第一章 空间向量与立体几何（暑假预习举一反三单元自测·提高篇）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何单元提高卷，19题覆盖选填解答，立足数学眼光、思维与语言，适配高二暑假巩固提升，选题兼具基础与深度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|空间向量运算、法向量、共面问题|基础概念辨析，如向量夹角计算| |多选|3/18|基底性质、向量关系|多选项分层考查，如基底判定| |填空|3/15|向量夹角、空间向量表示|情境简洁，聚焦易错点| |解答|5/77|面面垂直证明、二面角计算、点面距离|综合应用，如四棱锥中空间关系推理，体现逻辑思维与空间观念|

第一章 空间向量与立体几何（单元自测·提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·山东青岛·期末）已知，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】利用空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可. 【解答过程】因为，所以， 所以，解得. 故选：D. 2．（5分）（25-26高二上·广东清远·期中）已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据法向量定义，把转化为，可得的值. 【解答过程】设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 又因为，所以， 存在一个非零实数，使得， 即，有，解得. 故选：B. 3．（5分）（25-26高二上·安徽·期末）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】利用空间中四点共面的推论可求的值. 【解答过程】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：B. 4．（5分）（25-26高二上·陕西西安·期末）在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，将利用线性运算表示成，由此可解出，即可求解的值. 【解答过程】在平行六面体中，M为AB的中点，， 有， 又，则， 所以． 故选：C. 5．（5分）（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的夹角余弦公式计算求解. 【解答过程】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 6．（5分）（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知空间中三个向量，，共面，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D． 【答案】D 【解题思路】根据共面向量基本定理可求. 【解答过程】由题意可知，存在实数使得， 即， 则，得. 故选：D. 7．（5分）（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，由异面直线向量法计算即可求解. 【解答过程】设正方体棱长为，以为原点，为 轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，. 由题意可得，． ， ， 所以， 即异面直线和所成角的余弦值为. 故选：C． 8．（5分）（2026高三上·安徽合肥·专题练习）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的点，，则平面与平面所成角的正切值为（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建系标点，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【解答过程】设为的中点，由正三棱柱的性质，，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．    则，，，，，， 可得，， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 平面的法向量， 设平面与平面所成角为， 则， 可得，所以. 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·陕西汉中·期末）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 【答案】BD 【解题思路】根据条件可得向量不共面，即可判断A和C的正误；对B，结合条件，根据空间向量基本定理，即可判断正误；对D，根据条件可得不共面，即可求解. 【解答过程】对于A，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故A错误， 对于B，因为向量不共面，由空间向量基本定理可知，空间中任一向量， 存在唯一有序实数组，使，所以B正确， 对于C，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故C错误， 对于D，假设向量共面，则存在唯一实数，使， 即，所以，无解，所以不共面，故D正确， 故选：BD. 10．（6分）（25-26高二上·福建三明·期末）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解题思路】对于AB，由空间向量垂直，平行坐标表示可判断选项正误；对于C，由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误. 【解答过程】对于A，，若，则存在实数，使， 从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误； 对于B，，因， 且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确； 对于C，，又，则，故C错误； 对于D，在上的投影向量为：，故D正确. 故选：BD. 11．（6分）（25-26高二下·湖南·期末）如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，M，N分别为棱，的中点，则（   ）    A． B．与平面所成角的余弦值为 C．三棱柱的外接球的表面积为 D．点到平面的距离为 【答案】AC 【解题思路】根据线线的关系可判断A；建立空间直角坐标系，利用向量法可求与平面所成角的余弦值，判断B；求出三棱柱的外接球的半径，即可求出外接球表面积，判断C；利用向量法求点到平面的距离，判断D. 【解答过程】对于A，连接，因为， 所以为等边三角形，则，而， 所以，故A正确； 以为原点，在平面内过点D作的垂线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， 对于B，平面的一个法向量为， ，设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的余弦值为，故B错误； 对于C，由题意知为等边三角形， 的外接圆半径， 三棱柱的外接球半径 ， 所以三棱柱的外接球的表面积为，故C正确； 对于D，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 则， 点到平面的距离，故D错误． 故选：AC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·安徽六安·期末）已知向量，且向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】首先判断与不共线，则，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】因为， 若，则，所以，方程组无解，所以与不共线， 又向量与的夹角为锐角，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在三棱柱中，、分别是、的中点，若，则__________. 【答案】 【解题思路】将用、、表示，结合空间向量的基本定理可得出、、的值，即可得出的值. 【解答过程】在三棱柱中，、分别是、的中点， 则， 又因为，且、、不共面， 所以，，故. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二上·安徽·阶段检测）在正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点到平面的距离为__________． 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出相应点和向量坐标，再求出平面法向量，最后利用点到平面距离公式计算求解． 【解答过程】以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， ，若点为线段上靠近的三等分点， ， ，， 设平面的法向量为， ，令，则， 点到平面的距离． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【解答过程】（1）因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. （2）由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 16．（15分）（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量的线性运算法则计算求解； （2）先利用已知条件求出相关向量数量积，运用向量加减法运算求出，再通过向量数量积运算求解． 【解答过程】（1），． ． 点为的中点， ． （2）， ， ， ． 17．（15分）（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）已知是空间中不共面的向量，若． (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的值． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）由三点共线可设，列方程求； （2）由四点共面可设，列方程可得的关系． 【解答过程】（1）因为三点共线，则， 又，  ， 有解得； （2）因为四点共面，则，   则，   有 ，得. 18．（17分）（25-26高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点使得平面， 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，求直线和直线的方向向量，证明，由此可得结论. （2）求平面的法向量，由条件可得，由方程求得. 【解答过程】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以. （2）若是的中点，则，， ，， 设平面的法向量为， 则， 设，则，， 故为平面的一个法向量. 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. 19．（17分）（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形．侧面底面，是的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）利用面面垂直的性质得平面，进而得到，结合正三角形性质得，从而平面，即得两平面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过法向量夹角的余弦值即得二面角的余弦值； （3）求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式即可求得. 【解答过程】（1）已知底面是正方形，所以， 又因为平面平面，且平面底面， 底面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为是正三角形，是的中点，所以. 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 已知底面边长为4，是正三角形， 所以： 因为是的中点，故，所以 ， 设平面的法向量为 ， 所以 ，即 ， 令，，即， 又因为平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则， 又因为所成角为锐角，所以二面角的余弦值为. （3）， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，即， 又因为，所以点到平面的距离为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何（单元自测·提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·山东青岛·期末）已知，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（5分）（25-26高二上·广东清远·期中）已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高二上·安徽·期末）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 4．（5分）（25-26高二上·陕西西安·期末）在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知空间中三个向量，，共面，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D． 7．（5分）（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（2026高三上·安徽合肥·专题练习）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的点，，则平面与平面所成角的正切值为（   ）    A．1 B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·陕西汉中·期末）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 10．（6分）（25-26高二上·福建三明·期末）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 11．（6分）（25-26高二下·湖南·期末）如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，M，N分别为棱，的中点，则（   ）    A． B．与平面所成角的余弦值为 C．三棱柱的外接球的表面积为 D．点到平面的距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·安徽六安·期末）已知向量，且向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为__________． 13．（5分）（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在三棱柱中，、分别是、的中点，若，则__________. 14．（5分）（25-26高二上·安徽·阶段检测）在正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点到平面的距离为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 16．（15分）（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 17．（15分）（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）已知是空间中不共面的向量，若． (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的值． 18．（17分）（25-26高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 19．（17分）（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形．侧面底面，是的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $