必备知识 知识点01二次根式 1.二次根式的概念：一般地，我们把形如V (a≥0)的式子的式子叫做二次根式，“”称为称为二次 3,√0. 根号.如 1V3 都是二次根式 2.二次根式满足条件： 1/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)必须含有二次根号“√”： (2)被开方数必须是非负数. 3.二次根式有无意义的条件 ①二次根式有意义：被开方数为非负数， 即ya有意义台a≥0： ②二次根式无意义：被开方数为负数，即√无意义a<0. 4.二次根式的性质 ①二次根式Va(a≥0)的非负性 Va(a≥0)表示a的算术平方根，也就是说，Va(a≥0)是一个非负数，即Va之0(a≥0). 的性质： (a'=a (a20) a(a≥0) ③二次根式V后的性质： 同知识点02最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 (1)最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母，(2)被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.同类二次根式 (1)同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 (2)合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘 法分配律，如mVa+nVa=(m+m)Na(a≥0) 局知识点3二次根式的运算 1.二次根式的乘法 (1)二次根式的乘法法则：√日*6=√b(a≥0：b≥0)（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数 不变) (2)二次根式的乘法法则的推广： ①Wa*6*vc-vabc(a≥0：b≥0：c≥0) ②aV6*c√日=ac√6d(b≥0：d≥0)，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行 2/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数 (3)二次根式的乘法法则的逆用： vab -va *b (a≥0；b≥0)（二次根式的乘法法则的逆用实为积的 算数平方根的性质) (4)二次根式的乘法法则的逆用的推广：vabcd=Va*6**V日(a≥0：b≥0：c≥0：d≥0) 2.二次根式的除法 a (1)二次根式的除法法则： 万方(a≥0，b>0)(二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变) (2)二次根式的除法法则的推广：Va÷V6÷Vc=a÷b÷c(a≥0，b>0,c>0) 3.二次根式的加减法 (1)二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 (2)二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式： ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式： ③合：合并被开方数相同的二次根式一将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算 括号里面的（或先去掉括号） 破·重难题型 题型一 二次根式有意义的条件 答|题|模|板 x-1 在函数y= 中，自变量x的取值可以是() Vx+2 A.3 B. C.-2D.1 由题意得，x+2>0, 解得x>-2, :1>-2, 3/10 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :x的取值可以是1. 【典例1】若√2x-6在实数范围内有意义，则x的取值范围为() A.x≥-3 B. C.x23 D.x≠3 【变式1】要使2-有意义，则实数x的取值范围是() 2 A.x>2 B.x22 C.x<2 D.x≤2 【变式2】若代凝式高：-2有意文，则×确取恤范同呢() A.x≥1 B.x≥1且x≠2 C.x≠2 D.x>1且x≠2 它题型二化简二次根式 答|题模板 实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简a+1-Vb-1P+a-b=(). .b 4320234> A.0 B.1C.2D.3 解：由实数a,b在数轴上的位置可知，-1<a<0,1<b<2,a<b, a+1>0,b-1>0,a-b<0, 原式=a+1-lb-1+a-b=a+1-b-1+(b-a=a+1-b+1+b-a=1+1=2. 【典例1】实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简√a-12-√b-12的结果是() b01a→之 A.-a+b-2 B.-a-b C.a-b D.a+b-2 【变式1】.假设-1<x<0,那么VF-x+1)2等于() A.-1 B.1 C.-2x-1 D.-2x+1 4/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】.若把x 中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是() A.√E B.x C.-F D.√x 题型三 利用最简二次根式求参数 答|题模|板 已知n是正整数，√8n是整数，则n的最小值为() A.1 B.2 C.5 D.18 √8n=√9x2n=3√2n,且√18n是整数，n是正整数， √2n是整数，即2n为完全平方数 当取最小正整数时，2n=4,此时n=2. 因此的最小值为2： 【典例1】已知a是正整数，且二次根式√10-a的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为(). A.24 B.26 C.28 D.30 【变式1】.已知√2-n是整数，则实数的最大值为() A.12 B.11 C.8 D.3 【变式2】.已知a是正整数，√54a是整数，则a的最小值是() A.3 B.4 C.5 D.6 它题型四 二次根式乘除 答题模板 36万 -X 的结果为() √21√6 A.1 B.2C.5D.2 V367 367 36×7 TJ6-V216 V21*6V3-12 【典例1】若√mx√5=5√2，则m的值为() 5/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.10 C.2 D.10 【变式1】·计算√4×√2的结果是() A.2W14 B.2万 C.7W2 D.4 【变式2】.计算√5x√5的结果是() A.√5 B.6 c.√6 D.1 巴题型五 二次根式加减 答|题模|板 i+√44-√99= 解：原式=√1+21-3厅， =(1+2-31 =0. 【典例1】.计算：√5+V2= 【变式1】.计算8-√2=· 【变式2】·计算V245的结果是 题型六 二次根式混合运算 答|题模板 计第：5-+2，s- 解5-列+gs- 6/10 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3V6+3 =√6-3+ -2√2-1 (6-36+3 =√6-3+ 36+3 -25-1 6-9 =V6-3-(6+3-22-1 =√6-3-V6-3-2√2-1 =-7-22. 【典别】计算+35-昌 【变式1】.计算：（π-3）°+h-8+8-2×5 【变式2】.计算： 屏-62246 它题型七二次根式比较大小 答|题|模|板 比较大小：5-1 -3. 解：因为2<√5<3， 所以1<5-1<2. 因为3<√1<4， 所以0<1-3<1， 所以√5-1>-3. 【典例1】.比较大小：√34 6 【变式1】.填空：35 5√2（填“>"或”<”） 【变式2】.比较大小：732. 7/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型八 分母有理化 答|题|模|板 1 分母有理化： 5+2 1 1×V5-2 5-25-2-5-2.5-2, 解：5+25+25-25-25-41 故答案为：√5-2. 【典例1】计算： 3 22 1 【变式1】.已知x= 2有”三2十5则代数式2++少与 【变式2】.化简：1+万 1 1 1+5+2+5+5+4+…+2023+2024 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(山东省济宁市嘉祥县2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题)若√x-5有意义，则x的值可 以是() A.-6 B.0 C.4 D.7 2.(山东省济宁市嘉祥县2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题)下列计算正确的是() A.√5+√6=3 B.√5+√6=3W2 C.√5xV6=3W2 D.√6-5=5 3.(山东省烟台栖霞市（五四制）2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题)若x=√5+2，则代数 式x2-4x+7的值为 4.(山东省济宁市邹城市2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷)己知y=√x-8+√16-2x+9,则 8/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 √xy的值为 5.(山东省烟台栖霞市（五四制)2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题)计算： 1 V24÷5-5×8+52 22-6) -65+(s-4 期末重难突破练（测试时间：12分钟） 1.(山东省烟台市牟平区（五四制）2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题)若最简二次根式 √2m-8与√m+5可以合并，则√3m+6的值是(). A.35 B.35 c.4V5 D.45 2.(山东省烟台市牟平区（五四制）2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题)下列运算正确的是 () A.V5+5=V⑧ B.√5xV6=3v2 C.5÷V5=1 D.-72=-7 3.(山东省东营市垦利区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制）)计算： 4,(山东省淄博市沂源县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制）)代数式-3有意 4-x 义，则x的取值范围是 5,(山东省德州市乐陵市2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷)计算下列各： 1)33-V8+V2-√27： aB-{（G24-5-5j2+ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 9/10 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(山东省泰安市泰山区2024-2025学年下学期期末八年级数学试题)下列各式中，运算正确的是() A.3+√2=3W2 B.V-52=-5 C.√2x√5=√5 p.*吃 2.(山东省威海市文登区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题（五四制）)若等式 3=x_B=x成立，则x的取值范围是（） Nx+2√x+2 A.x≠-2 B.x23 C.x≥3且x≠-2D.-2<x≤3 3.（山东省烟台市芝罘区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷（五四制）) 计算(2-5)x5+2m的结果为 4.(山东省烟台市莱州市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题（五四制）)已知a=3+√5， b=3-√5，则代数式Va2-ab+b2的值是 5.(山东省聊城市茌平区2024-2025学年八年级下学期期末检测数学试题)阅读材料：小明在学习二次 根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+22=1+√2)，善于思考的小明进 行了以下探索： 设a+bV2=(m+n2'(其中a,b,m,n均为整数)， 则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2..a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b√2的式子 化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a,b,m,n均为正整数时，若a+bW3=(m+nN3,用含m,n的式子分别表示a,b,得a=-,b=-: (2利用结论，填写合适的正整数a与n,填空：-+8√3=(2+√； 3)若a+4V5=m+n5),且a、m、n均为正整数，求a的值. 10/10